主应力方向判别定
宁夏师范学院毕业论文
题目：平面应力状态下主应力方向判别新方法
指导教师： 伏振兴 职称： 副教授
学生姓名： 王德俭 学号： 0221
专 业： 物理学
院 （系）： 物理与信息技术学院
完成时间： 2010-5-24
宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）成绩评定表
姓名 院、系 专业
班级 学号
毕业论文（设计）题目
指导教师评语：
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答辩委员会综合评语：
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答辩委员会主任签字： （办公室盖章）
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摘 要
总结了现行材料力学教材中平面应力状态下最大主应力方向的判别方法——解析法和图解法,这两种方法不够理想,在计算时比较麻烦且容易出错，本文阐述了一种平面应力状态下判别主应力方向的新方法，并做出了证明和举例,发现在应用时极为简单、快捷、易行.
关键词: 平面应力状态;主应力;单元体
Abstract
Summaring the current strength of materials in plane stress state principal
stress direction discrimination method in maximum is analytical method and
graphical method, the two methods is not quite ideal, in the is very trouble and
easy to make error-prone, in this paper, I made a new method which is plane stress
identified principal stress direction, and made lots of examples to proof it At
last ,found that the application of it is extremely simple, quickly and easily.
Key words: Plane stress state; Principal stress; Unit body; Direction; Angle
目 录
摘 要 ...................................................... I
Abstract ................................................... II
一 引言 ..................................................... 1
二 基本概念 ................................................. 1
应力与应变 ................................................... 1
应力状态 ..................................................... 2
三 传统的判定方法 ........................................... 2
解析法 ....................................................... 2
图解法 ....................................................... 2
四 平面应力状态下主应力方向判别新方法 ........................ 3
结论 ......................................................... 3
对上述结论的证明 ............................................. 3
五 实例 ..................................................... 5
致 谢 ...................................................... 7
参考文献 .................................................... 8
图2-1-2 P2 P1
P
m m
K 一 引言
平面应力状态下主应力方向的确定,无论是在工程应用还是在材料力学中都是非常重要的.在工程实际问题中,受力构件的最大主应力的判定不可缺少,尤其是脆性材料的受拉部位最大拉应力的大小和方向的判定最为主要,有了正确快捷的计算结果才能更有效的改善构件的内部特征,以适应其受力特点达到构件安全的目的.主平面即极值正应力作用平面,通常情况下,主平面的位置决定着构件的破坏位置,主平面上作用的主应力的大小决定着构件强度的大小,而确定平面应力状态下主应力的方向,在笔者所阅读的书籍[1～4]中,大致是两种较为传统的判别方法,分别为解析法和图解法,这两种方法能够解决问题但比较繁琐,笔者在该篇文章中给出了一种较为简单的新的判别方法.
二 基本概念
应力与应变
当材料在外力作用下不能产生位移时,它的几何形状和尺寸将发生变化,这种形变称为应变.材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力,我们把发布内力在一点的集度称为应力;或者说物体由于外因(受力、温度变化等)而发生形变时,在物体内各部分之间产生相互作用的内力,以抵抗这种外因的作用,并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置.总起来说,应力就是在所考察的截面某一点单位面积上所承受的附加内力.
如图2-1-1所示，在截面mm上任一点K的周围取一微小面积△A,并设作用在该面积上的内力为△F,则△F与△A的比值称为△A内的平均应力,并用P表示,即FP=A,一般情况下,内力沿截面并非均匀分布,平均应力P之值及其方向将随所取面积△A的大小而异.为了更精确的描述内力的分布情况,应使△A趋于零,由此所得平均应力P的极限值,称为平面mm上K点处的应力或总应力，并用P表示，即A0FP=limA，显然，应力P的方向m Fm P2 P1
AK
图2-1-1
即F的极限方向.为分析方便,通常将应力P沿截面法向与切向分解为两个分量（图2-1-2）,沿截面法向的应力分量称为正应力,并用表示;沿截面切向的应力分量称为剪应力,并用表示.应力P与正应力、剪应力之间的关系为222P.
按照载荷作用的形式不同,应力又可以分为拉伸压缩应力,弯曲应力和扭转应力.
应力状态
物体受力作用时,其内部应力的大小和方向不仅随截面的方位而变化,而且在同一界面上的各点处也不一定相同.通过物体内一点可以作出无数个不同取向的截面,其中一定可以选出三个互相垂直的截面,在它上面只有正应力作用,剪应力等于零,用这三个截面表达的某点上的应力,即称为此点的应力状态.三个主应力不相等且都不等于零的应力状态称为空间(三向、三轴、三维)应力状态,有两个主应力不等于零的应力状态称为平面(二向、双轴、二维)应力状态, 有一个主应力不等于零的应力状态称为单向(或单轴)应力状态.
三 传统的判定方法
解析法
在材料力学教科书[1～4]中,用解析法确定主应力方向的方法如下:
平面应力状态下,一点的主应力为:
maxminσσ 22+++22xyxyxy ①
两主应力max和min与单元体上所设x轴的夹角由下式确定
02tan2xyxy ②
式中x和xy是法线与x轴平行的面上的正应力和切应力;y和yx(式中未出现)是法线与y轴平行的面上的应力.
求出0及0090,然后分别代入公式
cos2sin222xyxyx ③
计算出两个主应力0及0090的值,再比较二者的大小,方能确定两个主应力分别x轴的夹角,最后判断出两个主应力的方向.
图解法
同样的,在[1～4]中用图解法确定主应力的方法如下:
先将单表单元体(图3-2-1)上x、xl及D1点到轴上的A1点弧长
11DA找到，量出
11DA所对圆心角02,在据02转动方向确定其正负号（顺时针转为负,逆时针转为正）,知道了02大小及方向,然后在单元体上自x作用的平面法线方向起量出一个角0,转向与02转向相同,再根据应力圆A点坐标的正负号,就可以确定出1的方向(图3-2-2).
四
平面应力状态下主应力方向判别新方法
结论
显然,传统的判别方法比较繁琐,笔者参阅了其他文献资料[5～12],总结其在该问题上的见解,得出了一种新的判别的简单方法:
在求出主应力后,用公式②求出α0和α0+90o,然后比较σx与σy的大小（按带数量），若σx>σy,则主用力 σmax 与x 轴的夹角为α0;若σx
对上述结论的证明
在公式③中,随α角的改变而改变,也就是说是α的函数,在这里,我们根据数学的极值问题,将分别对α求一阶导数及二阶导数：
sin22cos2xyxdd ④222cos24sin2xyxdd ⑤ 图3-2-1 x xy y
1yx2
图3-2-2
C D2 D1
O A1 A2 002E
同一点应力状态的三个主应力数值
同一点应力状态的三个主应力数值
在力学中，应力是指物体内部受到的力的作用。在三维空间中，一个点的应力状态可以由三个主应力来描述，分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力。
无论力的方向如何，应力状态在一个点处总是具有对称性，即主应力方向相互垂直且大小按由大到小的顺序排列。应力状态越复杂，三个主应力的差异也越大。
最大主应力是应力变化中最强的。如果一个物体承受一条单向载荷，最大主应力就在这个方向上。而如果一个圆柱体在一个向上的载荷下，最大主应力将位于圆柱体底部。
中间主应力表示两个最大和最小主应力之间的应力。在一个均匀的球形体受到的压力相等时，中间主应力的值等于零。
最小主应力是应力状态中最弱的。最小主应力的值与应力最强的方向相垂直。在一个圆柱体上，最小主应力位于圆柱体的侧面上。
三个主应力的数值可以用数学公式来计算。一个三维应力状态可用一个张量来描述，它被称为应力张量。应力张量可以表示为一个3×3的矩阵，其中每个元素代表一个分量。根据线性代数，应力张量可对称分解为三个正交矩阵，每个矩阵对应一个主应力方向和大小。最大主应力的大小等于应力张量的最大特征值，中间主应力的大小则等于次大特征值，而最小主应力的大小就等于最小特征值。
三个主应力的数值决定了一个物体在应力下的断裂点。在工程学中，登录这些应力的值非常重要。例如，在地震工程中，地震的荷载将产生最大主应力，因此可以在修建建筑物之前对地震的强度进行评估。在地质工程中，岩石层的抗拉强度对于油气开采来说是非常重要的，而最小主应力决定了产储层中的裂缝走向。
总之，同一点的三个主应力的数值是描述物体应力状态必不可少的三个参数。通过计算这些值，可以更好地理解物体在不同应力下的响应和行为，从而有助于进行工程设计、地震评估、油气勘探等应用。
应力状态详解
应力状态详解
应力状态分类
根据常规地质学和地球物理的一般规定，定义压应力为正，S1﹥S2﹥S3，S1为最大主压应力，S3为最小主压应力。应力资料的构造特征如下图所示。
上图是应力状态特征分类图
根据应力资料三个应力主轴（震源机制解为P、B、T轴）的空间取向，将各类应力资料所反映的应力状态分为6种：
正断型：S1（或P）轴接近垂直，其它两个轴的俯角较小。
正走滑型：S1（或P）轴俯角较大，而S3（或T）轴接近水平。
走滑型：S2（或B）轴俯角较大，同时S1（或P）轴和S3（或T）轴的俯角较小，至少有一个接近水平。
逆走滑型：S1（或P）轴接近水平，这时S3（或T）轴有较大的俯角。
逆断型：S3（或T）轴俯角较大，接近直立，同时S1（或P）轴和S2（或B）轴的俯角较小。
无法确定：三个应力主轴S1（或P）、S2（或B）和S3（或T）都有一定的俯角，且比较接近。
同时根据所确定的应力状态，给出相应水平最大主应力的方位，具体划分标准见下表。
应力状态定义 S1（或P）俯角(°) S2（或B）俯角(°) S3（或T）俯角(°) 水平最大主
应力方位
正断型 ≥52 ＜35 取S2（或B）方位
正走滑型 40≤俯角＜52 ＜20 S3（或T）方位 + 90
走滑型 ＜40
＞45 ＜20 S3（或T）方位 + 90
＜20 取S1（或P）方位
逆走滑型 ＜20 40≤俯角＜52 取S1（或P）方位
逆断型 ＜35 ≥52 取S1（或P）方位
无法确定 三个应力主轴的俯角都在25°到45°范围内，或S1（P）轴和S3（T）轴俯角较为接近，都在40°到50°之间 取S1（或P）方位
ansys最大主应力 中间主应力 最小主应力 应力三轴度
ansys最大主应力 中间主应力 最小主应力 应力三轴度
在工程领域中，了解材料的受力情况对于设计和分析至关重要。其中，应力是一个关键的概念。应力的理解有助于我们对材料行为和结构表现进行更深入的研究。而一个常见的应力分析工具就是ANSYS软件。本文将针对ANSYS中的最大主应力、中间主应力和最小主应力以及应力的三轴度进行详细探讨，并分享一些我个人对这些概念的理解和观点。
1. 最大主应力：
最大主应力是在材料中发生的最大应力值。在使用ANSYS时，最大主应力可以通过应力云图或应力分布图来获得。最大主应力是应力张力和压缩的最大值，对于材料的破坏和变形具有关键影响。
在进行结构设计或工程分析时，最大主应力的理解至关重要。通过确定最大主应力的位置和值，我们可以判断出结构中的高应力区域，从而进行相应的优化和改进。在工程实践中，最大主应力往往用于确定结构的安全边界和疲劳寿命。
2. 中间主应力：
中间主应力是指在材料中发生的第二大的应力值。它是最大主应力和最小主应力之间的中间值。在ANSYS中，中间主应力可以通过应力云图或应力分布图来观察和分析。
中间主应力在材料的破坏和变形中起着重要的作用。通过了解中间主应力的分布情况，我们可以判断结构中的应力状态，并进一步推导出其对材料性能和结构行为的影响。当中间主应力接近零时，材料更容易发生塑性变形；而当中间主应力值较大时，材料更容易发生开裂和破坏。
3. 最小主应力：
最小主应力是在材料中发生的最小应力值。它是应力张力和压缩的最小值。最小主应力的了解对于材料的变形和疲劳行为具有重要意义。
最小主应力通常用于判断材料的变形和疲劳寿命。当最小主应力值较小时，材料具有较低的应力集中和变形能力，因此更容易达到寿命极限。通过对最小主应力的分析，我们可以预测结构中可能出现的疲劳破坏点，并进行适当的设计改进。
4. 应力三轴度：
应力三轴度是指材料中应力状态的三个独立参数。在ANSYS中，应力三轴度可以通过应力场或应力分布图来观察和分析。应力三轴度包括最大主应力、中间主应力和最小主应力。
应力正负号规则
应力正负号规则
应力正负号规则是力学中的一项基本原则，用于描述不同类型物体上的应力分布。通过对应力的正负号进行判断，我们能够更好地理解和分析物体的力学性质。本文将从简单的概念入手，逐步深入探讨应力正负号规则。
1. 应力的基本概念
在力学中，应力是指单位面积上作用的力。根据力的作用方向不同，可分为正应力和剪应力两种。
- 正应力：垂直于物体表面的力称为正应力。正应力可用正数来表示，表示物体受到拉伸的情况。
- 剪应力：平行于物体表面的力称为剪应力。剪应力可用正负号表示，表示物体受到剪切的情况。正号表示剪应力的方向与某一参考方向一致，负号表示方向相反。
2. 应力正负号规则的基本原理
在分析物体上的应力分布时，我们常常需要根据应力的正负号来确定物体上各个点所受的力的方向。应力正负号规则是基于牛顿第三定律得出的，即作用力与反作用力大小相等，方向相反。
- 如果某一点的应力正号，则该点上的力与某一参考方向一致。
- 如果某一点的应力负号，则该点上的力与某一参考方向相反。
3. 应力正负号规则在静力学中的应用
在静力学中，应力正负号规则可以用于解决各类问题。以下是一些典型应用场景：
3.1 简支梁受力分析
在简支梁的受力分析过程中，根据应力正负号规则可以判断梁上各个截面上的正应力和剪应力的方向。这对于确定梁在不同截面上的受力情况至关重要。
3.2 杆件的轴向拉伸和压缩
根据应力正负号规则，当杆件处于拉伸状态时，应力为正，表示拉伸方向与某一参考方向一致；当杆件处于压缩状态时，应力为负，表示压缩方向与某一参考方向相反。
3.3 常见结构的稳定性分析
在分析各类结构的稳定性时，应力正负号规则可用于确定结构上各点的受力情况，以评估结构是否处于稳定状态。
4. 应力正负号规则的深入理解
除了在静力学中的应用，应力正负号规则还可以帮助我们更深入理解力学概念和原理。以下是一些思考点：
直角应变花算主应力
直角应变花用于测量材料表面的应变，并通过这些测量值计算出主应力。
具体计算步骤如下：
1. 测量应变：使用直角应变花（通常有0°、45°、90°三个角度的应变片）测量得到三个方向的应变值ε_a、ε_b和ε_c。
2. 计算主应变：根据测得的应变值和已知的角度θ_a、θ_b和θ_c，利用以下公式计算出主应变ε_x、ε_y以及剪应变γ_xy：
- ε_x = ε_acos²(θ_a) + ε_ysin²(θ_a) + γ_xysin(θ_a)cos(θ_a)
- ε_y = ε_bcos²(θ_b) + ε_ysin²(θ_b) + γ_xysin(θ_b)cos(θ_b)
- γ_xy = 2(ε_b - ε_a)/sin(2θ_a)
3. 计算主应力：得到主应变之后，可以使用胡克定律结合被测材料的弹性模量E和泊松比ν来计算主应力σ_x、σ_y。计算公式如下：
- σ_x = E(ε_x + νε_y)
- σ_y = E(ε_y + νε_x)
4. 确定主应力方向：如果主应力的方向未知，则需要使用三轴或四轴应变花来同时测量多个方向上的应变，从而确定主应力的方向。
确定主应力大小和方向问题分析解读
确定主应力大小和方向问题分析
基础部 秦定龙
一 问题的提出
在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题， 以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一
（a）
q
(a) 图二
(b)
上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二 主应力大小及方向的确定方法
图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为y，它们的大小和方向已经求出。现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压
应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，角是负值。
地应力方向测试标准
地应力方向测试标准
一、测试目的
地应力方向测试的目的是确定地应力场中最大主应力、最小主应力的方向，为地质灾害的预防和工程设计提供重要依据。
二、测试原理
地应力方向测试通常采用应力解除法进行。该方法通过在岩体表面钻孔，并在孔内安装应力传感器，测量岩体在孔底的应力变化情况。根据测量结果，可以确定地应力场的主应力方向。
三、测试步骤
1.选取测试点，确定测试位置。
2.在测试点进行钻孔作业，孔深根据实际需要确定。
3.在钻好的孔内安装应力传感器，并确保传感器与孔壁紧密接触。
4.连接数据采集系统，对传感器进行初始化。
5.进行应力解除试验，记录应力变化数据。
6.对采集到的数据进行处理和分析。
四、数据处理及分析
1.对采集到的应力变化数据进行整理，提取最大主应力、最小主应力的方向。
2.利用统计方法对测试结果进行分析，得出地应力场的主应力方向分布规律。
3.根据分析结果，制定相应的工程措施或地质灾害防治方案。 五、测试结果应用
1.工程设计：根据地应力方向测试结果，合理规划工程设施的布局和结构形式，避免与地应力场发生冲突，提高工程设施的安全性和稳定性。
2.地质灾害防治：根据地应力场的主应力方向分布规律，制定针对性的地质灾害防治措施。例如，在断裂带附近应着重防范地震灾害，在地形切割强烈的地区应防范滑坡等地质灾害。
六、测试报告编写
1.测试报告应包括以下内容：测试目的、测试原理、测试步骤、数据处理及分析结果、测试结果应用建议等。
2.测试报告应简明扼要，重点突出，易于理解。报告中的数据应准确、清晰，分析结论应客观、中肯。
3.测试报告应按照规范格式进行编写，包括封面、目录、正文等内容。报告的格式应统一、规范，以便于存档和查阅。
七、测试质量要求
1.测试点选取要具有代表性，能够反映地应力场的整体特征。测试点数量应根据实际需要确定，但不应少于三个。
2.应力传感器安装要牢固，与孔壁紧密接触。传感器应具有良好的稳定性和灵敏度，能够准确反映应力变化情况。
一种确定断层运动方式和主应力方向的方法
一种确定断层运动方式和主应力方向的方法
一种确定断层运动方式和主应力方向的方法是地震探测方法，也叫P波探测法。采用这种方法可以有效地确定断层位置、形态、运动方式及其主要活动压力方向，为地震勘探工作提供重要信息。
P波探测法是一种利用地震波传播特性来实现断层位置、形态、运动方式及其主要活动压力方向确定的方法。该方法的核心原理是利用地震波传播特性，将地震波分解成多个不同频率的地震波，利用不同频率的地震波的时程特征，从中提取出断层位置、形态及其主要活动压力方向等信息，从而确定其运动方式。
P波探测法的具体步骤包括：第一，将地震波分解为多个相对独立的频率域，并绘制其波形图；第二，通过比较地震波活动前后的时程特征，分析断层的位置、形态及其主要活动压力方向；第三，确定断层的运动方式。
首先，探测者发射一系列高频地震波，这些地震波以某一特定频率传播，并将整个地震波分解成多个相对独立的频率域。然后，可以通过比较地震波活动前后的时程特征，分析探测到的地震波，从而确定断层的位置、形态及其主要活动压力方向。
具体来看，地震波传播到探测者发射的地震波之前，其时程特征是一条线；而地震波传播到断层之后，其时程特征会出现断层所在位置，从而可以确定断层的位置；此外，通过观察地震波时程特征中出现的锯齿状线条，可以确定断层的形态；另外，由于地震波传播时，会在不同的频率域受到不同的折射、反射等作用，因此通过分析不同频率域地震波的时程特征，可以确定断层的主要活动压力方向。最后，通过观测断层的位置、形态及其主要活动压力方向，可以确定断层的运动方式，从而实现对断层的定位、形态及其主要活动压力方向的确定。
P波探测法是一种确定断层位置、形态、运动方式及其主要活动压力方向的有效方法，其精确性取决于地震波传播特性，受地表及地壳结构影响较大，因此在实际应用中需要结合地质、地球物理等其他地学资料，以确保提取的信息的准确性及可靠性。
平面应力状态的判定
平面应力状态的判定
引言：
在工程力学中，平面应力状态是指一个物体在两个相互垂直的平面上受到的力的状态。判定平面应力状态的方法有很多，本文将介绍三种常用的判定方法：应力分量判定法、应力变化率判定法和应力主值判定法。
一、应力分量判定法
应力分量判定法是通过分析物体在平面上的应力分量来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为三种情况：
1. 等应力状态：当物体在平面上的应力分量相等时，即σx = σy，这种情况下物体处于等应力状态。在等应力状态下，物体内部各处受到的应力是相同的，不会出现应力集中现象。
2. 纯压应力状态：当物体在平面上的一个应力分量为零，另一个应力分量不为零时，即σx = 0，σy ≠ 0或σx ≠ 0，σy = 0，这种情况下物体处于纯压应力状态。在纯压应力状态下，物体受到的应力是等方向的，不会引起物体的形变和变形。
3. 剪应力状态：当物体在平面上的两个应力分量都不为零且不相等时，即σx ≠ σy，这种情况下物体处于剪应力状态。在剪应力状态下，物体内部各处受到的应力方向不同，会引起物体的形变和变形。
二、应力变化率判定法
应力变化率判定法是通过分析物体在平面上的应力变化率来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为两种情况：
1. 等应力变化率状态：当物体在平面上的应力变化率相等时，即dσx/dx = dσy/dy，这种情况下物体处于等应力变化率状态。在等应力变化率状态下，物体内部各处受到的应力变化率是相同的，不会出现应力集中现象。
2. 剪应力变化率状态：当物体在平面上的应力变化率不相等时，即dσx/dx ≠ dσy/dy，这种情况下物体处于剪应力变化率状态。在剪应力变化率状态下，物体内部各处受到的应力变化率不同，会引起物体的形变和变形。
三、应力主值判定法
应力主值判定法是通过计算物体在平面上的主应力来判定平面应力状态。平面应力状态可以分为三种情况：
1. 等主应力状态：当物体在平面上的两个主应力相等时，即σ1 =
平面问题主应力与主应变方向确定的简捷方法
洛阳师范学院学报２００７年第２期
平面问题主应力与主应变方向确定的简捷方法
杨俊森，李作良，徐红玉，王彦生
（河南科技大学建筑工程学院，河南洛阳４７１００３）
摘要：平面应力和平面应变状态下主应力和主应变方向的确定，无论是在工程应用还是
在材料力学教学中都是非常重要的难点。本文提出了一种既易于理解又便于掌握的简捷
实用方法。 关键词：平面应力状态；主应力；平面应变；简捷方法 中图分类号：Ｇ６４２．４７４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—４７９０（２００７）０２－０１５７—０３
收稿日期：２００６一ｌ１—１６ 作者简介：杨俊森（１９５４一），男，河南淅川人，讲师。
１问题的提出
对于图１所示基本单元体的应力图，０－
和Ｏｔ。的符号规定在一般材料力学教
材中都是一致的，为叙述方便而又不失一般性， 将ｘｙ平面内的最大与最小正应力（即主应力）分
别记为 、 ，同时对应地将０－ 与 轴正向之
间的夹角记为Ｏｔ ，将０－ 与 轴正向之间的夹角
记为Ｏｔ ，则由文献［１］有：
Ｊ’ｔ
图１平面基本单元应力图
Ｏ＂１０＂ ｍａｘ＝·０＂ｘ ２Ｉ－０＂ｙ √、０＂ｘ －０＂＞＇，２ ２ ２ ｜ｌｉ ２ 一 、 ２ ’。
（１）
ｔａｎ２ 。：一 （２）
由公式（１）、（２），两个主应力的大小和方向 可以求得。但问题在于由式（２）求出的是相差９０ 度的两个角度，即图１中两个主应力与两个主方 向角 如何对应。由文献［１］可知：在平面
应变状态分析中的 、 、等分别相当于二
向应力状态中的 且有公式：
：｝＝字±√ｃ ｃ ，
（３）
ｔａｎ２ 一 （４）
同样存在着仅由公式无法确定主应变 、
与主应变方向角Ｏｔ Ｏｔ 之间的对应关系。
近年来也有不少论文 ｔ · ， · 对该问题做了论
述，归纳起来有以下几中方法： １．借助应力圆或应变圆通过图解法来判断
第一主应力或主应变及其方位角。
２．先利用式（２）或式（４）求出 。、Ｏｔ。＋ ，－ｆ代