2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题七 第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4) 1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．
1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则2．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.4．几种常见曲线的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．(2)椭圆椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．
热点一极坐标方程及其应用 [例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P(1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ＝上．①求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；②求点P与点Q之间距离的最小值．[师生共研] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，且y＝1－x，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝.又0≤x≤1，所以0≤y≤1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤，即所求线段的极坐标方程为ρ＝.(2)①由消去α，得点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又由ρ＝，得ρ＝，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝9.②因为半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1,0)到直线x＋y＝9的距离为4，所以|PQ|min＝4－1.
研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大方便．
1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为，即为所求． 热点二参数方程及其应用 [例2] (2014·福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[师生共研] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.
在解答参数方程的有关问题时常用的方法(1)将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x，y的取值范围．(2)观察参数方程有什么几何意义，利用参数的几何意义解题．
2．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，直线l的参数方程为(t为参数)．(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)>0，得cos α>sinα，故α∈，∴|PM1||PM2|＝|t1t2|＝∈. 热点三极坐标方程与参数方程的综合应用
[例3] (2014·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[师生共研] (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解．
3．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝8cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得t2sin2 α－8tcos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2 α＝64>0，∴t1＋t2＝，t1t2＝－<0，故＋＝＝＝＝＝.
1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．解：将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y2＝4x，得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，若直线l与圆C相切，求实数a的值．
解：易求直线l：4x－3y－2＝0，圆C：(x－a)2＋y2＝a2，依题意，有＝|a|，解得a＝－2或.3．(2014·郑州模拟)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|.解：(1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，C2：＋＝1.曲线C1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C2的左顶点为(－4,0)，则直线l的参数方程为(s为参数)，
高考数学二轮复习 第二部分 专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)文(含解析)-
第1讲 坐标系与参数方程（选修4-4）A 级 基础通关1．(2018·某某卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋3t ，消去参数t 得3x ＋y ＝4，所以直线l 的普通方程为3x ＋y －4＝0. 由ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2sin θ＋23cos θ， 得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，即x 2＋y 2＝23x ＋2y . 所以曲线C 的直角坐标方程是圆(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)因为原点O 到直线l 的距离d ＝|－4|（3）2＋12＝2.直线l 过圆C 的圆心(3，1)，所以|MN |＝2r ＝4， 所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4.4．(2019·某某检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值． 解：(1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，则ρ2＋ρ2sin 2θ＝4，将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 22＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 22＝1.由⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t ，消去参数t 得x －2y ＝m ， 所以直线l 的普通方程为x －2y －m ＝0.(2)设P (2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得|PQ |＝|2cos θ－2sin θ－m |3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－m 3，由题意知m ≠0，当m ＞0时，|PQ |min ＝|22－m |3＝2，得m ＝23＋22；当m ＜0时，|PQ |min ＝|－22－m |3＝2，得m ＝－23－22，所以m ＝23＋22或m ＝－23－2 2.5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.6．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.B 级 能力提升7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋2a cos θ(a ＞0)；直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若点P 的极坐标为(2，π)，|PM |＋|PN |＝52，求a 的值．解：(1)由ρ＝2sin θ＋2a cos θ(a ＞0)，得ρ2＝2ρsin θ＋2ρa cos θ(a ＞0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋2ax ， 即(x －a )2＋(y －1)2＝a 2＋1.由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为y ＝x ＋2. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t .代入x 2＋y 2＝2y ＋2ax ，化简得t 2－(32＋2a )t ＋4a ＋4＝0.Δ＝(32＋2a )2－4(4a ＋4)＞0，解得a ≠1. t 1＋t 2＝32＋2a ，t 1t 2＝4a ＋4.又因为a ＞0，所以t 1＞0，t 2＞0.因为点P 的直角坐标为(－2，0)，且在直线l 上， 所以|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝32＋2a ＝52， 解得a ＝2，此时满足a ＞0，且a ≠1，故a ＝2.8．(2019·某某检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2m sin θ＋cos θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)若C 1与C 2交于P ，Q 两点，求1k OP ＋1k OQ的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2(t 为参数)，消去参数t ，得x 2＝14y ， 则C 1的普通方程为x 2＝14y .由ρ＝2m sin θ＋cos θ，得mρsin θ＋ρcos θ＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得my ＋x －2＝0， 即C 2的直角坐标方程为x ＋my －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2(t 为参数)，可得y x ＝4t (x ≠0)， 故4t 的几何意义是抛物线x 2＝14y 上的点(原点除外)与原点连线的斜率．由(1)知，当m ＝0时，C 2：x ＝2，则C 1与C 2只有一个交点，故m ≠0.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2(t 为参数)代入x ＋my －2＝0， 得4mt 2＋t －2＝0，设此方程的两根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－14m ，t 1t 2＝－12m，所以1k OP＋1k OQ ＝14t 1＋14t 2＝t 1＋t 24t 1t 2＝－14m4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＝18.。
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2.3直线的参数方程课件(共37张PPT)
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
一 提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参 数方程 第二讲2 .3直线 的参数 方程课 件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan
高考数学二轮复习专题七选修系列第1讲坐标系与参数方程课件
[例 1] (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线
C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
(2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求 △OAB 面积的最大值．
解：(1)设点 P(ρ，θ)，点 M(ρ0，θ0)，
则|OM|＝ρ0，|OP|＝ρ.
ρρ0＝16，
①
由题设，得
ρ0cos θ0＝4且θ＝θ0. ②
解之得 ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
所以化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)，
设曲线 C 上的点 P(3cos θ，sin θ)．
|3cos θ＋4sin θ－4－a|
则 P 到 l 的距离 d＝
17
＝
|5sin（θ＋φ）－4－a|
17
，
其中 tan φ＝34.
又点 C 到直线 l 的距离的最大值为 17. 所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为 17. 若 a≥0，则－5－4－a＝－17，所以 a＝8. 若 a＜0，则 5－4－a＝17，所以 a＝－16. 综上可知，实数 a 的值为 a＝－16 或 a＝8.
所以 ρsin θ＋ρcos θ＝4，
因此曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.
(2)由(1)知，可设点 P( 3cos α，sin α)，
又 C2 为直线，所以|PQ|的最小值为点 P 到直线 C2 的
距离 d(α)的最小值．
| 又 d(α)＝
第二讲 参数方程 章末复习方案 课件(人教A选修4-4)
，即圆心为(1，－1)，半径为 4 的圆
22 4 － 2 ＝ 62，
2
[例 7]
t x＝－1＋2 直线 y＝ 3t 2
(t 为参数)与圆 x2＋y2＝a(a>0)相
交于 A、B 两点，设 P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数 a 的 值．
[解]
法一：直线参数方程可化为：y＝ 3(x＋1) ，
2
4· π＝8. sin 24
8
[例 9]
过点 B(0， －a)作双曲线 x2－y2＝a2 右支的割线 BCD，
又过右焦点 F 作平行于 BD 的直线，交双曲线于 G、H 两点． |BC| |BD| 求证：|GF|· ＝2. |FH|
[证明] 为
当 a＞0 时，设割线的倾斜角为 α，则它的参数方程
法二：将直线参数方程代入圆方程得 t2－t＋1－a＝0 设方程两根为 t1、t2，则 3 Δ＝1－4(1－a)>0⇒a>4. t1＋t2＝1，t1· ＝1－a.(*) t2 由参数 t 的几何意义知 |PA| t1 1 |PA| t2 1 |PB|＝－t2＝2或|PB|＝－t1＝2. t1 1 由t ＝－2，解得 a＝3. 2
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆 锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题． [例 8] AB 的长． 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦
[解]
设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α y＝2＋tsin α
[例 3]
1 x＝t＋ t sin θ， ① 已知参数方程 y＝t－1cos θ， ② t
(t≠0)．
高考数学二轮复习第二部分专题九选做大题9.1坐标系与参数方程课件理选修4_4
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6.一些常见曲线的参数方程
(1)过点 P0(x 0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (t 为参数). ������ = ������0 + ������sin������ ������ = ������ + ������cos������, 2 2 2 (2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为 (θ 为参 ������ = ������ + ������sin������ 数). ������ = ������cos������, ������ 2 ������ 2 (3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 (θ 为参 ������ ������ ������ = ������sin������ 数). 2 ������ = 2 ������������ , 2 (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). ������ = 2������������
(3)直线过 M ������,
π 2
,且平行于极轴:ρ sin θ=b.
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4.圆的极坐标方程 2 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ ������0 r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r; (2)圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
Ⅰ
全 国
题目类 型 参数 方程, 极坐 标 参数 方程
Ⅱ
解题思 想方法 消元法, 代入法, 方程思 想 直接法, 转化思 想
第二讲 参数方程 章末复习方案 课件(人教A选修4-4)
代入方程 y2＝4x 整理得 t2sin 2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0①
∵点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可知，方 程①的两个实根 t1、t2 满足关系 t1＋t2＝0 sin α－cos α＝0 π ∴0≤α＜π，∴α＝4. ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆 锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题． [例 8] AB 的长． 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦
[解]
设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α y＝2＋tsin α
(t 为参数且 t2>3)
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方 程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲 线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注 意 x，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使 得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
7 10 直线 l 的方程为 x－3y＋2＝0， 则曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的 点的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
[解析]
曲线 C 的标准方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
它表示以(2，－1)为圆心，半径为 3 的圆， |2＋3＋2| 因为圆心(2， －1)到直线 x－3y＋2＝0 的距离 d＝ ＝ 10 7 10 10 7 10 7 10 且 3－ 10 < 10 ，故过圆心且与 l 平行的直线与圆相交的 两点为满足题意的点．
法二：将直线参数方程代入圆方程得 t2－t＋1－a＝0 设方程两根为 t1、t2，则 3 Δ＝1－4(1－a)>0⇒a>4. t1＋t2＝1，t1· ＝1－a.(*) t2 由参数 t 的几何意义知 |PA| t1 1 |PA| t2 1 |PB|＝－t2＝2或|PB|＝－t1＝2. t1 1 由t ＝－2，解得 a＝3. 2
高考专题复习--参数方程
高考专题复习--参数方程(教案)(总19页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--选修4—4 ⎪⎪⎪坐标系与参数方程第1课坐标系[课前回扣教材][过双基]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ?x ≠0?.4．常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)．(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．(4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2.(5)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)．[小题速通]1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos 2θ2－2，则其直角坐标方程为________________．2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________． 3．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．4．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________．[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标． 1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．2．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．[典例] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．[方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[典例] (2017·长春摸拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练](2017·云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．2．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.3．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．4．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离．[高考达标检测]1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．4．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．7．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．第2课参数方程[课前回扣教材][过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧ x ＝f ?t ?，y ＝g ?t ?，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎨⎧x ＝f ?t ?，y ＝g ?t ?所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧x ＝f ?t ?，y ＝g ?t ?叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t (t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．2．曲线⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________． 3．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．2．直线⎩⎨⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．[课堂研究高考][典例] (2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．[即时演练]将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．[典例] (2017·哈师大附中模拟)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [方法技巧] [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．[典例] (2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练](2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．2．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．3．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．[高考达标检测]1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．2．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值．3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；(2)当φ＝π12时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．6．(2017·唐山模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C2，点A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.21217．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ. (1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．。
第二讲 参数方程 章末复习方案 课件(人教A选修4-4)
y＝ 3x＋1 联立方程 2 2 x ＋y ＝a
消去 y，得：4x2＋6x＋3－a＝0. 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)(不妨设 x1<x2)，则
Δ＝36－16(3－a)>0，① 3 x1＋x2＝－2，② 3－a x1·2＝ 4 ，③ x |PA| －1－x1 1 |PB|＝ x2＋1 ＝2，④ 由①②③④解得 a＝3.
，即圆心为(1，－1)，半径为 4 的圆Βιβλιοθήκη 22 4 － 2 ＝ 62，
2
[例 7]
t x＝－1＋2 直线 y＝ 3t 2
(t 为参数)与圆 x2＋y2＝a(a>0)相
交于 A、B 两点，设 P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数 a 的 值．
[解]
法一：直线参数方程可化为：y＝ 3(x＋1) ，
代入方程 y2＝4x 整理得 t2sin 2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0①
∵点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可知，方 程①的两个实根 t1、t2 满足关系 t1＋t2＝0 sin α－cos α＝0 π ∴0≤α＜π，∴α＝4. ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线 上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根 据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的 最值、位置关系等问题．
[例 4]
x＝2＋3cos θ 设曲线 C 的参数方程为 y＝－1＋3sin
θ
(θ 为参数)，
∵cos 2t＋sin 2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1. 从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. ∴ 所 求 的 曲 线 的 参 数 方 程 为 (x － 1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝ 4( － 2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八 第2讲 选修4-4 坐标系与参数方程(共31张PPT)
=
2 m(m 为非零常数)与 ρ=b.若 2
直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率 6 为 . 3
������ = ������cos������, 解析:将椭圆 C 的参数方程 ������ = ������sin������ (φ 为参数,a>b>0)化为 标准方程为
2 4
注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线 ������ ������������ PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0.由参数方程可得 y=2 x- 2 +1.所以
������
-
������������ 2
2
= 1,
+ 1 = 2,
π 4 ������ 2=Biblioteka 2 2������ 2
+
������ 2 ������ 2
=1(a>b>0).又直线 l 的极坐标方程为 ρsin ������ +
2 2
m(m 为非零常数),即 ρ sin������·
+ cos������·
2 2
=
2 2
m,则该直
线的一般式为 y+x-m=0.圆的极坐标方程为 ρ=b,其标准方程为 x2+y2=b2.∵直线与圆 O 相切, |������ | ∴ =b,|m|= 2b.又∵直线 l 经过椭圆 C 的焦点, ∴|m|=c.∴c= 2b,c2=2b2. ∵a =b +c =3b ,∴e =������ 2 = 3. ∴e= .
从近几年的高考情况看,该部分主要有三个考点:一是平面坐标 系的伸缩变换;二是极坐标方程与直角坐标方程的互化;三是极坐标 方程与参数方程的综合应用.对于平面坐标系的伸缩变换,主要是以 平面直角坐标系和极坐标系为平台,考查伸缩变换公式的应用,试题 设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状.对于 极坐标方程与直角坐标方程的互化,是高考的重点和热点,涉及直线 与圆的极坐标方程,从点与直线、 直线与圆的位置关系等不同角度考 查,研究求距离、最值、轨迹等常规问题.极坐标方程与参数方程的 综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为 普通方程,从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算. 预计 2014 年高考中,本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐 标方程的互化、 参数方程与普通方程的互化,考查简单曲线的极坐标 方程和参数方程,试题多以填空题、解答题的形式呈现,属于中档题.