2014年高考真题解析分类汇编纯word可编辑-数学理-D单元 数列
三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析_专题06数列
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第六章 数列一、选择题1. 【2014高考理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。
但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以数列有关知识为载体，考查了数列的有关知识和充要条件.2. 【2015高考，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.3.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4. 【2016高考理数】如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A 【解析】考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．5. 【2016年高考理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年 【答案】B 【解析】试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=⨯，由题意，需1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．6. 【2015高考，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <> 【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.7.【2014高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.【名师点睛】本题考查了等比数列的概念与通项公式，等比数列的性质，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的积相等更能快速作答.8. 【2015高考，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.9.【2014，理3】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.考点：等差数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.10.【2015高考，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．11. 【2014理8】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2(1)1111(1)22a a a a n dnna a n d +-=+-∴=，又由于1{2}n a a 为递减数列，所以1-01111221202a a na da a n a d +=>=∴<，故选C .考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用1{2}na a 是递减数列，确定得到1-011122122a a na da a n +=>=，得到结论.本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.12. 【2015课标2理4】已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．【考点定位】等比数列通项公式和性质．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题．二、填空题1. 【2016高考理数】设数列{a n}的前n 项和为S n.若S 2=4，an +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.【答案】1121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==-考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．2. 【2014高考理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8考点：等差数列的性质，前n 项和的最值，容易题.【名师点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的通项公式及前n 项和公式，本题属于基础题，由于题目提供a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，推出890,0a a ><，从而说明数列{a n }的前8项和最大.这个题目命题角度新颖，不需死套公式，重视对知识的理解和对知识本质的考查.3.【2016年高考理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.【答案】6【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.4. 【2014高考卷.理.13】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=.【答案】50.【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =，因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a e e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++==.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列{}n a 中，若m n p q +=+（m 、n 、p 、q *∈N ），则m n p q a a a a =，()log log log a a a MN =M +N （0a >，1a ≠，0M >，0N >）．5. 【2015高考，理10】在等差数列中，若，则=.【答案】． 【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10此题关键在于熟记，及其熟练运用．6.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为．【答案】64考点：等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.7.【2016高考卷】已知{}na是等差数列，{S}n是其前n项和.若21253,S=10a a+=-，则9a 的值是▲ .【答案】20.【解析】由510S=得32a=，因此2922(2d)33,23620.d d a-+-=-⇒==+⨯=考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,)22n m tnn a a n a aS m t n m t n N++==+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n ma a n m d=+-8.【2014，理7】在各项均为正数的等比数列{}na中，若21a=，8642a a a=+，则6a的值是.【答案】4．【解析】设公比为q，因为21a=，则由8642a a a=+得6422q q a=+，4220q q--=，()*,,,m n p qa a a a m n p q N m n p q+=+∈+=+且()*2,,2m n pa a a m n p N m n p+=∈+=且解得22q =，所以4624a a q ==．【考点定位】等比数列的通项公式．【名师点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．9. 【2015高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10. 【2015高考，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为． 【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．11.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题． 12. 【2014，理12】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________． 【答案】1． 【解析】试题分析：∵1351,3,5a a a +++成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++，令11,1a x d y +=+=，则2(4)(2)x x y x y +=+，即222444x xy x xy y +=++，∴0y=，即10d +=，∴1q =．考点：1．等差，等比数列的性质．【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.13. 【2015高考，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于. 【答案】21n-【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.14. 【2014，理11】设na 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ． 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出.15. 【2015理14】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a =. 【答案】13-n .【解析】试题分析：∵13S ，22S ，3S 成等差数列，∴333)(2223321121=⇒=⇒+++=+⨯q a a a a a a a a ， 又∵等比数列}{n a ，∴1113--==n n n q a a . 【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题 1.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =，1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。
2014年高考数学全国I卷(理)纯word版
绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷A 卷一．(1)已知集合A={}032|2≥--x x x ,B={}22|<≤-x x ，则=B A A []1,2-- B [)2,1- C []1,1- D [)2,1(2) 23)1()1(i i -+= A i +1 B i -1 C i +-1 D i --1(3)设函数)(x f ,)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A )()(x g x f 是偶函数B )(|)(|x g x f 是奇函数C |)(|)(x g x f 是奇函数D |)()(|x g x f 是奇函数(4)已知F 为双曲线C:)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A3 B 3 Cm 3 D m 3(5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A 81B 83C 85D 87(6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则)(x f y =在[]π,0的图像大致为A BD (7)执行右图的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1,2,3，则输出的M= A320 B 27C 516D 815(8)设)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则A 23πβα=- B 23πβα=+ C 22πβα=-D 2α(9)不等式组⎩⎨⎧≤-≥+421y x y x 的解集记为D 22,),(:1-≥+∈∀y x D y x P 22,),(:2≥+∈∃y x D y x P32,),(:3≤+∈∀y x D y x P 12,),(:4-≤+∈∃y x D y x P其中的真命题是A 32p pB 21p pC 41p pD 31p p(10)已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点。
2014年高考真题——理科数学(重庆卷)解析版 Word版含答案
2014年重庆高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】A 【解析】..∴2)2-1(A i i i 选对应第一象限+=2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 2.5x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ .0.3 4.4C y x =-+【答案】A 【解析】.∴)5.33(),(.,,0,A y x D C b a bx y 选，过中心点排除正相关则=∴>+=4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且()23a b c -⊥，则实数k=9.2A -.0B C.3 D. 152【答案】C 【解析】.∴3),42(3)32(2,32,0)3-2(∴⊥)3-2(C k k bc ac c b a c b a 选解得即即=+=+==5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是。
A ．12s >B.1224abc ≤≤ 35s >C. 710s >D.45s > 【答案】C【解析】.∴10787981091C S 选=•••=6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【答案】D 【解析】.∴,,D q p 选复合命题为真为假为真7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B.35C.49D.3【答案】B 【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3 【答案】B【解析】解析完成时间2014-6-12qq373780592..120)A A A A A (A ∴A A A 2(2).A A (1),A 222212122333222212122333B 选共有个：歌舞中间有法：歌舞中间有一个，插空再排其它：先排歌舞有=+10.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(A in 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r （ ）A ．2B ．2C ．1D ．225.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=7.曲线1x y xe-=在点（1, 1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A ．【解析】考点：1.球的内接正四棱锥问题；2. 球的表面积的计算．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13C ．24D ．23 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）图2A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．14B 2C 3D ．12【答案】B.【解析】12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8y x 的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2l的夹角的正切值：12124 tan13k kk kθ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．16.若函数()cos2sinf x x a x=+在区间(,)62ππ是减函数，则a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosa C c A=，1tan3A=，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a=，2a为整数，且4nS S≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥； （II ）设直线1AA 与平面11BCC B 31A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.【答案】（I ）24y x =；（II ）直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11ax f x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 【答案】（I ）（i ）当12a <<时，()f x 在()21,2a a --上是增函数，在()22,0a a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数；（ii ）当2a =时,()f x 在()1,-+?上是增函数；（iii ）当2a >时，()f x 在是()1,0-上是增函数，在()20,2a a -上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数；（II）详见试题分析．1n k=+时有2333kak k<?++，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n N*Î结论都成立．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 四、三角函数与解三角形(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形（逐题详解）第I 部分1.【2014年江西卷（理04）】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位，得到y==的图象．故选：C ．4.【2014年全国新课标Ⅱ（理04）】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ（理08）】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B6.【2014年四川卷（理03）】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C8.【2014年辽宁卷（理09）】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x ﹣）+]．即y=3sin （2x ﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B9.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A 10.【2014年重庆卷（理10）】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤，故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈， 排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，选择A第II 部分11.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷（理12）】在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABCV 的面积为 。
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析(2014高考)
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．4 D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4C．4 D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E=1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c o s ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． 20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。
2014年高考数学真题(山东卷)理科精编解析word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,理1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由a-i与2+b i互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+b i)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山东,理2)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=().A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案:C解析:由题意,得A={x||x-1|<2}={x|-1<x<3},B={y|y=2x,x∈[0,2]}={y|1≤y≤4},所以A∩B=[1,3).3.(2014山东,理3)函数f(x)=√(log2x)-1的定义域为().A.(0,12) B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)答案:C解析:要使函数有意义,应有(log2x)2>1,且x>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞).4.(2014山东,理4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.5.(2014山东,理5)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是().A.1x2+1>1y2+1B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y3答案:D解析:由a x<a y(0<a<1),可得x>y.又因为函数f(x)=x3在R上递增,所以f(x)>f(y),即x3>y3.6.(2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.2√2B.4√2C.2D.4答案:D解析:由{y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=∫20(4x-x3)d x=(2x2-14x4)|2=(2×22-14×24)-0=4.7.(2014山东,理7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)×1×n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36×1×50=18.因为第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.8.(2014山东,理8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是().A.(0,12) B.(12,1)C.(1,2)D.(2,+∞)答案:B解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=12x和y=x之间,所以k的取值范围是(12,1).9.(2014山东,理9)已知x,y满足约束条件{x-y-1≤0,2x-y-3≥0,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2√5时,a2+b2的最小值为().A.5B.4C.√5D.2 答案:B解析:约束条件{x-y-1≤0,2x-y-3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=2√5,则b=2√5-2a , 所以a 2+b 2=a 2+(2√5-2a )2=5a2-8√5a+20=5(a -4√55)2+4,即当a=45√5,b=25√5时,a 2+b 2有最小值4.10.(2014山东,理10)已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( ).A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案:A解析:由题意,知椭圆C 1的离心率e 1=√a 2-b 2a,双曲线C 2的离心率为e 2=√a 2+b 2a.因为e 1·e 2=√32,所以√(a 2-b 2)(a 2+b 2)a 2=√32,即(a 2-b 2)(a 2+b 2)a 4=34,整理可得a=√2b.又双曲线C 2的渐近线方程为bx±ay=0, 所以bx±√2by=0,即x±√2y=0.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,理11)执行下面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .答案:3解析:输入x=1,12-4+3≤0,则x=2,n=1;返回22-8+3≤0,则x=3,n=2; 返回32-12+3≤0,则x=4,n=3;返回42-16+3>0,则输出n=3,结束.12.(2014山东,理12)在△ABC 中,已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A ,当A=π6时,△ABC 的面积为 . 答案:16解析:由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tan A ,可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=tan A. 因为A=π6,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·√32=√33, 即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=23. 所以S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|·sin A=12×23×12=16. 13.(2014山东,理13)三棱锥P-ABC 中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为V 1,P-ABC 的体积为V 2,则V 1V 2= .答案:14解析:由题意,知V D-ABE =V A-BDE =V 1,V P-ABC =V A-PBC =V 2.因为D ,E 分别为PB ,PC 中点, 所以S △BDE S △PBC=14.设点A 到平面PBC 的距离为d ,则V 1V 2=13S △BDE ·d 13S △PBC·d =S △BDE S △PBC=14.14.(2014山东,理14)若(ax 2+b x)6的展开式中x 3项的系数为20,则a 2+b 2的最小值为 .答案:2解析:(ax 2+b x)6的展开式的通项为T r+1=C 6r (ax 2)6-r ·(b x)r=C 6r a 6-r b r x 12-3r,令12-3r=3,得r=3.由C 6r a 6-r b r =C 63a 3b 3=20,得ab=1. 所以a 2+b 2≥2ab=2×1=2.15.(2014山东,理15)已知函数y=f (x )(x ∈R ).对函数y=g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y=h (x )(x ∈I ).y=h (x )满足:对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )=√4-x 2关于f (x )=3x+b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是 . 答案:(2√10,+∞) 解析:由已知得ℎ(x )+√4-x 22=3x+b , 所以,h (x )=6x+2b-√4-x 2. h (x )>g (x )恒成立,即6x+2b-√4-x 2>√4-x 2恒成立, 整理得3x+b>√4-x 2恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b 及半圆y=√4-x 2(如图所示),当直线与半圆相切时,√1+3=2,所以|b|=2√10.故b 的取值范围是(2√10,+∞).三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,理16)已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y=f (x )的图象过点(π12,√3)和点(2π3,-2). (1)求m ,n 的值;(2)将y=f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g (x )的图象,若y=g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g (x )的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m ,n 的方程组,利用此方程组即得m ,n 的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数φ的g (x )的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点的坐标,代入可求出g (x )确定的解析式,从而求出单调区间. 解:(1)由题意知f (x )=a ·b =m sin 2x+n cos 2x.因为y=f (x )的图象过点(π12,√3)和(2π3,-2), 所以{√3=msin π6+ncos π6,-2=msin 4π3+ncos 4π3,即{√3=12m +√32n ,-2=-√32m -12n ,解得m=√3,n=1.(2)由(1)知f (x )=√3sin 2x+cos 2x =2sin (2x +π6).由题意知g (x )=f (x+φ)=2sin (2x +2φ+π6). 设y=g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 02+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g (x )得sin (2φ+π6)=1,因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g (x )=2sin (2x +π2)=2cos 2x ,由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z ,得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y=g (x )的单调递增区间为[kπ-π2,kπ],k ∈Z .17.(本小题满分12分)(2014山东,理17)如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M 是线段AB 的中点.(1)求证:C 1M ∥平面A 1ADD 1;(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1=√3,求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面A 1ADD 1中找一条线与C 1M 平行,显然可找线AD 1,再通过证明四边形AMC 1D 1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点C 为原点建立空间直角坐标系,求出平面C 1D 1M 和平面ABCD 的法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面C 1D 1M 即为平面ABC 1D 1,则平面C 1D 1M 与平面ABCD 所成角的棱为AB ,又已知CD 1⊥平面ABCD ,故可过C 向棱AB 作垂线,垂足为N ,连接D 1N ,则可证∠D 1NC 为二面角的平面角,进而在Rt △D 1CN 中求∠D 1NC 的余弦值即可.(1)证明:因为四边形ABCD 是等腰梯形,且AB=2CD , 所以AB ∥DC. 又由M 是AB 的中点, 因此CD ∥MA 且CD=MA. 连接AD 1,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 因为CD ∥C 1D 1,CD=C 1D 1, 可得C 1D 1∥MA ,C 1D 1=MA , 所以四边形AMC 1D 1为平行四边形. 因此C 1M ∥D 1A ,又C 1M ⊄平面A 1ADD 1,D 1A ⊂平面A 1ADD 1, 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解法一:连接AC ,MC ,由(1)知,CD ∥AM 且CD=AM ,所以四边形AMCD 为平行四边形. 可得BC=AD=MC , 由题意∠ABC=∠DAB=60°, 所以△MBC 为正三角形, 因此AB=2BC=2,CA=√3, 因此CA ⊥CB.以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.所以A (√3,0,0),B (0,1,0),D 1(0,0,√3). 因此M (√32,12,0),所以MD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,-12,√3),D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,12,0).设平面C 1D 1M 的一个法向量n =(x ,y ,z ), 由{n ·D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·MD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x -y =0,√3x +y -2√3z =0,可得平面C 1D 1M 的一个法向量n =(1,√3,1). 又CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面ABCD 的一个法向量.因此cos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n |=√55. 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为√55.解法二:由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD=AB ,过C 向AB 引垂线交AB 于N ,连接D 1N. 由CD 1⊥平面ABCD ,可得D 1N ⊥AB , 因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB-C 的平面角. 在Rt △BNC 中,BC=1,∠NBC=60°, 可得CN=√32.所以ND 1=√CD 12+CN 2=√152. 在Rt △D 1CN 中,cos ∠D 1NC=CND 1N=√32√152=√55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为√55.18.(本小题满分12分)(2014山东,理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其他情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13;对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.分析:第(1)问中,恰有一次落在乙上可分为两种情况,第①种,从A 击球落在乙上,从B 击球没落在乙上;第②种,从B 击球落在乙上,从A 击球没落在乙上,将①②两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率.第(2)问中,根据事件的独立性与互斥性,可得出,①得0分情形为A ,B 处都不得分;②得1分情形为A 处得1分B 处不得分或A 处不得分B 处得1分;③得2分情形为A ,B 两处各得1分;④得3分情形为A 处得3分B 处得0分或A 处得0分B 处得3分;⑤得4分情形为A 处得3分B 处得1分或A 处得1分B 处得3分;⑥得6分情形为A ,B 两处都得3分,共6种情形.列出小明得分之和ξ的分布列便可求出期望.解:(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3),则P (A 3)=12,P (A 1)=13,P (A 0)=1-12−13=16;记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i=0,1,3), 则P (B 3)=15,P (B 1)=35,P (B 0)=1-15−35=15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3, 由事件的独立性和互斥性,P (D )=P (A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3) =P (A 3B 0)+P (A 1B 0)+P (A 0B 1)+P (A 0B 3)=P (A 3)P (B 0)+P (A 1)P (B 0)+P (A 0)P (B 1)+P (A 0)P (B 3) =12×15+13×15+16×35+16×15=310, 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 P (ξ=0)=P (A 0B 0)=16×15=130, P (ξ=1)=P (A 1B 0+A 0B 1)=P (A 1B 0)+P (A 0B 1)=13×15+16×35=16, P (ξ=2)=P (A 1B 1)=13×35=15,P (ξ=3)=P (A 3B 0+A 0B 3)=P (A 3B 0)+P (A 0B 3)=12×15+15×16=215, P (ξ=4)=P (A 3B 1+A 1B 3)=P (A 3B 1)+P (A 1B 3)=12×35+13×15=1130, P (ξ=6)=P (A 3B 3)=12×15=110.可得随机变量ξ的分布列为:所以数学期望E (ξ)=0×130+1×16+2×15+3×215+4×1130+6×110=9130. 19.(本小题满分12分)(2014山东,理19)已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .分析:第(1)问中可利用等差数列知识,用首项与公差表示出前n 项和,再根据S 1,S 2,S 4成等比数列求出首项,从而求得a n .求第(2)问时,可结合第(1)问中a n 的结果得出b n 的通项公式,最后对项数n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出b n 的前n 项和T n . 解:(1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2, S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12, 由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12), 解得a 1=1,所以a n =2n-1. (2)b n =(-1)n-14n a n a n+1=(-1)n-14n(2n -1)(2n+1) =(-1)n-1(12n -1+12n+1).当n 为偶数时,T n =(1+13)−(13+15)+…+(12n -3+12n -1)−(12n -1+12n+1)=1-12n+1=2n2n+1.当n 为奇数时,T n =(1+13)−(13+15)+…-(12n -3+12n -1)+(12n -1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1.所以T n ={2n+22n+1,n 为奇数,2n2n+1,n 为偶数. (或T n =2n+1+(-1)n -12n+1).20.(本小题满分13分)(2014山东,理20)设函数f (x )=e x x 2-k (2x+lnx)(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时,求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.分析:第(1)问中可先求出f (x )的导函数f'(x ),再解不等式f'(x )>0和f'(x )<0,即可确定f (x )的单调区间.第(2)问中,根据第(1)问结论可知k ≤0时不适合第(2)问,故k>0,再具体讨论k 值,要使f (x )在(0,2)内有两个极值点,则f (x )在(0,2)内必须出现增减增或减增减,即导函数f'(x )出现正负正或者负正负.据此可列出不等式,最后求得k 的取值范围. 解:(1)函数y=f (x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=x 2e x -2xe x x 4-k (-2x 2+1x ) =xe x -2e x x 3−k (x -2)x 2=(x -2)(e x -kx )x 3.由k ≤0可得e x -kx>0,所以当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,函数y=f (x )单调递减,x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,函数y=f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,当k ≤0时,函数f (x )在(0,2)内单调递减, 故f (x )在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g (x )=e x -kx ,x ∈[0,+∞). 因为g'(x )=e x -k=e x -e ln k ,当0<k ≤1时,当x ∈(0,2)时,g'(x )=e x -k>0,y=g (x )单调递增, 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x ∈(0,ln k )时,g'(x )<0,函数y=g (x )单调递减, x ∈(ln k ,+∞)时,g'(x )>0,函数y=g (x )单调递增. 所以函数y=g (x )的最小值为g (ln k )=k (1-ln k ). 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当{g (0)>0,g (lnk )<0,g (2)>0,0<lnk <2,解得e <k<e 22.综上所述,函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为(e ,e 22).21.(本小题满分14分)(2014山东,理21)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|FA|=|FD|.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C 的方程;(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E , ①证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.分析:在第(1)问中,可设D (t ,0),然后根据抛物线定义以及|FA|=|FD|建立t 与p 的关系,再由△ADF 为正三角形求出p 的值,即得C 的方程.在第(2)问中,利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标,再设出A 点,利用与F 点关系求出点D ,从而确定l 的斜率.根据l 1与抛物线只有一个交点知,联立l 1与抛物线方程便只有一解.求出点E 坐标,从而求得AE 直线方程,结合方程特点,确定l 1过定点.最后利用点到直线的距离公式与基本不等式,可求出△ABE 面积的最小值.解:(1)由题意知F (p 2,0),设D (t ,0)(t>0),则FD 的中点为(p+2t4,0). 因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+p 2=|t -p 2|, 解得t=3+p 或t=-3(舍去). 由p+2t4=3,解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D ,0)(x D >0), 因为|FA|=|FD|,则|x D -1|=x 0+1. 由x D >0得x D =x 0+2,故D (x 0+2,0).故直线AB 的斜率k AB =-y02.因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y=-y 02x+b , 代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8b y 0=0, 由题意Δ=64y 02+32b y 0=0,得b=-2y 0. 设E (x E ,y E ),则y E =-4y 0,x E =4y 02.当y 02≠4时,k AE =y E -y 0x E -x 0=-4y 0+y 04y 02-y 024=4y 0y 02-4, 可得直线AE 的方程为y-y 0=4y 0y 02-4(x-x 0), 由y 02=4x 0,整理可得y=4y 0y 02-4(x-1), 直线AE 恒过点F (1,0).当y 02=4时,直线AE 的方程为x=1,过点F (1,0). 所以直线AE 过定点F (1,0).②由①知直线AE 过焦点F (1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+(1x 0+1)=x 0+1x 0+2.设直线AE 的方程为x=my+1, 因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m=x 0-1y 0. 设B (x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0=-y02(x-x 0),由于y 0≠0, 可得x=-2y 0y+2+x 0,代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8-4x 0=0. 所以y 0+y 1=-8y 0,可求得y 1=-y 0-8y 0,x 1=4x 0+x 0+4. 所以点B 到直线AE 的距离为 d=|4x 0+x 0+4+m (y 0+8y 0)-1|√1+m 2=0√x =4(√x 0√x ). 则△ABE 的面积S=12×4(√x 0x ·(x 0+1x 0+2)≥16, 当且仅当1x 0=x 0,即x 0=1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
2014年四川高考理科数学试题逐题详细讲解(纯word解析版)
2014年高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
[2014年卷（理01）]已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- [答案]A[解析]{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}-[2014年卷（理02）]在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 [答案]C[解析]含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=[2014年卷（理03）]为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 [答案]A[解析]因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到[2014年卷（理04）]若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< [答案]D[解析]由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>， 由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<[2014年卷（理05）]执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.[2014年卷（理06）]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 [答案]B[解析]当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014数学高考题型历炼(Word解析版)：3-2 数列的通项与求和
1．(角度新)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n ＞ka n －2对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．2．(交汇新)已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2－2n x ＋b n ＝0的两根，且a 1＝1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －13·2n 是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设函数f (n )＝b n －t ·S n (n ∈N *)，若f (n )＞0对任意的n ∈N *都成立，求实数t 的取值范围．[历 炼]1．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，∴ a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴ q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2， ∴ 2a 1＋a 1＝9，∴ a 1＝3.∴ a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)， ∴ 不等式3(2n －1)＞k ·3·2n －1－2，即k ＜2－13·2n －1对一切n ∈N *恒成立． 令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大， ∴ f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，∴ k ＜53.∴ 实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，53. 2．解析：(1)∵ a n ＋a n ＋1＝2n ，∴ a n ＋1－13·2n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －13·2n ， ∵ a 1－13·2＝13≠0，∴ a n ＋1－13·2n ＋1a n －13·2n ＝－1， ∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －13·2n 是首项为13，公比为－1的等比数列， 且a n ＝13[2n －(－1)n ]．(2)由(1)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝13(2＋22＋…＋2n )－13[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n ]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(1－2n )1－2＋1－(－1)n 1＋1 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－2－－1＋(－1)n 2 ＝⎩⎨⎧2n ＋13－23，n 为偶数，2n ＋13－13，n 为奇数.(3)∵ b n ＝a n ·a n ＋1，∴ b n ＝19[2n －(－1)n ][2n ＋1－(－1)n ＋1]＝19[22n ＋1－(－2)n －1]，∵ b n －t ·S n ＞0，∴ 19[22n ＋1－(－2)n －1]－t ·13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1－2－(－1)n －12＞0. ∴ 当n 为奇数时，19(22n ＋1＋2n －1)－t 3(2n ＋1－1)＞0，∵ t ＜13(2n ＋1)对任意的n 为奇数都成立，∴ t ＜1.∴ 当n 为偶数时，19(22n ＋1－2n －1)－t 3(2n ＋1－2)＞0，∴ 19(22n ＋1－2n －1)－2t 3(2n －1)＞0，∵ t ＜16(2n ＋1＋1)对任意的n 为偶数都成立，∴ t ＜32.综上所述，实数t 的取值范围为(－∞，1)．。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列2(基础解答题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题7：数列（基础解答题）1．（2014•新课标Ⅱ理）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋯+<．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即1n nb b +=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）将1na 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 113022a +=≠， ∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列； 11333222n n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =-，当2n …时，13133n n n -->-，∴11122131333n n n n n a --=<=--， ∴当1n =时，11312a =<成立， 当2n …时，211211()11111131331(1)133323213nn n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-． ∴对n N +∈时，1211132n a a a ++⋯+<． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．2．（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nna 的前n 项和． 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出2a ，4a 的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列， 故22a =，43a =，可得21d =，12d =， 故112(2)122n a n n =+-⨯=+， （2）设数列{}2nna 的前n 项和为n S ， 3112123122222n n n n na a a a a S --=+++⋯++，① 311223411222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，② ①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--， 解得11131124(1)222222n n n n n n S -++++=+--=-． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．3．（2014•新课标Ⅰ理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【考点】等差数列的性质；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．可得2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，2d λ=．得到222()2442n S n n λλλλλ=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，121()n n n n a a a a λ+++∴-= 10n a +≠，2n n a a λ+∴-=．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ． 则2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，∴2d λ=．∴(1)12n n a λ-=+，112n na λ+=+，222(1)1[1][1]()222442n n n S n n λλλλλλλ-∴=+++=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4λ=． 此时可得2n S n =，21n a n =-． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014•大纲版文）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式【分析】（Ⅰ）将2122n n n a a a ++=-+变形为：2112n n n n a a a a +++-=-+，再由条件得12n n b b +=+，根据条件求出1b ，由等差数列的定义证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出n b ，代入1n n n b a a +=-并令n 从1开始取值，依次得(1)n -个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的通项公式n a ． 【解答】解：（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+得， 2112n n n n a a a a +++-=-+，由1n n n b a a +=-得，12n n b b +=+，即12n n b b +-=， 又1211b a a =-=，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n b n n =+-=-， 由1n n n b a a +=-得，121n n a a n +-=-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，⋯，12(1)1n n a a n --=--， 所以，11352(1)1n a a n -=+++⋯+-- 2(1)(123)(1)2n n n -+-==-，又11a =，所以{}n a 的通项公式22(1)122n a n n n =-+=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．5．（2014•大纲版理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S …． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过4n S S …得40a …，50a …，利用113a =、2a 为整数可得4d =-，进而可得结论； （2）通过133n a n =-，分离分母可得111()3133103n b n n=---，并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S …得： 40a …，50a …，又113a =，∴13301340d d +⎧⎨+⎩……，解得131334d --剟，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为：174n a n =-；（2）174n a n =-， 111111()(174)(214)4417421n n n b a a n n n n +∴===------， 于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[()()()]41317913417421n n =--+-+⋯⋯+-------111()441717n =----17(174)n n =-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2014•北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =， 3312d ∴+=，解得3d =， 3(1)33n a n n ∴=+-⨯=．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，则 344112012843b a q b a --===--，2q ∴=， 1111()2n n n n b a b a q --∴-=-=，132(1n n b n n -∴=+=，2，)⋯． （2）由（1）知132(1n n b n n -=+=，2，)⋯． 数列{}n a 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2014•安徽文）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈． （Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出33nn n n b a n ==，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++，∴111n n a a n n +=++，∴111n n a an n+-=+， ∴数列{}na n是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(1)1n a n n n=+-=，∴2n a n =， 33nn n n b a n ==，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+② ①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +-1133313n n n ++-=--1123322n n +-=- ∴1213344n n n S +-=+【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．8．（2014•福建文）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的n a 代入3log n n b a =，得到数列{}n b 的通项公式，由此得到数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23a =，581a =，得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．∴13n n a -=； （Ⅱ）13n n a -=，3log n n b a =，∴1331n n b log n -==-．则数列{}n b 的首项为10b =， 由11(2)1(2)n n b b n n n --=---=…， 可知数列{}n b 是以1为公差的等差数列．∴1(1)(1)22n n n d n n S nb --=+=． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题． 9．（2014•湖北文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出n S 根据60800n S n >+，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或4， 当0d =时，2n a =，当4d =时，2(1)442n a n n =+-=-．（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+， 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立， 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >，或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41， 综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ， 当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．10．（2014•湖南文）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，111a s ==，当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a s s n -+-+-=-=-=，∴数列{}n a 的通项公式是n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)n n n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++⋯++-+-+-⋯+2212(12)2212n n n n +-=+=+--．∴数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++-．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．11．（2014•江西文）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）利用“当2n …时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（2）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．利用等比数列的定义可得21nm a a a =，即2(32)1(32)n m -=⨯-，解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：232n n nS -=，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =，2(32)1(32)n m ∴-=⨯-， 化为2342m n n =-+， 1n >，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（2014•江西理）已知首项是1的两个数列{}n a ，{}(0n n b b ≠，*)n N ∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． （1）令nn na b =ð，求数列{}n ð的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð，可得数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{}n ð的通项公式； （2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð， 120n n c +∴-+=ð，12n n c +∴-=ð，首项是1的两个数列{}n a ，{}n b ，∴数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，21n n ∴=-ð；（2）13n n b -=，nn na b =ð，1(21)3n n a n -∴=-， 0111333(21)3n n S n -∴=⨯+⨯+⋯+-⨯，231333(21)3n n S n ∴=⨯+⨯+⋯+-⨯， 11212(33)(21)3n n n S n -∴-=++⋯+--， (1)31n n S n ∴=-+．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•浙江文）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=． 【考点】等差数列的前n 项和；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意d 的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式，对1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，*k N ∈进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由11a =，2336S S =得， 12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=， 解得2d =或5-， 又公差0d >，则2d =， 所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-， 由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯， 下面分类求解：当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去； 综上得，4k =，5m =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．14．（2014•重庆文）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比为q 满足244(1)0q a q S -++=．求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出4a 和4S ，代入244(1)0q a q S -++=求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-．2(121)13(21)2n n n S n n +-=++⋯+-==； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，47a =，416S =．244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，2(4)0q ∴-=，即4q =． 又{}n b 是首项为2的等比数列，∴11211242n n n n b b q ---===． 1(1)2(41)13n nn b q T q -==--．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．15．（2015•新课标Ⅰ理）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+ ()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和． 【解答】解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，0n a >，12n n a a +∴-=，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， {}n a ∴的通项公式32(1)21:n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+， 111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +∴===-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 16．（2015•北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -= （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【考点】等差数列的性质【分析】()I 由432a a -=，可求公差d ，然后由1210a a +=，可求1a ，结合等差数列的通项公式可求 ()II 由238b a ==，3716b a ==，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求6b ，结合()I 可求【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ． 432a a -=，所以2d =1210a a +=，所以1210a d +=14a ∴=， 42(1)22(1n a n n n ∴=+-=+=，2，)⋯()II 设等比数列{}n b 的公比为q ， 238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎨=⎩2q ∴=，14b =∴61642128b -=⨯=，而12822n =+63n ∴=6b ∴与数列{}n a 中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（2015•天津文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a b =ð，*n N ∈，求数列{}n ð的前n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出数列{}n a 的公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于q ，d 的方程组，求解方程组得到q ，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到1(21)2n n c n -=-，然后利用错位相减法求得数列{}n ð的前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意，0q >， 由已知有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得：42280q q --=．0q >，解得2q =，2d ∴=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈；数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）有1(21)2n n c n -=-， 设{}n ð的前n 项和为n S ，则01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， 12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋯+--⨯=---⨯=--⨯-．∴*(23)23,n n S n n N =-+∈．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．18．（2015•天津理）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log nn n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过2n n a qa +=、1a 、2a ，可得3a 、5a 、4a ，利用23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知12n n nb -=，*n N ∈，写出数列{}n b 的前n 项和n T 、2n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =， 3a q ∴=，25a q =，42a q =，又23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，22323q q q ∴⨯=++， 即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，1222,2,n n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222n n n n n n a log nb a ---===，*n N ∈， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则2321111111234(1)22222n n n T n n --=++++⋯+-+， 233211111222345(1)22222n n n T n n --∴=+++++⋯+-+， 两式相减，得232111111322222n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212n n n ---=+--21113122n n n --=+--1242n n -+=-．【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（2015•福建文）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值． 【考点】等差数列的性质【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，利用分组求和求12310b b b b +++⋯+的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩，所以3(1)2n a n n =+-=+； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，所以21012310(21)(22)(210)b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122-+⨯=+=-．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 20．（2015•广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：11{}2n n a a +-为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取2n =，求得478a =； （2）由211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，变形得到2144(2)n n n a a a n +++=…，进一步得到211112122n n n n a a a a +++-=-，由此可得数列11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列；（3）由11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，可得1111()22n n n a a -+-=．进一步得到11411()()22n n n n a a ++-=，说明{}1()2n n a 是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{}n a 的通项公式．【解答】（1）解：当2n =时，4231458S S S S +=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++， 解得：478a =； （2）证明：211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，21114444(2)n n n n n n S S S S S S n ++-+∴-+-=-…， 即2144(2)n n n a a a n +++=…，3125441644a a a +=⨯+==，2144n n n a a a ++∴+=．2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----．∴数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列； （3）解：由（2）知，11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，∴1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， {}1()2n n a ∴是以1212a=为首项，4为公差的等差数列， ∴2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯， ∴数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．21．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； 【考点】数列的求和；数列与不等式的综合 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求3a 的值；（2）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． 1431a ∴=-=，2212212422a -++=-=， 解得212a =， 1212242n n n a a na -+++⋯+=-，n N +∈． 121212(1)42n n n a a n a --+∴++⋯+-=-，n N +∈． 两式相减得121214(4)222n n n n n n nna ---++=---=，2n …， 则112n n a -=，2n …， 当1n =时，11a =也满足，112n n a -∴=，1n …， 则321124a ==； （2）112n n a -=，1n …，∴数列{}n a 是公比12q =， 则数列{}n a 的前n 项和111()222112nn n T --==--． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．22．（2015•湖北文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 （2）当1d >时，记nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当1d >时，由（1）知1212n n n --=ð，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，129()9n n b -=；（2）当1d >时，由（1）知21n a n =-，12n n b -=， 1212n n n n a n b --∴==ð， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=+++++⋯+-， ∴234111111111357(23)(21)2222222n n n T n n -=++++⋯+-+-， ∴23421111111232(21)322222222n n n nn T n -+=+++++⋯+--=-， 12362n n n T -+∴=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（2015•湖南文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，2133n n n a S S ++=-+，*n N ∈， （Ⅰ）证明23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）当2n …时，通过2133n n n a S S ++=-+与1133n n n a S S +-=-+作差，然后验证当1n =时命题也成立即可；（Ⅱ）通过()I 写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：当2n …时，由2133n n n a S S ++=-+， 可得1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-， 23n n a a +∴=，当1n =时，有3123331(12)33a S S =-+=⨯-++=， 313a a ∴=，命题也成立，综上所述：23n n a a +=；（Ⅱ）解：由()I 可得11211112233323k k k k k ka a a a -----⎧=⨯=⎪⎨=⨯=⨯⎪⎩，其中k 是任意正整数， 211234232221()()()k k k k S a a a a a a a ----∴=++++⋯+++2113333k k --=++⋯++113(13)313k k ---=+-153322k -=⨯-，111221253333232222k k k k k k S S a +---=+=⨯-+⨯=-，综上所述，1222533,2233,22n n n n S n -+⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 24．（2015•山东文）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和 【分析】（1）通过对11n n n a a +=ð分离分母，并项相加并利用数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过4n n b n =，写出n T 、4n T 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >， 1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n a a +=ð，则11111111[][(1)]()(1)n a n d a nd d a n d a nd==-+-++-+ð，1211111111111111[]2(1)n n c c c d a a d a d a d a n d a nd-∴++⋯++=-+-+⋯+-++++-+ð 11111[]d a a nd=-+11()n a a nd =+211n a a dn =+， 又数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +，∴21112a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+=，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+， 23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+， 两式相减，得121113434444433n n n n n T n ++--=++⋯+-=-， 1(31)449n n n T +-+∴=． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（2015•山东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）利用233n n S =+，可求得13a =；当1n >时，11233n n S --=+，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =， 当1n >时，11233n n S --=+，此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=， 所以13,13, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，所以1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n nn nn T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n nn T +=-⨯． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．26．（2015•四川文）设数列{}(1n a n =，2，3)⋯的前n 项和n S ，满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和【分析】（Ⅰ）由条件n S 满足12n n S a a =-，求得数列{}n a 为等比数列，且公比2q =；再根据1a ，21a +，3a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）由于112n n a =，利用等比数列的前n 项和公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有 1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==． 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即1322(1)a a a +=+ 所以11142(21)a a a +=+，解得：12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故2n n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得112n n a =，所以11(1)1111122112482212n n n nT -=+++⋯+==--． 【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，属于中档题．27．（2015•四川理）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n -=…，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1{}n a 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=- (2)n …，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==， 又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =， ∴211[1()]11112211222212n n n nT -=++⋯+==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >． 9102512100010242=<<=，10n ∴…．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．（2015•浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，*12()n n a a n N +=∈，*12311111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由12a =，12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{}n a 的通项公式；再由11b =，1231111123n n b b b b b n++++⋯+=-，取1n =求得22b =，当2n …时，得另一递推式，作差得到11n n n b b b n +=-，整理得数列{}n b n为常数列，由此可得{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出2n n n a b n =，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得*2()n n a n N =∈． 由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当2n …时，12311111231n n b b b b b n -+++⋯+=--，和原递推式作差得，11n n n b b b n+=-，整理得：11n n b b n n +=+，∴*()n b n n N =∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n n a b n =， 因此23222322n n T n =+++⋯+23412222322n n T n +=+++⋯+， 两式作差得：2112(12)2222212n nn n n T n n ++--=++⋯+-=--，1*(1)22()n n T n n N +=-+∈．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．29．（2015•重庆文）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，前3项和392S =．可得122a d +=，19332a d +=，解得1a ，d ．即可得出．11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得q ．利用求和公式即可得出．【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2015•安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{}n a 的通项公式； （2）求出11n n n n a b S S ++=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=； （2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-，∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．31．（2016•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和． 【考点】数列递推式【分析】（Ⅰ）令1n =，可得12a =，结合{}n a 是公差为3的等差数列，可得{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，进而可得：{}n b 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=． 当1n =时，1221a b b b +=． 11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=． 即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档． 32．（2016•新课标Ⅱ文）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据[]n n b a =，列出数列{}n b 的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．33．（2016•新课标Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{}n b 的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．34．（2016•新课标Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=． （1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式． 【考点】数列递推式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令1n =可得21212(21)20a a a a ---=，将11a =代入可得2a 的值，进而令2n =可得22323(21)20a a a a ---=，将212a =代入计算可得3a 的值，即可得答案； （2）根据题意，将211(21)20n n n n a a a a ++---=变形可得11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，进而分析可得12n n a a +=或1n n a a +=-，结合数列各项为正可得12n n a a +=，结合等比数列的性质可得{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=， 而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得212a =， 当2n =时，有22323(21)20a a a a ---=， 又由212a =，解可得314a =， 故212a =，314a =； （2）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=，即有12n n a a +=或1n a =-， 又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a +=， 故数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，则11111()()22n n n a --=⨯=， 故11()2n n a -=．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到n a 与1n a +的关系． 35．（2016•新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n …时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n …， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=， 即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--． （2）若53132S =， 则若451311[()]1132S λλλλ=+=--， 即5311()113232λλ=-=--， 则112λλ=--，得1λ=-． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据2n …时，1n n n a S S -=-的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．36．（2016•天津文）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，663S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出1a ，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出n b ，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，则2111112a a q a q -=，即2121q q -=，解得2q =或1q =-．若1q =-，则60S =，与663S =矛盾，不符合题意．2q ∴=， 616(12)6312a S -∴==-，11a ∴=．12n n a -∴=．（2）n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-．11n n b b +∴-=． {}n b ∴是以12为首项，以1为公差的等差数列． 设2{(1)}n nb -的前2n 项和为n T ，则 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n b b b b b b -=+++⋯++12112222222nn b b n n +-+==22n =． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．37．（2016•山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a b ++=+ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出数列{}n ð的通项，利用错位相减法求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）238n S n n =+，2n ∴…时，165n n n a S S n -=-=+，。
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数 学 D单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1
－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn. 17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以an＋1bn＋1－anbn＝2，即cn＋1
－cn＝2， 所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1. (2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32
＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn
－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ. (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1. 若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an＜32. 17．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋12. 又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an＋12＝3n2，因此数列{an}的通项公式为an＝3n－12. (2)证明：由(1)知1an＝23n－1. 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1， 第 2 页 共 16 页
所以13n－1≤12×3n－1，即1an＝23n－1≤13n－1. 于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝321－13n<32. 所以1a1＋1a2＋…＋1an<32. 22．，，[2014·重庆卷] 设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式． (2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n22．解：(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由题设条件知 (an＋1－1)2＝(an－1)2＋1. 从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1. 可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n＝1时，结论显然成立． 假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1，则 ak＋1＝（ak－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1， 这就是说，当n＝k＋1时结论成立． 所以an＝n－1＋1(n∈N*)． (2)方法一：设f(x)＝（x－1）2＋1－1，则an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝（c－1）2＋1－1，解得c＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<14假设n＝k时结论成立，即a2k易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k＋2>a2. 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)故c
综上，存在 c＝14使a2n方法二：设f(x)＝（x－1）2＋1－1，则an＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n∈N*)． ① 当n＝1时，结论明显成立． 假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1. 即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2假设n＝k时，结论成立，即a2k由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2， a2(k＋1)＝f(a2k＋1)第 3 页 共 16 页
这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N*成立． 由②得a2n即(a2n＋1)2
因此a2n<14. ③ 又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2. 所以a2n＋1>a22n＋1－2a2n＋1＋2－1，解得a2n＋1>14. ④
综上，由②③④知存在c＝14使a2n
D2 等差数列及等差数列前n项和 12．、[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 12．1 [解析] 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1. 12．[2014·北京卷] 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 12．8 [解析] ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大． 3．[2014·福建卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．C [解析] 设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2
＋3×22d＝12，解得d＝2， 则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12. 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式． (2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 18．解：(1)设数列{an}的公差为d， 依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2； 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋（4n－2）]2＝2n2. 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)， 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n； 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*. 第 4 页 共 16 页
(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值； (2)若p＝12，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 20．解：(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此 a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，
解得p＝13或p＝0.
当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝13. (2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.① 因为122n<122n－1，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②
由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝122n－1＝（－1）2n22n－1.③ 因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－122n＝（－1）2n＋122n.④ 由③④可知，an＋1－an＝（－1）n＋12n.
于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n－1＝1＋
12·1－－12n－11＋12＝43＋13·（－1）n2n－1.
故数列{an}的通项公式为an＝43＋13·（－1）n2n－1. 8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
8．C [解析] 令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn＋1bn＝2a1an＋12a1an＝2a1(an＋1
－an)＝2a1d<1，所得a1d<0. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 18．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，
解得－103≤d≤－52， 因此d＝－3. 故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.