3.1.2复数的几何意义(学案)
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3.1.2 复数的几何意义
知识要点回顾：
知识点一 复平面的定义
如图所示，点Z 的横坐标为a ，纵坐标为b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表
示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二 复数的几何意义
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )及以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →是一一
对应的．
知识点三 复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.
由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．
常见题型
常见题型
题型一、复数与复平面内点的对应
例1 已知复数z ＝(a 2－4)＋(2a －3)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．
(1)Z 在实轴上； (2)Z 在第二象限； (3)Z 在抛物线y 2＝4x 上．
练习： (1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________________
(2)若复数z ＝(m ＋1)＋(m －2)i ，其中m ∈R ，则复数z 对应的点不可能位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
题型二、复数与复平面内向量的对应
例2 在复平面上，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i ，2，O 为复平面的坐标原点．
(1)求向量OA →＋OB →，AC →对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．
练习： (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是
( )
A ．－10＋8i
B ．10－8i
C ．0
D ．10＋8i
(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )
A ．－5＋5i
B ．－5－5i
C ．5＋5i
D ．5－5i
题型三、复数模的问题
例3(1)若复数z ＝(a ＋2)－2a i 的模等于5，求实数a 的值．
(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．
课后作业：
1．复数4－i 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
4．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )
A ．a ≠2或a ≠1
B ．a ≠2且a ≠1
C ．a ＝0或a ＝2
D ．a ＝0
6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．－1＋3i 或1＋3i
D ．－2＋3i
7．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <－1或a >1