一类非线性色散波方程的低正则解
一类色散耗散波动方程的整体强解
究 ９ 考 虑 到实 际物 理 背 景 中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 性耗 散 不可 避 免［－］ 则 可得 到 一 些 主部 为 “ 一 一“ 一 ～ 的非线 性 －． ］ ］ｕ ， ０ 色散 波动 方程 ［ ２ ０ １ ０ ０年 尚亚 东在 文献 Ｅ ２ 中用 Ｇａｅｋｎ方法 与 能量估 计研 究 了如下 方程 的初 边值 问题 ， １］ ｌｒ ｉ
ｔ ｅ ｐ ｔ ｎ ｉｌｗｅ ｌ ｒ ｕ ｅ ｔｗｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｌ ｂ ｌ ｓ ｒ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｎ ｉ ｅ ｔ ｅ ｉ ｖ ｒａ ｅ ｆ ｈ ｏ ｅ ｔ ｌ ａ ｇ ｍ ｎ ｉ ｃ ｓ ｈ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆｇ ｏ ａ ｔ ｏ ｇ ｓ ｌ ｔ ｓ ａ ｄ ｇ ｖ ｈ ｎ ａ ｉ ｎ ｅ ｏ ａ ｏ ｓ ｍｅ ｓ ｔ ｆｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｔ ｈ ｒ ｂ ｅ ｕ ｄ ｒｔ ｅ ｆｏ ｏ ｅ ｓｏ ｈ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｅ ｈ ｌ ｗ．
０ ＜ ∞ （ ＜ 一 ２ ． ）
（） ３ （ 一３ ； ， ） ｚ
其基 本模 型 方程 是
． 甜 一△ － Ａ ｃ ｕ ： 一 ｌ ， Ｕ ｕ—Ａ ｛
～
收 稿 日期 ： ０ １—１ —０ ２１ ２ ７
基 金 项 目 ： 龙 江 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ０ ４ ； 龙 江 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 项 目（２ １６ ０ 黑 Ａ２ １ １ ） 黑 １５１１） 第 一 作 者 ： 秀凤 （ ９ ６ ）女 ， 江 绍 兴 人 ， 齐 哈 尔 大 学 教 授 ， 要 从 事 微 分 方 程 方 向研 究 ． － ｉ ｌｙ ｘ８ ７ １６ ｃｍ 堵 １５ 一 ， 浙 齐 主 Ｅ ｍａ ： ｄ ｆ０ ＠ ２ ．ｏ ｌｘ
一类带三阶色散项的修正非线性Schrodinger方程的精确解析解
已有 文 献 ［ ３ １ ］ 反散 射 变换 方 法 和相 平 面 分析 方 法 分 别求 出它 们 的钟 状 孤立 子 解 和包 络 孤 立波 解 ． １— ４ 用 本 文 的 目的是 寻求 如 下 一类 带 三 阶色 散项 的修 正 的非 线 性 Ｓｈ６ ｉｇ ｒ方 程 ｃｒｄｎ ｅ ＋ 州 ＋ ＋ Ｉ Ｉ ＋ Ｉ Ｉ ＋ ／（ ２ Ｉ Ｉ） 一 ０ （） ４ 的精 确解 ． 先 ， 首 我们 借 助 于一 个 标 准 的 函数 变换 将 方 程 （ ） ４ 化成 一 个 二 阶非 线 性 常微 分 方程 ， 接着 ， 通过 几 种 不 同的假 设 求 得所 约 化 得 到 的非 线性 常 微 分 方程 的几 类 精 确 解 ， 而 得 到 带 三 阶 色 散项 的修 正 的非 从 线 性 Ｓｈ ６ ｉｇ ｒ方 程 （ ）的显 式 精确 平 面 波解 、 ｃ ｒｄ ｎ ｅ ４ 孤立 波 解 、 奇异 行 波解 、 三角 函数 周期 波 解 和有 理 分 式代
关 键 词 ：非线性 Ｓｈ６ｉ ｅ方程； ｃｒ ｎ ｒ ｄｇ 三阶色散项； 推广的双曲函数方法； 孤立波解； 周期波解 中 图 分 类 号 ： Ｏ ７． １５２ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： １０—６９（０８一１ ０ １ ７ ０８９５一２０） — １— ００ ０
非 线性 Ｓｈ ６ ｉｇ ｒ方 程 可用 于 描述 光 孤子 的演 化 过程 （ ［ ３ ） ｃｒｄ ｎ ｅ 见 １— ］ ．为 了解 释 对 于更 窄 的脉 冲 和更 大 的输 入 功率 而 导 致 的输 出 脉 冲频 谱 的 不对 称 调 制 和 频 率 自漂 移 ， 多 人 考 虑 在 非 线 性 Ｓｈ６ ｉｇ ｒ方 许 ｃｒｄ ｎ ｅ 程 中加 入某 些 高 阶项 （ 包括 高 阶色 散项 和 高 阶非 线 性 项 ）在 文 献 ［ Ｏ １ ］中 ， 者 利 用 奇 异摄 动 多 重 尺 度 导 作
求解RLW方程的能量守恒有限差分格式
第35卷第2期2022年6月Vol.35No.2Jun.2022闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式刘佳垚,王晓峰,钟瑞华（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）摘要：对正则长波（RLW ）方程建立一个三层外推型线性差分格式,所建差分格式满足能量守恒,并且在时间和空间上均达到二阶精度.用离散能量法证明了所建格式的收敛性以及解的存在唯一性,且通过数值实验验证了格式的有效性和精度.关键词：正则长波方程；差分格式；守恒性；收敛性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：2095-7122（2022）02-0008-06Energy-conserving finite difference scheme for the RLW equationLIU Jiayao,WANG Xiaofeng *,ZHONG Ruihua(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:A three-level extrapolated linear difference scheme is established for the Regular Long Wave (RLW)equation.The scheme is energy conserving and has the second-order accuracy in time and space.The convergence,the existence and uniqueness of the solution are proved by the discrete energy method.Numerical experiment is given to confirm the effectiveness of the scheme.Key words:RLW equation;difference scheme;conservation;convergence在1966年，Peregrine [1]首次提出了一类非线性演化方程即正则长波（RLW ）方程,在非线性色散介质的长波研究中,该方程可描述大量的物理现象,且它所描述的运动可以与KdV 方程有相同的逼近阶,能够很好地模拟KdV 方程的几乎所有应用,因此对RLW 方程的研究无论在理论上还是在应用上都有非常重要的价值.有许多求解RLW 方程常用的数值方法,如有限差分法[2]、重心插值配点法[3]、拟谱法[4]和有限元方法[5]等.余跃玉等[6]通过对RLW 方程的非线性项的线性化处理给出了一种新的线性有限差分格式.孙建安等[7]利用紧致有限差分和龙格库塔方法对RLW 方程在空间和时间进行离散,从而解决了对空间与时间混合导数的离散问题.陈佳欣等[8]对广义的RLW 方程初边值问题提出了两层线性守恒差分格式和三层非线性守恒差分格式.考虑如下RLW 方程的初边值问题u t -u x +μu xxt +γuu x =0 x L <x <x R 0<t ≤T ，（1）u (x 0)=φ(x ) 0≤x ≤L ，（2）u (0 t )=0u (L t )=0 0<t ≤T ，（3）其中μ γ为正常数,φ(0)=φ(L )=0.由能量方法可得得到式(1~3)满足如下守恒律收稿日期：2022-04-08基金项目：福建省自然科学基金(2020J01796).作者简介：刘佳垚(1999-),女,河南南阳人,硕士生.*通信作者.E-mail:***************刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期E (t )=∫0L u 2(x t )d x +μ∫0L u 2x(x t )d x =E (0).本文对式(1~3)构造线性Crank-Nicolson 外推型格式,在时间和空间上均达到二阶精度,构造的差分格式的系数矩阵是三对角矩阵,同时利用离散能量法证明了格式的收敛性、解的唯一可解性和守恒性,同时用数值实验的结果验证了理论分析的可靠性和有效性.1差分格式的构造将区域[x L x R ]´[0 T ]作网格剖分,令空间步长h =(x R -x L )/J ,时间步长τ=T /N ,其中J N 为正整数,记x j =x L +jh (0≤j ≤J )t n =n τ(0≤n ≤N ).设u n j »u (x j t n )为数值解,记Z 0h ={u =u (u j )|u 0=u J =0 0≤j ≤J }.对任意的u n v n ÎZ 0h ,定义如下符号：u n +12j=u n +1j +u n j2(u n j)x =u n j +1-u njh(u nj)x ˉ=u n j -u nj -1h(u n +12j )t =u n +1j -u n j τ(u nj )x =u n j +1-u nj -12hu nvn=h ∑j =1J -1u n j v nj |u n|1=h ∑j =1J -1()u n j2x||u n ||2=u n u n ||u n ||¥=max 1≤j ≤J -1|u n j |.对式(1~3)考虑如下差分格式：(u n +12j)t-μ(u n +12j)xxˉt +γψ(32u n j -12u n -1ju n +12j )+(u n +12j)x =0，（4）u 0j =φ(x j ) 0≤j ≤J -1，（5）u n 0=0 u n J =0 0≤n ≤N ，（6）其中ψ(v j ωj )=13éëêv j (ωj )x +(v j ωj)x ùûú 1≤j ≤J -1.由于式(4)是一个三层差分格式,采用如下两层格式来计算u 1(u 12j)t -μ(u 12j)xxˉt +γψ(u 0j u 1j)+(u 12j )x =0 1≤j ≤J -1（7）其中u 12=12(u 0+u 1).2差分格式的守恒性引理1[9]对任意的u n v n ÎZ 0h ,则有u n x ˉ v n=-u n v n xu n x v n=-u n v n x u n xx ˉ v n =-u n x v nx .当u n =v n 时，有u n x un=0 u n xx ˉ u n=-|u n |21.引理2[9]对任意的u n ÎZ 0h ,则有-h ∑j =1J -1(u n j)xxˉu n j =|u n |21 ||u n||¥≤u n|1 ||u n ||≤L 6|u n |1 |u n |21≤4h 2||u n ||2.引理3[9]对任意的u n v n ÎZ 0h ,则有ψ()u n v n v n =0.92022年闽南师范大学学报（自然科学版）定理1设u0ÎH2[xLxR],u(x t)ÎC4 3x t[x L x R],则式(4~6)是满足能量守恒的,即E n=||u n||2+μ|u n|21=E n-1= =E0.证明将式(4)与2u n+12作内积得u n+12 t 2u n+12-μu n+12xxˉt2u n+12=0 （8）由引理1和引理3得u n+12 t 2u n+12=hτ∑j=1J-1[](u n+1j)2-(u nj)2=hτ(||u n+1||2-||u n||2)u n+12xxˉt2u n+12=hτ∑j=1J-1(u n+1j-u n j)xxˉ()u n+1j+u nj=hτ(∑j=1J-1u n+1j(u n+1j)xxˉ-∑j=1J-1u n j()u n j xxˉ)=-hτ(|u n+1|21-|u n|21).整理式(8)可得(||u n+1||2-||u n||2)+μ(|u n+1|21-|u n|21)=0 即||u n+1||2+μ|u n+1|21=||u n||2+μ|u n|21.（9）由E n的定义,由式(9)的n递推可得E n=E n-1= =E0.3差分格式的唯一可解性定理2式(4~6)是唯一可解的.证明用数学归纳法来证明,因u0由式(5)确定,由式(7)可计算u1,则u0和u1是唯一确定的.设u0 u1 u n(n≤N-1)是唯一可解,考虑关于u n+1的齐次线性方程组1τu n+1-μτu n+1xxˉ+16(32u n-12u n-1)u n+1x+16éëêê(32u n-12u n-1)u n+1ùûúúx=0 （10）将式(10)与u n+1作内积,又由引理1和引理3可得1τ||u n+1||2+μτ|u n+1|21=0.又由引理2得0≤1τ||u n+1||2+6μτL2||u n+1||2≤1τ||u n+1||2+μτ|u n+1|21=0因而||u n+1||=0,故差分格式(4~6)是唯一可解的.4差分格式解的收敛性引理4[9]（离散的Gronwall等式）假设{G n/n³0}是非负数列,且满足G0≤A G n≤A+Bk∑i=1n-1G i n=1 2 .其中A和B均为非负数,则G n=Ae Bnk n=0 1 2 .引理5[9]对任意的u nÎZ0h,有如下关系成立||u||2¥≤||u||×|u|1，对任意的ε>0,有||u||2¥≤ε|u|21+14ε||u||2.10刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期定理3设{u n j |0≤j ≤J -1 0≤n ≤N }是差分格式(4~6)的解,{U nj |0≤j ≤J -1 0≤n ≤N }是问题(1~3)的解,令e n j =U n j -u nj 则存在常数C ,使得||e n ||¥≤C (τ2+h 2)其中正常数C 不依赖于τ和h ,且在不同位置有不同的取值.证明式(4~6)的截断误差为r nj=(en +12j)t-μ(e n +12j)xxˉt +(e n +12j)x +γéëêêψ(32U n j -12U n -1j U n +12j )-ψ(32u n j -12u n -1j u n +12j )ùûúú （11）1≤j ≤J -1 1≤n ≤N -1e 0j =0 1≤j ≤J e n 0=0 e nJ =0 0≤n ≤N将式(11)与2e n +12作内积得r n 2e n +12=1τ(||e n +1||2-||e n ||2)+μτ(|e n +1|21-|e n |21)+γéëêêùûúúψ()32U n -12U n -1 Un +12-ψ()32u n -12u n -1 u n +122e n +12（12）r n 2e n +12≤||r n ||2+||e n +12||2（13）同时有éëêêùûúúψ()32U n -12U n -1 Un +12-ψ()32u n -12u n -1 u n +122e n +12=-h 2∑j =1J -1e n j e n +12j (U n +12j )x +h 6∑j =1J -1e n -1j e n +12j (U n +12j )x +h 2∑j =1J -1e n j U n +12j(e n +12j )x -h 6∑j =1J -1e n -1jU n +12j (e n +12j )x ≤C (||e n ||2+||e n -1||2+|e n +12|21).（14）将式(13~14)代入(12)中,可得1τ(||e n +1||2-||e n ||2)+μτ(|e n +1|21-|e n |21)≤||r n ||2+||e n +12||2+C (||e n ||2+||e n -1||2+|e n +12|21)≤C (||e n +1||2+||e n ||2+||e n -1||2+μ|e n |21+μ|en +1|21)+||r n ||2.（15）令G n =||e n ||2+μ|e n |21,则式(15)可写成G n +1-G n ≤C τ(G n +1+G n +G n -1)+τ||r n ||2，（16）将式(16)中的n 替换为l ,并将式l =1到l =n 求和可得Gn +1-G 1≤C τ∑l =0n +1G l+τ∑l =1n||r l ||2.对于τ足够小,即1-3C τ>23有Gn +1≤92C τ∑l =1nG l+32τ∑l =1n ||r l ||2+C (τ2+h 2)2 其中τ∑l =1n ||r l ||2≤τn max 1£l £n||r l ||2≤CT (τ2+h 2)2G 0=||e 0||2+μ|e 0|21=0 G 1=||e 1||2+μ|e 1|21≤C (τ2+h 2)2.由离散Gronwall 不等式得G n +1≤C (τ2+h 2)2,从而||e n ||≤C (τ2+h 2),|e n |1≤C (τ2+h 2).最后由引理5可得||e n ||¥≤C (τ2+h 2).112022年闽南师范大学学报（自然科学版）5数值实验为验证三层外推型结构式(4~6)的稳定性和守恒性,选取以下模型问题：u t -ux+uxxt+uux=0，（17）初始条件为u0(x )=A sech2(kx+δ)，已知方程的精确解[6]为u(x)=A sech2(kx-ωt+δ)，其中A=3a21-a2k=a2ω=a2(1-a2).设||e||¥=||U n-u n||¥=max1≤j≤J-1|U nj-u nj|.其中U nj =u(xjtn)为精确解,u nj为式(4~6)的解.定义空间和时间的收敛阶为Order=log2(||e(τ h)||¥/||e(τ2 h2)||¥).取xL =-30,xR=40,T=10,h=0.5,τ=h对式(4~6)进行计算,不同时刻的数值解和数值解的3D图像见图1.分别取τ=h=0.5,h=τ=0.25,h=τ=0.125和h=τ=0.0625在同一时刻里不同步长下的误差和格式精度的计算结果见表1,从表1中可以看到所建格式收敛阶为二阶.分别取τ=h=0.5,h=τ=0.25和h=τ= 0.125时能量守恒量的数值模拟见表2.图1不同时刻的数值解(左)和数值解的3D图像(右)Fig.13D image of exact solution and numerical solution(left)and numerical solution(right).表1在T=10下不同步长下的误差和格式精度Tab.1Error and convergence at T=10with different step sizes.步长h=τ=0.5 h=τ=0.25 h=τ=0.125 h=τ=0.0625误差2.4615×10-26.1594×10-31.5443×10-33.8685×10-4收敛阶Order—1.99871.99591.9971xxtU12刘佳垚，等：求解RLW 方程的能量守恒有限差分格式第2期从表2可以看出，所建立差分格式保持了很好的能量守恒性.参考文献：[1]PEREGRINE D H.Calculations of the development of an undular bore[J].Journal of Fluid Mechanics,1966,25(2):321-330.[2]何育宇,王晓峰,陆东,等.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):17-21.[3]谢晓波,庞晶.重心插值配点法求解一类正则长波方程[J].内蒙古工业大学学报(自然科学版),2019,8(6):401-406.[4]DJIDJELI K,PRICE W G,TWIZELL E H,et al.A linearized implicit pseudo‐spectral method for some model equations :the regularized long wave equations[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2003,19(11):847-863.[5]OMRANI K.The convergence of fully discrete Galerkin approximations for the Benjamin –Bona –Mahony (BBM)equation [J].Applied Mathematics and Computation,2006,180(2):614-621[6]余跃玉.正则长波方程的一个线性化差分格式[J].四川文理学院学报,2012,22(5):25-29.[7]孙建安,吴广智,贾伟.一种求解RLW 方程的紧致差分格式[J].西北师范大学学报(自然科学版),2015,51(4):38-41.[8]陈佳欣,邵新慧.求解广义正则长波方程的新型守恒差分方法[J].沈阳大学学报(自然科学版),2018,30(2):163-172.[9]孙志忠,非线性发展方程的有限差分法[M].北京:科学出版社,2018.[10]钟瑞华,程宏,何育宇.Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2021,34(2):29-35.[责任编辑:钟国翔]表2不同步长下的守恒量的数值模拟Tab.2Numerical simulation of conserved quantity under different steps时间/T 1102030τ=h =0.55.5990108227026695.5990108227051855.5990108227052135.599010822705196τ=h =0.255.5997521648570215.5997521648608165.5997521648612115.599752164861288τ=h =0.1255.5999380073332205.5999380073396275.5999380073417515.59993800734234713。
一类耗散的色散水波方程的指数吸引子
｝ 和
Ｏｌ ， ， ・ｌ ，２ ） ｌ ｌ ，３ ｌ
ｌ・ｌ － ＝ （ ， ｌ ｌ ， ｎ） ｙ＝
ｄｓ （ （ ） ０ Ｍ）≤ ｃｅｐ ｉ Ｓ ￡ ｕ ， ｔ ｌｘ ｛ ｝
日 ｎ）且 Ｘ ｃ Ｙ是 紧 的 ． （ ， 引理 １ 设 日 ＝ ｛ ｕ∈ Ｌ （ ， （ ．） ｕＩ ｎ） 且 １２ 式
摘 要 ： 在 一 定边界条 件 下研 究 一类 新 的 带耗散 项 的 色散 水 波方 程 动 力学行 为 ， 获得 该 方 程 指数 吸 引子的存 在性 ， 关 键词 ： 色散 水 波方程 ； 数 吸 引子 ； 压性 指 挤
中图分类 号 ： ０ ７ ． １５ ２ 文献标 识码 ： Ａ
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第２ ５卷 第 ２ 期
２０ 年 ｏ ０７ ３月
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ａ ｕｉ ｎ ｅｓｙ（ ａ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｓ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ｎ Ｊｍ ｖ ｔ ｕｌ ｅ ｉ
用 ， （） 一△ 对 ３ 式两边在 ［，］ ０ Ｚ 上作 内积 ， 由于
（ ， ｎ ＝ （ ， ＝０ Ｖ ）Ｉ Ｖ０ △ ）Ｉ ｎ ．
故
根据文献［］ １ 知非线性演化方程：
一
￡ ｔ＋２７ △７ ｔ ｕ＋ｕＶｔ ＝０ （７ ｕ—Ａ ） （ ） Ｖ ７ ，ｔ ＝ ｕ １
出的范数 ， ＝ Ｖ
＝
定理 １ 方程 （．） （ ．） 的算 子半 群 Ｓ ｔ １１，１２ 解 （） 在 Ｂ 中存 在指数 吸 引子 肘， 得 使
ｄ （）≤ Ⅳ ｎ ｘ １Ｉ（６ ｆ ０ｌ ｛ ， １Ｌ＋１ ａ ｎ ）
— — ～
＝０ ＇
一类非线性方程的Backlund变换以及紧孤立波解的线性稳定性
（） ５
其 中 ， 为 Ａ ｏ ａ ｄ ｍｉｎ多项式 ，满足
１ 妻 ，＝１－ 当 川 ｉ０２－ ｄ ｉ ，，， ，－
。 ｉ＝ ０ １ ２ － － ， ， ，，－， ｕ
ｕ
ｓ
（） ６
将 （）（）（） ５，６，７ 式代 入 （） 得 到 ４式
（） ３ 式两 边作 用逆算 符 Ｌ （ 即 （ ） ． 得到 ） ｕ＝Ｕ 一Ｌ Ｌ （ｍ 一Ｌ Ｌ ｕ ）一Ｌ Ｌ ｕ ０ ｕ ） ３（ｎ， ５（） 其 中 Ｕ 满 足 Ｌ （０ ＝ ０和初 值 问题 （）令 ０ ｔｕ） ２．
＋ｏ 。
ｕ ＝
＋ｏ 。
＋
∑ ｕ ｕ） Ｌ（ ） ∑ Ａ ｕ ３＝ ３ｕ ＝ Ｂ ＝ ｘ ＝ ，（ ｕ ｉ Ｌ （） ∑ ，（
１ 引言
Ｒ ｓ ａ 和 Ｈ ｍａ 见文献 ［ ） ｅｅ ｕ ｎ ｙ ｎ（ １ 为了研究液滴模型在形成过程中非线性色散项的作用， ］
引进 了 Ｋ（ ｎ 方程 ｕ＋（ｍ）＋（ ３ ｍ，） ｔ ｕ ｕ） ＝０从 而 引起 了人 们对非 线性色 散项 的广泛关 注． ， 色 散 项和对 流项之 间的相 互作用 是孤立 波的形 成的 关键 ， 见的是线性 色散 项和对 流项 的互相 常 作 用形成 了孤立 波解 ，而非线性 色散 项和 对流项 的互 相作 用形成 了紧 孤立波 解 （ｏ ａｔｎ， ｃｍｐ ｃｏ ）
基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７０３ 和国库集中支付助项目 （２ ３００ ４ １０ １３ ） １２００ ５）资助
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２ ８
数
学
物
理
学
报
Ｖ １７ ｏ． Ａ ２
２ Ｋ （ ｎ，） ｍ， １ 方程的多重 ｃ ｍｐ ｃｏ ｏ ａｔ ｎ解
一类色散波方程对系数的连续依赖性
当 Ｔ ＝１时 ， 是 单 向传 播 的 浅 水 波 Ｃ ｍａｓ 它 ａ ｓａ—
Ｈ ｌ 方程 ， （ ｔ 示 ｔ≥ ０时 在 方 向的 流 ｏ ｍ ，）表 速 ， 是一 个 与 临 界 的 浅 水 波 速 有 关 的 非 负 常
２ ｔ＞０ ∈Ｒ ，
【 （ ０ １（ ， ∈Ｒ “ ，） ＝１ ） ， ０
｛ ｔ＞０ ∈ Ｒ ，
振 幅 径 向 形 变 波 的 非 线 性 色 散 模 型 ， 时 ， 此 ｕ ，）代 表与 欲压 缩状 态有 关 的径 向形变 ． （ ｔ
在 ＝１的情况 下 ， Ｃ ｍ ｓ （ ａ ａｓ ａ—Ｈ ｌ ｏｍ方程 的
【 （ ，）＝Ｗ （ ｗ ｘ０ ｏ ）＝“ （ ０ ）一
（） ２
， ＝Ｉ ｔ Ｏ 贝 满 ０一Ｈ ｘ， ０ ｘ
令 ： 一
足
数． 这种 情 况 下 ，方 程 （ ） ｂ —Ｈ ｍ ｈ ｎａ 在 １ 有 ｉ ａ ｉｏ ｉｎ
结构 ， 并且 是完 全可 积 的¨ ． 当 ＝０时 ， 方程 （ ） 正则 的长 波方 程 ， １为 它 的解整 体存 在 ， 立 波也 是 光 滑 的． 管 此 时 方 孤 尽
“（ ｔ ， ）∈
Ｉ Ｉ ｌ ｌ
ｌ Ｒ ｃｌ ｌ （ ￡ ）≤ Ｉ ｌ（ ）≤ ｌ Ｉ Ｒ Ｉ
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一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波
一类(2+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的有理解及怪波李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【摘要】利用painleve分析,判别非线性微分方程的可积性,根据双线性导数,借扩展同宿呼吸检验法检验方程变换后的形式,讨论了非线性波动方程的有理解.在同宿呼吸子孤波中,当孤波的周期趋于无穷时得到了怪波解.%This paper discusses a class of classical (2+1)-dimensional KP equation, which has found wide applications in hydrodynamics, plasma physics, gas dynamics.By use of the Painleve analysis, the integrability of nonlinear differential equation is determined.Double linear method of Hirota is a transformation in nature.By testing the form with expanded homoclinic breather limit method, the form of the transformed equation is tested and the rational solution of the nonlinear wave equation is put under examination.Among homoclinic breather solitary waves, the cusp wave solution is worked out when the period of the solitary wave tends to be infinite.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)002【总页数】5页(P68-71,81)【关键词】KP方程;精确解;同宿呼吸子极限法;有理解;怪波【作者】李倩;舒级;汪春江;王云肖;杨袁【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O17.27非线性科学问题的研究可用非线性偏微分方程来简练而准确地描述，求解非线性偏微分方程的精确解具有非常重要的理论和应用价值，尤其是孤立子解，其中KP方程是一类具有代表性的方程.1970年,Kadomtsev等[1]提出了一种二维波色散方程[1]，即一类KdV方程的孤子解在弱横向扰动影响下的稳定性，这个方程被称为KP方程,并认为其原型是二维上的可积的非线性色散波方程.KP方程是一个完全可积系统且有非常丰富的数学结构.数学结构包括N-soliton解的存在性、逆散射变换的Lax形式、无限维对称性的存在.1981年,佐藤提出了佐藤通用格拉斯曼流,给出KP方程是一个Plucker Grassmannian关系.近年来已出现了许多研究方法，如反散射法[6]，Backlund变换[7]，Darboux变换法[8]，Hirota方法[9]，tanh 函数方法[10]等.耦合的KdV方程组和扩散长水波方程组也进行了探讨并获得了一些孤子解[11].KP方程的解用图像模拟出来就形成怪波现象，也就是“畸形波”(freak wave)的概念[12]. Draper首次提出[12]，此后越来越多的学者开始关注这一现象，有的把它叫做怪波，杀人波，极端风浪等[13].从直观上看，怪波具有超常的波高，因此大多数学者和研究人员只能从波高角度对其进行定义[14]，即认为波高大于有效波高2倍(或2.2倍)的单波可以称为怪波[15-18](H>2Hs，或H>2.2Hs).怪波产生的原因包括外在影响因素和内在作用机理两种.调制不稳定性(Benjamin-Feir不稳定性)是生成怪波的一个重要机理[19-20].目前对此类方程研究主要有达布变换、反散射方法、代数几何极限方法等.已有的研究结果有: 常系数的非线性Schrodinger方程[21]、非线性导数Schrodinger方程[22]、耦合的NLS-MB方程[23]、两分量的非线性Schrodinger方程[24-25]、变系数的非均质的非线性Schrodinger方程[26]、非自治的非线性Schrodinger方程[27]、变系数非线性导数Schrodinger方程[28]、Hirota方程[29]、高阶方程[30]、KP方程[31]等.本文结合painleve分析、双线性导数和扩展同宿呼吸检验法得到uxt+6(+uuxx)+uxxxx+λuyy=0的有理解和怪波解.其中，u是关于x，y，t的函数，λ=1.该方程在流体动力学、等离子物理、气体动力学等方面有广泛应用. 下面给出一般的非线性偏微分方程形式:P(u,ut,ux,uy，…)=0,其中，P是一个多项式，u(t，x，y): Rx×Ry×Rt→R.下面求解u(t，x，y).步骤1 借助于Painleve分析，作代换u=T(f),f是一个未知函数.步骤2 由步骤1，将原始方程转变为Hirota双线性形式 G(Dt，Dy；f)=0, D有如下定义步骤3 采用扩展同宿呼吸检验法求出以上方程的同宿呼吸子孤波解.步骤4 在同宿呼吸子孤波解中，令周期趋于无穷，可以得到同宿波的有理解，即怪波解.定理2.1 在参数p1=p条件下，(2+1)维KP方程的有理解为证明由行波变换ξ=x+ct(c为常数)，得容易看到方程(6)有平衡解u0,其中u0为任意常数.假定其中，f(ξ，y)是实函数，将方程(7)代入(6)，得到下面双线性形式其中，·f=2(ff4ξ-4fξ)·f=2().对于方程(8)，可以通过下面的形式运用同宿检验法求解其中，p1，p，a，b，δ1，δ2是常实数.将方程(4)代入方程(3)，得到关于ep1(ξ-ay)的代数方程，即令ejp(ξ-ay)(j=-1,0,1)前的系数全为0，得令p1=p,方程组(5)化简如下求解方程组(6)其中，a，b，u0，δ2是任意实常数.令u0≠且δ2>0，有或将(7)代入(4)，有其中，，p=±，a，b为实数.将(8)代入(4)，可得有理解其中u1(ξ，y)，u2(ξ，y)体现了一种新的族波即双波.其振幅随时间的演变呈周期性振荡，向后向的周期波发生弹性碰撞，一列波以速度b传播，另一列波以向相反方向传播.定理2.2 在参数δ2=1,周期趋于,m1趋于1时，(2+1)维KP方程的怪波解为证明令δ2=1,即(δ2)=0,将其代入u2(ξ，y),可化简为其中考虑(ξ，y)的呼吸子极限，当周期趋于,即p趋于0.经计算，得其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.包含两种不同方向和速度的波.易验证Urouguewave为(6)的有理解，同时Urouguewave也是呼吸子类型解.实际上，对于固定的，当y→±时，有U→0.所以，U不仅是呼吸子的有理解，也是怪波解，它比周围一般的波振幅高2～3倍，而且通常在短时间内形成.这就说明怪波可以来自实方程中的呼吸子孤波解.因此，可以认为在一定时间内的能量聚集或叠加是产生怪波的原因之一.令ξ=x+ct,代入(9)，得到(2+1)维KP方程的怪波解其中，,并假定m1趋于，p趋于0时有a=b.文中运用同宿呼吸子极限法求解(2+1)维KP方程，得到同宿呼吸解和同宿有理解，其中同宿有理解包含怪波解.下一步将应用其它方法得出更多可积和不可积系统的怪波解.对于满足Lax可积的方程或方程组可改写为其他等价形式，借助达布变换得到其平凡解和非平凡解.【相关文献】[1] Kadomtsev B B, Petviashvili V I. 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一类非线性波方程的行波解分支
关 键 词 ： 线 性 波 方 程 ； 波 解 ； 进 的（＋ ） 色散 长 波 方 程 组 非 行 改 １ １维
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一
类非线性波方程的行波解分支
李 少 勇
（ 关 学 院 数 学与 信息 科学 学 院 ， 东 韶 关 ５ ２ ０ ） 韶 广 １０５
摘 要 ： 用 平 面 动 力 系统 分 支 理 论 ， 究 了改进 的 （ ） 色散 长 波 方 程 组 的 行 波 解 分 支 ， 明 了该 方 程 组 存 在 光 滑 运 研 １ 维 ＋１ 证
中 图分 类 号 ： ７ ｏ１５ 文献标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７ ５ ４ （０ Ｏ ０ 一 ０ １ Ｏ １Ｏ — ３ ８ ２ １ ）３ ｏ １一 ４
随着 非 线性 科 学 的发 展 ， 多 物理 、 许 化学 和 生命 科 学 的模 型 都 可 以转 化 为 非线 性 方程 （ ： 线 性 常微 如 非 分方 程 、 偏微 分 方 程 、 差分 方 程 等） 因此 求 解非 线 性方 程 的行 波解 成 为 非线 性 科学 的一个 重要 研 究课 题 ． ， 目 前 求解 非线 性 方程 的方法 主要 有 反 散射 法 、 ａｂ ｕ Ｄ ｒｏｘ变 换法 、 ｉ ｔ 线性 法 、ｉ 法 、 数 几何 法 、 次平 Ｈ ｒ ａ双 ｏ Ｌｅ群 代 奇 衡 法 、 ｉｃｔ方 程 映射法 等 ［， 这些 方 法都 未 能从参 数空 间 上考 虑方 程 解 的全 局相 图． Ｒｃ ａ ｉ ”但 动 力 系统 研究 ［ １ 要是 利 用 动力 系统 的分 支理 论 讨论 系 统 在不 同参 数 条 件下 的 奇 点类 型 。 出 其在 ２主 － ５ 得 各 参数 条件 下 的周期 轨 道 、 同宿轨 道 、 异宿 轨 道 ， 而 可用 微 分方 程 定 性 理论 的知 识求 其 可 能 的精 确解 ． 从 文 献 ［ ］ 用雅 可 比椭 圆 函数 展 开法 和拓 展 的 Ｒ ｃ ａ 方 程映 射法 研究 了（＋ ） 色散 长波 方程 组 ： １利 ｉｃｔ ｉ １ １维 ｆｔ 口 ＝ ， ＋ ０ ２Ｖ ）
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一类非线性色散波方程的低正则解
许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。
最近几年来，物理、力学、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微分方程，但是由于方程的非线性以及本身的复杂性，使得对这些方程的研究具有很大的挑战性。
本文研究了一类有着深刻物理背景的非线性色散偏微分方程，即Fornberg-Whithajn方程和一般DegasperisProeesi方程低正则解的存在性、唯一性及局部适定性。
同时，我们在最后通过方程的行波解构造出了周期解，证明此周期解满足方程分布解的条件，由此验证结论。
关键字：非线性现象；非线性色散偏微分方程；非线性模型
一、非线性现象历史发展背景利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，是揭示流体运动规律与内在联系，实现代数学以及应用数学的重要内容。
非线性偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域中的非线性问题之间的一座重要的桥梁，它直接联系着众多复杂自然现象和实际问题，其涉及的领域越来越广，研究的问题也越来越深入，不断地提出需要解决的新课题，不断产生解决问题的新方法，不断地促进着许多相关数学分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
正因为非线性偏微分方程反应的自然现象的复杂性，其应用的广泛性和重要性，决定了这个研究领域具有旺盛的生命力。
时
至今日，以实际问题为背景的非线性偏微分方程的研究已成为传统应用数学中的一个最主要研究领域，与非线性偏微分方程相关的一系列问题已成为国内外无数学者研究的热点问题。
二、水波的孤立波现象的非线性模型物理中的水波研究一直是一个吸引人的课题，因为这种现象人们很熟悉而且其中蕴含的数学问题也是多种多样。
但是一直到20世纪后半叶，水波的研究差不多还是紧紧局限于使用线性理论。
线性化理论只适用于处理初始静态的水的表面的小扰动，而不能处理水的表面有较大扰动的情形。
例如线性水波理论忽略了诸如波的破碎，孤立波等实际非线性行为所表现的现象。
于是诞生了许多描述水波的孤立波现象的非线性模型。
三、非线性科学的迅速发展1984年，英国科学家Soott-Russell在爱丁堡道格拉斯哥的狭长运河中，站在匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察，并且随后在文中，作了关于水波的报告，在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性模型来模拟水波，但这却推动了非线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、弹性杆、金融等领域的发展。
非线性科学是继量子力学、相对论后20世纪自然科学的重要发现。
物理学大师爱因斯坦曾预言:“由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。
非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之一。
近年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。
无论是可积系统，还是耗散系统及其时空动力学复杂行为规律，因它们在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中斑图、纳米的量子效应等方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科技关注的热点之一。
另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。
讨论浅水波方程解的相关性质(特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、散射理论、解的整体存在性及blow一叩理论(爆破现象))并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。
C alnassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程已经吸引了无数国内外学者对它们进行研究，研究的方面包罗万象，主要有:可积性问题强解的局部适定性和整体适定性、各种弱解的存在性、初边值问题、求精确解(包括了行波解中的重要的孤立子解)、讨论解的各种性质、数值计算等等。
这些理论和数值方面的研究，帮助人们更好地认识了客观自然现象和过程，推动了偏微分方程理论自身的完善，也促进了相关学科的发展。
但是，关于Fornberg一whithaln方程现有的研究成果还比较少。