平面任意力系平衡的充分必要条件
工程力学填空题
一．填空题：1.力是物体之间的作用。
2.刚体上仅受两力作用且处于平衡状态的必要与充分条件是：此两力。
3.两物体间相互作用的力总是同时存在，并且两力等值，反向，共线，分别作用于。
4.一对等值、反向、的平行力组成的特殊力系称为力偶。
5.把约束对物体的作用称为力。
6.平面任意力系的平衡条件为：力系中所有各力在两个任选的直角坐标轴上的投影，以及各力对平面内任一点的矩的。
7.滑动摩擦力作用在物体的，其方向沿接触面的，并和物体滑动或滑动趋势方向相反。
8.对于空间力系，当力与某轴时，力对该轴之矩为零。
9.确定物体重心与形心位置的方法有，。
10.轴向拉伸与压缩的变形特点是：杆件方向伸长或缩短。
11.求内力的方法是。
12.轴向拉伸与压缩时的胡克定律表示为σ=Eε，式中E为材料的，即当应力不超过某一极限值，应力与应变。
13.利用强度条件，可以解决以下三类问题：，和确定许可载荷。
14.剪切变形的特点是：在两力作用线间的截面发生；挤压变形时挤压面一般外力作用线。
15.杆件扭转时的受力特点是:作用于杆两端的一对力偶，大小相等，，而且力偶作用面垂直于杆轴线。
16.圆周扭转时横截面上任一点处的切应力的大小与该点到圆心的距离ρ。
17.梁弯曲时横截面上的剪力和弯矩的求法是：任意截面上的剪力等于截面左段梁或右段梁上所有外力的；任意截面上的弯矩等于截面左段梁或右段梁上所有外力对的代数和。
18.度量梁弯曲变形的两个基本量是和。
19.常用法和法求梁的变形。
20. 梁在弯曲时，利用和，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。
21.圆轴弯扭组合变形时由第三强度理论得到的强度条件为：。
22.压杆失去稳定性是指压杆在的作用下将失去直线平衡而转为曲线平衡。
23.压杆按柔度大小分为三类，对于λ＜λS 的压杆叫柔度杆，对于λ≥λp的压杆称为柔度杆，对于λS ≤λ＜λp的压杆称为柔度杆。
24.为提高压杆的稳定性，可将一端固定另一端自由的压杆改变为一端固定另一端铰支的压杆，则长度系数μ由变为。
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系应用举例
例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
A
B
30 0
C
30 0
D
W
A
B
30 0
30 0
D
y
C
x
FCA 30 0
F 30 0 CB
C
F
' T
W
FT
Fx 0
总结：平面汇交力系合成与平衡的几何法
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 该力系的合力等于零，即力系中各力的矢 量和为零：
n
FR Fi 0 i1
• 平面汇交力系平衡的几何条件：该力系
的力多边形是自身封闭的力多边形。
例 3–1 水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，
方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求
n 2 n 2
FR Fix Fiy 0 i1 i1
n
Fxi 0
i 1
n
Fyi 0
i 1
解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
① 选分离体，画受力图，分离体选取应 最好含题设的已知条件；
静力学-力系平衡+刚体系统平衡 1
•有唯一解•无穷组解源自•利用用变形协调条件确定真实解
二、刚体系统的平衡
[隔离体]、[整体]
刚体系平衡 系统中每个刚体平衡
A
B
F
600
C
M
问题：平面刚体系若由n个单刚体组合而成， 可用的独立平衡条件最多有多少？ 独立平衡方程数N:
N 3n
A
B
F
60
0
M
[整体]
n个隔离体的平 C 衡方程(3n个) 肯定独立。
FAx FAy 1
2
2
2m
FB
[整体] C
FE
Q1
M
E
MA=0, –F+2FB–4Q–M+8FE=0 FB=1500N, Fy=0, FAy+FB+FE–F–Q=0 FAy=250N。
FCx
FCy
[CE]
FE
解：[AB],受力分析 A B
F
x
0, FAx 0
F
y
0,
l
FAy
MA
A FAx B
FAy qdx 0,
0
FAy ql
M
A l
0, 1 2 M A ql 2
M A xqdx 0,
0
例 ：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500N/m，其它尺寸如 图示，求：约束A，B处的约束反力。
FBy FC F sin 60 0
a F sin 60 FC a 0 2
FBy
B
F
600
FC
C
Fy 0
(5) (6)
FBy
M
B
大学理论力学__空间力系的平衡方程
二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ，
y
F2 ， …， Fn的作用。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否
3.1.1平衡条件
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
'
FR 0
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
Xi 0 ,Yi 0 , Zi 0
M x( Fi ) 0, M y( Fi ) 0, M z( Fi ) 0
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m
2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
距为4m。平衡荷重P3，到机中心
距离为6m。求：
P3
（1）保证起重机在满载
6m
和空载时都不致翻倒，平
衡荷重P3 为多少？
P1
P2
12m
（2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时轨道A 、
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
第3章-平面与空间一般力系
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
第三章 力系的平衡条件
解： 取AB梁，画受力图。 梁 画受力图。
∑F =0 x
F + F cos450 = 0 Ax c
F + F sin450 −F = 0 Ay c
∑Fy =0
MA = 0 F cos450 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 ∑ c
解得
F = 28.28kN FAx = −20kN FAy = −10kN , , C
例3 - 8
M 已知: F=20kN, q=10kN/m, = 20kN⋅m, L=1m; 已知:
求: A,B处的约束力. 处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图. 画受力图.
∑M =0
c
l F sin 60 ⋅l −ql ⋅ − F cos300 ⋅ 2l = 0 B 2
0
解得
FB=45.77kN
∑MA = 0
F ⋅ 2a + F x ⋅ a = 0 Bx D
得
F =−F Bx
例3-19 已知： 荷载与尺寸如图； 已知： 荷载与尺寸如图； 每根杆所受力。 求： 每根杆所受力。 取整体，画受力图。 解： 取整体，画受力图。
∑F = 0 ix
F =0 Ax
F = 20kN Ay
∑MB = 0 −8FAy +5*8+10*6+10*4+10*2 = 0
q= 20kN , m
l =1 ; F = 400kN, m
解得 F = 316.4kN Ax
o F =0 FAy − P−Fcos60 = 0 ∑ y
解得 FAy =300kN
∑M
A
=0
A 解得 M = −1188kN⋅ m
M − M − F1⋅l + F cos60o ⋅l + Fsin 60o ⋅3l = 0 A
第四章 平面一般力系
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学复习题及答案
1.力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。
2.物体受力发生变形的过程，属于机械运动状态改变的过程。
3.受力物体和施力物体间的相互作用力的性质相同。
4.刚体是受力作用而不变形的物体。
5.在所研究的机械运动问题中，物体的变形可以不考虑，那么此物体可视为刚体。
1.力系中各力的作用线汇交于一点的力系，称为汇交力系；力系中各力的作用线在同一个平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
3.平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自行封闭的。
4.刚体在三力作用下平衡，其中两力的作用线汇交于一点，则该三力组成的平衡力系一定是平面汇交力系。
5.在正交的力系中，力沿某轴的分力的大小于同一力在该轴上的投影的绝对值相等。
1.力偶是大小相等、方向相反且不共线的两个平行力。
2.力偶在任何坐标轴上的投影的代数和恒等于零。
3.力偶矩相等是作用在刚体上的两个力偶等效的充分必要条件。
4.力偶使刚体转动的效果与矩心位置无关，完全由力偶矩决定。
5.力偶于力都是物体间相互的机械作用，力偶的作用效果是改变物体转动的状态。
1.平面任意力系向一点的简化，需要将力系中各力都等效的平移到作用面内任意选定的一点上，该点称为简化中心。
2.对于给定的任意力系，其主矢与简化中心的位置无关。
但在一般情况下，简化中心的位置不同时，对应的力系的主矩则不相同。
3.平面任意力系平衡的必要和充分条件是平面任意力系的主矢和主矩同时为零。
4.平面任意力系的平衡方程可写成三种形式，一矩式、二矩式和三矩式，其中二矩式和三矩式对矩心位置必须附加条件。
5.平面平行力系平衡时，只有两个独立的平衡方程。
1.两个物体间具有不光滑接触面时，接触面处会产生阻碍两物体间的相对滑动或相对滑动趋势的机械作用，这种作用称为滑动摩擦力。
其方向沿接触面公切线，与物体相对滑动相反。
2.临界平衡状态下，静滑动摩擦力的值称为最大静摩擦力，以Fmax表示。
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平面任意力系平衡的充分必要条件
力学是研究物体运动和力的学科，而力系是指在物体上作用的力的集合。
在力学中，平衡是一个重要的概念，它指的是物体处于静止状态或者以恒定速度运动的状态。
在平面任意力系中，物体能够保持平衡的条件是力的合力和力的力矩都等于零。
下面将详细介绍平面任意力系平衡的充分必要条件。
我们来了解一下力的合力。
力的合力是指作用在物体上的所有力的矢量和。
在平面任意力系中，力的合力的计算可以通过将所有力的矢量相加得到。
若力的合力等于零，即合力矢量的大小和方向都为零，那么物体就处于平衡状态。
我们来了解一下力的力矩。
力的力矩是指力对物体产生转动作用的能力。
在平面任意力系中，力的力矩的计算可以通过力的大小、力臂的长度和力的作用方向之间的关系来确定。
力的力矩可以分为正矩和负矩，分别表示力的转动方向与顺时针方向和逆时针方向相同或相反。
如果物体在平衡状态下，力的合力矩等于零，即所有力的正矩和负矩的和等于零。
平面任意力系平衡的充分必要条件可以总结为两点：力的合力等于零，力的合力矩等于零。
根据这两个条件，我们可以通过以下步骤来判断平面任意力系是否
处于平衡状态：
1. 将力系中的所有力用矢量表示出来，并确定力的大小、方向和作用点。
2. 计算力的合力，即将所有力的矢量相加。
3. 判断力的合力是否等于零。
如果等于零，则继续下一步；如果不等于零，则物体不处于平衡状态。
4. 计算力的力矩。
对于每一个力，可以通过力的大小、作用点到某一点的距离和力的作用方向之间的关系来确定力的力矩。
5. 判断力的力矩是否等于零。
如果所有力的正矩和负矩的和等于零，则物体处于平衡状态；如果不等于零，则物体不处于平衡状态。
通过以上步骤，我们可以判断平面任意力系是否处于平衡状态。
如果力的合力和力的合力矩都等于零，那么物体就能够保持静止或者以恒定速度运动，即平衡。
需要注意的是，平面任意力系平衡的充分必要条件只适用于平面内的力系。
对于三维空间内的力系，还需要考虑力的力矩对于物体绕其他轴的转动影响。
总结起来，平面任意力系平衡的充分必要条件是力的合力和力的力矩都等于零。
通过计算力的合力和力的力矩，我们可以判断平面任
意力系是否处于平衡状态。
这个条件在力学中具有重要的意义，可以帮助我们分析和解决与平衡相关的问题。