第八章向量代数和空间解析几何

范文范例 学习参考 精品资料整理 第八章 向量代数和空间解析几何第八章 内容概要与重点难点提示 本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。 重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面和直线的方程 本章 无特别难的难点

考试内容要点讲解

一、 向量 1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为a或者AB，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范数，记为a或者AB；方向 向量箭头的指向或用方向角,,来刻画。常用的向量有

零向量0（模为零，方向任意）、单位向量e（模为1）、向径OM(其中(,,)Mxyz

为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。 抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为

(,,)xyzaaaa+xyzaiajak，xa叫做a的横坐标或者a在x轴上的投影，xai叫

做a在x轴上的分量。222+xyzaaaa；222cos+xxyzaaaa，

222cos+yxyzaaaa，222cos+zxyzaaaa，与a同方向的单位向量为

0(cos,cos,cos)aaa。

2、向量的运算 对于抽象向量

（1）加减法（平行四边形法则） 做,ABaADb，以,ABAD为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量+,ACabDBab。 （2）数乘 规定a（为数量）是向量：模aa；方向是当0时a

 范文范例 学习参考 精品资料整理 与a同向，当0时a与a反向，当0时0a。 （3）数量积（点积，内积） cosbaabababaprjbprj （结果为数量），式中为向量a与b的夹角（[0,]）。 （4）向量积（叉积，外积） ab的结果是向量：模sinabab，为向量a与b的夹角（[0,]）；方向ab与a与b都垂直，且a、b、ab符合右手系。 （5）混合积 三个向量a、b、c的运算(,,)()abcabc（结果为数量，

在几何上该数的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体体积）。 对于具体向量 设(,,),(,,)xyzxyzaaaabbbb，则 （1）加减法 (,,)xxyyzzabababab； （2）数乘 (,,)xyzaaaa； （3）数量积 xxyyzzabababab；

（4）向量积 xyzxyzijkabaaabbb；

（5）混合积 (,,)xyzxyzxyzaaaabcbbbccc，（这里设(,,)xyzcccc）。 3、常用的结论 （1）投影定理 ()bcbcaaaprjprjprj； ()bbaaprjprjR。

（2）非零向量ab00xxyyzzabababab。

非零向量ab(或a与b共线)唯一的R使得bayxzxyzaaabbb

0ab 0xyzxyzijkaaabbb。

非零向量a、b、c共面不全为零的数123,,使得1230abc 范文范例 学习参考 精品资料整理 (,,)0abc0xyzxyzxyzaaabbbccc。

（3）非零向量a、b、c构成三角形，则0abc；反之不一定成立。 （4）以,ab为邻边的平行四边形面积xyzxyzijkSabaaabbb。 4、运算性质 （1）加减与数乘 abba；()()abcabc；(1)abab；

()aaa；()abab。 （2）数量积 abba； ()abcabac； ()()()ababab；2aaa。 （3）向量积 abba； ()abcabac； ()()()ababab；0aa。 注 对点积和叉积都没有消去律，如由abac，且0a不能推出bc。 （4）混合积 (,,)(,,)(,,)abcbcacab，(,,)(,,)abcabc； (,,)(,,)abcbac；(,,)(,,)(,,)0aababaabb； 1212(,,)(,,)(,,)aabcabcabc。 例题1 求同时垂直于向量(1,2,1)a与y轴的单位向量。 解：法1 设所求向量为(,,)bxyz，则 范文范例 学习参考 精品资料整理 001abjbb





222

(1,2,1)(,,)0(0,1,0)(,,)01xyzxyzxyz





222

2001xyzyxyz





12xz，0y。

所以1(1,0,1)2b。 法2 取 (1,2,1)(0,1,0)caj121010ijk(1,0,1)， 故 1(1,0,1)2cbc。 例题2 设(1,1,0),(2,0,2)ab，c与,ab共面，且3ccabprjprj，求c。 解：法1 令(,,)cxyz，由c与,ab共面，得

(,,)1100202xyzabc，解得 0xyz （1）

又33cacbprjprj 322()322xyxz32(2)32(3)xyxz， 由（1）（2）（3）得到22x，2yz，所以 2(2,1,1)c。 法2 因为c与,ab共面，且3ccabprjprj，知c在,ab的角平分线上， 所以00(1,1,0)(2,0,2)(2,1,1)2222abcabab也在,ab的角平分线上， 范文范例 学习参考

精品资料整理 设(2,1,1)2cc，由3caprj，即(2,1,1)(1,1,0)322，得到2，

所以 2(2,1,1)c。 例题3 （1）设()2，则()()]()()。 （2）设（3ab）（75ab），（4ab）（72ab），则(,)()ab。 解：（1）因为 ()()， 所以原式()()()+(）

2()=4。

（2）由已知，375(4)(72)0abababab（）()=022227161573080aabbaabb=0。 两式相减，得 22abb，代入方程组第一式，有 ab，把它代入 22abb，即22cos(,)ababb，求出1cos(,)2ab，所以(,)3ab。

二、 空间曲面、曲线的方程 定义 设有曲面和三元方程(,,)0Fxyz，它们满足：(,,)Mxyz，则,,xyz满足方程(,,)0Fxyz；(,,)Mxyz，则,,xyz不满足方程

(,,)0Fxyz，那么称曲面为三元方程(,,)0Fxyz所表示的曲面，或说三元方程(,,)0Fxyz为曲面所对应的方程。 1、常见的曲面及其对应的方程 范文范例 学习参考 精品资料整理 （1）球面 方程2222000()()()xxyyzzR表示球心为0000(,,)Mxyz、半径为R的球面。它的一般式方程为2220xyzAxByCzD（其中2224ABCD）。

（2）平面 一般式方程为三元一次方程0AxByCzD（,,ABC不全为零）。 （3）旋转曲面 将yoz上平面曲线:(,)0CFyz绕z轴旋转一周所得到的曲面的方程为22(,)0Fxyz；绕y轴旋转一周所得到的曲面的方程为22(,)0Fyxz（其它情形以此类推）。

（4）圆锥面 方程2222()zaxy（0a）表示顶点为原点、中心轴为z轴、半顶角cotarca的圆锥面。

（5）柱面 方程(,)0Fyz表示母线平行于x轴（因为缺变量x）、准线为yoz

上平面曲线:(,)0CFyz的柱面。 （5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）

椭球面方程 2222221xyzabc。

旋转抛物面2222xyzpp；椭圆抛物面2222xyzpq；双曲抛物面2222xyzpq。 （(,0)pq）。 单叶双曲2222221xyzabc； 面双叶双曲面2222221xyzabc。 椭圆柱面22221xyab；抛物柱面22xyp（0p）；双曲柱面22221xyab。