离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
到目前为止，还没有找到判断哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面介绍哈密顿图和半哈密顿图的必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的任意 非空子集，则有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1的连 通分支数。
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
例
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）为欧拉图。
（2）为半欧拉图。 （3）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。 （4）为欧拉图。
（5）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。 （6）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。
ห้องสมุดไป่ตู้
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，V1是V的任意非 空子集，则有p(G-V1)≤|V1|+1。
注意：
（1）定理15.6和推论是必要条件。
（2）两定理可以证明一个图不是哈密尔顿图或半哈 密顿图。
例如
G
G-{v1,v2}
易见p(G-{v1,v2})=3，|{v1,v2}|=2 p(G-{v1,v2})|{v1,v2}| 不满足定理15.6，所以图G不是哈密顿图。
方法来从E(G)-{e1,e2,….,ei}中选取ei+1： （a）ei+1与vi相关联； （b）除非无别的边可供选择，否则ei+1不应
该为 G-{e1,e2,….,ei}中的桥。 ◼ （3）当（2）不能再进行时，算法停止，得到
的Pn=v0e1v1e2…..envn为G中的一条欧拉回路。
桥：设eE(G)，若p(G-e)>p(G)， 则称e为G中的桥。
可以看出在“一笔画”的问题中，终点与 始点重合的图对应着欧拉图，不重合的对应半 欧拉图。
利用欧拉图可以解决哥尼斯堡七桥问题： 从某地出发，对每座跨河桥只走一次，而在遍历 了七座桥之后，却又能回到原地。
由定理15.1（无向欧拉图的判定定理）可知该问题无解。
思考 如下图所示，从一房间出发，问能否不重复地
定理15.3 （有向欧拉图的判定）有向图D是欧拉图 当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
定理15.4（有向半欧拉图的判定）有向图D是半欧拉 图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点， 其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1， 而其余顶点的入度都等于出度。
（4）
（5）
（6）
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
例15.2（P296）
欧拉图的性质：欧拉图可以分解成若干个边不重的圈。
定理15.5（欧拉图的判定） G是非平凡的欧拉图当 且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈的并。
中国的“一笔画”的问题
从图某一点出发，线可以相交但不能重合 将图画完的问题。
二部图与哈密顿图的关系 设二部图G=<V1，V2，E>，
若G是哈密顿图，则|V1|=|V2|。
G3
（3）G3=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为 V1={a,c,g,h,e}，V2={b,d,i,j,f}。 则p(G3-V1)=|V2|=|V1|=5， 哈密顿回路为abcdgihjefa 所以G3是哈密顿图。
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>， |V2||V1|。若G是半哈密顿图,则 |V2|=|V1|+1。
G2
（2）G2=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为 V1={a,g,h,i,c}，V2={b,e,f,j,k,d}。 则p(G2-V1)=|V2|=6，|V1|=5， p(G2-V1)>|V1|但p(G2-V1)=|V1|+1 所以G2不是哈密顿图。 存在哈密顿通路baegjhfikcd 所以G2是半哈密顿图。
第十五章 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
1736年数学家欧拉发表了第一篇图论论文， 解诀了哥尼斯堡七桥问题。
➔
定义（欧拉通路和欧拉回路） 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且
仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
到目前为止，还没有找到判断哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面介绍哈密顿图和半哈密顿图的必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的任意 非空子集，则有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1的连 通分支数。
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
例
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）为欧拉图。
（2）为半欧拉图。 （3）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。 （4）为欧拉图。
（5）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。 （6）即不存在欧拉通路，也不存在欧拉回路。
ห้องสมุดไป่ตู้
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，V1是V的任意非 空子集，则有p(G-V1)≤|V1|+1。
注意：
（1）定理15.6和推论是必要条件。
（2）两定理可以证明一个图不是哈密尔顿图或半哈 密顿图。
例如
G
G-{v1,v2}
易见p(G-{v1,v2})=3，|{v1,v2}|=2 p(G-{v1,v2})|{v1,v2}| 不满足定理15.6，所以图G不是哈密顿图。
方法来从E(G)-{e1,e2,….,ei}中选取ei+1： （a）ei+1与vi相关联； （b）除非无别的边可供选择，否则ei+1不应
该为 G-{e1,e2,….,ei}中的桥。 ◼ （3）当（2）不能再进行时，算法停止，得到
的Pn=v0e1v1e2…..envn为G中的一条欧拉回路。
桥：设eE(G)，若p(G-e)>p(G)， 则称e为G中的桥。
可以看出在“一笔画”的问题中，终点与 始点重合的图对应着欧拉图，不重合的对应半 欧拉图。
利用欧拉图可以解决哥尼斯堡七桥问题： 从某地出发，对每座跨河桥只走一次，而在遍历 了七座桥之后，却又能回到原地。
由定理15.1（无向欧拉图的判定定理）可知该问题无解。
思考 如下图所示，从一房间出发，问能否不重复地
定理15.3 （有向欧拉图的判定）有向图D是欧拉图 当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
定理15.4（有向半欧拉图的判定）有向图D是半欧拉 图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点， 其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1， 而其余顶点的入度都等于出度。
（4）
（5）
（6）
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
例15.2（P296）
欧拉图的性质：欧拉图可以分解成若干个边不重的圈。
定理15.5（欧拉图的判定） G是非平凡的欧拉图当 且仅当G是连通的且为若干个边不重的圈的并。
中国的“一笔画”的问题
从图某一点出发，线可以相交但不能重合 将图画完的问题。
二部图与哈密顿图的关系 设二部图G=<V1，V2，E>，
若G是哈密顿图，则|V1|=|V2|。
G3
（3）G3=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为 V1={a,c,g,h,e}，V2={b,d,i,j,f}。 则p(G3-V1)=|V2|=|V1|=5， 哈密顿回路为abcdgihjefa 所以G3是哈密顿图。
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>， |V2||V1|。若G是半哈密顿图,则 |V2|=|V1|+1。
G2
（2）G2=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为 V1={a,g,h,i,c}，V2={b,e,f,j,k,d}。 则p(G2-V1)=|V2|=6，|V1|=5， p(G2-V1)>|V1|但p(G2-V1)=|V1|+1 所以G2不是哈密顿图。 存在哈密顿通路baegjhfikcd 所以G2是半哈密顿图。
第十五章 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
1736年数学家欧拉发表了第一篇图论论文， 解诀了哥尼斯堡七桥问题。
➔
定义（欧拉通路和欧拉回路） 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且
仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路 通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
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欧拉图与哈密顿图
哈密顿回路。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.21
图G称为可2-着色（2-chromatic），
如果可用两种颜色给G的所有顶点着色， 使每个顶点着一种颜色，而同一边的两端点 必须着不同颜色。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.16
设图G是可2-着色的。如果G是哈密顿 图，那么着两种颜色的顶点数目相等；如 果G有哈密顿通路，那么着两种颜色的顶点 数目之差至多为一。
✓定理8.14
设图G为具有n个顶点的简单无向图，如果G的 每一对顶点的度数之和都不小于n – 1 ，那么G中有 一条哈密顿通路；如果G的每一对顶点的度数之和 不小于n，且n≥3，那么G为一哈密顿图。
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
✓ 定理8.15
当n为不小于3的奇数时，
Kn上恰有 n 1 条互相均无任何公共边的 2
离散数学导论
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
➢ 定义8.19
图G称为欧拉图（Euler graph），
如果图G上有一条经过G的所有顶点、所有
边的闭路径。图G称为欧拉路径（Euler
walk），如果图G上有一条经过G 所有顶点、所有边的路径。
.
欧拉图与哈密顿图 1.1欧拉图与欧拉路径
✓ 定理8.11
.
欧拉图与哈密顿图 1.2 哈密顿图及哈密顿通路
➢ 定义8.20
无向图G称为哈密顿图（Hamilton graph），
如果G上有一条经过所有顶点的回路
（也称这一回路为哈密顿回路）。称无向图有哈密顿 通路(非哈密顿图)，如果G上有一条经过所有顶点的
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
欧拉图和哈密尔顿图
例 “一笔划”问题——G中有欧拉 通路
？
实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图
中国邮递员问题-模型
数学模型：
构造无向权图G，以道路为边，路长为权 问题的解 ——G 中包含所有边的回路权最小，称为 最优回路(未必是简单回路)。 当G是欧拉图，则最优回路即欧拉回路。
周游世界的游戏
1859 哈密尔顿 “周游世界”游戏： 20个城市，每个城市恰游一次，回到出发地
例
a
10 12 9
从a出发的“较好的”回路 ， a
7
14Biblioteka b7 13 11d
6
c
8
e
5
b
14
a
c
5
6
8
长度：40
e
e
d
算法精度下限
设算法所得的回路长度为d， d0 是最小H_
回路的长度，G有n点，则
d / d0 ½ [ln(n)+1]+ ½
改进：
如果在已有回路中，W(vi,vj)+ W(vi+1,vj+1)< W(vi,vi+1)+ W(vj,vj+1),
货郎担/旅行推销员(TSP)问题：
在一个赋权的完全图中，找出一个具有最小权 的H_回路，也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边，满足三角不等式（距离不 等式） W(a,b) W(a,c) + W(c,b)
数学模型
构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每 个元素对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图，总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题 是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万 亿条-(1.216451017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条，需 2万年
计算机科学与技术 离散数学 第9章 图的应用
3
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的回路
欧拉图：有欧拉回路的图 半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理 树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路， 连通，无回路， 不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边， 得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路 架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路 最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 （P156） ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的； 反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树 如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条 初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高 注：树根位于根树的第0层
35
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次 的回路
欧拉图：有欧拉回路的图 半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理 树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路， 连通，无回路， 不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边， 得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路 架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路 最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法 （P156） ——求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的； 反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树 如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条 初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高 注：树根位于根树的第0层
35
离散数学结构第十五章欧拉图与哈密顿图
第十五章欧拉图与哈密顿图15」欧拉图—、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义務定义15・1通过图（无向图或有向图）中所有边一次jl仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
从定义不难看出，欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路），类似地，欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。
在这里做个规定，即平凡图是欧拉图。
(1) ⑵图15.1在图15」所示各图中QiSSgs为（1冲的欧拉回路所以（1禺为欧拉图oCiGSGb 为（2）中的一条欧拉通路，但图中不存在欧拉回路（为什么？），所以（2 ）为半欧拉图。
（3 ）中既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？），所以（3 ）不是欧拉图，也不是半欧拉图。
CI6C3C4为（4）图中的欧拉回路，所以（4）图为欧拉图。
（5 ） , （ 6 ）图中都既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？）二、判别定理拓定理15・1无向图G是欧拉图当11仅当G是连通图，11 G中没有奇度顶点。
证若G是平凡图，结论显然成立，下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图。
并设G的顶点集V ={v h v2,...,v n}.必要性。
因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，设C为G中任意一条欧拉回路，VVi,VjeV , v 都在C上，因而Vi,Vj连通，所以G为连通图。
又V Vi eV，"在C 上每出现一次获得2度，若岀现k次就获得2k度，即d(Vi)二2k ,所以G中无奇度顶点。
充分性，由于G为非平凡的连通图可知，G中边数m21.对m作归纳法。
(1) m=l时，由G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。
(2) 设mwk(k21)时结论成立，要证明m二K+1时，结论也成立。
由G的连通性及无奇度顶点可知，&(G)、2•类似于例14.8 ,用扩大路径法可以证明G中存在长度大于或等于3的置，设C为G中一个圏，删除C上的全部边，得G的生成子图G,设G有s个连通分支G I,G‘2,...,G；,每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G i与C*的公共顶点为, i=l,2，…,S ,由归纳假设可知，G I,G‘2，…,G；都是欧拉图,因而都存在欧拉回路Cl , i=l,2，…,s.最后将C还原(即将删除的边重新加上)，并从C上的某顶*点*开始行遍,每遇到% ,就行遍G'i中的欧拉回路Cl , i二1,2,…,s ,最后回到v r,得回路V「... ... ... "... "... b ... b ...Vr，此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，因而它是G中的欧拉回路(演示这条欧拉回路)，故G为欧拉图。
欧拉图于哈密顿图
§15.1 欧拉图
一、历史背景－－哥尼斯堡七桥问题
}
1
二、定义 欧拉通路 (欧拉迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (欧拉闭迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图 ——存在欧拉回路的图。
}
2
三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路，
解：
(4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。
解：
}
14
作业
习题十五 2、11、14、15、20
}
15
余顶点的入度均等于出度， 这两个特殊的顶点中，一个 顶点的入度比出度大1，另一 个顶点的入度比出度小1。
D 有欧拉回路( D为欧拉图) D 连通， D 中所有
顶点的入度等于出度。
}
6
例3、判断以下有向图是否欧拉图。
}
7
§15.2 哈密尔顿图
一、问题的提出
1859年，英国数学家哈密尔顿，周游世界游戏。
(2)
解：是哈密尔顿图，
存在哈密尔顿回路和通路。
}
11
例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。
(3)
解：不存在哈密尔顿回路，
也不存在哈密尔顿通路。
}
12
例2、画一个无向图，使它
(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路，
解：
(2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路， 解：
}
13
例2、画一个无向图，使它
G 中只有两个奇度 G 有欧拉通路 G 连通，
顶点(它们分别是欧拉通路的
两个端点)。
G有欧拉回路( G为欧拉图) G 连通， G 中均
一、历史背景－－哥尼斯堡七桥问题
}
1
二、定义 欧拉通路 (欧拉迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (欧拉闭迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图 ——存在欧拉回路的图。
}
2
三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路，
解：
(4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。
解：
}
14
作业
习题十五 2、11、14、15、20
}
15
余顶点的入度均等于出度， 这两个特殊的顶点中，一个 顶点的入度比出度大1，另一 个顶点的入度比出度小1。
D 有欧拉回路( D为欧拉图) D 连通， D 中所有
顶点的入度等于出度。
}
6
例3、判断以下有向图是否欧拉图。
}
7
§15.2 哈密尔顿图
一、问题的提出
1859年，英国数学家哈密尔顿，周游世界游戏。
(2)
解：是哈密尔顿图，
存在哈密尔顿回路和通路。
}
11
例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。
(3)
解：不存在哈密尔顿回路，
也不存在哈密尔顿通路。
}
12
例2、画一个无向图，使它
(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路，
解：
(2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路， 解：
}
13
例2、画一个无向图，使它
G 中只有两个奇度 G 有欧拉通路 G 连通，
顶点(它们分别是欧拉通路的
两个端点)。
G有欧拉回路( G为欧拉图) G 连通， G 中均
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
图论中的哈密顿图与欧拉图
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边 分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个 顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其 邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有 向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条 边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉 回路。
推论 无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中 与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且 中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密 尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回 路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈 密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定