2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )
A. {1,3}
B. {3,5}
C. {5,7}
D. {1,7}
2. 已知复数z =a +i ，a ∈R ，若|z|=2，则a 的值为( )
A. 1
B. √3
C. ±1
D. ±√3
3. 下列与函数y =√x 定义域和单调性都相同的函数是( )
A. y =2log 2x
B. y =log 2(1
2)x
C. y =log 21
x
D. y =x 1
4
4. 在等差数列{a n }中，a 3=3，d =2，则a 1=( )
A. 1
B. −1
C. 7
D. 2
5. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ +2b ⃗ |=( )
A. 12
B. 4
C. 2√3
D. √3
6. 某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如
图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是
A. 乙的记忆能力优于甲的记忆能力
B. 乙的创造力优于观察能力
C. 甲的六大能力中记忆能力最差
D. 甲的六大能力整体水平优于乙
7. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数
a 的取值范围是( )
A. a ≥1
B. a ≥1
e
C. a <1
D. a <1
e
8. 函数f(x)={lnx −x 2+2x(x >0)
x 2−2x −3(x ≤0)
的零点个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9. 已知α为锐角，cos(α+π
6)=2
3，则sinα=( )
A. 2+√15
6
B. 2√3+√5
6
C. 2√3−√56
D. √15−26
10. 若双曲线C ：
x 2
a 2−y 2
b
2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )
A. 2
B. √3
C. √2
D. 2√3
3
11. 已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6=63
32，且−a 2，a 4，3a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }满足b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
A. (12
)
n−1
；4−(2n +4)⋅(1
2)n
B. (12)n
；4−(2n +4)⋅(1
2)n C. (12
)
n−1
；5−(2n +4)⋅(1
2)n
D. (12
)n
；5−(2n +4)⋅(1
2)n 12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )
A. A 1E ⊥DC 1
B. A 1E ⊥BD
C. A 1E ⊥BC 1
D. A 1E ⊥AC
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知实数x,y 满足{x −y +1≤0
2x +y −4≥0x ≥0，则z =x +2y 的最小值为________．
14. 设曲线y =
2−cosx sinx
在点(π
2
,2)处的切线与直线x +ay +1=0垂直，则a = ______ ．
15. 已知在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，在边AB 上任取一点F ，则△ADF 与△BFE 的
面积之比大于1的概率是________．
16. 一个平行于棱长为1的正四面体ABCD 的一对棱AC ，BD 的截面，所得最大截面的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足2√3sinAsinB =5sinC 且cosB =11
14．
(1)求角A 的大小；
(2)若内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =14，求边BC 上的中线AD 的长．
18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求频数直方图中a的值；
(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．
19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E为A1C1的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB，
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若C1F//平面ABE，且C1F=2，求点A到平面BCE的距离．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为1
2
，点M为椭圆上一
动点，△F1MF2面积的最大值为√3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD 为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．
21.已知函数f(x)=[ax2+(a−1)2x+a−(a−1)2]e x，若x=0为f(x)的极值点，求实数a的值．
22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,
y=1+tsinα,
(t为参数)，曲线C2的参数方程为
{x=sinθ,
y=√1+cos2θ,
(θ为参数)．
(1)求C1与C2的普通方程；
(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．
23.已知函数f(x)=|a−x|+|x+1|．
(1)当a=6时，解不等式f(x)≥9；
(2)若关于实数x的不等式f(x)>2a2恒成立，求实数a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：B={x|2≤x≤5}；
∴A∩B={3,5}．
故选：B．
可解出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．
2.答案：D
解析：
本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，属于基础题．
根据复数求模公式计算即可．
解：z=a+i，a∈R，
则|z|=√a2+1=2，
解得：a=±√3，
故选：D．
3.答案：C
解析：解：y=
在定义域{x|x>0}上单调递减，
x
y=2log2x=x在定义域{x|x>0}上单调递增，故A错；
y=log2(1
)x的定义域为R，B错；
2
y=log21
在定义域{x|x>0}上单调递减，C正确；
x
y=x14的定义域为{x|x≥0}.故D错
故选：C．
可看出，y=
在定义域{x|x>0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x>0}上单调√x
递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x>0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．
本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
4.答案：B
解析：解：∵等差数列{a n}中，a3=3，d=2，
a1+2×2=3，解得a1=−1．
故选：B．
利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.答案：C
解析：
本题考查平面向量的数量积与模长公式的计算问题，是基础题．根据平面向量的数量积计算向量的模长即可．
解：平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，
∴|a⃗|=2，
∴(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12，
∴|a⃗+2b⃗ |=2√3．
故选C．
6.答案：D
解析：
本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题．在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5；在B中，乙的创造能力是3，乙的观察能力是4；在C中，甲的推理能力最差；在D中，甲的六大能力综合为4+5+5+4+4+3=25，乙的综合能力和为5+3+3+4+4+5=24，得到整体水平甲的高．
解：由六维能力雷达图，得：
在A中，乙的记忆能力是4，甲的记忆能力是5，。
2020届吉林省长春市文科数学高考二模试题
2020届吉林省长春市文科数学高考二模试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3} 2．（5分）若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．（5分）下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x4．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．（5分）若单位向量，夹角为60°，＝2﹣，则||＝（）A．4B．2C．D．16．（5分）《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立：q：∀a ＞0，f（x）＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q 8．（5分）已知函数，则函数y＝f（x）﹣3的零点个数是（）A．1B．2C．3D．49．（5分）已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．10．（5分）若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，，则S n＝（）A．2n﹣1+1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣112．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为．14．（5分）曲线f（x）＝2sin x在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝．15．（5分）在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△P AB 为锐角三角形的概率为．16．（5分）三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A＝cos A，cos B＝．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．18．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线P A和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．。
2020年吉林长春高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年吉林长春高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第1题5分已知集合A={x|x(x−2)⩽0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=（）．A. {0,1,2}B. {−1,3}C. {1,2}D. {0,1,2,3}2、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第2题5分2020年吉林长春高三二模理科第2题5分若z=1+(1−a)i（a∈R），|z|=√2，则a=（）．A. 0或2B. 0C. 1或2D. 13、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第3题5分2020年吉林长春高三二模理科第3题5分下列与函数y=√x定义域和单调性都相同的函数是（）．A. y=2log2xB. y=log2(12) xC. y=log21x D. y=x144、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第4题5分2020年吉林长春高三二模理科第4题5分2019~2020学年6月陕西西安碑林区西北工业大学文化补习学校高三下学期月考文科（七模）第5题5分已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是（ ）．A. a 1B. a 3C. a 8D. a 105、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第5题5分若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|=（ ）．A. 4B. 2C. √3D. 16、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第6题5分2019~2020学年12月陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高二上学期月考文科第4题4分 2019~2020学年10月湖南长沙天心区长郡中学高二上学期月考第13题3分《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对两人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）．注：雷达图（Radar Chart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（Spider Chart ），可用于对研究对象的多维分析A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第7题5分2020年吉林长春高三二模理科第7题5分命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立；q:∀a >0，f(x)=lna+x a−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）．A. p ∧qB. (¬p)∨(¬q)C. p ∧(¬q)D. (¬p)∧q8、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第8题5分已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ⩽0，则函数y =f(x)−3的零点个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 49、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第9题5分已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=（ ）． A. π12B. π6C. π4D. π310、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第10题5分2019~2020学年广东广州海珠区广州市第六中学高二下学期期中第9题5分若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）．A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第11题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n(n∈N∗)，则S n=（）．A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第12题5分2020年吉林长春高三二模理科第10题5分在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4．正确命题的个数是（）．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第13题5分2020年吉林长春高三二模理科第13题5分2018年福建莆田高三一模文科第14题5分若x，y满足约束条件{2x+y⩾2y−2⩽02x−y⩽2，则z=x+y的最大值为．14、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第14题5分曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=．15、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第15题5分在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2．在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．16、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第16题5分2020年吉林长春高三二模理科第16题5分三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，则三棱锥A−BCD体积的最大值为；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第17题12分已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(1) 求A的大小．(2) 若AC=2，求AB长．18、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第18题12分2020年吉林长春高三二模理科第17题12分2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(1) 求m的值．(2) 将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？，其中n=a+b+c+d）（K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第19题12分如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，且A1B⊥NG．(1) 求证A 1B ⊥GM ．(2) 求点A 1到平面MNG 的距离．20、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第20题12分已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． (1) 求C 的方程．(2) 设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ．试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第21题12分已知函数f (x )=13x 3+x 2+mx +m ．(1) 若x 1为f (x )的极值点，且f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值．(2) 求证：当m >0时，f (x )有唯一的零点．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分） 选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第22题10分2020年吉林长春高三二模理科第22题10分已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin3π4（t 为参数）．(1) 求C 1和C 2的普通方程．(2) 过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年吉林长春高三二模文科第23题10分2020年吉林长春高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(1) 若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9．(2) 若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】 4;14 、【答案】 1;15 、【答案】 16;16 、【答案】 2√23;3;17 、【答案】 (1) A =π3．;(2) AB =√64+1．18 、【答案】 (1) m=0.025．;(2) 2×2列联表如下表所示：不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 6√55．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 证明见解析，2．;21 、【答案】 (1) −3．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) C1的普通方程为：(x−2)2+y2=4，C2的普通方程为：x+y−8=0．;(2) 4(√2−1)．;23 、【答案】 (1) {x|−3<x<3}．(2) (0,+∞)．;。
吉林省长春市普通高中2020届高三下学期第二次模拟考试数学文试卷含Word版含解析
长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】题意可知，，. 故选B.点晴:集合的表示方法常用的有列举法、描述法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的代表元是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解函数的值域时，尤其要注意集合中其它的限制条件如集合，经常被忽视，另外在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集不易出错.2. 已知复数，则下列命题中正确的是.①；②；.③的虚部为；④在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.4. 圆关于直线对称的圆的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】圆的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为.故选D.5. 堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是()A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺【答案】C【解析】由已知，堑堵的体积为. 故选C.6. 某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】设三个区域圆心角比值为，故区域二所占面积比.故选B.7. 在中，D为三角形所在平面内一点，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，点在边的中位线上，且为靠近边的三等分点处，从而有.故选D.8. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 2017【答案】A【解析】由已知，.故选A.9. 关于函数，下列叙述有误的是A. 其图象关于直线对称B. 其图像可由图象上所有点横坐标变为原来的倍得到C. 其图像关于点对称D. 其值域为【答案】C..................10. 下图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】由图可知D错误.故选D.11. 双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为A. 8B. 10C.D.【答案】B【解析】由已知双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，△的周长为，当点在第一象限时，的最小值为，故△的周长的最小值为10.故选B.点晴：本题考查的是双曲线定义的应用.由双曲线的定义及点为双曲线第一象限内的点可得，于是可表示为△的周长，在点P的位置变化过程中，当折线变成直线，即三点共线时的最小值为，于是可得三角形周长的最小值.12. 已知定义域为R的函数的图象经过点，且对任意实数，都有，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】令，由任意，可得，所以在定义域内单调递增，由，得，因为等价于，令，有，则有，即，从而，解得且. 故选A.点晴：本题考查的是函数的单调性的应用. ，由任意，可得，所以在定义域内单调递增，利用换元法令，有，得,最终解得且.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. _____________【答案】【解析】14. 已知实数满足，则的最大值为_____________【答案】7【解析】通过画可行域可以确定，使目标函数取最大值的最优解为，故的最大值为.点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为______________【答案】91【解析】由三角形数组可推断出，第行共有项，且最后一项为，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.16. 已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，于点，，则四棱锥的外接球半径为_____________【答案】【解析】由已知，设三角形外接圆圆心为，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为,F为BC边中点,求出, 设四棱锥的外接球球心为O,外接球半径的平方为,所以四棱锥外接球半径为2.17. 已知数列满足（1）若数列满足，求证：是等比数列；（2）求数列的前项和【答案】(1) 见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）通过恒等变形，得到即，结论得证; （2）由(1)可得，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.试题解析： (1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知，从而，有.点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据得到，即证得是等比数列;第二问中的通项由，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如下图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？【答案】(1) 根据统计数据做出列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15 4 19高茎10 16 26合计25 20 45 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图列出列联表，计算值，便可得出结论.(2) 从这5株玉米中选取2株共有方法数10种，其中均为矮茎的选取方式有3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.试题解析：(1) 根据统计数据做出列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15 4 19高茎10 16 26合计25 20 45 经计算，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为，矮茎玉米有3株，设为，从中取出2株的取法有，共10种，其中均为矮茎的选取方式有共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是.19. 已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）通过，可证得平面，又平面，利用面面垂直的判定定理可得证.(2) 利用等体积法，解得.试题解析（1）证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面. （2）由已知可得，取中点为，连结，由于，所以为等腰三角形，从而，，由（1）知平面所以到平面的距离为1，，令到平面的距离为，有，解得.点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多面体体积的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法，，解得.20.20. 已知抛物线与直线相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.试题解析：(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.21. 已知函数，.（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：（为自然对数的底数，）.【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论，时，在上为增函数（舍）；当时，当时，增，当时，为减，又因为存在两个不同零点，所以，解不等式可得.试题解析：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.(2)①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由得，当时，，所以为增函数，当时，，所为增函减数，所以当时，取得极小值又因为存在两个不同零点，所以，即整理得，令，，在定义域内单调递增，，由知，故成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值．【答案】(1) 见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得的直角坐标方程.(2) 由直线参数方程的几何意义得，可得解.试题解析：(1) 由得，该曲线为椭圆.（2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，所以，从而，由于，所以.23. 选修4-5：不等式选讲（1）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围；（2）若均为正数，求证：.【答案】(1) ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）的解集不是空集即的最小值，求的最小值即可.(2) 即，利用指数函数的性质分和讨论即可试题解析：(1) 令，可知，故要使不等式的解集不是空集，有. （2）由均为正数，则要证，只需证，整理得，由于当时，，可得，当时，，可得，可知均为正数时，当且仅当时等号成立，从而成立.。
2020届吉林省高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省高三第二次模拟数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则z =（ ）A ．B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】根据复数的除法、乘法法则，计算z ，然后根据复数模的运算方法，可得结果.【详解】由(12)1i z i +=- 则()()()()()22112113212121212i i i i i z i i i i ----+===++-- 由21i =-，所以1355z i =--则z == 故选：B【点睛】本题考查复数四则运算以及模的运算，关键在于计算，属基础题.2．已知集合{3}A x Z x =∈<，{|1B x x =<-或2}x >，则()R A B =I ð（ ） A ．{0,1,2}B ．{1,0,1}-C ．{0,3}D ．{1,0,1,2}- 【答案】D【解析】根据绝对值不等式的解法，可得集合A ，然后依据补集的知识，可得B R ð，最后根据交集的概念，可得结果.【详解】 由333x x <⇒-<< 所以{}{3}2,1,0,1,2A x Z x =∈<=--又{|1B x x =<-或2}x >， 所以{}12R B x x =-≤≤ð所以{}()1,0,1,2R A B =-I ð故选：D【点睛】本题考查集合的交集和补集的计算，掌握交集、并集、补集的概念，属基础题. 3．已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】C【解析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小所以可知89log 7log 7a =>，而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4>且99991log 9log 7log 4log 10=>>>=所以01b a <<<由x y π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>=所以1c >，故c a b >>故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题. 4．长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例12（10.6182≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为（ ）（结果保留两位小数）A ．10.09B ．11.85C ．9.85D ．11.09【答案】D 【解析】根据黄金分割比例的定义，依次计算各小矩形的长，最后可得结果.【详解】 令51a -=如图由1EH =，则1EF a =，则21EF GH a a== 可知31GH GC a a ==，则41GC CD a a== 所以41CD BC a a == 所以矩形ABCD 的长()551111.090.618BC a ==≈ 故选：D【点睛】本题考查新定义的理解，实质上考查等比数列的项的计算，审清题意，细心计算，属基础题5．函数4()()cos (f x x x x xππ=--≤≤且0)x ≠的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据计算()f x -，判断函数的奇偶性，然后代入特殊值π，可得结果.【详解】有题可知：函数的定义域为[],ππ-关于原点对称()()44cos cos f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则()()f x f x -=-，可知该函数为奇函数又()44cos 0f ππππππ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭所以A 正确故选：A【点睛】本题考查判断函数的图像，对这种题型，可以从这几个方面进行判断：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）值域；（5）取特殊值，属基础题.6．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，L ，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（ ） A ．487号职工B ．307号职工C ．607号职工D ．520号职工【答案】D【解析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果.【详解】由题可知：抽样距为8401556=， 设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15所以()11301154427a a +-⨯=⇒=所以()7151158n a n n =+-=-当520n a =时，则52815852015n n -=⇒= 又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题. 7．tan 645=o （ ）A ．2-B ．2-C ．2-D ．2【答案】B【解析】将大角化小角，根据诱导公式可得tan 75-o ，然后根据754530=+o o o ，以及两角和的正切公式，可得结果.【详解】 ()()tan 645tan 72075tan 75=-=-o o o o则tan 645tan 75=-o o 由()tan 45tan 30tan 75tan 45301tan 45tan 30+=+=-o oo o o o o所以tan 752=+o则tan 6452=-o 故选：B【点睛】本题考查诱导公式，以及特殊角的转化，还考查两角和的正切公式，关键在于计算，属基础题.8．若向量a r ，b r 满足||a =r ||b =r (2)a b a +⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．3πB ．23πC ．4πD ．34π 【答案】D【解析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅r r，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】 由(2)a b a +⊥r r r ，所以(2)0a b a +⋅=r r r则220a a b +⋅=r r r ，又||a =r所以6a b ⋅=-r r ，由||b =r则cos ,2a b a b a b⋅==-r r r r r r ， 又[],0,a b π∈r r ，所以3,4a b π=r r 故选：D【点睛】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题. 9．如图给出的是计算1111352019++++L 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（ ）A ．123S S i =++ B ．121S S i =++ C ．11S S i =++ D ．121S S i =+- 【答案】D 【解析】根据该算法的功能以及按步骤依次计算，采用对选项逐一验证，可得结果.【详解】 该程序框图的功能为计算1111352019++++L 的值 由1,0i S ==， A 错，若123S S i =++， 则第一次执行：105S =+，不符合 B 错，若121S S i =++ 则第一次执行：103S =+，不符合 C 错，若11S S i =++ 则第一次执行：102S =+，不符合 D 正确，若121S S i =+- 则第一次执行：01S =+，然后依次执行，符合题意故选：D【点睛】本题考查程序框图，这种题型，一般依次执行，耐心观察细心计算，属基础题.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=o 相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．1sin 50oB ．1cos50oC ．2sin50oD ．2cos50o【答案】B【解析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及,,a b c 的关系，结合离心率公式，可得结果.【详解】 双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±= 由渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=o 相切sin130=o 两边平方：2222sin 130b a b=+o ，又222b c a =- 所以2222sin 130c a c -=o ，则2221sin 130a c-=o 所以2222cos 130cos 50a c==o o ， 由c e a =，所以1cos50e =o 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，还考查了双曲线的渐近线，关键在于利用几何法得到关系式子，细心计算，注意角度变换，属基础题.11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2cos 0b a C -=，sin 3sin()A A C =+，则2bc a =（ ）A ．4B ．9C ．23D ．9【答案】D【解析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果. 【详解】在ABC ∆中，sin sin a b A B= 由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②由①②可知：2cos 3C = 又2222cos 23a b c C ab +-==③把①代入③化简可得：c =则()2293bc b a b == 故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属中档题.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，过2F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B 两点．若224BF AF =，1||||AF AB =，则C 的方程是（ ）A ．22136x y -= B ．22154x y -= C ．22163x y -= D ．22145x y -= 【答案】B 【解析】采用数形结合，计算11,BF AF ，利用余弦定理，2221212112cos 2AF AF F F F AB AF AF +-∠=以及2221111cos 2AF AB BF F AB AF AB +-∠=，可得2a ，最后根据222b c a =-，可得结果.【详解】如图由12||||2AF AF a -=，1||||AF AB =所以2||2BF a =，又224BF AF = 则22a AF =，15||2a AF =， 由121||2||4BF BF a BF a -=⇒=2221212112cos 2AF AF F F F AB AF AF +-∠= 即()22215222cos 5222a a c F AB a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=⨯⨯ 又2221111cos 2AF AB BF F AB AF AB+-∠= 即()222155422cos 55222a a a F AB a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=⨯⨯ ()()222222555242222555222222a a a a c a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯ 且3c =，计算可得：25a =所以2224b a c =-= 故双曲线方程为：22154x y -= 故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义，关键在于计算，注意知识的交叉应用，考验分析能力以及计算能力，属中档题.二、填空题13．曲线2(3)x y x x e =-在点(0,0)处的切线方程为________． 【答案】0x y +=【解析】根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由2(3)xy x x e =-，则()()2'23(631)51xxxy x x e x x x e e +-=+-=-01x y ='=-所以切线方程为：y x =-，即0x y += 故答案为：0x y += 【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 14．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，113a =，2366a a =，则5S =_______．【答案】313【解析】根据等比数列的通项公式计算可得公比q ，然后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 由()2251123666a q a a a q ⇒==所以16q a =，又113a =，所以2q = 所以()()551511213131123a q S q --===--故答案为：313【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和公式，重在于对公式的识记，属基础题. 15．函数()sin()8cos 22xf x x π=--的最小值为_______． 【答案】7-【解析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，可得关于cos 2x的二次函数形式，然后使用换元法以及二次函数的性质，可得结果. 【详解】由()sin()8cos 22xf x x π=-- 所以2()cos 8cos 2cos 18cos 222x x x f x x =-=-- 即2()2cos8cos 122x x f x =--，由1cos 12x -≤≤ 令cos 2xt =，[]1,1t ∈-则2281y t t =--，对称轴为2t = 所以2281y t t =--在[]1,1-递减当1t =，即cos 12x=时，有min ()7f x =- 故答案为：7- 【点睛】本题主要考查二次函数型的最值问题，掌握二次函数的性质，熟练二倍角公式，诱导公式的应用，属基础题.16．如图，在五面体ABCDEF 中，AB //DC ，2BAD π∠=，3CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，5FC =，则直线AB 到平面EFCD 距离为_________．37【解析】利用等价转化的思想转化为点到面的距离，作AG FD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明AG ⊥平面EFCD ，然后计算,AF DF 使用等面积法，可得结果. 【详解】 作AG FD ⊥ 如图由AB //DC ，DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄平面EFCD所以AB //平面EFCD所以直线AB 到平面EFCD 距离 等价于点A 到平面EFCD 距离又FA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以FA ⊥CD ，又2BAD π∠=，则CD AD ⊥,AD FA ⊂平面FAD ，AD FA A ⋂=，所以CD ⊥平面FADAG ⊂平面FAD ，所以CD AG ⊥又,CD FD ⊂平面EFCD ，CD FD D ⋂= 所以AG ⊥平面EFCD所以点A 到平面EFCD 距离为AG由3CD AD ==，所以2232AC CD AD =+=又5FC =，所以227AF FC AC =-=在AFD ∆中，224FD AD AF =+=又113722FD AG AD AF AG ⋅⋅=⋅⋅⇒=故答案为：37 4【点睛】本题考查线面垂直的综合应用以及等面积法求高，重点在于使用等价转换的思想，考验理解能力，分析问题的能力，属中档题.三、解答题17．为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）12；（2）能认为，见解析.【解析】（1）计算“该中学一年级学生的近视”的人数，利用所求人数与总数的比值，可得结果.（2）计算2K，然后与表格数据进行对比可得结果.【详解】（1）由题可知：“该中学一年级学生的近视”的人数为50，总数为100，则利用样本估计总体思想可知：该中学一年级学生的近视率：501 1002=（2）由题可知：100,20,35,30,15 n a b c d=====由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 则22100(20153530)9.09 6.635(2035)(3015)(2030)(3515)K ⨯-⨯=≈>++++ 可以认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下 认为不足够的户外暴露时间与近视有关系 【点睛】本题主要考查统计量2K 的计算，重在于计算，属基础题 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =-，60S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】（1）27n a n =-；（2）8【解析】（1）根据等差数列的通项公式以及前n 项和，可得1,a d ，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算n S ，然后可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 由23a =-，60S =所以11135652602a d a dd a +=-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩， 所以27n a n =-（2）由（1）可知：27n a n =- 所以()1262n n a a n S n n +==-又n n S a >，所以2627n n n ->- 即28701n n n -+>⇒<或7n >所以使不等式n n S a >成立的n 的最小值为8【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，主要是计算，属基础题. 19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1333DC DD AD AB ====，AD DC ⊥，AB //DC ，E 为DC 上一点，且1DE =．（1）求证：1D E //平面1A BD ； （2）求点D 到平面1BED 的距离． 【答案】（1）见解析；（2310【解析】（1）通过证明四边形ABED 为平行四边形，可得1D E //1A B ，然后根据线面平行的判定可得结果.（2）作1DM D E ⊥交1D E 于M ，根据DM BE ⊥，可得DM ⊥平面1BED ，然后计算DM ，可得结果. 【详解】（1）∵AB //DC ，且33AB DC ==， ∴AB //DE ，AB DE =， 故四边形ABED 为平行四边形， ∴BE //AD //11A D ，11BE AD A D ==， ∴四边形11A D EB 为平行四边形， ∴1D E //1A B ，∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ， ∴1D E //平面1A BD ．（2）过D 作1DM D E ⊥交1D E 于M ， 如图∵1111ABCD A B C D -为直四棱柱， ∴1DD ⊥底面ABCD ，∴1DD BE ⊥， 由（1）得BE //AD ，∵AD DC ⊥， ∴BE DC ⊥，而1DC DD D ⋂=，∴BE ⊥平面11DCC D ，DM ⊂平面11DCC D ， ∴BE DM ⊥，又∵1DM D E ⊥，1BE D E E =I ， ∴DM ⊥平面1BED ，∴点D 到平面1BED 的距离即为DM 长， ∵1DE =，13DD =，∴110D E = ∴31010DM ==， ∴点D 到平面1BED 310【点睛】本题考查线面平行的判定以及点面距离，第（2）问中在于找到点D 到平面1BED 的距离即为DM 长，熟练线线、线面、面面之间的关系，考验观察能力以及分析能力，属中档题.20．已知函数31()sin cos 6f x x x x x =--，'()f x 为()f x 的导数． （1）证明：'()f x 在区间(0,)2π上不存在零点；（2）若31()cos 16f x kx x x x >---对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）4(,]π-∞．【解析】（1）计算'()f x ，然后从中提出函数1()sin 2g x x x =-，根据通过导数研究()g x 单调性，根据()g x 的值域，可知'()0f x >，最后可得结果.（2）化简式子，然后使用分离参数的方法，构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，计算新函数的最值并与k 进行比较，可得结果. 【详解】（1）'211()sin (sin )22f x x x x x x x =-=-， 令1()sin 2g x x x =-，则'1()cos 2g x x =-，当(0,)3x π∈时，'()0g x >，()g x 单增；当(,)32x ππ∈时，'()0g x <，()g x 单减，∵(0)0g =，()036g ππ=>，()1024g ππ=->，所以()g x 在(0,)2π上恒大于0，则'()0f x >在(0,)2π上恒成立，所以'()f x 在区间(0,)2π上不存在零点．（2）由31()cos 16f x kx x x x >---， 得sin 1x kx >-， ∵(0,)2x π∈，故sin 1x k x+<， 令sin 1()x t x x +=，则'2cos sin 1()x x x t x x --=， 令()cos sin 1m x x x x =--， 则'()sin 0m x x x =-<恒成立， ()m x 在(0,)2π上单调递减，∴()(0)10m x m <=-<，∴'()0t x <在(0,)2π上恒成立，即()t x 在(0,)2π上单减，∴4()()2t x t ππ>=，∴4k π≤，∴k 的取值范围是4(,]π-∞．【点睛】本题考查导数的综合应用，第（1）问中，难点在于从中分离出函数1()sin 2g x x x =-来研究，第（2）问中，难点在于分离参数，且两次使用导数，考验分析能力，属难题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2212y x +=的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点.（1）以AB为直径的圆与x =（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅u u u r u u u r为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）4；（2）存在定点，50,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）设直线l 的方程为()()11221,,,,y kx A x y B x y =-，联立直线与椭圆的方程消元可得12222+=+k x x k ，12212-=+x x k ，算出AB ，由以AB为直径的圆与x 相22k k =+，解出k 即可（2）设()00,P y ，可算出()222000222412y k y y PA PB k -+++⋅=+u u u v u u u v ，要为常数则有22000224112y y y -++=，解出0y 即可 【详解】由题意可设直线l 的方程为()()11221,,,,y kx A x y B x y =-，由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()222210k x kx +--=， 则224480k k ∆=++>恒成立，12222+=+k x x k ，12212-=+x x k ， ()12122422y y k x x k -+=+-=+，()()21212222112k y y kx kx k -=--=+.（1）2212k AB k +==+， 线段AB 的中点的横坐标为22kk +， ∵以AB为直径的圆与x22k k =+， 解得k =此时12222AB +==+，∴圆的半径为4. （2）设()00,P y ，()()()212102012120120PA PB x x y y y y x x y y y y y y ⋅=+--=+-++u u u v u u u v()22220002002222224141222222y k y y y k y k k k k -+++--=+++=++++， 由22000224112y y y -++=，得054y =-，716PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， ∴y 轴上存在定点50,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PA PB ⋅u u u r u u u r 为定值. 【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22241)1m x m m y m ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2sin()46πρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）C ：221(43x y y +=≠，l 40x +-=；（2）42-． 【解析】（1）计算平方和22()2x +，消参，并注意y 的范围，可得曲线C 的普通方程，然后利用两角和的正弦公式化简，结合sin ,cos y x ρθρθ==，可得l 的直角坐标方程.（2）根据（1）的条件假设曲线C上任意一点(2cos )θθ，使用点到直线的距离公式，然后使用辅助角公式，可得结果.【详解】（1）∵22)1m m-<≤+22()12x +=， ∴C的普通方程为221(43x y y +=≠，1:2cos )42l ρθθ+=，sin cos 4θρθ+=，∴l40x +-=．（2）由（1）可知：设C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， 则可设C上任意一点坐标为(2cos )θθ，则C 上点到l 距离为d ，d == 其中2tan 3ϕ= 当sin()1θϕ+=时，min42d -==，∴曲线C 上的点到l距离的最小值为42． 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程的相互转化，以及辅助角公式的应用，重在于掌握公式，以及熟练参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，属中档题. 23．已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明：（1）(4)(4)(4)216a b c +++≥；（2）222()()()48a b b c c a +++++≥.【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）分解式子并使用三次基本不等式，可得422a a +=++≥=(4),(4)b c ++以此类推，注意取等号的条件，可得结果.（2）利用三次基本不等式，可得22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，然后对里面每个因式使用基本不等式，可得结果.【详解】（1）∵0a >，0b >，0c >，∴422a a +=++≥=，422b b +=++≥=，422c c +=++≥=故(4)(4)(4)216a b c +++≥=，当且仅当2a b c ===时取等号，∴(4)(4)(4)216a b c +++≥．（2）222()()()a b b c c a +++++≥ 即22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥+++ 233[()()()]a b b c c a +++233)≥⨯，2223333[()()()]3(8)36431648a b b c c a abc +++≥⨯=⨯=⨯=当且仅当a b c ==时取等号，∴222()()()48a b b c c a +++++≥．【点睛】本题考查n 次基本不等式的使用，第（1）问中难点在于分解，本题考验极强的分析能力以及观察能力，属难题.。
吉林省长春市2020届高三普通高中质量监测(二)文数试题含答案
f
(x)
=|
2x
+1|
+
|
x
− 1 |=
x
+
2,
− 1 ≤ x ≤1， 2
−3x,
x−1 2
由此可知， f (x) 9的解集为{x | −3 x 3}
（Ⅱ）当 a 0 时， f (x) 的最小值为 f (1) 1；
当 a = 0 时， f (x) 的最小值为 f (1) =1；
当 a 0 时， f (x) 的最小值不恒大于 1.
综上， a (0,+) .
（5 分） （10 分）
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第3页（共3页） 5
即
xM 2
=
12 3 + 4k 2
，即 |
AP | | | OM
AQ |2
|
=
|
xP
−
xA | | xQ | xM |2
−
xA
|
=
|
xP
+2||0+ | xM |2
2|
=
2.
（12 分）
21. (本小题满分 12 分)
【参考答案与评分细则】（Ⅰ）由题可知 f (x1) = f (x2) ，且 f (x1) = 0 ，
（4 分）
（Ⅱ）设直线 AP 的方程为： y = k(x + 2) ，则直线 OM 的方程为 y = kx .
联立直线 AP 与椭圆 C 的方程可得： (3 + 4k2)x2 +16k2x +16k2 −12 = 0 ，
由
xA
=
−2
，可得
xp
=
6 − 8k 2 3 + 4k 2
2020届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研模拟测试数学(文)试卷(PDF版)
17. （10 分）
为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相
应区域. 现随机抽取了某阅读区 500 本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.
文学类专栏
科普类专栏
其他类专栏
文学类图书
100
40
10
科普类图书
30
200
30
其他图书
20
10
60
（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；
48 A.
25
56 B.
25
8 C.
5
D. 4 3 5
x 1
6.
已知实数
x,
y
满足线性约束条件
x
y
0
，则 z 2x y 的最小值为
x y 2 0
A. 5
B. 1
C. 5
D. 1
7. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ： (0.675, 0.989),
(1.102, 0.010), (2.899,1.024), (9.101, 2.978) ,下列函数模型中拟合较好的是
3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求。
1. 集合 A {x | 0 x 1 4}, B {x | x 2},则 A I B
A. 数据中可能有异常值
B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值
D. 数据中众数可能和中位数相同
2020届吉林省高三数学(文科)二模试题以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅱ卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{{}221,650=A xB y y y A B x ⎫=≥=-+≤⎬⎭1若，则．（ ）A ．(]0,5B ．(],5-∞C ．(]0,3D ．(],3-∞2．若复数512iz i=-（i 为虚数单位），则z 在复平面中对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ． 三D ．四3．抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，） D ．116（0，）4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y=-的最大值是（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ．86．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20192020，则输入m 的值为（ ） A ．2017 B ． 2018 C ． 2019 D ．20207．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π38．函数1()l n ||f x x x=+的图象大致为（ ）9．给出下列四个命题：①方程22184x y a a -=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是4a >； ②命题 :p “存在0x R ∈，使得20010x x ++<” 的否定是“对任意x R ∈，210x x ++均有＜”；③回归直线ˆˆˆya bx =+ 恒过样本数据的中心(),x y ； ④若直线a 平行于平面α内的一条直线b ，则a ∥.α其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量“优良”,空气质量指数大于200表示空气“重度污染”．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天（于第二天晚上离开）． 由统计图表所做的以下推断中，说法不正确的是（ ）是1S S =+0;1S n ==n m<m输入A ．此人停留的2天空气质量都“优良”的概率为413； B ．此人到达当日空气“重度污染”的概率为213； C ．此人到达当日空气质量“优良”的条件下，次日空气质量“优良”的概率为23； D ．此人停留的2天至少一天空气“优良”的概率为713． 11．数列{}n a 的前n 项和为S n ,若11a ＝，1(2)1n n a S n ≥＋＝，则2019a 等于（ ） A ． 20183B ． 201813+ C ．201723⨯ D ． 2017123+⨯12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),11x R f x f x ∈+=-都有． 当01x ≤≤时，()2f x x =．若直线()=f x x m +与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数m 的值是（ ）A ．0B ． 0或14-C ．14-12-或D ． 0或12-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．在科学史上，阿基米德是公认的排在首位的大科学家．他在自己许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意，甚至希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形．圆柱容球是这样的:“圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．”若从此圆柱中任取一点，则该点并非取自球内的概率是 ．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2 (a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．15．已知函数()()()2f x sinx cosx f x f x +='＝，，()f x '（其中()f x 是的导函数)，则21+cos 2cos sin 2xx x -=____．16．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a<b<c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是((,0,,则顶点B 的轨迹方程为_____________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届吉林省高考二模数学(文科)试卷及答案
b
的夹角为
()
A． 3
B． 2 3
【解答】解：向量
a
，
b
满足
|
a
|
C． 4
D． 3 4
3 ， | b | 2
6
，且满足
(2a
b)
a
，
设
a
与
b
的夹角为
，
[0
，
]
，
则 (2a b)a 2a 2 ab 23 32 6 cos 0 ，cos 2 ， 2
lnx ln(x 1) x 1 x
(lnx ) 2
lnx x ln(x 1) x 1 x(x 1)(lnx)2
0
．
g(x) logx (x 1) ， (x 2) ．单调递增．
c 1 a b ， b a c ． 故选： C ．
第 6页（共 18页）
4．（5 分）长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分 割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例 5 1 ( 5 1 0.618 称为黄金分割比例），这
（2）求点 D 到平面 BED1 的距离．
20．（12 分）已知函数 f (x) sin x x cos x 1 x3 ， f (x) 为 f (x) 的导数． 6
（1）证明：
f
( x)
在区间
(0,
)
上不存在零点；
2
（2）若 f (x) kx x cos x 1 x3 1对 x (0, ) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
LP HJ 1 5 1 ， 5 1 2
2
则在矩形 HJIF 中， HF HJ ( 5 1)2 ，
5 1
2
2020届吉林省长春市高三质量监测(二)数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|(2)0A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,3- B ．{}0,1,2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2,3答案：B解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 解：由()20x x -≤解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：B 点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1答案：A利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 解：由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==解得0a =或2a =. 故选：A 点评：本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 3．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =答案：C分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由解：函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 点评：本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a答案：A将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 解：由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 点评：本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，122a e e =-r u r u u r，则a =r （ ）A ．4B ．2CD ．1答案：C 求出2a r 即得解. 解：由题得222121214+44141132a e e e e =-⋅=+-⨯⨯⨯=r u r u u r u r u u r .所以a =r3.故选：C 点评：本题主要考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 答案：D根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 解：对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误. 对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确.故选：D7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()lna xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧答案：A分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 解：对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 点评：本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B对x 分0,0x x >≤两种情况求方程()3=0f x -的根的个数即得解. 解：当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >；当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<Q ， 所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2. 故选：B推理能力.9．已知α为锐角，且sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，则角α=（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 答案：C对sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.解：由题得sin sin 33,cos()sin 33ππαααππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭Q 为锐角，∴sin cos()33ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∴11sin cos ,sin cos ,tan 122ααααααα-=∴=∴=. 因为α为锐角，∴=4πα. 故选：C 点评：本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） ABC．3D答案：D求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求的离心率．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，由题得圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =，可得圆心到渐近线的距离为d =，则2=223a b =，所以221,3b a =c e a ====故选：D ． 点评：本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A ．121n -+ B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅答案：B由题得122,1n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S . 解： 由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯L ， 所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+.本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 解：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A C G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r ，故//GC ED 不成立，故②错误.③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r，设EF 和1BB 成角为θ，则11cos 2EF BB EF BB θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C点评：本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．答案：4 解：作出可行域如图所示：由222x y y -=⎧⎨=⎩，解得()2,2A .目标函数z x y =+，即为y x z =-+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A 时，224max z =+=.答案：1先求出切线的斜率()1,3k f π'==解方程1()1a ⨯-=-即得解.解：由题得()2cos ,() 1.3f x x k f π''=∴==所以1()1,1a a ⨯-=-∴=. 故答案为：1 点评：本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得PAB ∆为锐角三角形的概率为________. 答案：16如图，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形.求出劣弧CD 的长，再利用几何概型的概率公式求解. 解：如图，四边形ABCD 是矩形，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形. 由于OD=OC=CD=2，所以3COD π∠=,所以劣弧CD 的长为22=33ππ⨯，由几何概型的概率公式得213=226P ππ=⋅. 故答案为：16本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、双空题16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为________. 答案：22343π由于BD 是球的直径，故当,OC BD OA BD ⊥⊥时，三棱锥A BCD -体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥A BCD -体积最大时，等边三角形ABC 的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即求得平面ABC 截球所得的截面圆的面积. 解：依题意可知，BD 是球的直径，所以当,OC BD OA BD ⊥⊥，即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.此时2BC AC AB ===，即三角形ABC 是等边三角形，设其外接圆半径为r ，由正弦定理得223sin3r r π=⇒=，所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为2244433r πππ=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1).223(2). 43π本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．已知在ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin B A A =，1cos 3B =.（1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长.答案：（1）3A π=（2）14+（1）由题得sin 3B =，再解方程()221cos 3cos A A -=即得解；（2）求出sin C =，再利用正弦定理得解. 解：（1）由题得sin 3B =， 所以22sin 3cos A A =，所以()221cos 3cos A A -=， 解得1cos 2A =，(0,)A π∈Q ，∴3A π=.（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1132=+=由正弦定理sin sin AB AC C B =得sin 1sin 4AC AB C B =⋅=+. 点评：本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计100()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）答案：（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值. （2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 解：（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下：擅长不擅长合计男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 307010022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(800300) 4.76250503070⨯-=≈⨯⨯⨯，对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 点评：本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，且1A B NG ⊥.（1）求证1A B GM ⊥；（2）求点1A 到平面MNG 的距离.答案：（1）证明见解析（265（1）先证明1A B ⊥平面MNG, 1A B ⊥MG 即得证；（2）设1A B 与GN 交于点E ，先求出55BE =，再求出1655A E =即得解. 解：（1）由题意平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，因为1MN BB ⊥, 所以MN ⊥平面11ABB A ,因为1A B ⊂平面11ABB A ,所以1MN A B ⊥,因为1GN A B ⊥,,MN GN ⊂平面MNG ,MN GN N =I ,所以1A B ⊥平面MNG, 因为MG ⊂平面MNG, 所以1A B ⊥MG.（2）设1A B 与GN 交于点E ，在直角△11A BB 中，112cos 5525A BB ∠==, 在直角BNE ∆中，112cos 552BE BE A BB BN ∠===,所以55BE =， 则15652555A E ==因为1A B ⊥平面MNG,所以1A E 就是1A 到平面MNG 的距离， 可知1A 到平面MNG 的距离为55. 点评：本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试证明2||||||AP AQ OM ⋅为定值，并求出该定值.答案：（1）22143x y +=（2）证明见解析；该定值为2（1）由已知得2234b a =，且1c =，即得椭圆的标准方程；（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，求出226834p k x k -=+，221234M x k =+，再计算2||||||AP AQ OM ⋅得其值为定值.解：（1）已知点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，可设()00,P x y ，即2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--， 且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：()2222341616120kxk x k +++-=，由2A x =-，可得226834p k x k -=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：()2234120kx+-=，即221234Mx k =+，即2222|02|||||2||p A Q P M MA x x x x x AP AQ OM x x -⋅-+⋅+⋅===. 点评：本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．已知函数321()3f x x x mx m =+++. （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点. 答案：（1）1223x x +=-（2）证明见解析（1）由题得22112212+++3+3+30x x x x x x m =，2113630x x m ++=，对两式消元因式分解即得122x x +的值；（2）由题得321(1)3x x m x +=-+，再分析321()3h x x x =+和(1)y m x =-+的图象即得当0m >时，()f x 有唯一的零点.解：（1）由题得2()2f x x x m '=++， 由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++， 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-=， 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-Q . （2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+， 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+， 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减， 又4(2)3h -=，(0)0h =； (1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<，因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点， 即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点.点评：本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.答案：（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1)（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值.解：（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=； 曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+，因此28||24sin cos ||4cos sin cos cos 214ON OM ββπβββββ+===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即||||ON OM1)=. 点评：本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题. 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 解：（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2020年吉林省高考文科科数学仿真模拟试题二(附答案)
2020年吉林省高考文科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2. 在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“x＞5”是“＞1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4. 以A （－2，1），B （1，5）为半径两端点的圆的方程是( ) A. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25 B. （x －1）2＋（y －5）2＝25C. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25或（x －1）2＋（y －5）2＝25D. （x ＋2）2＋（y －1）2＝5或（x －1）2＋（y －5）2＝5 5. 已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53-B. 13C. 23D. 326. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3B. -2C. 2D. 37. 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ） A. 1212p p << B. 1212p p << C. 2112p p << D.2112p p << 8. 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A. 58-B.118C.14D.189. 已知4616117421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= T ，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①和②处可以分别填入( ) A.i m m i +=≤，?10 B.1?10++=≤i m m i ， C.i m m i +=≤，?11 D.1?11++=≤i m m i ，10．已知点()12,0F -，圆()222:236F x y -+=，点M 是圆上一动点，线段1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .则点N 的轨迹方程为A.22192x y -=B.320x y --=C.2236x y += D.22195x y += 11．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。