浙江省湖州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省湖州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题:1.下列四条直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D. 10xy10xy310xy
310xy【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率求出对应的倾斜角，即可判断.
【详解】直线的斜率为，则该直线的倾斜角为10xy1Ak45
直线的斜率为，则该直线的倾斜角为10xy1Bk135
直线的斜率为，则该直线的倾斜角为310xy3Ck60
直线的斜率为，则该直线的倾斜角为310xy3Dk120
故选：B【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变化关系，属于基础题.
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点Q的坐标是（ ）Oxyz(1,1,1)PxOz
A. B. C. D. (1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)【答案】D【解析】【分析】
由点关于平面对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.(1,1,1)PxOz
【详解】点关于平面对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数(1,1,1)PxOz
则对称点(1,1,1)Q故选：D【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.3.直线截圆所得弦长是（ ）320xy224xy
A. B. 2C. D. 233
1
【答案】A【解析】【分析】
由点到直线的距离公式得出原点到直线的距离，再根据弦长公式求解即可.320xy
【详解】原点到直线的距离为 320xy030214
则所得弦长为2222123
故选：A【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式以及弦长公式，属于基础题.
4.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（ ）221259
xy
A. 3B. 5C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】设点P到另一个焦点的距离为n
由椭圆的定义可得：，解得225n8n
故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（ ）A. B. 2C. D. 438
34
【答案】A【解析】【分析】根据三视图得出该几何体的直观图，结合棱锥的体积公式计算即可得出答案.【详解】该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥SABC
则114222323SABCV
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.6.设，则“”是“”的xR05x
11x
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.11x
【详解】等价于，故推不出；11x02x05x11x
由能推出．11x05x
故“”是“”的必要不充分条件．05x|1|1x故选B．【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
7.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）,mn,,
A. 若则B. 若则,,mn‖‖mn‖,,
‖
C. 若则D. 若则,,mm‖‖‖
,,mnmn‖
【答案】D【解析】【详解】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；,mn
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；，
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；，
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.8.已知正方体，Q是平面内一动点，若与所成角为，1111ABCDABCDABCD1DQ1DC4
则动点Q的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式化简即可判断动点Q的轨迹.
【详解】设正方体的棱长为1，以分别为x，y，z，建立空间直角坐标系，如1,,DADCDD
图所示，
设，，，(,,0)Qxy(0,1,0)C1
(0,0,1)D
所以11(0,1,1),(,,1)DCDQxy
由于，1111||||cos4DCDQDCDQ
所以，平方得，2221212yxy222211yyxy
即，即轨迹为抛物线.22xy
故选：C【点睛】本题主要考查了由线线角求其他量，属于基础题.
9.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q212xy22(4)1xy
的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】
根据抛物线的定义得出，当三点共线时，最小，PAPQPFPQABF,P,QPAPQ
根据几何关系得出的最小值，即可得出答案.PFPQ
【详解】由抛物线的方程可知，则准线方程为(0,3)F3y
过点作轴的垂线，垂足于点，延长交准线于点，设圆的圆心为点PxA
B
22(4)1xy
C根据抛物线的定义可得：PAPBABPFAB
3PAPQPFPQABPFPQ
所以当最小时，则最小，即点三点共线时，最小PAPQPFPQF,P,QPAPQ22
min3414PFPQFCQC
minmin3431PAPQPFPQ
故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用以及由抛物线方程求焦点坐标等，属于中档题.10.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端点），SABCDSA设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角BECD1BEABCD2
的平面角为，则（ ）SBCD3
A. B. 1323,2123,C. D. 2131,1232,【答案】B【解析】【分析】
由二面角，线面角，异面直线的夹角的定义得出，由123,,EBMEBFSGO
直角三角形的边角关系以及斜边与直角边的长度关系，得出，12tantan，结合正切函数的单调性，即可得出答案.32tantan【详解】连接相交于点，取的中点，连接，过点作，,ACDBOBCG
,SGOGEEFSO
交与点，过点作的垂线，垂足于点，连接，，如下图所示ACFEABMFMFB
由题意可知，面，,SOACSOBD,ACBDABCDACBDO
所以面SOABCD因为，所以面EFSOEFABCD
故123,,EBMEBFSGO
因为面，面，所以EFABCDABÌABCDABEF
又，面，MEAB,MEEFEFMMEEFE
所以面，面，所以ABEFMEMEFMEMAB
则 123tan,tan,tanEMEFSOBMBFOG
由直角三角形的性质得，,EMEFEMEFBMBFBMBF
则1212tantan
由直角三角形的性质得， ,EFSOEFSOBFOBOGBFOG
则3232tantan故选：B
浙江省湖州市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷
浙江省湖州市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的方程为x-3y+2=0 ，则曲线 C 上到直线 l 距离为的点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），则过点（3，0）且斜率为的直线l被曲线C截得的线段中点的坐标为（）A . （﹣，﹣）B . （，﹣）C . （﹣2，﹣4）D . （，﹣）3. （2分） (2017高二下·深圳月考) 已知曲线的参数方程是 )，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则此曲线的极坐标方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·陆川期末) 在极坐标系中，点(1，0)到直线θ＝(ρ∈R)的距离是（）A .B .C . 1D .5. （2分）有两排座，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A . 234B . 346C . 350D . 3636. （2分） (2017高二下·长春期末) 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有（）A . 11条B . 14条C . 16条D . 48条7. （2分）(2020·攀枝花模拟) 2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）已知 + + +…+ =729，则 + + 的值等于（）A . 64B . 32C . 63D . 319. （2分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2 ，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是（）A . 直线l1和l2一定有公共点（s，t）B . 直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）C . 必有l1∥l2D . l1与l2必定重合10. （2分） (2019高一上·安达期中) 今有一组实验数据如下：分别用下列函数模型来拟合变量与之间的关系，其中拟合效果最好的是（）A .B .C .D .11. （2分）已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=bx+，则b=（）A . -B .C . -D .12. （2分） (2016高二下·南阳期末) 已知X～N（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则 dx=（）A . 0.043B . 0.0215C . 0.3413D . 0.4772二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（3，100），且P（ξ≤5）=0.84，则P（1≤ξ≤5）=________．14. （1分）(2013·浙江理) 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）15. （1分）(2016·四川理) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________ ．16. （2分） (2017高二下·温州期末) 王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1 ， L2两条路线（如图），L1路线上有 A1 ， A2 ， A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有 B1 ， B2两个路．各路口遇到红灯的概率依次为，．若走 L1路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为________；若走 L2路线，王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高二下·南安期中) 请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．18. （5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，…，5的5张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X为两张标签上的数字之和．（1）求X的分布列．（2）求X的期望E（X）和方差D（X）．19. （10分）(2017·江西模拟) 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，2，…，5），且pi= （i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．20. （10分）(2020·内江模拟) 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.附：（其中）（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.21. （5分）(2017·南海模拟) 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ）．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．22. （5分）已知曲线C的参数方程是（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系x轴正半轴重合，单位长度相同．）（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设M是直线l与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
浙江省湖州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
浙江省湖州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表： 做不到 能做到 高年级 45 10 低年级3015则下列结论正确的是（ ） 附参照表：2()P K k ≥0.10 0.025 0.01 k2.7065.0246.635参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++A ．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” 【答案】C 【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得2 3.03K ≈，参照临界值表即可得到正确结论. 详解：由公式()()()()()22n d bc k a b c d a c b d -=++++可得2 3.03K ≈，参照临界值表，2.7063.030 3.841<<，∴0090以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.3．已知双曲线 C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ，∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m =，得2m =，则虚半轴长224223n =-=∴双曲线的方程是221412y x -=．故选C ． 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．4．一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+，则a =（ ） A ． 2.15- B ． 1.15-C ．0.08D ．2.15【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 5．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）A ．1 BC D ．2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模. 6．已知函数()1ln af x x x=-+，若存在00x >，使得()00f x ≤有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a < B ．1a ≤C ．2a >D ．3a ≥【答案】B【解析】 【分析】先将()00f x ≤化为000ln a x x x ≤-,再令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤,然后通过导数求得()g x 的最大值代入可得. 【详解】若存在00x >，使得()00f x ≤有解,即存在00x >,使得000ln a x x x ≤-, 令()ln g x x x x =-,则问题转化为:max ()a g x ≤, 因为()1(1ln )ln g x x x '=-+=-,当01x << 时,()0g x '> ;当1x > 时,()0g x '< , 所以函数()g x 在(0,1) 上递增,在(1,)+∞ 上递减, 所以max ()(1)1g x g == , 所以1a ≤. 故选B . 【点睛】本题考查了不等式能成立问题,属中档题.7．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．13C ．12D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
浙江省湖州市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
（1）当
2 即 2 时，显然成立；
x 0 x 1 0 x 1
（2）当
2即
2 时，
f
(x)
1，
f
x
1 2
0
，此时不等式显然成立；
（3）当 x
0
即
x
0
时，
f
(x)
x
1，
f
x
1 2
x
1 2
1
x
1 2
，
∵
f
(x)
f
x
1 2
1 x 1
，∴
x
1 2
1
，解得
x
1 4
，则
1 4
x
0
；
综上，满足题意的实数
f
(x)
(2x
1)(x x
a)
(a
R)
为奇函数，则实数
a
（
）
1
A. 2
B. 0
C. 1
D. 1
【答案】A
【解析】 【分析】
根据奇函数的定义 f (x) f (x) 计算即可得出结论．
f (x) (2x 1)(x a) (a R)
【详解】解：∵函数
x
为奇函数，
f (x) (2x 1)(x a) (2x 1)(x a) f (x) (2x 1)(x a)
x
,
x
0
，则满足
f
(x)
f
x
1 2
1 的实数 x 的取值范围为
（）
A.
1 4
,
B.
,
1 4
C. (1, )
D.
1,
1 4
浙江省湖州市2019-2020学年高二下学期期末考试 数学+化学 试题及答案
得：
，
t0
0
t
，解可
f log 3
则
4
14
18
，
log 3
log 9
2
42
则
；
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg
log 3
log 3 8
2
2
2
3
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注
意结论 f 0
0 的应用，考查计算能力，属于基础题. x y1
7. 实数 x 、 y 满足约束条件
p
12 ,
且不断增大时，
23
D( ) 的单
减小.
【详解】依题意得 P
Cp
p
22
2
(1 )
3
3p3 3p2，
令f p
p
33
fp
p2
p
96 9
p ，则
2
p1 1
，
3
p
fp f
12 ,
f
p
当
时，
为递减函数，所以
2
2
21
9
1 0，
23 12 ,
3
12 p
,
33
P(
2)
23 23
增大.
D )
13
12
p
3 p(1 p) 3( p
x0
可得 A(0, 1), B(1,0),C(0,1) ， 目标函数 z ax y 表示直线在 y 轴上的纵截距， 由平面区域可得目标函数 z ax y 在点 A, B, C 点处取得最大值， 分别代入，可得目标函数 z ax y 在点 B(1,0) 处取得最大值 2，即 a 2 .
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若直线经过0,0O ，(A 两点，则直线OA 的倾斜角为（ ）A.6π B.3π 2.在正方形1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 3.已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.圆224x y+=被直线3450x y ++=截得的弦长为（ ）A.1B.2 D.5.已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误．．的是（ ） A.若//m α，n αβ=，则//m n B.若m α⊥，m β⊥，则//αβC.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D.若//m n ，m α⊥，则n α⊥ 6.设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是（ ）7.若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是（ ）A.[]2,4B.[]0,4C.[)4,+∞D.[)2,+∞ 8.已知正方体1111-ABCD A B C D 的体积为1，则四棱锥1111-B A B C D 与四棱锥1111-A A B C D 重叠部分的体积是（ ） A.18 B.16 C.524 D.7249.已知点()11,P x y 是单位圆221x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为（ ）A.3- B.6 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10.已知直线10=与圆22:280C x y x y b +--+=，(),a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC 的面积的最大值为4，求此时ab =______．11.在三棱锥S ABC -中，底面ABC 是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =S ABC -外接球的表面积为______． 12.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值______．三、解答题（题型注释）13.设命题：实数满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220x x --≤．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．14.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC 是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C 的平面角的正切值．16.如图，已知多面体PABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥平面PAB ，AD =2BC =4，AB =1，PA =2，∠PAB =60°.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.17.如图，点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆()22:11C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO K ，BO K ．（1）当()2,1P =-时，求AO BO K K ⋅的值；（2）当P 运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时点P 的坐标．四、新添加的题型倾斜角为120，在轴上的截距为1的直线l 的方程为________；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a =________.19.已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2，则m =______．若圆心C 在直线20x y -=上．则m =______．20.若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，b c A =，则直线a 与直线c 的位置关系是______；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是______． 21.ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．参考答案1.B【解析】1.由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线OA 的倾斜角. 解：直线经过O （0，0），A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，α∈[0，π）， 则tan α＝010-∴α＝3π， 故选：B.2.D【解析】2.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与1B D 所成的角.解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），C （0，1，0），D （0，0，0），B 1（1，1，1）， AC ＝（﹣1，1，0），1B D ＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC 与B 1D 所成的角为θ，则cos θ＝11||||||AC B D AC B D ⋅⋅＝0， ∴θ＝2π. ∴异面直线AC 与B 1D 所成的角为2π. 故选：D .3.A【解析】3.利用两个条件之间的推出关系可判断两者的条件关系.当1a >时，21a >成立，取2a =-，此时21a >成立，但是1a >不成立，“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故选：A.4.D【解析】4.求出圆心到直线3450x y ++=的距离，借助由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦长.解：依题意，圆x 2+y 2＝4圆心为（0，0），半径r ＝2，所以圆心到直线圆x 2+y 2＝4的距离d ＝1，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l 和弦心距d 构成直角三角形， 所以222212l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得l ＝故选：D.5.A【解析】5.在A 中，m 与n 平行或异面；在B 中，由线面垂直的性质可得//αβ；在C 中，由面面垂直的判定定理得αβ⊥正确；在D 中，由线面垂直的性质可得n α⊥.解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知：在A 中，∵//m α，n αβ=，∴m 与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，∵m α⊥，m β⊥，∴由线面垂直的性质可得//αβ，故B 正确；在C 中，∵m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，∵//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的性质可得n α⊥，故D 正确.故选：A.6.C【解析】6.设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，得r，由此能求出12V V 的值. 解：设球O 的半径为R ，圆锥SO 1的底面半径为r ，则圆锥1SO 的母线长l ＝2r ，由题意得4πR 2＝πrl ＝2πr 2，解得r，33122443133R R V V r πππ∴===⨯故选：C.7.B【解析】7.根据有公共交点得到2224a ab b -+≤和2224a ab b ++≤，相加得到答案.圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点22224a b a ab b ≤-≤∴-+≤；22224a b a ab b ≤+≤∴++≤；两式相加得到2204a b ≤+≤故选：B8.C【解析】8.如图所示，画出重叠部分的图像如图2，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到答案. 如图所示：G 为1AB 和1A B 交点，H 为1AC 和1BD 的交点，重叠部分如图2.12111151432424V V V =-=⨯-⨯⨯= 故选：C9.A【解析】9. 利用圆的参数方程与直线的方程分别求出12x x -与12y y -的最小值，比较即可得答案. 解：过,P Q 作x 轴，y 轴的垂线，垂足及其他交点如图所示， 则12x x EF PH GQ -===，12y y CD PG QH -===，由于直线260x y +-=的斜率是2-，当,P Q 都在第一象限时， ①121212PQ L x x y y PG GQ PG GK =-+-=+=+ 111222PK GK PK PK PK =-≥-= 取x 1＝x 2∈[0，1]时等号成立，则y 1y 2＝6﹣2x 2＝6﹣2x 1，则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|＝162x -，令x 1＝cos θ（θ∈[0，2π]），则|y 1﹣y 2|＝6﹣2cos θ﹣sin θ＝6（θ+ϕ）≥6 ②12122PQ L x x y y QH PH HL PH PL HL PL =-+-=+=+=+≥取y 1＝y 2∈[0，1] 时等号成立，则x 1x 2＝3﹣22y ＝3﹣12y .则|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|＝|x 1﹣x 2|＝132y -令y 1＝sin θ（θ∈[0，2π]），则|x 1﹣x 2|＝3﹣1sin 2θ﹣cos θ＝3sin （θ+ϕ）≥32-当,P Q 中至少有一个点不在第一象限时，明显1212x x y y -+-的取值会比,P Q 都在第一象限时大，综上可得：|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|的最小值是3故选：A.10.154-【解析】10.当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，由ABC 面积的最大值为4，可算得b ，从而得到C 到直线的距离等于2，建立方程可求得a 的值，从而得ab 的值.解：∵圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣8y +b ＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝17﹣b ；∴圆心C （1，4），半径r当ABC 的面积最大时，AC ⊥BC ，（S △ABC ）max ＝212r ＝4； ∴r 2＝8，即17﹣b ＝8，∴b ＝9；直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝r ，∴C 到直线AB ：ax +y +a ﹣1＝0的距离等于d ＝2，∴d ＝2，∴a ＝512-， ∴ab ＝154-. 故答案为：154-.11.12π【解析】11.根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥S −ABC 的外接球的半径即可.解：取AC 中点D ，则SD ⊥AC ，DB ⊥AC ，又∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，又∵AM ⊥SB ，AM ∩AC ＝A ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA ⊥SB ，SC ⊥SB ，根据对称性可知SA ⊥SC ，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r 2面积S ＝4π×3＝12π.故答案为：12π.12.【解析】12.当线段BC 确定时，观察出当面OCB 和面BCD 共面时，O 到点D 的距离最大，即求点O 到线段BC 距离的最大值即可.解：在线段BC 上任取一点M ，连接OM ，DM ，由三角形三边关系得OM DM OD +≥，当O ，M ，D 三点共线时取等号， 则当面OCB 和面BCD 共面时，OD 最大，当面OCB 和面BCD 共面时，设OBC α∠=，则2sin ,2cos OC OB αα==，则2222cos 3OD OB BD OB BD πα⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭214cos 48cos cos 2αααα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭424α=+≤+则OD ≤=即O 到点D 的距离的最大值为故答案为：13.（1）()1,2；（2）[]1,2．【解析】13.（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. （1）当1a =时，由()()120x x --<，得{}12P x x =<<.由()()216220x x--≤，所以{}14Q x x =≤≤.因此x 的取值范围是()1,2；（2）可得{}2p x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤， 若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立；当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩， 故a 的取值范围是[]1,2. 14.（1）3x +y +2=0；（2）x −3y +2=0【解析】14.分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程； （2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为x −3y +m =0(m ≠−6)，然后由点到直线的距离得出10=25√10，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD， 又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0， 所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3， 而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0. (2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC， 所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0. 由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等 所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0. 15.（1）证明见解析；（2）2.【解析】15.（1）推导出AB CD ∥，由此能证明//CD 平面PAB .（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP ，则PEH ∠即为所求二面角的平面角，求出PEH ∠的正切值即可. （1）因为//AB 平面PCD ， 平面PCD平面ABCD 于CD ，故AB CD ∥，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB故CD ∥平面PAB ；（2）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ，连结EP 则PEH ∠即为所求二面角的平面角.又2PH ==1122242AC BC HE AB ⋅=⋅=⋅=，故an 2t PEH ∠==.16.（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）2√5719【解析】16.（Ⅰ）由余弦定理得PB =√3，从而PB ⊥AB ，由AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥PB ，再由PB ⊥AB ，能证明PB ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）由余弦定理求出cos ∠PDC =910，从而sin ∠PCD =√192，S △ACD ＝2，设直线P A 与平面PCD 所成角为θ，点A 到平面PCD 的距离为h ，由V A ﹣PDC ＝V P ﹣ACD ，得h =√3√19，从而sinθ=ℎPA=2√5719，由此能求出直线P A与平面PCD所成角的正弦值．（Ⅰ）在ΔPBA中，PA=2，AB=1，∠PAB=60°，所以PB2=22+12−2×2×1×cos60°=3，PB=√3，所以PB2+AB2=PA2，PB⊥AB，因为AD∥BC，所以A，B，C，D四点共面.又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB.又PB⊥AB，AD∩AB=A，所以PB⊥平面ABCD.（Ⅱ）（方法一）在RtΔPBC中，PC=√7，在RtΔPAD中，PD=2√5.在直角梯形ABCD中，CD=√.在ΔPDC中，cos∠PDC=√5)2√5)2√7)22×2√5×√5=910，sin∠PDC=√1−(910)2=√1910.所以SΔPDC=12×2√5×√5×√1910=√192，SΔACD=12×4×1=2.设直线PA与平面PCD所成的角为θ，设点A到平面PCD的距离为ℎ，因为V A−PDC=V P−ACD，所以13×SΔPDC×ℎ=13×SΔACD×PB，即13×√192×ℎ= 13×2×√3，所以ℎ=√3√19，sinθ=ℎPA=√3√19=2√5719，故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为2√5719.（方法二）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，BC⊥AB.以点B 为坐标原点，以BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图的空间直角坐标系，则P(0,0,√3)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，D(1,4,0)，所以PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−√3)，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−√3)，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2,0). 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为n ⃑⃑ =(x,y,z)， 由{PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0 得{2y −√3z =0x +2y =0 取y =√3，则z=2，x =−2√3，所以n⃑⃑ =(−2√3,√3,2). 所以sinθ=|PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||PA⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√3+0−2√3|2√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719.（方法三）延长DC ，AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD∥BC ，AD =2BC ，所以BC 为ΔADE 的中位线，点B ，C 分别为AE ，DE 的中点.所以ΔPDE 为等腰三角形. 取PE 中点F ，连DF ，AF . 所以DF ⊥PE ，AF ⊥PE ，DF ∩AF =F ，所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ，所以平面ADF ⊥平面PCD .作AH⊥DF 于H ，连PH ，所以AH ⊥平面PCD .所以∠APH 就是直线PA 与平面PCD 所成的角. 因为AF=√3，AD =4，DF =√19， 所以AF 2+AD 2=DF 2，所以AH =√3√19.所以sin∠APH =AH AP=√3√19=2√5719，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为2√5719. 17.（1）13=12AO BO K K ⋅-；（2）82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】17.（1）当点P 的坐标为（−2，1）时，设直线为()12y k x -=+，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出斜率k 的值，得出切线方程，从而求得点A ，B 的坐标，得出AO BO K K ⋅的値；（2）设出切线方程，找出0y 与k 的关系，根据韦达定理和斜率公式，建立关于0y 的一元二次方程，求出AO BO K K ⋅最小时的0y ，即求出P 的坐标. （1）设切线PA ，PB ：()12y k x -=+， 点C 到PA ，PB ：()12y k x -=+的距离为1，1k =⇒=. PA，PB ：)12y x -=+， 2,13A ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭，2,13B ⎛- ⎝⎭111333==2212AO BO K K +∴⋅⋅-； （2）设()02,P y =-设切线PA ，PB ：()02y y k x -=+，()22000134420k y k y y =⇒+-+-=012201244323y k k y y k k -⎧+=-⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=⎪⎩， PA ，PB ：()02y y k x -=+，令2x =，得()012,4A y k =+，()022,4B y k =+，()()()2102001201244=444AO BOk y k y y K K k k y k k +⋅+⋅=+++200416439y y =-≥-， 故当P 在直线上运动083y =，AO BO K K ⋅的最小值为169-，P 点的坐标82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10y +-=【解析】18.根据直线倾斜角可得斜率，由斜截式方程可得结果；根据垂直关系可构造方程求得结果. 直线倾斜角为120，∴直线斜率tan1203k ==-∴直线l 的方程为：1y =+10y +-=.直线l 与10ax y ++=垂直，10+=，解得：a =.10y +-=；-19.1 2【解析】19.通过点的坐标代入圆的方程，得到m 值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m 值即可. 解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2my ＝0，若圆C 过点（0，2）， 则4﹣4m ＝0，解得m ＝1；圆的圆心（1，m ），圆心C 在直线2x ﹣y ＝0上， 可得2﹣m ＝0，解得m ＝2； 故答案为：1；2.20.相交或异面 平行或在平面内【解析】20.由a ∥b ，b ∩c ＝A ，得直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面；由a b ⊥，b α⊥，得直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面， ∵a ∥b ，b ∩c ＝A ，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面.∵a ⊥b ，b ⊥α，则直线a 与平面α的位置关系a ∥α或a ⊂α. 故答案为：相交或异面；平行或在平面内.2【解析】21.画出正ABC 和水平放置的直观图'''A B C ，计算它的面积与周长即可. 解：如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B CS12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45°＝4；其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++12）+2+12）＝..。
2019-2020学年浙江省湖州市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年浙江省湖州市数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．欧拉公式：i e cos isin (i x x x =+为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，i 22(e )π=（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案． 【详解】由ix e cosx isinx =+得2222cos sin 212i e i i πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭=-⎭故选B ． 【点睛】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题．2．复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[11]－， B ．()1∞－，－ C ．()11－， D ．()1+∞， 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】 根据题意得，()1(1)1111222ai i ai a az i i ----+===-+，因为复平面内对应的点 在第四象限，所以1021+02aa -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.3．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升 B ．三升 C ．四升 D ．五升【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案． 【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为4232+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若()112101101210111x a a x a x a x a x -=+++++L ，则12311a a a a ++++L =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．0【答案】A 【解析】 【分析】将1x =代入()111x -，可以求得各项系数之和；将0x =代入，可求得0a ，两次结果相减即可求出答案. 【详解】将1x =代入，得11(11)0-=，即0110110a a a a ++++=L ， 将0x =代入，得11(10)1-=，即01a =，所以123110-1a a a a a ++++==-L 故选A. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，若二项式展开式为()2012nn f x a a x a x a x =++++L ，则常数项()00a f =，各项系数之和为012(1)n a a a a f ++++=L ，奇数项系数之和为()()024112f f a a a +-+++=L ，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=L .5．设i 为虚数单位，若复数z 满足(1)2i z i +=，则复数z =（ ）A ．1i -+B ．1i -C ．1i --D ．1i +【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得到，21iz i=+，根据复数的除法运算法则，即可得出结果. 【详解】因为(1)2i z i +=，所以()()()()2121211112--====+++-i i i i i z i i i i . 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.6．已知变量x ，y 满足回归方程$y bx a =+，其散点图如图所示，则（ ）A ．0a <，0b >B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a >，0b <【答案】D 【解析】 【分析】由散点图知变量,x y 负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y 轴上的截距大于1．可得答案. 【详解】由散点图可知，变量,x y 之间具有负相关关系． 回归直线l 的方程$y bx a =+的斜率0b <． 回归直线在y 轴上的截距是正数0a >． 故选：D 【点睛】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题． 7．把圆和椭圆的公共点用线段连接起来，所得到的图形为（ ）A ．线段B ．等边三角形C ．直角三角形D ．四边形通过联立方程直接求得交点坐标，从而判断图形形状. 【详解】 联立与可求得交点坐标为：，共三点，连接起来为正三角形，故选B. 【点睛】本题主要考查圆与椭圆的交点问题，难度不大.8．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ） A ．310B ．13C ．38D ．29【答案】D 【解析】 【分析】设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B ，分别计算出()P A ，()P A B ⋅的值，由条件概率公式可得()P B A ，可得答案. 【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B ， 可得：3()10P A =，322()10930P A B ⋅=⨯=, 则所求事件的概率为：2()230()3()910P A B P B A P A ⋅===, 故选：D. 【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键.9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．210种可用分步计数原理去做,分成两步，第一步安排甲学校共有种方法,第二步安排另两所学校有种方法，然后两步方法数相乘即可. 【详解】先安排甲学校的参观时间,因为甲学校连续参观两天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五， 可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有种方法，然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观, 安排方法有种,按照分步计数乘法原理可知共有种不同的安排方法，故选C.【点睛】本题主要考查分步计数原理在排列组合中的应用，注意分步与分类的区别，对于有限制条件的元素要先安排，再安排其他的元素，本题是一个易错题.10．若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k=（ ）A ．83B ．-6C ．6D ．83-【答案】B 【解析】 【分析】由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k. 【详解】由参数方程可求得直线斜率为：132k =-，另一直线斜率为：24k k=-， 由直线垂直可得：1234·12k k k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得：6k =-. 故选B. 【点睛】本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.11．设集合{}2S x x =-,2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃= （ ）A ．[－4，－2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(－2，1]分析：先解不等式得出集合B ，再由集合的运算法则计算．详解：由题意{|41}T x x =-≤≤，{|2}R C S x x =≤-，∴(){|1}R C S T x x ⋃=≤． 故选B ．点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素．12．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且11k k a a +-=，1,2,,12k =⋯，满足这种条件不同的数列个数为______ 【答案】495 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列中11k k a a +-=的个数，再利用组合知识，即可得到结论． 【详解】1||1k k a a +-=Q ，11k k a a +∴-=或11k k a a +-=-，13113121211111021()()()()a a a a a a a a a a -=-+-+-+⋯+-Q ，设上式中有x 个11k k a a +-=，则有12x -个11k k a a +-=-，4(12)(1)x x ∴=+-⋅-，解得：8x =，∴这样的数列个数有812495C =.故答案为：495 【点睛】本题以数列递推关系为背景，本质考查组合知识的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定数列中11k k a a +-=的个数是关键. 14．一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________.【答案】1122q -<<【解析】 【详解】设三边按递增顺序排列为2,,a aq aq ， 其中0,1a q ≥>.则2a aq aq +>， 即210q q --<.解得1122q -+<<.由 q≥1 知 q 的取值范围是. 设三边按递减顺序排列为2,,a aq aq ，其中0,01a q ><<.则2aq aq a +>，即210q q +->.解得112q <<.综上所述，q <<.15．若sin 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】13【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 6x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算求得结果. 【详解】63sin x Q π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则2cos 2626sin x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111233=-⨯=，故答案为13.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．若关于x 的不等式24log xa x <（0a >，且12a ≠）的解集是1{|0}2x x <<，则a 的取值的集合是_________．【答案】4⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】 由题意可得当x=12时，4x =log 2a x ，由此求得a 的值． 【详解】∵关于x 的不等式4x ＜log 2a x （a ＞0，且a ≠12）的解集是{x|0＜x ＜12}，则当x=12时，4x =log 2a x ，即 2=log 2a 12，∴（2a ）2=12，∴2a=2，∴a=4，故答案为4⎪⎪⎩⎭．【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数32(),3=+-∈m f x x x x m R . （1）当3m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为减函数，求实数m 的取值范围.【答案】（1）在(],1-∞-和1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，在11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数；（2）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）将3m =代入，求出()f x '，令()0f x '>，解不等式可得增区间，令()0f x '<，解不等式可得减区间.（2）根据题意可得2(20)1'=+-≤f x mx x 在[)2,+∞上恒成立，分离参数可得221212-=-x m x x x„，只需2min12x m x -⎛⎫⎪⎝⎭„即可. 【详解】（1）当3m =时，32()=+-f x x x x ，2()321(1)(31)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '>，可得1x -„或13x ≥；令()0f x „，113-x 剟. 所以()f x 在(],1-∞-和1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数； ()f x 在11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数.（2）由于()f x 在[)2,+∞上为减函数，2(20)1'=+-≤f x mx x 在[)2,+∞上恒成立，即221212-=-x m x x x „，令11,0,2⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦t t x ， 可设()()222,11=-=--g t t t t ，于是min 3()4=-g t 所以，m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，解题的关键是求出导函数，属于中档题.18．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； （2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）1925 （2）910【试题分析】（1）先求事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”概率， 再运用对立事件的概率公式求至少1名倾向于选择实体店的概率； （2）先确定随机变量取法，分别求出对应概率，列表可得分布列，最后运用随机变量的数学期望公式计算出数学期望 解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”， 则P （A ）=1﹣P=1﹣=．（2）X 的取值为0，1，2，1．P （X=k ）=，P （X=0）=，P （X=1）=，P （X=2）=，P （X=1）=．E （X ）=0×+1×+2×+1×=．19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于A ,B 两点，求11OA OB+. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为24470cos sin ρρθρθ+--=，直线2C 极坐标方程为()3θρπ=∈R ；（2232+【解析】 【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得解； （2）将3πθ=代入24470cos sin ρρθρθ+--=中得2(232)70ρρ-+=，结合韦达定理即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），得曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=，则1C 的极坐标方程为24470cos sin ρρθρθ+--=，由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标方程为()3θρπ=∈R . （2）由244703cos sin ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得2(232)70ρρ-++=， 设A ,B 对应的极径分别为12ρρ，，则12232ρρ+=+，127ρρ=，∴121211232OA OB OA OB OA OB ρρρρ++++===⋅. 【点睛】本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的应用，属于常考题.20．如图所示，四棱锥P ABCD -中，,,AB AD AD DC PA ⊥⊥⊥底面ABCD ，112PA AD AB CD ====，M 为PB 中点.（1）试在CD 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ；（2）点N 在满足（1）的条件下，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】 (1)1325.【解析】【试题分析】（1）先确定点N 的位置为CD 的四等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明//MN 平面PAD ；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线MN 与平面PAB 所成角AED ∠，25： 解：(1)证明: 1,//3CN ND MN =平面PAD.过M 作//EM AB 交PA 于E,连接DE. 因为13CN ND =,所以1142CN CD AB EM ===，又////EM DC AB ，故//EM DN ,且EM DN =，即DEMN 为平行四边形,则 //NM ED ,又ED ⊂平面PAD, NM ⊄平面PAD, //MN 平面PAD ； (2)解:因为//NM ED ，所以直线MN 与平面PAB 所成角等于直线DE 与平面PAB 所成角PA ⊥底面ABCD,所以 PA AD ⊥，又因为,AB AD AP AB A ⊥⋂=，所以AD ⊥底面PAB , AED ∠即为直线DE 与平面PAB 所成角.因为1,12AE AD ==，所以525DE AED =∠=MN 与平面PAB 所成角的正弦值为255。
2019-2020学年浙江省湖州市高二(上)期中数学试卷试题及解析
2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．若直线经过(0,0)O，A 两点，则直线OA 的倾斜角为( ) A ．6πB ．3πCD2．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3．已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为( )ABCD5．圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为( ) A ．1B ．2CD．6．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是( ) A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥7．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是( )A B C D 8．若圆22:()()2C x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的取值范围是( ) A ．[2，4]B ．[0，4]C ．[4，)+∞D ．[2，)+∞9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，则四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是( ) A ．18B ．16C ．524D ．72410．已知点1(P x ，1)y 是单位圆221x y +=上的动点，点2(Q x ，2)y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212||||PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为( )A ．3B ．6-CD 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为 ；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a = ．12．已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)则m = ，若圆心C 在直线20x y -=上，则m = ．13．若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，bc A =，则直线a 与直线c 的位置关系是 ；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是 ．14．ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 ．15．已知10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(,)a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC ∆面积的最大值为4，求此时a b = ．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =，则三棱锥S ABC -外接球的表面为 ．17．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值 ．三、解答题：5小题，共74分18．设命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足(216)(22)0x x --…．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上．求： （1）AD 边所在直线的方程； （2）DC 边所在的直线方程．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C --的平面角的正切值．21．如图，已知多面体PABCD 中，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 作圆22:(1)1C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO k ，BO k ． （1）当点P 的坐标为(2,1)-时，求AO BO k k 的值；（2）当P 运动时，求AO BO k k 的最小值，并求此时点P 的坐标．2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．若直线经过(0,0)O ，A 两点，则直线OA 的倾斜角为( )A ．6πB ．3πC D【解答】解：直线经过(0,0)O ，A 两点，设直线OA 的倾斜角为α，[0α∈，)π，则tan α==3πα∴=， 故选：B ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，则(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0D ，0，0)，1(1B ，1，1)， (1AC =-，1，0)，1(1B D =-，1-，1)-，设异面直线AC 与1B D 所成的角为θ， 则||cos 0||||AC BD AC BD θ==，2πθ∴=．∴异面直线AC 与1B D 所成的角为2π．故选：D ．3．已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由21a >得1a >或1a <-， 即“1a >”是“21a >”的充分不必要条件， 故选：A ．4．已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为( )A B C D 【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，棱锥的顶点在底面的射影是斜三角形的顶点，且棱锥的底面是一个以2 棱锥的高为2，故棱锥的体积112232V =⨯⨯=．故选：B ．5．圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为( )A ．1B ．2C D ．【解答】解：依题意，圆224x y +=圆心为(0,0)，半径2r =， 所以圆心到直线圆224x y +=的距离1d ==，设弦长为l ，则半径r 、半弦长2l和弦心距d 构成直角三角形，所以2222()12l=+，解得l =， 故选：D ．6．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列错误的是( ) A ．若//m α，n αβ=，则//m n B ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥【解答】解：由α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，知： 在A 中，//m α，n αβ=，m ∴与n 平行或异面，故A 错误；在B 中，m α⊥，m β⊥，∴由面面垂直的判定定理得//αβ，故B 正确； 在C 中，m α⊥，m β⊂，∴由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故C 正确； 在D 中，//m n ，m α⊥，∴由线面垂直的判定定理得n α⊥，故D 正确． 故选：A ．7．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ，若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12V V 的值是( ) ABCD【解答】解：设球O 的半径为R ，圆锥1SO 的底面半径为r ， 则圆锥1SO 的母线长2l r =，由题意得2242R rl r πππ==，解得r =，∴12V V ===． 故选：C ．8．若圆22:()()2C x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的取值范围是( ) A ．[2，4]B ．[0，4]C ．[4，)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：根据题意，知(,)C a b ，因为圆C 与直线都有公共点，所以点C 到这两条直线的距离1d =2d =即22a b -+剟；22a b --剟，作出不等式组表示的平面区域如下图：则可行域为正方形，根据22a b +的几何意义可知其表示点(,)a b 到原点距离的平方， 所以22a b +最大值为224=，最小值为0，所以22a b +范围为[0，4]． 故选：B ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，则四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是( ) A ．18B ．16C ．524D ．724【解答】解：如图，设11A BAB E =，11AC BD O =，11DC CD F =，∴四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是：111111A EB D FC O D FC V V V --=- 11115111434224=⨯⨯⨯-⨯⨯=．故选：C ．10．已知点1(P x ，1)y 是单位圆221x y +=上的动点，点2(Q x ，2)y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212||||PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值为( )A ．3B ．6-CD 【解答】解：①取12[0x x =∈，1]，则1y =，2216262y x x =-=-，则1212121||||||62x x y y y y x -+-=-=-，令1cos ([0,])2x πθθ=∈，则12||62cos sin y y θθ-=--6)6θϕ=+-…；②取12[0y y =∈，1]，则1x =，2123322y yx =-=-．则1121212||||||32y x x y y x x -+-=-=-，令1sin ([0,])2y πθθ=∈，则121||3sin cos 3)32x x θθθϕ-=--=+…．综上可得：1212||||x x y y -+-的最小值是3-． 故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为 1y =+ ；直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a = ．【解答】解：倾斜角为120︒，在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为：tan1201y x =︒+，即1y =+．直线10ax y ++=与直线l 垂直，则tan1201a -⨯︒=-，解得a =．故答案为：1y =+，． 12．已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)则m = 1 ，若圆心C 在直线20x y -=上，则m = ．【解答】解：圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)， 则440m -=，解得1m =；圆的圆心(1,)m ，圆心C 在直线20x y -=上， 可得20m -=，解得2m =； 故答案为：1；2．13．若a ，b ，c 是不同直线，α是平面，若//a b ，bc A =，则直线a 与直线c 的位置关系是 相交或异面 ；若a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系是 ． 【解答】解：a ，b ，c 是不同直线，α是平面， //a b ，bc A =，∴直线a 与直线c 的位置关系是相交或异面．a b ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的位置关系//a α或a α⊂． 故答案为：相交或异面，//a α或a α⊂．14．ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 ． 【解答】解：如图所示，ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图△A B C '''的面积为111sin 452(2sin 60)sin 45222A B C SB C O A '''=''''︒=⨯⨯⨯⨯︒⨯︒=； 其直观图△A B C '''的周长为：112)2)222L A B B C C A =''+''+''=++=215．已知10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(,)a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC ∆面积的最大值为4，求此时a b = 4． 【解答】解：圆22:280C x y x y b +--+=，即22(1)(4)17x y b -+-=-；∴圆心(1,4)C ，半径r =；当ABC ∆的面积最大时，AC BC ⊥，21()42ABC max S r ∆==； 28r ∴=，即178b -=，9b ∴=；直角三角形ABC 中，AC BC r ==，C ∴到直线:10AB ax y a ++-=的距离等于2d =，2d ∴==512a ∴=-， 154ab ∴=-． 故答案为：154-．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是正三角形且SA SB SC ==，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =，则三棱锥S ABC -外接球的表面为 12π ．【解答】解：取AC 中点D ，则SD AC ⊥，DB AC ⊥，又SD BD D =，AC ∴⊥平面SDB ，SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥， 又AM SB ⊥，AM AC A =，SB∴⊥平面SAC，⊥，∴⊥，SC SBSA SB根据对称性可知SA SC⊥，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径2r==积4312Sππ=⨯=．故答案为：12π．17．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为2，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值【解答】解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线段长）+半径1=+．∴到点D=O．三、解答题：5小题，共74分18．设命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足(216)(22)0x x --…．（1）若1a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，(1)(2)0x x --<解得12x <<，(216)(22)0x x --…解得2216x 剟，即14x 剟， 所以当p ，q 都是真命题时，解得12x <<，故实数x 的取值范围为(1,2)；（2）命题:2p a x a <<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以(,2)[1a a Ü，4]，124a a ⎧⎨⎩……， 解得12a 剟，故实数a 的取值范围为[1，2]． 19．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上．求：（1）AD 边所在直线的方程；（2）DC 边所在的直线方程．【解答】解：（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-又因为点(1,1)T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（2）M 为矩形ABCD 两对角线的交点，则点M 到直线AB 和直线DC 的距离相等 //DC AB∴可令DC 的直线方程为：30(6)x y m m -+=≠-M 到直线AB 的距离d ==M ∴到直线BC=2m ∴=或6-，又6m ≠-2m ∴=DC ∴边所在的直线方程为：320x y -+=20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ，4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求二面角P AB C --的平面角的正切值．【解答】解：（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，//AB 平面PCD ， //AB CD ∴，CD ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//CD ∴平面PAB ．（2）解：4AB =，2AC =，BC AC ⊥，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形． ∴以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1P ，0，(2A ，0，0)，(0B ，，0)，(1AP =-，0，(2AB =-，，0)，设平面PAB 的法向量(n x =，y ，)z ，则020n AP x n AB x ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1z =，得(3n =，1，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，设二面角P AB C --的平面角为θ，则||cos ||||5m n m n θ===，sin θ== sin tan 2cos θθθ==． ∴二面角P AB C --的平面角的正切值为2．21．如图，已知多面体PABCD 中，//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒．（1）证明：PB ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在PBA ∆中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=︒，241221cos603PB ∴=+-⨯⨯⨯︒=，PB ∴=，222PB AB PA ∴+=，PB AB ∴⊥，//AD BC ，A ∴，B ，C ，D 四点共面，又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥，又PB AB ⊥，AD AB A =，PB ∴⊥平面ABCD ．解：（2）在Rt PBC ∆中，PC =Rt PAD ∆中，PD =在直角梯形ABCD 中，CD =，在PDC ∆中，9cos 10PDC ∠==，1sin 2PCD ∠=⨯=，14122ACD S ∆=⨯⨯=， 设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，A PDC P ACD V V --=，∴1133PDC ACD S h S PB ∆∆⨯⨯=⨯⨯，即11233h =⨯解得h =，sin h PA θ===，∴直线PA 与平面PCD ．22．如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 作圆22:(1)1C x y +-=的两条切线PA ，PB 交直线2x =于A ，B 两点．O 是坐标原点，直线AO ，BO 的斜率为AO k ，BO k ．（1）当点P 的坐标为(2,1)-时，求AO BO k k 的值；（2）当P 运动时，求AO BO k k 的最小值，并求此时点P 的坐标．【解答】解：（1）当点P 的坐标为(2,1)-时，设直线为1(2)y k x -=+，根据直线与圆相切，1d ==，得213k =，得k =或者k =所以两条切线的方程为2)1,2)1y x y x ++=++，把2x =代入得(2,1(2,1A B +-所以17(146AO BO K K =+=-． （2）设(2,)P m -，设切线的方程为(2)y k x m =++，由1d =，化简得2234(1)20k m k m m +-+-=，根据韦达定理2121224(1),33m m m k k k k --=+=-， 设1(2,)A y ，2(2,)B y ，当2x =时，114y k m =+，224y k m =+，124AO BO y y k k =，代入化简得222121211418164()()443439AO BO k k k k m k k m m m m =+++=-=--， 所以当83m =时，AO BO k k 最小， 综上，8(2,)3P -．。
浙江省湖州市2019-2020学年第二学期期末调研测试卷高二数学(PDF版)
高二数学期末调测试卷(共 4 页) 第 4页
2019 学年第二学期期末调研测试
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
D
A
C
C
D
A
B
二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．)
的切线的方程．
【解析】（Ⅰ）由题意可得 f ' x 3ax2 2 x ，--------------------------------------------3 分
因为 f (x) 在 x 4 处取得极值，所以 f '( 4) 0 ，
3
3
即 3a 16 2 ( 4) 16a 8 0 ，解得 a 1 ．--------------------------------------6 分
的切线的方程．
高二数学期末调测试卷(共 4 页) 第 3页
20．（本小题满分 15 分）
如图，ACD 中，AD CD ，RtABC 中，AB BC 4 2 ，现将 ACD 沿着 AC
边折起．
（Ⅰ）求证： AC BD ； （Ⅱ）若二面角 D AC B 的大小为150 时， BD 4 7 ，求 BCD 的中线 BM 与
（Ⅱ）有题意得
g
x
x3 2
x2
e
x
，故
g
1
3e 2
g x 1 x x 1 x 4 ex ，--------------------------------------------------------------10 分
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷C卷
浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2018·肇庆模拟) 已知命题，则命题 ________2. （1分）已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若，则________．3. （1分） (2018高二下·湖南期末) 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A ， B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为________.4. （1分）“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是________．5. （1分）(2018·株洲模拟) 已知双曲线经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线的离心率为________．6. （1分） (2016高二上·吉林期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=10，S20=30，则S30=________．7. （1分）(2018·如皋模拟) “ ”是“两直线和平行”的________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)8. （1分） (2017高二下·成都期中) 已知椭圆 C1： + =1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2﹣y2=4 有相同的右焦点F2 ，点P是C1与C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆 C1的离心率等于________．9. （1分） (2016高一下·江阴期中) 设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=________．10. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB 的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于________．11. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、 .若为等边三角形，则双曲线的离心率为________．12. （1分）(2018·河北模拟) 在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为________．13. （1分） (2017高三下·深圳模拟) 已知向量，若，则 ________．14. （1分） (201920高三上·长宁期末) 已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为、最小值为，则________.二、解答题 (共6题；共60分)15. （5分） (2016高二上·温州期末) 已知命题P：x1 ， x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a ﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a 的取值范围．16. （15分） (2016高二上·上海期中) 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn﹣（2t+3）Sn﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使，求数列{bn}的通项bn；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1．17. （10分） (2016高二上·如东期中) 己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．18. （10分）(2017·巢湖模拟) 已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{an}的前n项和Sn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．19. （10分） (2018高三上·大连期末) 在直角坐标系中，设椭圆的上下两个焦点分别为，过上焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为 .（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一个点，求的面积.20. （10分） (2016高三上·杭州期中) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }是等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）••an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
浙江省嘉兴市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 一､选择题1.抛物线24x y =的焦点坐标是( )A. ()1,0B. ()0,1C. ()2,0D. ()0,2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选:B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2.直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为( ) A. 23 B. 23- C. 2D. -2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义,令0y =即可求得直线在x 轴上的截距.详解】直线l :320x y +-=由直线方程截距的定义可知,令0y =,解得2x =即直线与x 轴的交点坐标为()2,0,所以直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为2故选:C.【点睛】本题考查了截距的定义,直线在坐标轴上截距的求法,属于基础题.3.已知点1,0A ､()1,2B 与圆O :224x y +=,则( )A. 点A 与点B 都圆O 外B. 点A 在圆O 外,点B 在圆O 内C. 点A 在圆O 内,点B 在圆O 外D. 点A 与点B 都在圆O 内 【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.【详解】因为点1,0A ､()1,2B将1,0A 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22104+<,所以点A 在圆224x y +=内将()1,2B 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22124+>,所以点B 在圆O 外 故选:C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.4.空间中，,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//l α，l β//，则//αβB. 若αβ⊥，l β⊥，则//l αC. 若l α⊥，l β//，则αβ⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】C【解析】若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l 平行)，故A 错误； 若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α或l ⊂α，故B 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β可能平行也可能相交，故D 错误；若l ∥β，则存在直线m ⊂β，使得l ∥m ，又由l ⊥α可得m ⊥α，故α⊥β，故C 正确； 本题选择C 选项.5.已知直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行,则( )A. 3m =-B. 1m =-C. 1m =或3m =D. 1m =-或3m =【答案】D【解析】 【分析】 根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得m 的值.【详解】因为直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行当0m =时两条直线不平行,即0m ≠则123m m --=-,且723m m -≠- 化简可得2230m m --=解方程可得1m =-或3m =经检验1m =-或3m =都满足题意故选:D【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.6.已知长方体1111ABCD A B C D -,1AB =,2AD =,11AA =,则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A. 23B. 6C. 6D. 13【答案】B【解析】【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,由长方体性质可知AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得1cos BAC ∠.【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -如下图所示:在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，则AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠或其补角，因为AB ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，即12ABC π∠=，因为1AC ==1AB =，所以11cos 6AB BAC AC ∠===， 故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.7.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A. (4,6)B. [4,6]C. (4,5)D. (4,5]【答案】A【解析】 由圆()()22235x y r -++=，可得圆心的坐标为()35，- 圆心()35，-到直线4320x y --=的距离为：5=由51r -<得46r <<所以r 的取值范围是()46，故答案选A点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果8.已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A. 11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. (),αβD. (](),,αβ-∞+∞【答案】A【解析】【分析】 根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和αβ⋅与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ==因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120c x x a αβ⋅=⋅=> 由0a <,可知0,0b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11n m < 则,ba m n m n c c+=-⋅= 因为b c αβαβ+=-⋅,c aαβ⋅= 所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧+==+⎪⋅⎪⎪⋅=⎨⋅⎪⎪<⎪⎩解方程组可得11m n βα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.设0,0x y >>，且231x y+=，若2322x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. ][,64,-∞⋃+∞（）B. ][,46,（）-∞-⋃+∞ C. 6,4-（）D. 4,6-（） 【答案】C【解析】【分析】 把32x y +转为()233232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求得最小值24，然后由22m m +<24得m 的范围． 【详解】解：∵231x y+=∴()23493232121224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 当且仅当46x y =⎧⎨=⎩时取等号， ∴2224,-6<m<4m m +<∴，故选C ．【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．10.正方体中1111ABCD A B C D -,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π,且直线l 与直线1BC 所成角为4π,则满足条件的直线l 的条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意,由l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值可得直线l 的运动轨迹为以1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π).由直线l 与直线1BC 所成角,可得此时直线l 的运动轨迹为以1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π).两个圆锥的交线,即为满足条件的直线l 的条数. 【详解】设立方体的棱长为1,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π 即l 与平面ABCD 所成角为6π,1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π)是直线l 的运动轨迹, 连接1D A ,易证11//D A BC ;直线l 与直线1BC 所成角为4π;直线l 与直线1D A 所成角为4π. 此时1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π)是直线l 的运动轨迹两个圆锥相交得到两条交线,故选:B.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的夹角,根据空间位置关系判断直线的数量,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于难题.二､填空题11.双曲线22145x y -=的焦距为______,渐近线为______. 【答案】 (1). 6 (2). 5y x =±【解析】【分析】根据双曲的定义及,,a b c关系即可求得焦距和渐近线方程.【详解】双曲线221 45x y-=224,5a b==所以222459c a b=+=+=即3c=所以焦距为26c=渐近线方程为5by x xa=±=±故答案为:6;5 y x =±【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,双曲渐近线方程的求法,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),该几何体的表面积为______,体积为______.【答案】 (1). 76 (2). 40【解析】【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:所以原几何体为直四棱柱,底面是正视图所示的直角梯形,高为4所以表面积()()1144214454762S =⨯+⨯⨯++++⨯= ()11444402V =⨯+⨯⨯= 故答案为:76;40【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱柱的结构特征及表面积和体积求法,属于基础题.13.已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=,则两圆的位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______.【答案】 (1). 相交 (2). 2【解析】【分析】 将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量.【详解】圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=化为标准方程为圆1C :()()22114x y +++=,圆2C :()()22214x y -+-=所以两个圆的半径122r r == 由两点间距离公式可得32123213C C =+=因为圆心距满足1212013C C r r <<+所以两圆的位置关系为相交根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条故答案为:相交;2【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题.14.设F 为抛物线212y x =的焦点(O 为坐标原点),(),M x y 为抛物线上一点,若5MF =,则点M 的横坐标x 的值是______,三角形OMF 的面积是______.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,求得p 的值.由抛物线定义即可求得点M 的横坐标.将点M 的横坐标代入抛物线,求得点M 的纵坐标,即可求得三角形OMF 的面积.【详解】因为抛物线212y x =则6p所以抛物线的准线方程3x =- 因为5MF =,由抛物线的定义知M 到准线的距离等于5MF =所以35x +=,即M 的横坐标为2x =代入抛物线方程可得M 的纵坐标为y =±所以11322OMF S OF y ∆=⋅=⨯⨯=故答案为: 2;【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质的简单应用,抛物线中三角形面积问题的解法,属于基础题.15.已知向量()1,2,3a =,()2,2,b x x y y =+-,并且a ､b 共线且方向相同,则x y +=______.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>.由坐标运算求得λ的值,进而求得,x y .即可求得x y +的值.【详解】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>由向量的坐标运算可得2223x x y y λλλ=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩解方程可得131x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以4x y +=. 故答案为:4【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.16.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>与直线1l :12y x =,2l :12y x =-,过椭圆上的一点P 作1l ,2l 的平行线,分别交1l ,2l 于M ,N 两点,若MN 为定值,则椭圆C 的离心率为______.【解析】 【分析】方法一:由题意可知, 点P 的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设()0,P b 和(),0P a ,即可表示出交点,M N 的坐标.求得MN 的长,令两种情况下的MN 相等,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率.方法二:根据椭圆的参数方程,可设()cos ,sin P a b θθ,进而表示出直线PN l 与PM l ,由直线交点的求法求得交点,M N 的坐标.即可根据两点间距离公式表示出MN .根据同角三角函数关系式的性质,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率. 【详解】方法一:特殊位置分析法 当()0,P b 时,PN l :12y x b =+,PM l :12y x b =-+由1212y x b y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,2b N b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2MN b = 当(),0P a 时,PN l :122a y x =-,PM l :122ay x =-+ 由12212a y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,24a a N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,24a a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2a MN =;因为MN 定值,所以22ab =,此时c e a ==== 故答案为方法二:设()cos ,sin P a b θθ,则PM l :()1cos sin 2y x a b θθ=--+ PN l :()1cos sin 2y x a b θθ=-+, 由()1cos sin 212y x a b y x θθ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11cos sin ,cos sin 242b M a b a θθθθ⎛⎫++⎪⎝⎭同理11cos sin ,cos sin 242b N a b a θθθθ⎛⎫--+⎪⎝⎭所以MN =若MN 定值,则22144b a =所以c e a ====故答案为:15 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及综合应用,直线交点坐标的求法,两点间距离公式及椭圆的参数方程应用,综合性强,属于难题.17.如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .【答案】2 【解析】试题分析：设AD a =，CB b =，DC c =，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅=，又∵3AC BD ⋅=-，∴2()()33a c b c a b b c c a c +⋅--=-⇒⋅+⋅+⋅+=，∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2． 考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 三､解答题18.过定点()1,1P 的直线l 和圆C :2228x y y +-=相交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为1时,求线段AB 的长; (2)当线段AB 最短时,求直线l 的方程.【答案】（1）34（2）1x = 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率与点()1,1P 可得直线方程.由圆的一般方程化为标准方程,可得圆心坐标和半径.结合点到直线距离公式及垂径定理,即可求得弦长AB . （2）当AB 最短时,可知CP l ⊥.由定点()1,1P 即可求得直线l 的方程.【详解】（1）因为()1,1P ,直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为l :y x =，即0x y -=， 由圆的方程2228x y y +-=化为标准方程为()2219x y +-=,可得圆心()0,1，半径3r =所以由点到直线距离公式可得圆心到l 的距离0122d -==， 所以由垂径定理得221229342AB r d =-=-=； （2）当AB 最短时，可知CP l ⊥，因为()1,1P ，所以此时直线l 的方程为1x =.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及弦长求法，直线方程点斜式的写法，属于基础题. 19.如图所示,PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,PA AB a ==,E ､F ､G 分别为PA ､PD ､CD 的中点.(1)求证:直线//PB 平面FEG ;(2)求直线PB 与直线EG 所成角余弦值的大小.【答案】（1）见证明（2）3【解析】【分析】（1）取AB中点H,连接EH､HG.可证明//EF GH,即E､F､G､H四点共面.再由中位线定理可证明//EH PB,即可证明直线//PB平面FEG.（2）易知HEG∠即为PB与GE所成角的大小. 可证明HG⊥平面PAB,从而HG EH⊥,求得,EG EH的长,即可求得cos HEG∠,即直线PB与直线EG所成角的余弦值.【详解】（1）证明:取AB中点H,连接EH､HG.如下图所示:∵E､F为PA､PD的中点，∴//EF AD，四边形ABCD为正方形，//AB CD∴且AB CD=，又∵H､G为AB､CD中点，则//AH DG且AH DG=，∴四边形ADGH为平行四边形，∴//GH AD,//EF GH所以E､F､G､H四点共面，又∵在PAB∆中,//EH PB,EH⊂平面EFG,PB⊄平面EFG，∴//PB平面EFG；（2）∵//PB EH，∴PB与GE所成角的大小等于EH与EG所成角的大小,即为HEG∠或其补角，因为PA⊥平面ABCD,所以PA HG⊥，又∵HG AB⊥,PA AB A=，所以HG⊥平面PAB，EH⊂平面PAB，∴HG EH⊥，在Rt EHG∆中,HG a=,1222EH PB a==，∴6EG=，所以由锐角三角函数定义可知232cos6aEHHEGEGa∠===，故直线PB与直线EG所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，异面直线夹角的求法，核心在于辅助线作法，找到线线平行或异面直线的夹角，属于中等题.20.已知椭圆C:()2211xy mm+=>的左､右顶点分别为A,B,O为坐标原点,且4AB=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为直线4x=在第一象限内的一点,连接PA交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N.若直线MN的斜率为1,求P点的坐标.【答案】（1）2214xy+=（2）()4,1P【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何意义,求得a进而求得m,即可得椭圆的标准方程.（2）根据直线MN的斜率为1,可设直线MN的方程,联立椭圆方程,利用直线与椭圆有两个交点可知>0∆得n的范围.由两点求得斜率并表示出直线AM与直线BN,结合韦达定理即可求得n的值.即可得P点的坐标.【详解】（1）根据椭圆的几何意义,可知42AB a==，所以24m a ==，故椭圆C :2214x y +=；（2）因为直线MN 的斜率为1，所以设MN :x y n =+,()11,M x y ,()22,N x y ，与椭圆联立22440x y n x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得225240y ny n ++-=，()()22244541650n n n ∆=-⋅-=->， 则1225n y y +=-,21245n y y -=，直线AM :()1122y y x x =++与直线BN :()2222yy x x =--交于点P ，则()()()()211221212122424222y x y y n y y x y y n y ++++==--+-()()()()12111211222225522225n n y y n y n y n n y y n y n n y +⎛⎫⎛⎫++--+-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故1n =，点P 在第一象限则()0,1N -，由于点()2,0B ，直线BN 的方程为112y x =-， 联立4112x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，故()4,1P . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,韦达定理研究圆锥曲线问题的综合方法,计算量较为复杂,属于难题. 21.多面体111ABC A B C -,111////AA BB CC ,14AA =,12BB =,13CC =,4AB =,1AB BB ⊥,1C 在平面11ABB A 上的射影E 是线段11A B 的中点.(1)求证:1//C E 平面ABC ;(2)若12C E =,求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】 【分析】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO .根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明1//C E EO ,进而证明1//C E 平面ABC .（2）以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面ABC 和平面1AB C 的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角11C AB C --的余弦值. 【详解】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO ,如下图所示:由梯形中位线知1132BB AA OE +==,所以1OE CC =， 又1//OE CC ，故四边形1OECC 是平行四边形，所以1//C E EO ，又EO⊂平面ABC,1C E⊄平面ABC，所以1//C E平面ABC；（2）由1C E⊥平面11ABB A,则CO⊥平面11ABB A，又CO⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面11ABB A，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：则12CO C E==，()2,0,0A-,()2,2,0B,()10,3,2C,()0,0,2C，()14,2,0AB=,()12,3,2AC=,()2,0,2AC=，设平面ABC的法向量为(),,m a b c=，则11m ABm AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4202320a ba b c+=⎧⎨++=⎩，取1a=,得()1,2,2m=-设平面1AB C的法向量为(),,n x y z=，则1n ABn AC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即420220x yx z+=⎧⎨+=⎩，取1x=,得()1,2,1n=--，所以6cos,m nm nm n⋅<>==，6【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定, 平面法向量的求法,利用空间向量求二面角的大小,属于基础题.22.已知抛物线1C:()220x py p=>上的点到焦点的距离最小值为1.(1)求p 的值;(2)若点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上,且在曲线1C 上存在三点A ,B ,C ,使得四边形PABC 为平行四边形.求平行四边形PABC 的面积S 的最小值.【答案】（1）2p =（22. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知()0,0到准线2py =-的距离为最小值,即可求得p 的值;（2）方法一:设出直线AC 的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出AC 中点D 的坐标.将点()00,P x y 代入曲线2C 可得20044x y -=-.根据平行四边形性质可知B ,P 关于点D 对称,即可表示出B 点坐标,可得方程()()22004442k x k b y -=+-.利用三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,根据等量关系即可求得面积的最小值.方法二: 设()11,A x y ,()22,C x y ,表示出直线AC 的方程,由点()00,P x y 在曲线2C 上,可得20044x y -=-.由B ,P 关于点D 对称,可得B 点坐标,将B 的坐标代入抛物线方程,可得12,x x 的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,进而由不等式关系即可求得最小值.【详解】（1）根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 抛物线上的点到焦点的距离最小值为1 即()0,0到准线2py =-的距离为1即12p=,所以2p = （2）方法一:设直线AC :y kx b =+,当k 不存在时,此时直线AC 为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去. 设()11,A x y ,()22,C x y联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x kx b --=124x x k +=,124x x b =-.故线段AC 中点()22,2D k k b + 而点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上 故20044x y -=-若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-.又点B 在抛物线1C 上,故满足方程()()22004442k x k b y -=+-,即()2000148kx b x y +=+①12PAC S S AC d x ∆==⋅=-00b y =+-,代入①得:2004S x y =-2004x y =-,所以322min004S y =-=所以平行四边形PABC 的面积S . 方法二:设()11,A x y ,()22,C x y ,直线AC :()121240x x x y x x +--=,点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上, 故2044x y -=-.线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称,则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭.又点B 在抛物线1C 上故满足方程()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭,即()()20121200224x x x x x x y +=++①122PACS S AC d x ∆==⋅=-12220000448x x x y y -=-=-2004y=-322004y ≥-=.所以平行四边形PABC 的面积S .【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程,过定点的直线与抛物线的位置关系,抛物线中四边形面积问题的综合应用,计算量大,综合性强,属于难题.。