【课件】4.3.2 第2课时等比数列前n项和的性质及应用人教A版(2019)选择性必修第二册

人教版(2019)数学选择性必修二 4_3_2等比数列的前n项和公式(1)课件

(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝
✓ q＝1时不成立
1 1−
1−
来求． ( × )
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． ( √ )
方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或
q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
当q＝1时
由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
A．－2
B．1
C．－2或1
D．2或－1
✓ 当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
✓ 当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
1
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－
2
31
10
则＝________.
32
5
10
5
＝
−1 1− 10
1−
⋅
＝1 + 5
＝1 +
＝1 −
1−
2
n
(3)1＋x＋x ＋…＋x ＝
1−
✓ q＝1时不成立
．( × )
3
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则
2
A．3
3
✓ ＝
2
B．4
1 1−23
1−2

数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式

按1000颗麦粒的质量
为40g，那么象棋发
明者想要的麦粒总质
量超过7000亿吨，约
是202X-202X年度世
界小麦产量的981倍
，因此，国王根本不
可能实现他的诺言.
公式辨析
判断是非
5n
5(1 1 )
(1)5 5 5 5
0
1 1
n
2n
n个
n
n
1

(
1

2
)
2
n1
1. 已知数列{an}是等比数列.
3
9
(3) 若a3 ,S3 ,求a1与q.
2
2
3
9
解1：
当q 1时,a1 a3 ,S3 3a1 ,满足条件.
2
2
2 3
a1q
a1 6

2
3
1

当q 1时,
, 解得
1 . ∴a1 ,q 1或a1 6,q .
n
首
末
项
项
公
项
项
数
和
比
a1 (1 q n )
已知a1 , q, n, 则S n
1 q
a1 an q
已知a1 , an , q, 则S n
1 q
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
4
a1＝8，
解得 q＝1，
2
a11－q5 31
从而 S 5＝
＝ .
2
1－q

高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件

项的和，则：
奇
①在其前2n项中，
偶
= ；
②在其前2n+1项中，
奇 − 偶 = − + − + ⋯ − + +
+ + + +
=
=
( ≠ −)
−（−）
+
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
当q=1时， = = ⋯ = ， =
当q≠1时， =
(− )
−
=
−
−
【注意】
(1) 判断q是否等于1;
(2) 当q≠1时，若已知，，，则套用 =
(3) 若已知，，，则套用 =
−
−
(− )
∴3 − 2 = 0，
∴ =
3
2
练习巩固
练习1：在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项
的和等于(
A.－25
D)
B.25
C.－31
D.31
练习2：等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(
A.
1−
1−
1− −1
B.
， ≠ 1且 ≠ 0
1− −1
①
等式①的两边同时乘以公比q ，得
= + + +··· + − + − +
由①-②，得：(−) ∙ = −
由此得 ≠ 时， =
(− )
−
②
错
位
相
减
法
知识新授
设等比数列{an}的首项为 ,公比为( ≠ )，数列{an}的前和

高中数学选择性必修修二第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)

4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√) (2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－错误!.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n.1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. (1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79，则AB＝q ＝3，即A ＝3B ．又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________. 70 解析：(方法一)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则错误! 两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a11－q＝－10. ∴S 30＝错误!＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝错误!，即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝错误!＋错误!×错误!n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？解：设该数列的第n 项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝错误!－错误!＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1，所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，na n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝6－6＋3n 2n .所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)，得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，所以1Sn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－错误!.1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11，由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b1b11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立．又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8，而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a3a2＝2，a 1＝a2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝错误!＝错误!＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S2 019S1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )，即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S2 019S1＝错误!＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫an ＋12，所以an ＋1＋12an ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1.(2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n ＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a11－q当成整体求解．课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a1－anq1－q ＝1－an ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98， ∴1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q2＋1q3＝q3＋q2＋q ＋1a1q3＝错误!＝错误!＝－错误!. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝错误!，S 奇＝错误!.由题意得错误!＝错误!，∴1＋q ＝3， ∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝n －1＋12n. 6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d .∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋b1＝1，a2＋b2＝1，a3＋b3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )． ∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋错误!＝978. 知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12 D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2＝S 1·S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12. 9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( )A ．a 1＝－1B ．公比q ＝－2C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1.∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S10S5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ，∵S 3＝错误!＝2，S 6＝错误!＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴S10S5＝1－q101－q5＝1＋q 5＝33.11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( )A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C)D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)，∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( )A ．66B ．55C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1.∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1.∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列，首项为1，公比为12， ∴T 5＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝3116. 14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝错误!＝1，∴a 1＝错误!.∴S 10＝错误!＝错误!× 1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3.又因为a 3＝5，所以公差d ＝2.从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3.从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1. 若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1.∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12，则2S 3＝3a11－q ，S 6＝34a11－q ，S 12－S 6＝316a11－q. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a11－q 2＝3a11－q ·316a11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列(60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误[防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0.[对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a4＝1a3＋1a5.③ 由③得2a4＝a3＋a5a3·a5，∴a 4＝2a3·a5a3＋a5.④ 由①得a 2＝a1＋a32.⑤ 由④⑤代入②，得a 23＝a1＋a32·2a3·a5a3＋a5. ∴a 3＝错误!，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误[防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．[对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0，∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a5a2＝q 3＝27，∴q ＝3， ∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a2－a1b2＝________. 12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a1＝－2＋a2，2a2＝a1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－4，a2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 2＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a2－a1b2＝错误!＝错误!. 易错点3| 忽视对公比q 的讨论[防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝错误!；当公比q ＝1时，S n ＝na 1.[对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an 1－a. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n .解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S3＝4，S6＝36得错误!由②①得1－q61－q3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47. ∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3，∴q ＝a3a2＝1. 9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12. 10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. 11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列，∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋错误!×(－2)＝－n 2＋23n ＝－错误!2＋错误!， ∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，an ＋2an ＝3，所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋错误!＝31 010－2. 14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4.当q ≠1时，错误!解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5，故a n ＝4或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，Sn n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得Sn n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n2＋12n －错误!＝2n －错误!；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由bn ＋1bn＝错误!＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝错误!＝错误!. 17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a2q＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2×3n －1－n ，∴S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－错误!＝3n －1－错误!. 18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5·3n－2，n≥2，n∈N*.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5n·3n－2，n≥2，n∈N*.T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，①3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×错误!－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.。

4.3 等比数列及其前n项和 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版)

等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q.代数形式：a na n−1=q( q是常数，n≥2)或a n+1a n=q( q是常数，n∈N∗ )Eg a na n−1=2( n≥2)⇒{a n}是公比为2的等比数列；a n+1a n=−3⇒{a n}是公比为2的等比数列；a n+1a n=4n⇒{a n}不是等比数列；PS所谓常数就是与n无关；等比数列中a n≠0 ,q≠0；偶数项的正负、奇数项的正负相同.Eg若−1 ,b1 ,b2 ,b3 ,−4成等比数列，则b2=.解：b22=−1×(−4)=4⇒b2=±2，而b2=−1∙q2<0,故b2=−2.(b2与−1 ,−4均是奇数项，符号相同)2 等比中项若a ,b ,c成等比数列，则b称a与c的等差中项,则b2=ac；3证明一个数列是等比数列的方法①定义法：a na n−1=q( q是常数，n≥2)⇒{a n}是等比数列；②中项法：a n+12=a n a n+2 (a n≠ 0 ,n∈N∗)⇒{a n}是等比数列；③通项公式法：若数列的通项公式是形如a n=k∙q n(k ,q是不为0常数)，则数列{a n}是等比数列；④前n项和法：若数列的前n项和是形如S n=k∙q n−k(k ,q是常数且k≠0，q≠0，1)，则数列{a n}是等比数列.4 通项公式等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n=a1q n−1.(由定义与累乘法可得)5前n项和等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为S n={na1 (q=1)a1(1−q n)1−q(q≠1)(由错位相减法可证)注：使用时注意公比是否等于1，若不确定，使用时需要分类讨论.6 基本性质(其中m ,n ,p ,t∈N∗)设{a n}是首项为a1, 公比为q的等比数列，那么(1)若m+n=p+t , 则a m a n=a p a t；(2) a n=a m q n−m；(3) q n−m=a na m；(4)数列{λa n}(λ是不为零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{b n}是公比为t的等比数列，则数列{a n b n}是公比为q∙t的等比数列；(5)下标成等差数列且公差为m的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k ,m∈N∗)组成公比为q m的等比数列；(6)若q≠−1,则S n ,S2n−S n ,S3n−S2n ,…成等比数列；(∵q=−1，n是偶数时，S n=0)【题型一】等比数列的判断与证明【典题1】【多选题】已知数列{a n}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()A．{1a n}B．{log2a n}C．{a n a n+1}D．{a n+a n+1+a n+2}【典题2】已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1=S n+n+1(n∈N∗) ,a1=1．求证{a n+1}为等比数列，并求a n.【典题3】设数列{a n}的首项a1为常数，且a n=3n−1－2a n−1(n≥2)．}是否为等比数列，请说明理由；(1)判断数列{a n−3n5(2) S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．巩固练习1 (★) 根据下列通项能判断数列为等比数列的是()A．a n=n B．a n=√n C．a n=2−n D．a n=log2n2 (★★) 已知数列{a n}是等比数列，则下列数列中：①{a n3}；②{2a n}；③{12a n}，等比数列的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个3 (★★) 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n－3n+1 ,n∈N∗,证明：数列{a n－n}是等比数列.4 (★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a3=7 ,a n=2a n−1+a2−2(n≥2)．(1)证明：{a n+1}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式，并判断n ,a n ,S n是否成等差数列？【题型二】等比数列的基本运算【典题1】若S n是等比数列{a n}的前n项和，S3 ,S9 ,S6成等差数列，且a7=2，则a4+a10=.【典题2】【多选题】正项等比数列{a n}的前n项和是S n，已知S3=a2+10a1 ,a4=3．下列说法正确的是()A．a1=9B．{a n}是递增数列C．{S n+118}为等比数列D．{log3a n}是等比数列【典题3】数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N∗，都有S nT n =3n+14，则a4b4=.巩固练习}是等比数列，则a11等于.1 (★★) 已知数列{a n}中，a1=7，a3=1，若{1a n+12 (★★) 已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，a1+a2=2，a5+a6=8，则S10=.3 (★★) 已知等比数列{a n}的前n项和是S n，若a1+2a2=0，S3=3，且a≤S n≤a+2，则实数a的取值范4围是.4 (★★) 若等比数列{a n}的前n项和是S n，且S2=3，S6=63，则S5=.5(★★) 设{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和．已知a1a3=16，S3=14，若存在n0使得a1 ,a2 ,⋯ ,a n的乘积最大，则n0的一个可能值是()A．4B．5C．6D．76 (★★★) 【多选题】在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4=32，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A．q=2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8=510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列7 (★★★) 【多选题】已知等比数列{a n}公比为q，前n项和是S n，且满足a6=8a3，则下列说法正确的是()=9A．q=2B．S6S3C．S3 ,S6 ,S9成等比数列D．S n=2a n+a1【题型三】等比数列的基本性质及运用【典题1】已知等比数列{a n}的公比大于1，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=.【典题2】【多选题】已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6+a 7>a 5a 8+1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的选项是 ( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1【典题3】已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n 且S 8－2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为．巩固练习1 (★★) 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 10=9，则log 9a 1+log 9a 2+⋅⋅⋅+log 9a 10= .2 (★★) 正项等比数列{a n }满足a 22+2a 3a 7+a 6a 10=16，则a 2+a 8= .3 (★★) 在等比数列{a n }中，若a 2a 5=−34，a 2+a 3+a 4+a 5=94，则1a 2+1a 3+1a 4+1a 5= .4 (★★) 已知等比数列{a n }中，a 2a 3a 4=1，a 6a 7a 8=64，则a 4a 5a 6= . 5(★★) 等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 4+a 5+a 6=6，则{a n }的前12项和为 .6(★★) 若等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6S3=6，则S9S6=.7(★★) 已知等比数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a3=5，S4=20，则S8−2S4S6−S4−S2=.8 (★★) 已知正项等比数列{a n}满足a2a8=16a5 ,a3+a5=20，若存在两项a m ,a n使得√a m a n=32，则1m+4n的最小值为.9 (★★) 【多选题】设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和是S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1．a7a8>1，a7−1a8−1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9>1C．S n的最大值为S9D．T n的最大值为T710 (★★) 【多选题】等比数列{a n}的公比为q，且满足a1>1，a1010a1011>1，(a1010－1)(a1011－1)<0．记T n=a1a2a3…a n，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a1010a1012－1>0C．T n≤T1011D．使T n<1成立的最小自然数n等于2021。

高中数学选择性必修第二册《4.3.2 等比数列的前n项和公式》公开课优秀课件(与新教材同步、精品)

1 90
, 求Sn ;
Sn
91 45
(3)若a1 1, a4 64,求q与S4;
q 4, S4 51
(4)若a3
3 2
，S3
9 2
, 求a1与q.
q
1，a1
=
3 2
或q
1 2
，a1
=6
2).已知a b, 且ab 0.对于n N , 证明：
an an1b an2b2 abn1 bn an1 bn1 .
当q 1时, Sn na1.
说明：这种求和方法称为错位相减法
方法二：
Sn = a1 + a2 + ···+ an
= a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1
= a1 + q ( a1 + a1q + ···+ a1 qn-2 )
= a1 + q Sn-1
= a1 + q ( Sn – an )
“知三求二” (方程思想)
三.巩固新知
1.例1. 已知数列an是等比数列.
(1)若a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8 ;
(2)若a1
27,
a9
1 243
,
q
0,
求S8;
解：(1)因为a1
1 2
,
q
1 2
,
所以S8
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 . 256
2
解(2)由a1
27, a9
1 ,得 243
高二数学选择性必修第二册第四章数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式

4.3.2等比数列的前n项和4 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册

6813
且 a1 a4 a7 757，求 a3 a6 a9 或1211.2
讲课
解得1 q q2 13, 解得q＝3或q 4
人
：
邢
启强
11
巩固练习
1S.n，设Sn等＋比2成数等列差{数an列}的，公则比q的为值q，为前__n－_项_2_和_.为Sn，若Sn＋1，
Tn 12 3 22 (1 2n ) (3n 3) 2n2 3n 2n2 ．
启强
8
巩固练习已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn＞0，求数列{bn}的前n项和.
解：设{bn}的前 n 项和为 Sn′，当 n＝1 时，a1＝S1＝1.当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝3－2n，又∵an＝log5bn，∴bn＝53－2n.
当 n 1时， 2b1 11 d ；当 n 2 时， 2b2 17 d ，
讲
课人：邢启强
解得 d
3,所以数列bn的通项公式为 bn
an d 2
3n 1．
7
例题讲评例 3. (2016 年山东高考)已知数列 a 的前 n 项和 n
Sn=3n2+8n，
b n
是等差数列，且 an bn bn1.
（Ⅰ）求数列 bn 的通项公式；
（Ⅱ）令 cn
(an 1)n1 (bn 2)n
.
求数列
c n
的前 n 项和 Tn.
(Ⅱ)由 cn
(an 1)n1 (bn 2)n
(6n 6)n1 (3n 3)n
(3n
3) 2n1
，
于是Tn 6 22 9 23 12 24 (3n 3) 2n1 ，
则若项数为偶数时， S偶 q

4.3.2(1) 等比数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

公式二： Sn=
1 (1− )
(
1−
1 = 1
知a1 , q, n
注：①当公比不确定时，应当分 = 1和 ≠ 1两种情况讨论.
②当 ≠ 1时，注意根据条件选择更为简便的公式.
≠ 1),
【例1】已知数列{ }是等比数列.
1
1
(1)若1 = , = , 求8 .
2
设等比数列 {an }的首项为 a1, 公比为 q, 前n项和为 Sn :
公式三：Sn=
1
−

1−
1.q≠1时，设，Sn=
1
+
(
1−
≠ 1),
1 = 1
Aqn-A（
A=
1
）
−1 ，即Sn是n的指数型函数.
2.q=1时，因为a1≠0，所以Sn= na1 ，Sn是n的正比例型函数.
【变式1】等比数列{�� }中, 3 + 6 = 29 , 则公比
= _____.
若q未知，用公式
时要考虑q是否为1
若q未知，用公式
【变式1】等比数列{ }中, 3 + 6 = 29 , 则公比 = _____. 时要考虑q是否为1
解 : ①q 1时, S3 S6 3a1 6a1 9a1 S9 2S9 .
21 + 22 + 23 + ……
①
+ 262 + 263 + 264 ②
4709551615
(粒)
② ①得S64 264 1(粒) 1844674407
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦
产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

现出任意性.
知识梳理
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
a
*且n≥2，q为不为0的常数)；
q
1.定义法： n ＝____(n∈N
an－1
*且n≥2)；
an－1an＋1
2.等比中项法：a2n＝________(n∈N
a1qn－1 a1·qn ＝A·qn(A≠0).
3.通项公式法：an＝_______＝
q
即
（
2 n 2),
则当n 2时，

2,
an 1 1
bn 1 an 1 1
an 1 1
an 1 1
∴ 数列{ + 1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知等比数列{ + 1}的首项为2，公比为2，
∴ + 1＝2 × 2−1 ＝2，∴ ＝2 − 1.
n
是否一定是等比数列？如果数列{an }是各项均为正的等比数列，
那么数列{log b an }是否一定是等差数列？
b an1
a n1 -a n
d

b

b
b an
➯
性质1：数列{an}是等差数列
⇔数列{b a n }是等比数列.
an1
logb a n1 logb an logb
logb q
1
又 S2＝3(a2－1)，
1
1
即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，
1
1

4.3 等比数列及其前n项和 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(教师版)

等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q.代数形式：a na n−1=q( q是常数，n≥2)或a n+1a n=q( q是常数，n∈N∗ )Eg a na n−1=2( n≥2)⇒{a n}是公比为2的等比数列；a n+1a n=−3⇒{a n}是公比为2的等比数列；a n+1a n=4n⇒{a n}不是等比数列；PS所谓常数就是与n无关；等比数列中a n≠0 ,q≠0；偶数项的正负、奇数项的正负相同.Eg若−1 ,b1 ,b2 ,b3 ,−4成等比数列，则b2=.解：b22=−1×(−4)=4⇒b2=±2，而b2=−1∙q2<0,故b2=−2.(b2与−1 ,−4均是奇数项，符号相同)2 等比中项若a ,b ,c成等比数列，则b称a与c的等差中项,则b2=ac；3证明一个数列是等比数列的方法①定义法：a na n−1=q( q是常数，n≥2)⇒{a n}是等比数列；②中项法：a n+12=a n a n+2 (a n≠ 0 ,n∈N∗)⇒{a n}是等比数列；③通项公式法：若数列的通项公式是形如a n=k∙q n(k ,q是不为0常数)，则数列{a n}是等比数列；④前n项和法：若数列的前n项和是形如S n=k∙q n−k(k ,q是常数且k≠0，q≠0，1)，则数列{a n}是等比数列.4 通项公式等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n=a1q n−1.(由定义与累乘法可得)5前n项和等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为S n={na1 (q=1)a1(1−q n)1−q(q≠1)(由错位相减法可证)注：使用时注意公比是否等于1，若不确定，使用时需要分类讨论.6 基本性质(其中m ,n ,p ,t∈N∗)设{a n}是首项为a1, 公比为q的等比数列，那么(1)若m+n=p+t , 则a m a n=a p a t；(2) a n=a m q n−m；(3) q n−m=a na m；(4)数列{λa n}(λ是不为零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{b n}是公比为t的等比数列，则数列{a n b n}是公比为q∙t的等比数列；(5)下标成等差数列且公差为m的项a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k ,m∈N∗)组成公比为q m的等比数列；(6)若q≠−1,则S n ,S2n−S n ,S3n−S2n ,…成等比数列；(∵q=−1，n是偶数时，S n=0)【题型一】等比数列的判断与证明【典题1】【多选题】已知数列{a n}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()A．{1a n}B．{log2a n}C．{a n a n+1}D．{a n+a n+1+a n+2}【解析】由题意，可设等比数列{a n}的公比为q(q≠0)，则a n=a1q n−1．对于A：1a n =1a1q n−1=1a1(1q)n−1．(等比数列通项公式形如指数型a n=A∙B n)∴数列{1a n }是一个以1a1为首项，1q为公比的等比数列；对于B：若a n>0，则log2a n=log2(a1q n−1)=log2a1+(n－1)log2q．∴数列{log2a n}是一个以log2a1为首项，log2q为公差的等差数列；对于C：∵a n+1⋅a n+2a n⋅a n+1=a n+2a n=a1⋅q n+1a1⋅q n−1=q2，∴数列{a n a n+1}是一个以q2为公比的等比数列；对于D：∵a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=q(a n+a n+1+a n+2)a n+a n+1+a n+2=q，∴数列{a n+a n+1+a n+2}是一个以q为公比的等比数列．故选：ACD．【点拨】①判定等比数列常用定义法：a n+1a n=q( q是常数，n∈N∗)⇒{a n}是等比数列；②等比数列通项公式形如指数型a n=k∙q n，在选择填空题运用.【典题2】已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1=S n+n+1(n∈N∗) ,a1=1．求证{a n+1}为等比数列，并求a n.【解析】证明：∵a n+1=S n+n+1(n∈N∗)，(遇到a n与S n的等式可想到a n={S1 , n=1S n−S n−1 ,n≥2)当n≥2时，a n=S n−1+n两式相减得a n+1－a n=S n+n+1－(S n−1+n)=a n+1，化简得a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2a n+2=2(a n+1) (n≥2)，(不要漏了大前提：n≥2，要证明{a n+1}为等比数列，还要判断a n+1+1=2(a n+1)当n=1时也成立)而对于a n+1=S n+n+1(n∈N∗)中当n=1时有a2=S1+2=a1+2=3，则a2=3 ,a1=1满足a n+1+1=2(a n+1)，∴a n+1+1=2(a n+1) (n∈N∗)，∴{a n+1}为等比数列，首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，∴a n+1=2⋅2n−1=2n,∴a n=2n−1.【点拨】数列问题中，特别要注意n的取值范围，比如n≥2、n∈N∗，要确定好.【典题3】设数列{a n}的首项a1为常数，且a n=3n−1－2a n−1(n≥2)．(1)判断数列{a n−3n5}是否为等比数列，请说明理由；(2) S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．【解析】(1)当n≥2时，a n−3n5=3n−1－2a n−1−3n5=2∙3n−15−2a n−1=−2(a n−1−3n−15)(定义法证明等比数列，要注意首项a1−35是否等于0)① 当a 1−35≠0，即a 1≠35时，a n −3n 5a n−1−3n−15=−2，∴a 1≠35时，{a n −3n 5}为等比数列，公比为－2．② 当a 1−35=0，即a 1=35时，a n −3n 5=0，数列{a n −3n 5}不是等比数列．(2) ① 当a 1=35时，a n =15⋅3n ，为单调递增数列，满足条件．② 当a 1≠35时，由(1)可得：a n −3n 5=(a 1−35)(－2)n−1，若{S n }是递增数列，则S n −S n−1>0(n ≥2)，即a n >0(n ≥2)， ∴a n =(a 1−35)(−2)n−1+3n 5>0，(问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到(−2)n−1想到分n 奇偶数讨论) 当n 为偶数，则−2n−1(a 1−35)+3n 5>0⇒a 1<25∙(32)n+35，故a 1<25∙(32)2+35=32，(f (n )=25∙(32)n+35是增数列，f min =f(2)) 当n 为奇数，则2n−1(a 1−35)+3n 5>0⇒a 1>−25∙(32)n+35，故a 1>−25∙(32)3+35=−34，(f (n )=−25∙(32)n+35是减数列，f max =f(3)) ∴−34<a 1<32．且a 1≠35．综上可得：−34<a 1<32．【点拨】若a n+1=2a n (n ∈N ∗)，不能得到{a n }是等比数列，一定要强调a 1≠0才行. 巩固练习1 (★) 根据下列通项能判断数列为等比数列的是( ) A ．a n =n B ．a n =√nC ．a n =2−nD ．a n =log 2n【答案】C【解析】在A 中，a n =n 是等差数列，不是等比数列，故A 错误；在B 中，a n =√n 既不是等差数列，又不是等比数列，故B 错误；在C 中，a n =2－n 是等比数列，故C 正确；在D 中，a n =log 2n 既不是等差数列，又不是等比数列，故D 错误．故选：C ．2 (★★) 已知数列{a n}是等比数列，则下列数列中：①{a n3}；②{2a n}；③{12a n}，等比数列的个数是() A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】∵数列{a n}是等比数列，设公比为q，则q为常数．则a n3=a13q3n−3，则a n+13a n3=q3，为常数，故：①{a n3}为等比数列．∵2a n+12a n=2a n+1−a n，不是常数，故②{2a n}不是等比数列．∵12a n+112a n=a na n+1=1q，为常数，故③{12a n}为等比数列，故选：C．3 (★★) 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n－3n+1 ,n∈N∗,证明：数列{a n－n}是等比数列.【证明】∵a n+1=4a n－3n+1，∴a n+1－(n+1)=4(a n－n),a1－1=1．∴数列{a n－n}是等比数列，首项为1，公比为4．4 (★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a3=7 ,a n=2a n−1+a2−2(n≥2)．(1)证明：{a n+1}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式，并判断n ,a n ,S n是否成等差数列？【答案】(1) 见解析(2)a n=2n−1，n ,a n ,S n成等差数列【解析】(1)证明：∵a3=7,a3=3a2－2，∴a2=3，∴a n=2a n−1+1，∴a1=1，a n+1a n+1+1=2a n−1+2a n−1+1=2(n≥2)，a1+1=2，∴{a n+1}是首项为2公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，a n+1=2n，∴a n=2n−1，∴S n=2−2n+11−2−n=2n+1−n−2，∴n+S n−2a n=n+2n+1−n−2−2(2n−1)=0，∴n+S n=2a n，即n,a n,S n成等差数列．【题型二】等比数列的基本运算【典题1】若S n是等比数列{a n}的前n项和，S3 ,S9 ,S6成等差数列，且a7=2，则a 4+a 10= .【解析】由题意可得：等比数列{a n }的公比q ≠1，(利用等比数列的前n 项和公式S n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q(q ≠ 1)，特别要注意公比q 是否等于1)∵S 3 ,S 9 ,S 6成等差数列，∴2S 9=S 6+S 3， ∴2×a 1(q 9−1)q−1=a 1(q 6−1)q−1+a 1(q 3−1)q−1⇒2q 6−q 3−1=0⇒(2q 3+1)(q 3−1)=0，∴q 3=−12∵a 7=2 ∴a 1q 6=2⇒a 1=8，则a 4+a 10=a 1q 3+a 1q 9= −4−1=−5．【点拨】① 与等差数列差不多，首项a 1和公比q 是等比数列的基本量，通项公式a n =a 1q n−1和前n 项和公式S n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q(q ≠ 1)均与基本量有关；②等比数列中a 1 ,q ,a n ,S n ,n 五个量，一般可以“知二求三”，通过条件得到a 1与q 的方程(组)是关键.【典题2】【多选题】正项等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3=a 2+10a 1 ,a 4=3．下列说法正确的是( ) A ．a 1=9 B ．{a n }是递增数列C ．{S n +118}为等比数列D ．{log 3a n }是等比数列【解析】 ∵S 3=a 2+10a 1 ,a 4=3．设首项为a 1，公比为q ，则{a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1a 1q 3=3，解得{a 1=19q =3，(这里S 3=a 1+a 2+a 3，没用等比数列前n 项和公式，运算简单些) 所以a n =19⋅3n−1=3n−3，故A 错误，B 正确；则S n =19(3n−1)3−1=118⋅3n −118，由于S n 的关系式符合kq n －k 的形式，故C 正确．由于a n =3n−3，所以log 3a n =log 33n−3=n −3，所以该数列为等差数列，故D 错误．故选：BC ．【点拨】①在等比数列中遇到S n若其下标较小，用S n=a1+a2+⋯+a n会比等比数列的前n项和公式更好些；②本题还是把已知条件向基本量“靠拢”.【典题3】数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N∗，都有S nT n =3n+14，则a4b4=.【解析】当n=1时，S1T1=3+14=1，即a1=b1，设{a n}、{b n}的公比分别为q ,p，则S2T2=a1+a1qb1+b1p=1+q1+p=9+14=52，即2(1+q)=5(1+p)，即q=32+5p2，当n=3时，S3T3=a1+a1q+a1q2b1+b1p+b1p2=1+q+q21+p+p2=27+14=7，即1+q+q2=7(1+p+p2)，将q=32+5p2代入1+q+q2=7(1+p+p2)得1+32+5p2+(32+5p2)2=7(1+p+p2)，整理得p2－4p+3=0，得p=1或3，当p=1时，q=32+5p2=4，此时S nT n=a1(1−4n)1−4nb1=4n−13n≠3n+14，∴p=1不成立，当p=3时，q=9，此时a4b4=a1q3b1p3=9333=27，综上a4b4=27，【点拨】利用方程思想向基本量靠拢进行求解，计算量略大.巩固练习1 (★★) 已知数列{a n}中，a1=7，a3=1，若{1a n+1}是等比数列，则a11等于.【答案】−127128【解析】设等比数列{1a n+1}的公比为q，a1=7,a3=1，则11+1=11+7⋅q2，解得q2=4．∴1a11+1=1a1+1•q10=18×210=27=128．解得a 11=−1271282 (★★) 已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，a 1+a 2=2，a 5+a 6=8，则S 10= . 【答案】62【解析】设公比为q ，由a 1+a 2=2，a 5+a 6=8，{a 1+a 1q =2a 1q 4+a 1q 5=8，解得a 1=2√2−2,q =√2，或q =−√2(舍去)， S 10=√2−2)(1−(√2)101−√2=62.3 (★★) 已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+2a 2=0，S 3=34，且a ≤S n ≤a +2，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[−1,12]【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+2a 2=0，S 3=34， ∴a 1(1+2q)=0，a 1(1+q +q 2)=34，解得：a 1=1，q =−12， ∴S n =1−(−12)n1−(−12)=23[1−(−12)n ]．当n =1时，S n 取最大值1，当n =2时，S n 取最小值12，∴{a ≤12a +2≥1，－1≤a ≤12， 4 (★★) 若等比数列{a n }的前n 项和是S n ，且S 2=3，S 6=63，则S 5= . 【答案】−33【解析】设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵S 2=3，S 6=63， ∴a 1(1+q)=3，a 1(q 6−1)q−1=63，消去a 1，化为q 4+q 2－20=0，解得q =±2． q =2时，a 1=1；q =－2，a 1=－3．则S 5=25−12−1=31，或S 5=−3[1−(−2)5]1−(−2)=−33．5(★★) 设{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1a 3=16，S 3=14，若存在n 0使得a 1 ,a 2 ,⋯ ,a n 0的乘积最大，则n 0的一个可能值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】等比数列{a n }中，公比q >0；由a 1a 3=16=a 22，所以a 2=4，又S 3=14，所以{a 1⋅a 3=16a 1+a 3=10，解得：{a 1=2a 3=8，或{a 1=8a 3=2，若{a 1=2a 3=8时，可得q =2，可得a 1,a 2,⋯,a n 0的值为2,4,8,16…，不会存在n 0使得a 1,a 2,⋯,a n 0的乘积最大(舍去)，若{a 1=8a 3=2时，可得q =12，可得a 1,a 2,⋯,a n 0的值为8,4,2,1,12,14⋯，观察可知存在n 0=4，使得8×4×2×1的乘积最大，综上，可得n 0的一个可能是4．6 (★★★) 【多选题】在公比q 为整数的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4=32，a 2+a 3=12，则下列说法正确的是( )A ．q =2B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8=510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】∵a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,a 1(1+q 3)=18,a 1(q +q 2)=12，公比q 为整数．解得a 1=q =2． ∴a n =2n,S n =2(2n −1)2−1=2n+1－2．∴S n +2=2n+1，∴数列{S n +2}是公比为2的等比数列． S 8=29－2=510．lga n =n ．数列{lga n }是公差为1的等差数列．综上可得：只有ABC 正确．故选：ABC ．7 (★★★) 【多选题】已知等比数列{a n }公比为q ，前n 项和是S n ，且满足a 6=8a 3，则下列说法正确的是( ) A ．q =2B ．S6S 3=9C ．S 3 ,S 6 ,S 9成等比数列D ．S n =2a n +a 1【答案】AB【解析】根据题意，等比数列{a n}中，对于A，若a6=8a3，则有q3=a6a3=8，解可得q=2，A正确，对于B，由q=2，则S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=637=9，B正确，对于C，由q=2，则S3=a1(1−q3)1−q =7a1，S6=a1(1−q6)1−q=63a1，S9=a1(1−q9)1−q=511a1，S3,S6,S9不是等比数列，C错误，对于D，由q=2，则S n=a1(1−q n)1−q=(2n－1)a1，a n=a1×q n−1=2n−1a1，S n=2a n+a1不成立，D错误，故选：AB．【题型三】等比数列的基本性质及运用【典题1】已知等比数列{a n}的公比大于1，a3a7=72，a2+a8=27，则a12=.【解析】在公比大于1的等比数列{a n}中，∵a3a7=72⇒a2a8=27 ,a2+a8=27，则a2 ,a8是x2−27x+72=0的两根，(利用韦达定理，求解更快捷)可解得{a2=3a8=24或{a8=3a2=24，由于公比大于1，则a2=3，a8=24，则有q6=a8a2=8，则q2=2，(q n−m=a na m，知道两项便可直接求出公比q)a12=a2q10=3×25=96．(a n=a m q n−m，求任意一项a k不一定要知道a1)【点拨】本题若使用方程思想求基本量的方法，计算量就较大；注意项数的下标之间数值的关系，利用等比数列的相关性质求解快捷.【典题2】【多选题】已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6+a7>a5a8+1>2，记{a n}的前n项积为T n，则下列选项中正确的选项是()A．0<q<1B．a6>1C．T12>1D．T13>1【解析】∵a6+a7>a5a8+1∴a6+a7>a6a7+1⇒a6a7−a6−a7+1<0∴(a6－1)(a7－1)<0 (∗)，∵a1>1，若a6<1⇒a1q5<1⇒0<q<1，则一定有a7=a6q<1，不符合 (∗)，(大胆假设小心验证)则a6>1 ,a7<1 , ∴0<q<1．∵a6a7+1>2 , ∴a6a7>1，∴T12=a1a2a3…a12=(a6a7)6>1，T13=a1a2a3…a12a13=a713<1，故选：ABC．【点拨】注意到题中a6、a7、a5、a8下标存在6+7=5+8，而T12、T13与a6、a7有关，故利用等比数列的性质：若m+n=p+t , 则a m a n=a p a t.【典题3】已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4=6，则a9+a10+a11+a12的最小值为．【解析】由于a n>0，则公比q不可能等于−1，由等比数列的性质可得：S4 ,S8－S4 ,S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)=(S8−S4)2⇒S12－S8=(S8−S4)2S4=(S4+6)2S4=S4+36S4+12，∴a9+a10+a11+a12=S12－S8=S4+36S4+12≥24，当且仅当S4=6时等号成立．则a9+a10+a11+a12的最小值为24．【点拨】若q≠−1,则S n ,S2n−S n ,S3n−S2n ,…成等比数列.巩固练习1 (★★) 若等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a10=9，则log9a1+log9a2+⋅⋅⋅+log9a10=.【答案】5【解析】∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log9a1+log9a2+⋅⋅⋅+log9a10=log9[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log995=5．2 (★★) 正项等比数列{a n}满足a22+2a3a7+a6a10=16，则a2+a8=.【答案】4【解析】根据题意，等比数列{a n }满足a 22+2a 3a 7+a 6a 10=16，则有a 22+2a 2a 8+a 82=16，即(a 2+a 8)2=16，又由数列{a n }为正项等比数列；故a 2+a 8=4；3 (★★) 在等比数列{a n }中，若a 2a 5=−34，a 2+a 3+a 4+a 5=94，则1a 2+1a 3+1a 4+1a 5= .【答案】−3【解析】根据题意，在等比数列{a n }中，若a 2a 5=−34，则a 3a 4=−34，若a 2+a 3+a 4+a 5=94，则a 2a 2a 5+a 3a 3a 4+a 4a 3a 4+a 5a 2a 5=94−34=−3，即1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=−3，4 (★★) 已知等比数列{a n }中，a 2a 3a 4=1，a 6a 7a 8=64，则a 4a 5a 6= . 【答案】8【解析】依题意，a 2a 3a 4=a 33=1，即a 3=1，同理a 6a 7a 8=a 73=64，即a 7=4，所以a 3a 7=4=a 52，又等比数列奇数项符号相同，所以a 5=2，所以a 4a 5a 6=a 53=8．5(★★) 等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 4+a 5+a 6=6，则{a n }的前12项和为 . 【答案】45【解析】∵等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=3，a 4+a 5+a 6=6，由等比数列的性质得：a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9，a 10+a 11+a 12也成等比数列，∴由a 1+a 2+a 3=3，a 4+a 5+a 6=6，得a 7+a 8+a 9=12，a 10+a 11+a 12=24， ∴{a n }的前12项和为：3+6+12+24=45．6(★★) 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3=6，则S9S 6= .【答案】316【解析】设等比数列{a n }的首项a 1，公比q ，显然q ≠1，则S6S3=a1(1−q6)1−qa1(1−q3)1−q=1+q3=6，即q3=5，则S9S6=a1(1−q9)1−qa1(1−q6)1−q=1−q91−q6=1−531−52=316，7(★★) 已知等比数列{a n}的前n项和是S n，若a1+a3=5，S4=20，则S8−2S4S6−S4−S2=.【答案】10【解析】设等比数列{a n}的公比为q，因为S4=a1+a2+a3+a4=(1+q)(a1+a3)，所以q=3，则S8−2S4S6−S4−S2=(S8−S4)−S4(S6−S2)−S4=q4S4−S4q2S4−S4=q4−1q2−1=q2+1=10．8 (★★) 已知正项等比数列{a n}满足a2a8=16a5 ,a3+a5=20，若存在两项a m ,a n使得√a m a n=32，则1m+4n的最小值为.【答案】34【解析】∵a2a8=16a5，∴a52=16a5，∴a5=16，∵a3+a5=20，∴a3=4，∴q2=a5a3=4，∵正项等比数列{a n}，∴q=2，∴a1=1，∴a n=2n−1，∵√a m a n=32，∴a m a n=210，∴2m+n－2=210，∴m+n=12，∴1m +4n=112(1m+4n)(m+n)=112(5+nm+4mn)≥112(5+2√nm⋅4mn)=34，当且仅当nm =4mn，即m=4，n=8时取等号，9 (★★) 【多选题】设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和是S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1．a7a8>1，a7−1a8−1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9>1C．S n的最大值为S9D．T n的最大值为T7【答案】AD【解析】∵a 7−1a 8−1<0，∴(a 7－1)(a 8－1)<0，∴a 7>1，a 8<1，或a 7<1，a 8>1，∵a 1>1．a 7a 8=a 12q 13>1，∴a 7>1，a 8<1，公比0<q <1，T n 的最大值为T 7． a 7a 9与1的大小关系不确定，S n 没有最大值．综上只有AD 正确．故选：AD ．10 (★★) 【多选题】等比数列{a n }的公比为q ，且满足a 1>1，a 1010a 1011>1，(a 1010－1)(a 1011－1)<0．记T n =a 1a 2a 3…a n ，则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 1010a 1012－1>0C ．T n ≤T 1011D ．使T n <1成立的最小自然数n 等于2021 【答案】AD【解析】由a 1010－1)(a 1011－1)<0．得{a 1010>1a 1011<1或{a 1010<1a 1011>1，又a 1>1；a 1010a 1011>1，则a 1010>1，0<a 1011<1，所以0<q =a1011a 1010<1，A 正确．由a 1010a 1012=a 10112，又0<a 1011<1，所以a 1010a 1012－1=a 10112−1<0，B 错误．由a 1>1、a 1010>1，0<a 1011<1，可知当n ≤1010时，a n >1；当n ≥1011时，0<a n <1，所以T n 的最大值T 1010，C 错误．因为T 2020=a 1×a 2×…×a 2020=(a 1010a 1011)1010>1；(T 2021=a 1×a 2×…×a 2021=(a 1011)2021<1，所以使T n <1成立的最小自然数n 等于2021，D 正确．故选：AD ．。