一类非线性色散耗散波动方程的整体解
第２９卷第８期哈尔滨工程大学学报Ｖ０１．２９Ｎｏ．８２００８年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＡｕｇ．２００８
一类非线性色散耗散波动方程的整体解
杨海鸥，郭秀芳
（哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）
摘要：研究一类具有色散项与耗散项的四阶非线性波动方程在行维空间中有界域上的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ初边值问题．其中，半线性项，（“）与Ｕ的符号相同．并满足一定的增长条件．定义了位势井ｗ及一族位势井，证明了若满足一定的条件．则此问题存在一个整体弱解。且此解在这族位势井中．最后证明了整体强解的存在唯一性．关键词：非线性波动方程；色散；耗散；位势井；整体解；存在性；位势井族中图分类号：０１７５．２６文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７０４３（２００８｝０８—０８８６—０５
Ｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｗｉｔｈｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ－ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｔｅｒｍｓ
ＹＡＮＧＨａｉ—ｏｕ，ＧＵＯＸｉｕ—ｆａｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ０ｆ
ｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒｗｉｔｈｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅａｎｄｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｔｅｒｍｓｏｎａｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｉｎ行一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｐａｃｅ。ｗｈｅｒｅｔｈｅ
ｓｉｇｎｏｆｓｅｍｉ—ｌｉｎｅａｒｔｅｒｍ厂（“）ｉｓｔｈｅｓａｍｅａｓｕａｎｄｓａｔｉｓｆｉｅｓｃｅｒｔａｉｎｇｒｏｗｔｈｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌＷａｎｄａｆａｍｉｌｙｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓａｒｅｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅｎｉｔｉｓｐｒｏｖｅｎｔｈａｔｉｆｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｓａｔｉｓｆｉｅｄ，
ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｈａｓａｇｌｏｂａｌｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｗｈｉｃｈｂｅｌｏｎｇｓｔｏｔｈｅｆａｍｉｌｙＯｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔ—
ｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｇｌｏｂａｌｓｔｒｏｎｇｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｗｅｒｅｐｒｏｖｅｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｉｔｙ；ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌ；ｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；
ｆａｍｉｌｙｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓ
对一类具有色散项与耗散项的四阶非线性波动
方程的整体解的存在性进行研究，该方程是从非线
性弹性中纵向杆形变传播及弱线性作用下空间变换离子声波传播问题中提出的，是一类具有强烈物理
背景的非线性发展方程．首先引进一族位势井（它包
含已知位势井作为特殊情形），并给出了这族位势井
的性质．而后，利用这族位势井得到了条件更宽泛的同样的整体弱解的存在性定理．最后用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方
法证明了整体强解的存在唯一性．
在研究非线性弹性中纵向杆形变传播［１－２］及弱
线性作用下空间变换离子声波传播［３］问题时，分别得到主部含有Ｕ。一Ｕｚｘ一“。但非线性项各不相同
的一些非线性发展方程．在文献［卜３］中分别讨论了
收稿日期：２００８－０６—０３．基金项目：黑龙江省自然科学基金资助项目（Ａ２００７－０２）．作者简介：杨海欧（１９５８一），女．教授，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｈａｉｏｕ＠ｈｒｂｅｕ．ｅｄｕＬ这些方程的孤立波解及某些数值结果，关于这些方
程的初边值问题及初值问题局部解、整体解存在唯
～性［卜５］也有一些研究．
考虑到实际物理背景中粘性耗散是不可避免的［６。７］，则可得到一些主部为Ｕ。－－Ｕ。一‰一“。的
非线性色散波动方程【７］．
２０００年，尚亚东［８］中用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法与能量估
计研究了如下方程的初边值问题：
Ｕｄ—Ａｕ—Ａｕ，一Ａｕ口一，（Ｍ），ｚ∈ｎ，ｔ＞０，
（１）
ｕ（ｘ，Ｏ）＝Ｕｏ（ｚ），Ｕｆ（ｚ，Ｏ）＝Ｕ】（ｚ），ｚ∈．０，（２）
ＵＪ舶一Ｏ，ｔ≥０．（３）
得到了整体强解的存在唯一性，并讨论了解的渐进
性质与爆破（ｂｌｏｗｕｐ）．它的基本模型方程是Ｕ。一
△“一△“，－－Ａｕ。一一ｌＵＩ９Ｕ，即源项为正，外力方向与
位移方向相反，故可用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法与能量估计得
第８期杨海鸥，等：二类非线性色散耗散波动方程的整体解·８８７·
到方程（１）～（３）的整体强解．２００７年，刘亚成掣９１中研究了上述问题当非线
性项满足厂（“）ｕ＞ｊ０的情形，它的基本模型方程是
Ｕ。一△甜一△地－－Ａｕ。一ＩＵｌ％，即源项为正，外力方向与位移方向相同，此情况不能用文献［８］中方法，故
文献［９］采用位势井方法，证明了若Ｕ。（ｚ）∈Ｗ且
Ｅ（ｏ）＜ｄ，则此问题存在一个整体弱解，且这个解也在位势井Ⅳ中．
该文在文献［９］的基础上引进了一族位势井（它
包含已知位势井作为特殊情形），从而得到了条件更宽泛的同样的整体弱解存在性，最后讨论了整体强
解的存在唯一性．如所周知，为了得到同样的整体解
的存在性，对厂（越）“≥Ｏ的情形要比，（甜）“≤Ｏ的情
形加上更强的增长条件，而该文当以≥３时，对厂（“）加的增长阶是文献Ｅ８］中的２倍，且文中引进的
厶ｚ（“。）＞ｏ包含了文献［９］中的Ｊ（‰）＞ｏ，又比文献
［９］的条件放宽了许多却得到了同样的整体弱解，且此解含于一族位势井眠中，结果又大大增强了．故
该文研究的问题不但与文献ｒＳ］有本质区别，而且结
果也比文献ｒ８－９］有实质的推广和改进．
１一族位势井的引进及性质
在研究的问题（１）～（３）中，ＯＣＲ＂是有界域，
厂（“）ＥＣ，，（“）“≥０且满足：
ｆ（Ｈ）ｌ厂（“）ｌ≤口ＩＵｌ９，ｌ＜ｐ＜ｏｏ，ｎ＝ｌ，２；
１１＜ｐ≤籀，行况
定义能量：
Ｅ（￡）＝告｜｜地ＩＩ２＋告ＩＩＶｕＩＩ２＋
告｜ｌＶｕ，Ｉｌ２一ＩＦ（ｕ）ｄｘ
其中：Ｆ（“）一ｌ厂（ｓ）山．令
Ｊ（“）一ｉ１ＩＩＶ“ＩＩｚ－南ＩＩ“暇，
Ｊ（Ｍ）一｜ｌＶｕ２一口ＩＩ“暇：．
定义位势井：Ｗ一｛Ｕ∈Ｈ５（ｎ）ｌＪ（“）＞０，Ｊ（“）＜ｄ）Ｕ｛０）．
其中：位势井深度为ｄ＝ｉｎｆＪ（Ｕ），Ｕ∈Ｈ６（ｎ），ｆ（“）一Ｏ，ｌ｜ｖＨＩＩ≠０．
且定义：Ｎ＝｛ｕＥＨ６（ｎ）Ｉ，（比）一ｏ，ｌ｜ＶｕＩＩ≠ｏ）．
其中，ｄ＝ｉｎｆＪ（“）．进一步对艿∈（ｏ，尘岩）做如下
定义：
Ｌ（“）一６Ｉ｜ＶｕＩＩ２一ａｌｆｕｆ：尊ｊ，砌）＝铸错ｃ南汽
ｃ。ｓｕｐ怡脚．
引理１若Ｊ（“）≤ｄ（艿），ｂ（“）＞ｏ，当且仅当
ｏ＜ＩＶ“ｌＩ＜（赤）吉．
证明乍｜｜Ｕｌ舛｝≤ｏ寸１ＩＩＶｕＩＩ广１ＩＩＶｕ
＜号ＩＶｕ２．即厶（“）Ⅺ
≥由ｂ（“）＞ｏ，有｜｜ｖ“Ｉｌ＞ｏ，且由
．，（“）＝虿１Ｖ“Ｉ２－孑轴ＩＩ“Ｉ｜：一黼Ｉ
Ｖ圳２＋南枷）≤姗）．
即得结果．
引理２做为艿的函数ｄ（艿）在区间Ｏ≤ｄ≤
之＃有如下性质：
１）ｄ（ｏ）＝ｄ（掣）＝０．
２）ｄ（艿）在岛一ｌ时取最大值．
３）ｄ（ａ）在ｒｏ，＆］单调递增，在［＆，仁譬］单调递
减．
４）对任一给定的已∈（０，ｄ（＆））方程ｄ（占）一Ｐ有
２个根函∈（ｏ，＆），赴∈（岛，也芸）．
证明由ｄ（艿）＝裂芸云芋（五知）南，其中令
Ａ一‘乏导）南，则ｄ７（ｄ）一刍费（１一ｄ），可证明
性质２）、３），则性质１）、４）显然得到．
现在可以定义一族位势井：Ｗ；＝｛Ｕ∈磁（ｎ）Ｉ／ｄｕ）＞ｏ，．，（甜）＜ｄ（∞）Ｕ｛０），
艿∈（ｏ，仁譬），
矾＝｛“∈Ｈ３（ｎ）ｌ厶（“）≥ｏ，．，（“）≤ｄ（艿）），
Ｍ＝｛Ｕ∈Ｈ３（力）ＩＬ（“）一０，ＩＩｖ“ｌＩ≠０），
ｄ（艿）＝ｉｎｆＪ（“）；。∈％Ｂｄ一｛“∈Ｎｏ＇（ｏ）｜｜Ｉｖ“｜｜＜ｒ（艿）｝，
一Ｂｄ＝｛“∈Ｈ６（ｎ）｜｜Ｉｖ“ｌ｜≤ｒ（艿）），
其中，ｒ（ｄ）＝（艿／口Ｃ妒１）ｌ／（ｐ一”．
２问题（１）－－－（３）的整体弱解的存在性
定义Ｕ一－Ｕ（Ｘ，ｆ）称为问题（１）～（３）于ｎ×［ｏ，Ｔ）上的弱解，若Ｕ，Ｕｌ∈Ｌ。（ｏ，Ｔ；Ｈ３（ｎ））对几乎
所有的ｔＥｌ
ｏ，Ｔ）成立：
·８８８·哈尔滨工程大学学报第２９卷
（地，ｕ）＋Ｉ（ｖｕ，Ｖ口）ｄ７＋（ｖｕ，Ｖ铆）＋（Ｖ珥，ｕ）一
广’Ｉ（八琵），可）由＋（确，ｕ）＋（Ｖ洳，ｖ曲＋（Ｖｌｌｌ’，ｖｖ），
（Ｖｖ∈Ｈ３（ｎ）），且Ｕ（ｚ，０）一‰（ｚ），Ｕ，（ｚ，０）一
Ｕｌ（ｚ）于Ｈ６（ｎ）．定理ｌ设厂∈Ｃ，厂（Ｕ）Ｕ≥０且满足（Ｈ），
Ｕ。（ｚ），Ｕ１（ｚ）∈Ｈ３（ｎ），若０＜Ｅ（ｏ）＜ｄ，＆＜赴是方程ｄ（ｄ）＝Ｅ（０）的２个根，且ｋ（Ｕｏ）＞Ｏ或
｜｜ＶＵ。ｆｆ—ｏ，则问题（１）～（３）存在一个整体弱解Ｕ，Ｕ，∈Ｌ。（０，。ｏ；Ｈ３（ｎ））且Ｕ∈％于艿∈（占ｌ，＆），
Ｏ≤ｚ＜ｏ。．证明设特征函数系，构造问题近似解，满足如
下常微方程组的初值问题：
（Ｍ，，ｔ，，碱）＋（Ｖ““，ｖ毗）＋（Ｖｕ。，Ｖ碱）＋
（ｖ“。，Ｖｗ，）一（厂（“。），毗）．（４）
Ｕｍ（ｚ，ｏ）＝∑ｎ加叫ｊ（ｚ）一“。（ｚ）与Ｈｉ（ａ），
“。（丁，ｏ）一∑％叫，（ｚ）一Ｍ。（工）与Ｌｚ（ｎ）．ｊ＝１将式（４）乘以９７，（￡），再对ｓ求和后对ｔ积分得
已（ｆ）＝百１｜｜“。Ｉ２＋百１Ｖ扎。｝ｌ２＋
告¨ｖＨ。ｌＩ２一ｌＦ（ｕ。）ｄｒ≤巴（ｏ）一
告ｆ｝ｚｆ。（ｏ）ＩＪ２＋告ｖ‰（ｏ）Ｊｌ２＋
告Ｉ｜Ｖｕ。（ｏ）ＩＩ２一ＩＦ（ｕ，（ｏ））ｄｘ．（５）
若ｌ｜ｖ“。ＩＩ一０，则‰∈ｗ６于艿∈（ｏ，尘≯）．若
ｋ（‰）＞０，则ｂ（‰）＞０于ｄ∈（乱，＆）．
若不然，了否∈（函，＆）使岛（“。）＞ｏ由ｋ（“５）＞
ｏ辛Ｉｖ“。ｌｌ≠０，综上可得Ｕ。∈Ｎ－，又由ｄ（占）＝
ｉｎｆＪ（越）知Ｊ（Ｕ。）≥ｄ（艿），这与．，（‰）≤Ｅ（０）一。∈％ｄ（ａ）一ｄ（＆）＜ｄ（艿）矛盾．故‰（ｚ）∈Ｖ％于艿∈
（ｄ。，＆）．同理对任一固定的艿∈（函，＆）．对充分大的ｍ，有Ｊａ（Ｕ。（０））＞Ｏ且Ｊ（Ｕ。（Ｏ））≤已（０）＜ｄ（艿），因此对充分大的ｍ，有Ｕ。（Ｏ）∈％．
下面证对充分大的ｍ及ｔ＞０有“。（￡）∈ｗａ．若
不然，则必存在ｔ。＝￡。（优）＞ｏ，使‰（ｔｏ）∈ＯＷａ，即Ｌ（Ｍ，（ｔｏ））＝０，ＩＶＵ。（ｔｏ）ｌ≠ｏ，或．，（Ｕ。（ｔｏ））一
ｄ（艿）由式（５）可得对充分大的ｍ有
．，（托。（ｔｏ））≤Ｅ用（Ｏ）＜矗（艿），ｔ＞０．（６）因此．『（‰（￡。））＝ｄ（艿）是不可能的．
若Ｌ（Ｕ。（ｔｏ））一０，Ｉ｜ｖｕ。（ｔｏ）｜Ｉ≠０可知Ｕ。（￡ｏ）∈Ｍ同上可推出矛盾，故对充分大的ｍ及ｔ＞０有Ｕ。（ｔ）∈％．又由ｄ（艿）＞Ｅ（０）≥巴（￡）≥
吉｜｜‰ＩＩ２＋ｉ１¨Ｖ‰ＩＩ２＋－厂（ｚｌ，，１）一ｉ１ＩＩ‰ＩＩ２＋
钏Ｖ训”卷孝ＩＶ“。Ｉ２＋南·
厶２（‰）及厶２（‰）＞ｏ可知，对充分大的ｍ及￡＞ｏ有
丢｜Ｉ“。｜｜ｚ，百１ｖ“。Ｉｔ黼ＩＩ
Ｖ“。Ｉ２＜搦）．（７）
其他证明同文献［９］中定理ｌ的证明，在此不赘述．推论１在定理１的条件下，进一步有“（ｆ）∈％ｌ于Ｏ≤Ｔ＜ｏｏ．
证明由定理１知Ｕ∈Ｗａ于艿∈（艿。，＆），Ｏ≤ｔ＜ｏｏ，则厶（“）＞ｏ，Ｊ（“）＜ｄ（艿）或¨ｖ越Ｉ｜＝ｏ．固
一类带势的非线性Schrodinger方程组解整体存在和解爆破的最佳条件
第２８卷第１期 ２０１０年３月 徐州师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２８。Ｎｏ．１ Ｍａｒ．，２０１０
一类带势的非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程组
解整体存在和解爆破的最佳条件
张 艳，吕中学
（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）
摘要：通过构造一类变分问题和建立两个不变流，给出了一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程组的柯西问题解 整体存在和解爆破的最佳条件．进一步回答了初值小到什么程度时，柯西问题的整体解存在． 关键词：最佳条件；整体解；爆破解；调和势；非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程组 中图分类号：Ｏ１７５．２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—６５７３（２０１０）０Ｉ－００３６—０５
Ｓｈａｒｐ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ
ＺＨＡＮＧ Ｙａｎ，ＬＵ Ｚｈｏｎｇｘｕｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ ２２ １ １ １ ６，Ｊｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇ ｔｗｏ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｆｌｏｗｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈ— ｏｌｄｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅ ａｎｓｗｅｒ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｗ ｓｍａｌｌ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ；ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｂｌｏｗ－ｕｐ；ｈａｒｍｏｎｉｃ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＳｃｈｒＯｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
一类拟线性波动方程整体解的衰减性
第２３卷第２期 ２００８年４月 郑州轻工业学院学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＺＨＥＮＧＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＬＩＧＨＴ ＩＮＤＵＳＴＲＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００８ 文章编号：１００４—１４７８（２００８）０２—０１０８—０２ 一类拟线性波动方程整体解的衰减性 韩献军 ， 张金辉 （１．郑州轻工业学院信息与计算科学系，河南郑州４５０００２； ２．华北水利水电学院数学与信息科学院，河南郑州４５０００８） 摘要：利用能量扰动法研究了一类拟线性波动方程Ｕ 一Ｕ 一ｐ（Ｕ ） ＋ Ｕ ）＝ｂｕ的初边值问题整 体解的衰减性，得到了整体解的指数衰减性． 关键词：拟线性；波动方程；整体解；衰减性 中图分类号：Ｏ１７５．２９ 文献标志码：Ａ Ｅｎｅｒｇｙ ｄｅｃａｙ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｑｕａｓｉ－ｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＨＡＮ Ｘｉａｎ－ｊｕｎ ，ＺＨＡＮＧ Ｊｉｎ—ｈｕｉ （１．Ｄｅｐｔ．ｏｆＩｎｆｏｒ．ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｓｃｉ．，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｕｎｉｖ．ｏｆＬｉｇｈｔ Ｉｎｄ．，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００２，Ｃｈｉｎａ ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈ．ａｎｄＩｎｆｏｒ．，Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖ．ｏｆＷａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄＥｌｅｃｔｒ．Ｐｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｄｅｃａｙ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｕ“一Ｕ －１３（Ｕｎ） ＋ Ｕｔ）＝ｂｕ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｓｏ—ｃａｌｌｅｄ ｅｎｅｒｇｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｅｃａｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉＳ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉ—ｌｉｎｅａｒ；ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｄｅｃａｙ ｒａｔｅ． ０引言 本文研究以下初边值问题整体解的衰减性 ｃ厂 （Ｕ ） ＋ Ｕ ）＝ｂｕ ｘｅ（Ｏ，１），ｔ＞０ Ｑ Ｕ （０，ｆ）＝ｈｕ（Ｏ，ｆ） （１，ｆ）＝０ ｔ≥０② ｕ（ｘ，０）＝Ｕ０（ ）Ｕｔ（ ，０）＝Ｕ。（ ） ∈［０，１］③ 其中，ｂ，ｈ＞０为常数，对于此类方程的研究，可以参 考文献［１—４］，其中赵武超等【 得到了问题①一③ 整体广义解的衰减性． 引理１［ 假定／３（ｓ）＝ｓ乞厂（ｓ）＝ ｓ，Ｕ０∈ ， Ｕ１∈ ，０＜ｂ，ｈ，ｈ＋ｂ＜１，则 Ｅ（ｆ）＝｛＿ｌＩ （ｆ）ｌＩ ＋ ｝ （０，ｆ）＋ ｌＩ （ｆ）ｌＩ ｚ一 ｌＩ （ｆ）ｌＩ ｚ≤Ｅ（０）ｅ—ｈ 其中， ＝ｌｏｇ器． 在上述引理中，作者用到了条件０＜ｂ，ｈ，ｈ＋ｂ ＜１，本文拟用能量扰动法把这个条件减弱为０＜ ｂ＜１，ｈ＞０，在此条件下研究拟线性波动方程的初边 值问题整体解的衰减性． １主要结果及证明 本文记ｎ＝（０，１）， ，ｇ）。Ｊａｆｇｄ ，ｌＩ’ 表 示空间 （ｎ）的范数，特别地，ｌＩ・ｌＩ：ｌＩ・ｌＩ ． 收稿日期：２００７—０９—１３ 基金项目：国家自然科学基金项目（１０６７１１８２）
运用同伦分析法求解一类强非线性耗散振动系统
第３１卷第３期
２０１０年６月 华北水利水 电学 院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｗｅｒ Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０１０
文章编号：１００２—５６３４（２０１０）０３—０１０３—０４
运用同伦分析法求解一类强非线性耗散振动系统
聂守丰，闰晓芳
（永城职业学院，河南永城４７６６００）
摘要：运用同伦分析理论研究了五次强非线性且含有激励项的耗散Ｄｕｆｆｉｎｇ系统，求出了此系统的零阶近似
解和一阶近似解，并用数值模拟值与原系统的精确解相比较，证明了所得结果的精确度，说明了此理论适用 于一些强非线性系统． 关键词：同伦分析法；强非线性耗散振动；Ｄｕｆｆｉｎｇ方程；近似解 中图分类号：Ｏ１９３；Ｏ１８９．２３ 文献标志码：Ａ
１ 同伦分析法的基本思想
一般的非线性动力系统为
Ｌ（“）＋Ｎ（ｕ）＝Ｆ（ｔ）， （１）
式中：Ｌ（・）为线性微分算子， （ ）表示此系统的线性
部分；Ⅳ（・）为非线性算子，Ⅳ（ｕ）表示系统的非线性
部分；Ｆ（ｔ）为谐和激励，这里系统中的参数都不要
求是小参数．若系统（１）是二阶微分方程，可对０９
进行展开得
（ｐ）＝０９ｉ＋ １Ｐ＋０９２Ｐ ＋ ３Ｐ ＋…，
当Ｆ（ｔ）≠０时，设 是Ｆ（ｔ）的频率，把力展开为Ｐ
的级数，即
ａ（ｐ）：∞０＋∞ｌＰ＋ ２Ｐ ＋０３３Ｐ ＋…， （２）
引进新的时问尺度
ｒ：力ｔ， （３）
将式（２）和式（３）代入到式（１）得到
（１１，（ ，Ｐ））＋Ⅳ（Ｕ（ｒ，Ｐ））＝Ｆ（ ）， （４）
易知式（１）与式（４）是等价的．构造同伦映射
日：Ｈ（ｒ）一¨（ｒ，Ｐ，ｙ）且满足
日（ ｒ，Ｐ， ）＝（１一ＴＰ）［Ｌ（１２，）一 。（Ｍ。）］＋
ｐ［，Ｊ（ｕ）＋Ｎ（Ｕ）一Ｆ（７－）］，
式中：ｙ∈Ｒ／Ｏ；ｐ∈［０，１／ｙ］．显然，在ｙ＞＞１，Ｐ＜＜
一类非线性发展方程的整体吸引子
一类非线性发展方程的整体吸引子
刘俊;刘曦;高显文;吴波
【期刊名称】《曲靖师范学院学报》
【年(卷),期】2012(031)006
【摘 要】研究了一类非线性蜕化方程，引入带权L^2空间，证明了方程初边值问题整体解和（E0，E）型整体吸引子的存在性．%This paper studies a class of
nonlinear changing - type evolution equations. Weighted L^2 (Ω) space
has been introduced, existence and uniqueness of global solution with
initial -boundary value problem have been proved. In particular, we have
proved that there exists (E0,E) global attractor.
【总页数】4页(P79-82)
【作 者】刘俊;刘曦;高显文;吴波
【作者单位】曲靖师范学院数学与信息科学学院,云南曲靖655011云南大学信息学院,云南昆明650091；3．昭通学院数学系,云南昭通657000；4．普洱学院数学系,云南普洱665000;云南大学信息学院,云南昆明650091;昭通学院数学系,云南昭通657000;普洱学院数学系,云南普洱665000
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.14
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一类非线性波动方程的椭圆余弦解
一类非线性波动方程的椭圆余弦解
张书文;王辉
【期刊名称】《数学研究及应用》
【年(卷),期】2000(020)002
【摘 要】本文研究了一类非线性波动方程讨论了一维波动方程椭圆余弦函数解存在的条件及二维波动方程的简化问题.
【总页数】4页(P233-236)
【作 者】张书文;王辉
【作者单位】青岛大学师范学院物理系,266071;青岛海洋大学环境学院,266003
【正文语种】中 文
【中图分类】AMS(1991)35K60/CLC O175.29
【相关文献】
1.弱色散非线性波动方程的孤波解和Jacobi椭圆函数解 [J], 岳萍;龚伦训
2.一类具有非线性边界阻尼和源项的非线性波动方程的解的渐近性 [J], 周晓宇;杨志坚
3.波动方程组的椭圆余弦波解 [J], 黄正洪
4.一类非线性波动方程的扩展的Jacobi椭圆函数展开解 [J], 肖亚峰;张鸿庆
5.非线性波动方程的孤波解及余弦周期波解 [J], 张卫国;刘刚;任迎春
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时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解
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【正文】
时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解
一、引言
时滞反应扩散方程(组)作为一类重要的非线性偏微分方程，在生物学、生态学、化学工程等领域都具有重要的应用价值。本文将围绕时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解展开讨论，通过深入分析和探讨，帮助读者对这一主题有更深刻的理解。
二、时滞反应扩散方程(组)的基本形式
时滞反应扩散方程是描述空间中自然界中的许多现象的重要数学模型，其一般形式可以写为：
\[ u_t = d\Delta u + f(u) - \int_0^{\tau} k(s)g(u(x-s))ds \]
其中，\( u(x,t) \) 是待求函数，表示空间位置为x、时间为t时的物理量；\( d \) 是扩散系数；\( f(u) \) 是物质的产生项和消耗项；\( k(\tau) \) 是时间滞后函数；\( g(u) \) 则表示物质的扩散项。
对于时滞反应扩散方程(组)的行波解和整体解的研究，需要深入理解方程中的各个参数和函数，以及它们之间的相互作用关系。本文将分别从行波解和整体解两个方面进行探讨。
三、时滞反应扩散方程(组)的行波解
行波解是非线性偏微分方程中的一类特殊解，描述了波的传播和形变过程。对于时滞反应扩散方程(组)，其行波解的研究是非常重要的。行波解可以通过变量变换和特定的求解方法得到，通常具有局部化、稳定性和非扩散性等特点。
针对时滞反应扩散方程(组)的行波解，我们可以通过一系列的推导和分析，得到其具体的数学形式。在得到行波解的还需要对解的性质和行为进行分析和讨论，以便更好地理解方程描述的现象和规律。
基于行波解的特点，我们可以进一步讨论时滞反应扩散方程(组)在具体问题中的应用，例如在生态系统中的物种传播和竞争问题，以及化学反应过程中的物质扩散和转化等。通过具体的案例分析和数值模拟，可以更直观地展示行波解在实际问题中的作用和意义。
四、时滞反应扩散方程(组)的整体解
一类非线性波方程孤立波解的研究的开题报告
一类非线性波方程孤立波解的研究的开题报告
研究一类非线性波方程孤立波解的开题报告
1. 研究背景和意义
非线性波动现象广泛存在于自然界和工业生产中，而非线性波动方程的研究是非常活跃和有意义的方向。其中的一类非线性波动方程具有孤立波解，这种波动在实际应用和理论研究中有着广泛的应用和重要性。例如，孤立波解在河流、海洋等水体中的传播、光学中的光子传输、无线电通信中的电磁波传输等多个领域都有着非常广泛的应用。
2. 研究目的
本文旨在研究一类非线性波动方程的孤立波解。其中，我们将依据经典的正切方法，通过一个转化过程，将方程转化为一个简单的非线性积分方程，从而得到这一类方程的解析解的形式。这将为理解和应用非线性波动方程提供新的视角。
3. 研究方法
本文将首先介绍非线性波动方程的物理背景和数学形式，并介绍正切方法和转化过程的基本思想。接着，我们将利用正切方法和变量分离技巧，将方程化为一个简单的积分方程，并对其进行求解和分析。最后，我们将利用数值方法对得到的解进行验证。
4. 研究内容
本文将包含以下几个部分：
（1）非线性波动方程的介绍及其物理背景；
（2）正切方法的介绍及转化过程的基本思想；
（3）一类非线性波动方程的正切变换及其化简为积分方程的求解；
（4）对解的分析及其物理解释； （5）数值求解的验证。
5. 研究成果与意义
本文将得到一类非线性波动方程的解析解形式，并利用数值方法对得到的解进行验证。这将为理解和应用非线性波动方程提供新的思路和方法，有助于深入了解和掌握非线性波动方程的性质和行为。此外，本文得到的孤立波解形式也将有重要的应用价值。
非线性色散方程的初边值问题
第３８卷 第３期 Ｖ０ｌ＿３８ Ｎｏ．３ 河南科技学院学报 ２０１０年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｓｅｐ．２０１０
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－７５１６．２０１０．０３．０１４
非线性色散方程的初边值问题
陆博，李巧萍，杨素敏
（河南科技学院，河南新乡４５３００３）
摘要：针对一类四阶具有色散效应的一维弹性杆的非线性纵向波动方程的初边值问题，借助Ｓｏｂｏｌｅｖ空间、 紧性原理和利用Ｇａ１ｅｒｋｉｎ方法．解决了此类方程整体广义解存在性和惟一性，在此基础上，又处理了整体古典 解的存在性和惟一性．所得结果为解决类似方程的其他问题提供了理论基础． 关键词：色散方程；初边值问题；Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法；整体解；存在性；惟一性 中图分类号：０１７５．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—７５１６（２０１０）０３—００５１－０４
Ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
Ｌｕ Ｂｏ，Ｌｉ Ｑｉａｏｐｉｎｇ，Ｙａｎｇ Ｓｕｍｉｎ （Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３００３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｎｄ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｆｏｒｔｈ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ １一Ｄ ｅｌａｓｔｉｃ ｒｏｄ ｗｉｔｈ ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ ｅｆｆｅｃｔ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｆ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ，Ｓｏｂｏｌｅｖ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｃｏｍｐａｃｔｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｃｌａｓｓｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｅａｌｔ ｗｉｔｈ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｅａｎ ｂｅ ｓｕｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｎ ｓｉｍｉｌａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｉｎｉｔｉａｌ—ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍ，Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ｇｌｏｂａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
N维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质
N维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质
廖扬;周晓宇
【期刊名称】《轻工学报》
【年(卷),期】2016(031)006
【摘 要】将强阻尼非线性波动方程在三维空间解的性质由三维推广到N（N〉3）维,利用标准的Galerkin方法和Sobolev嵌入定理研究了弱解在该空间下的存在性,运用内积做出了解的耗散估计,并采用Gronwall引理证明了整体吸引子的存在性.
【总页数】5页(P95-99)
【作 者】廖扬;周晓宇
【作者单位】河南财经政法大学数学与信息科学学院,河南郑州450002
【正文语种】中 文
【中图分类】O176.3
【相关文献】
1.N维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质2.n维空间中一类耦合系统解的爆破性质3.强阻尼非线性波动方程的解半群存在吸收集4.强阻尼非线性波动方程解的渐近性质5.一类非线性强阻尼扰动发展方程的解
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一类boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性
一类boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性
Boussinesq方程是一类重要的非线性偏微分方程，它可以用来描述流体动力学中的流动现象，如海洋潮汐、河流洪水、空气动力学中的风暴等。Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。
Boussinesq方程是一类非线性偏微分方程，它可以用来描述流体动力学中的流动现象，如海洋潮汐、河流洪水、空气动力学中的风暴等。Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。
Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性取决于方程的结构和参数。一般来说，如果Boussinesq方程的结构和参数满足一定的条件，那么它的整体解就存在。这些条件包括：方程的结构必须是非线性的；方程的参数必须满足一定的条件，如果参数不满足这些条件，则整体解可能不存在。
另外，Boussinesq方程的整体解的存在性也取决于方程的解的性质。一般来说，如果Boussinesq方程的解是渐近稳定的，那么它的整体解就存在。如果Boussinesq方程的解是振荡的，那么它的整体解可能不存在。
此外，Boussinesq方程的整体解的存在性还取决于方程的解的稳定性。一般来说，如果Boussinesq方程的解是稳定的，那么它的整体解就存在。如果Boussinesq方程的解是不稳定的，那么它的整体解可能不存在。
总之，Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性取决于方程的结构和参数、解的性质以及解的稳定性。如果这些条件都满足，那么Boussinesq方程的整体解就存在；如果这些条件不满足，那么Boussinesq方程的整体解可能不存在。因此，研究Boussinesq方程的整体解的存在性与不存在性是一个重要的研究课题，它可以帮助我们更好地理解流体动力学中的流动现象。