能量超临界的非线性色散波方程的问题

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非线性边界条件的非线性发展方程解的爆破

第２６卷第４期
２１００年８月
大学数学
Ｃ０ＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ１２ № ．．６，４
Ａｕｇ．００２１
非线性边界条件的非线性发展方程解的爆破
查中伟
（庆三峡学院，庆万州４４０）重重０００
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围十分广泛，线性的具体特点又多种多样，非因此，已有的一些结果都有针对某一特定物理背景的定解
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非线性波-波相互作用的特征

非线性波-波相互作用的特征非线性波-波相互作用是指当波系统中存在非线性效应时，两个或两个以上的波相互作用并产生新的波动现象的过程。

非线性波-波相互作用是一种普遍存在的波动现象，广泛应用于物理、工程、地球科学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论非线性波-波相互作用的特征、产生机制和应用。

一、非线性波-波相互作用的特征1.能量交换当两个波相互作用时，它们之间会发生能量交换。

如果波的频率和波数满足一定的相互作用条件，能量将会从一个波传递到另一个波，导致波的幅度、频率和波数的变化。

这种能量交换是非线性波-波相互作用的典型特征。

2.波模式转换在非线性波-波相互作用过程中，波的模式可能会发生转换。

例如，两束具有不同频率的波相互作用后，可能会产生新的波，其频率为两原始波的和或差。

这种模式转换是非线性波-波相互作用的另一个重要特征。

3.波单守恒在非线性波-波相互作用中，波的线性动量和能量并不守恒，而是在波之间进行交换和转化。

这种波单守恒是非线性波-波相互作用的特征之一。

4.波的合并和分裂在非线性波-波相互作用中，波的合并和分裂是常见现象。

例如，当两个波相互作用时，它们可能会合并成一个更大的波，也可能会分裂成多个波。

这种合并和分裂现象是非线性波-波相互作用的典型特征。

5.非定常性非线性波-波相互作用还表现为非定常性。

在非线性波-波相互作用过程中，波场的幅度、频率和波数都可能发生变化，导致系统的动态特性不断变化。

二、非线性波-波相互作用的产生机制非线性波-波相互作用的产生机制是由波动方程的非线性项引起的。

在波动方程中，通常包括波的线性项和非线性项。

线性项描述了波的传播特性，而非线性项描述了波的相互作用和能量转换。

非线性波-波相互作用的产生机制可以通过多种方式实现。

最常见的非线性波-波相互作用包括声子-声子相互作用、声子-光子相互作用、光子-光子相互作用等。

这些相互作用可以通过介观量子场论、经典非线性波动方程等来描述。

三、非线性波-波相互作用的应用1.光学非线性光学是非线性波-波相互作用的一个重要应用领域。

非线性波方程求解的新方法!

4 00） ! （ $ - #" ）（ - #. ）很明显，这是方程（20）的两类周期解：椭圆正弦波解和椭圆余弦波解 4 当 * $ 2 时，因此，同 6’ 7’ #$ >?’@ #， #$ 6%7@ #，时可以得到
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非线性预测控制在超临界机组热工过程控制中的应用研究的开题报告

非线性预测控制在超临界机组热工过程控制中的应用研究的开题报告1. 题目非线性预测控制在超临界机组热工过程控制中的应用研究2. 研究背景和意义超临界机组是一种高效率、低排放的发电设备，在现代电力行业中得到广泛运用。

然而，在控制过程中需要克服许多困难，如多变量耦合、非线性、不确定性和延迟等。

因此，如何提高超临界机组控制的精度和可靠性是当前电力行业中的研究热点。

非线性预测控制是一种先进的控制方法，其能够有效地处理复杂的非线性多变量耦合系统，适用于超临界机组热工过程控制。

研究非线性预测控制在超临界机组热工过程控制中的应用具有重要的实际意义。

3. 研究内容和研究方法本论文将研究非线性预测控制在超临界机组热工过程控制中的应用。

具体研究内容包括：（1）建立超临界机组热工系统的数学模型，包括能量平衡方程、质量平衡方程、动量平衡方程等；（2）分析超临界机组热工过程的非线性特性和多变量耦合特性，确定非线性预测控制的应用方式；（3）设计超临界机组热工过程的非线性预测控制器，并优化控制参数；（4）进行仿真实验，验证非线性预测控制器的控制效果。

研究方法包括理论分析和仿真实验。

在理论分析方面，本文将从建立数学模型、分析非线性特性和设计控制器等方面展开分析；在仿真实验方面，本文将采用仿真软件对超临界机组热工过程进行建模和仿真，验证非线性预测控制器的控制效果。

4. 预期研究成果预期研究成果包括：（1）建立超临界机组热工系统的数学模型；（2）分析超临界机组热工过程的非线性特性和多变量耦合特性；（3）设计适用于超临界机组热工过程的非线性预测控制器；（4）进行仿真实验，验证非线性预测控制器的控制效果。

5. 研究的创新点本研究的创新点在于：（1）针对超临界机组热工过程的复杂性和非线性多变量耦合特性，采用先进的非线性预测控制方法；（2）构建适用于超临界机组热工过程的数学模型，并针对模型的特点进行优化；（3）实验仿真验证了非线性预测控制器的控制效果。

非线性波动方程的有限元解法

波导是研究非线性波动的工具，它加深了人们对孤立子的认识。在气体和液体中，非线性使得扰动中振幅较大的点传播较快，使波形有压缩的趋势，最终导致波浪的破碎或是冲击波的形成，而频散则有将波扩散的趋势。当非线性和频散达到稳定平衡时，将产生一种具有固定形状的局域化扰动，其行为类似普通的粒子，通常称为孤子。在固体中，波导最近被用于确定岩石应力和应变的关系。实验表明：岩石中应变并不随应力线性增长，其动力学行为显示出滞后现象。也就是说，系统所处的状态依赖于它经历的过程。另外还有实验研究了脉冲在砂岩棒中的传播，当应变的变化达到 0.1um 时，可以观察到二倍频和三倍频的成分。岩石的这些非线性行为对地震滑坡以及混凝土的疲劳损伤有重要影响。[9]
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章各向同性固体弹性介质中的一维
础····································１０第一节应变矩阵和运动方

数学物理方程中的非线性波动方程研究

数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。

本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。

一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。

这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。

非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，$u$ 是波动的解，$x$ 和 $t$ 分别表示空间和时间，$F$ 是非线性项函数。

非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。

首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。

其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。

此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。

二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。

1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。

通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。

例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。

2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。

通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。

3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。

描述超临界流体色谱保留值规律的基本方程

Ｗｈｒａ，ａｄｅｎｔｎｓｈｅｕｔｎｅ，ｃｄａｃｓｔｅｂｎｒｏａ．Ｔｉｑａｉｓｏｗａｄｒｅｂｕｉｇｔｔａｔｅｍｄｎｍｃｓｉｄｓｓｉｉｌｒｏｙａｉｅｖｙｎｔｓｃａｈ
ｍｔｏ．ｔｂｅｐｏｅｂＬｙｄｃｒｅｄＩｈｄｎｒｎｈａｅｖｙｅｅｅｅ＇ｎｋｓ
ｐｐｒａｄｍｎｌａｏｆｄｃｂｇａｅｆａｅｔｅｔｎｅｒｉｔ，ｕｎａｑｉｏｓｉｎｈｕｒｅｒａｏｓｉｂｔｅｔｃｌｎｐｒｕ（）ｅｔｎｐｗｅｈｏｍｔｅｔｅＴ，ｌｉｈｅｎｅｕｅａｒｍｄｎｉｏｍｂｅａｓ（ｍａｄｐｃｙｅｓｙｏｉｐｓｔｆｌｈｅ）ｎｃａｔａｉ
步探讨，并以文献数据来验证。二、基本方程的简化现代的超临界流体色谱技术大多数是采用Ｃ２Ｏ或烃类化合物为流动相，此时Ｂｍ０３＝。从ＢｍＢｍ１、２的表达式可见，ＢｍＢｍ１２、值的大小明显地受到组分分子与流动相分子间有效距离ｒ的影响。分子间的距离与流动相的ｍ密度有关。１摩尔流动相的体积为Ｍ／ｍ因。此，从点阵模型出发每个格占有的体积为ＭＮｐ。／ｏｍ其中Ｍ为流动相的分子量；ｍ为流动相的密度。故点阵点之间的距离由此可见，公式（）１中右端倒数第二项应当与ｍ成正比，这一项便可概括为：２
下凹，则可求得ｆｘ极值所对应的ｘ值。（）
丁苯均为色谱级。本文测定了不同流动相配
因ｆｘ和之间缺乏已知的函数关系式，为此用下面的连分式形式函数（）近似表ｘ示目标函数ｆｘ．（）

一类四阶非线性色散耗散波动方程的柯西问题

．１，）（及位势井：
＝
Ｉ（）Ｆ）一（以
｛ ∈ Ｒ），＞，（）＜｝０日（Ｉ）０．ｄｕ｛｝（，
其中，位势井深度为
ｄｉ＝ｎＪ（）ｆ Ⅱ Ｅ丑
Ｂ＝｛ＥＲ）Ｉ２＝，ｌＩ ≠ ｝／Ｈ（Ｉ）０『ｌ０／，（引理１１，令）．ｔ－３满足（）那么Ｈ，
＜＋告且（＝，）。ｐｌ ≤ ≤ Ｆ）（ｓｓｄ
对问题（）（）在此定义１一２，
Ｅｔ＝１Ｉｌ＋ｌＩ（）十（）虿ＩＩｌ。
号Ｉ一Ｆ）ｌ』（ＶＩｆｆ２￣）２ｄ２
２３３３７．０．
［］杨志坚，３陈国旺．一类四阶拟线性波动方程初边值问题的整体解［］数学物理学报，９，（Ｊ．１５１增刊）１．９５：９－［］尚亚东．４一类四阶非线性波动方程的初边值问题［］应用数学，７，３１：・１Ｊ．２０１（）７ｌ．１０［］尚５东．方程一 — ｕ一＝） △ Ａ， △ Ａｕ的初边值问题［］应用数学学报，０，（）３５３３Ｊ．２０２３：－．０３８９
ｒａｔ
对ｔ０积分得从
（）１ｌ（）Ｉ＋ｌＶ（）Ｉ＋ＩＶ／ｔ ≤虿（１ｏｌＩ０１ｌ／ｕ，
（Ｉ＋Ｉ（ｌ一（０）Ｅ００ＩＩ０ＪＬＦ）用））））（出＝（
（）７
从而有
２卷５
Ｖｕｌ＜ｄＯ≤ｔ１２，。＜∞
（３１）

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２０１４，ａｒＸｉｖ：１４０３．２９１３．
［４】Ｗａｎｇ，Ｂ．ｘ．ａｎｄＨｕｄｚｉｋ，Ｈ．，ＴｈｅｇｌｏｂａｌＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅＮＬＳａｎｄＮＬＫＧｗｉｔｈｓｍａｌｌｒｏｕｇｈｄａｔａ，Ｊ．
ＤｉｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，２００７，２３２（１）：３６ — ７３．
ＡｎＯｐｅｎＰｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅＥｎｅｒｇｙＳｕｐｅｒ — ｃｒｉｔｉｃａｌ
到目前为止，我们对ｓ＞１的情况所知甚少，已知的结果是：定理１【０】当Ｕ０∈日ｎＬ２＋时，（１）存在一个弱连续的整体解．对方程（２），有类似的弱解的存在性．弱解的存在性证明本质上只依赖于守恒律．弱解的唯一性是到目前为止没有解决的问题．定理２［Ｊ当Ｊｌｕｏｌｌ矗《１时，（１）的解在日是整体适定的．当ＩｌｕｏｌＩ矗＋ｆｌｕｌｌＩ疗一《１
时，（２）的解在日ｎ×日ａ是整体适定的．
收稿日期：２０１５０６ — ２６．
Ｅ— ｍａｉｌ：ｗｂｘ＠ｍａｔｈ．ｐｋｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
４期
王保祥：能量超临界的非线性色散波方程的问题
பைடு நூலகம்
６３９
数值计算结果表明，在能量超临界的情况下，大初值的局部解无明显的破裂现象．到目前为止，研究小初值适定性，本质上不依赖于方程的守恒律或先验估计．研究任意大初值的适定性，目前的方法都依赖于先证明局部适定性，然后利用方程的守恒律或先验估计得到整体适定．比如当８＝１时，守恒律恰好给出解在日中的上界；而当８。＞１时，守恒律或已知的先验估计已经不能给我们提供解在日ａ的上界．现有的方法不能完全适用于研究能量超临界的情形，这也是为什么能量超临界情形困难的主要原因之一．本文我们提出下面的问题：问题ｌ当８。＞１时，（１）的任意大初值的解在日（或在其他合理的空间）是否整体适定？对方程（２）和其他的色散波方程，也有一样的问题．对上面的问题，我们的认识是非常有限的，对ＮＬＷ（２），最近［３］得到下面的结果：定理３设ｎ＝３，＝６．设Ｍ》１．则存在初值（Ｕ０，Ｕ１） ∈Ｃａｘｏ。满足
ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｉｓｐｅｒｓｉｖｅＷａｖｅＥｑｕａｔｉｏｎｓ
ＷＡＮＧＢａｏｘｉａｎｇ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＰｅｋｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７１，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）
能量超临界的非线性色散波方程的问题
王保祥
（北京大学数学科学学院，北京，１００８７１）
关键词：非线性色散波方程；能量超临界；整体适定性
ＭＲ（２Ｏｌ０）主题分类：３５Ｑ５５／中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标识码：Ａ文章编号：ｉ０００ — ０９１７（２０１５）０４ — ０６３８ — ０２
第４４卷第４期
２０１５年７月
数学进展
ＡＤＶＡＮＣＥＳＩＮＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ（ＣＨＩＮＡ）
Ｖｏ１Ｊ４４．ＮＯ．４Ｊｕｌｙ，２０１５
ｄｏｉ：１０．１１８４５／ｓｘｊｚ．２０１５００１ｅ
参考文献
ｆ１］ＣａｚｅｎａｖｅＴ．ａｎｄＷｅｉｓｓｌｅｒ，Ｆ．Ｂ．，ＴｈｅＣａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｎＨ。，
的已知函数．为了简化主要问题，我们总假定为偶数．（１）和（２）分别满足下面的守恒律：
ｌｌ札）ｌＬ。（Ｒ）＝ＩＩ￣ｏｌｌＬ。（Ｒ），Ｅｓ（ｕ（））：＝去ｌｌ（ｔ）Ｉｌ。（Ｒ）＋１Ｉ “ ｒ（ｔ）ｌ（Ｉ豫）：Ｅｓ（ｕ。）；
Ｉ１（札ｏ，１）１１膏 × ／／一＝。。，ｌｌ（ｕ０，札１）Ｉｌ矗 × ／／一＜。。，ｓ＞８。．并且ｌｌｕ０１１。。ｆ】Ｉ＞１）Ｍ使得（２）有一个光滑Ｃ一解．定理３仅给出一个例子说明（２）大初值整体解存在．对方程（１）的某些任意大初值，可以由［４］的结果推出：定理４设ｎ３，？Ｚ０∈ Ｍ２，１且ｌ０ｌｌ１Ｍ２《１．．则（１）的解在Ｍ２，１中整体适定，其中ｌＩｆｌＭ。，＝∑ｋ ∈ ｚＩＩｆｌｌＬ。（Ｑ），Ｑｋ：｛ ∈ ：一１一‰ ＜，ｉ＝１，２， … ，札）．
记ｓ。：＝罟一寻．容易看出，ＵＡ（０，．）在膏ａ中保持范数不变．我们通常称日ａ为（１）的临界空
间．ｓ＝１时守恒律恰好给出解在膏中的上界，此时我们称之为能量临界的情形；ｓ＞１（即
＞
且凡３）时我们称之为能量超临界的情形．类似可定义（２）的能量临界和超临界情况．
（２）
是非线性偏微分方程的代表性方程之一，其中（ｔ，）为定义在（ｔ，） ∈ × 上的复值函数（（２）
也可以是实值的），ｉ＝二Ｔ，ｕｔ＝，， “ ｔｔ＝甏， △ ＝器＋＋ …＋，， “ 。和ｕ为 ∈
Ｅｗ（札（）（ｔ））：＝ＩＩＶｕ（）慨＋ｔｒｙＩ（＋ｌＩｕ（ｔ）ｌ瞄）＝Ｅｗ（ＵＯ￣Ｕ１）
如果是（１）的解，则ｕ）、（ｔ，）：＝昙札（ｔ，入）（＞０）也是（１）的对应初值为ｕ（０，）＝Ａ罟ｕｏ（）的解．计算ｕ（０，）的膏范数（１ｌｆｌｌ／￣＝Ｉ１（一△）｛，ｌｌＬ２（豫）），乱（ｏ，・）（豫）一。一号＋札ｏ（Ｒ）．（３）
非线性色散波方程，典型如非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程（ＮＬＳ）和非线性波动方程（ＮＬＷ）ｉｕｔ —Ａｕ＋Ｉｕｌ “＝０，，． “ （０，）＝札０（），＂ｂｔｔｔ —Ａｕ＋ｆＩ＝０，（０，）＝ｆ “ ｏ（），ｕｔ（ｏ，）＝ｕｌ（ｘ）（１）
给定Ｕ０∈Ｍ２，１＼Ｈ（０＜￡《１）且ｌｌ０ｌｌＭ２．《１，容易知道ｌｌｕ０１Ｉ／：／＝ ∞．对初值做
ｓｃａｌｉｎｇ，令０Ａ＝詈０（・）．当》１时，可得到
ｌ０ｉＡｌｌＬ。。》１，ＩＩｕ０Ａｌｌ卣＝。。，Ｖｓ８Ｑ．由（１）在ｓｃａｌｉｎｇ下保持不变，对初值ＵＯＡ（》１），结合定理４得到推论１设ｓ＞１．存在初值ｕ０∈Ｍ２，１满足ＩＩ￣ｏ１１－。＝。。，ＶｓＳ，ＩＩｕ０。。》１使得（１）在整体适定．
ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａ１．，１９９０，１４：８０７－８３６．
［２】Ｌｉｏｎｓ，Ｊ．Ｌ．著，郭柏灵，汪礼祁译，非线性边值问题的一些解法，广州：中山大学出版社，１９９２．【３】Ｋｒｉｅｇｅｒ，Ｊ．ａｎｄＳｃｈｌａｇ，Ｗ．，ＬａｒｇｅｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｒｅｎｅｒｇｙｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｎＲ０＋１，
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｎｅｒｇｙｓｕｐｅｒ — ｃｒｉｔｉｃａｌｃａｓｅ；ｇｌｏｂａｌｗｅｌｌ－ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ