高考数学一轮复习 第6章 第2节 一元二次不等式及其解法课件 新人教A版
得11×＋bb＝＝2a3a.，
解得ab＝＝12，.
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0， 即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0. 当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}； 当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}； 当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为∅. 所以，当 c＞2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|2 ＜x＜c}； 当 c＜2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|c＜x＜2}； 当 c＝2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为∅.
【思路点拨】 (1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确 定 a 的符号，然后利用根与系数的关系列出 a，b 的方程组，求 a， b 的值．
(2)所给不等式含有参数 c，因此需对 c 讨论写出解集．
【尝试解答】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x ＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个 实数根，b＞1 且 a＞0.由根与系数的关系，
号 语 言 之 间 的 合 理 转 化 .2 避 免 忽 视 v≥0 的 限 制 条 件 ， 及
3v＋ v2 50 400
≤12.6 中的等号.
2.解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要
理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，
最后用不等式的解回答实际问题.
【解】 (1)按现在的定价上涨 x 成时，上涨后的定价为 p1＋1x0元，每月卖出数量为 n1－1y0件，每月售货总金额是 npz 元，
A.52
B.72
C.145
D.125
【解析】 由 x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)(x－4a)<0(a>0)， 即－2a<x<4a，故原不等式的解集为(－2a,4a)． 由 x2－x1＝15 得 4a－(－2a)＝15，即 6a＝15，所以 a＝52.故 选 A. 【答案】 A
6．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R 上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 {x|－3＜x＜－2} (2)原不等式可转化为x－1[1x－ax＋1]≥0(*) (1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1. (2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或 x≥1；
f－1≥0.
解得－3≤a≤1. 故 a 的取值范围为{a|－3≤a≤1}．
考向三 [104] 一元二次不等式的实际应用 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前 滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上， 某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速 v(km/h)满足下列关 系：s＝1n0v0＋4v020(n 为常数，且 n∈N)，做了两次刹车试验，有关 试验数据如图 6－2－1 所示，其中164＜＜s1s＜2＜81，7. (1)求 n 的值； (2)要使刹车距离不超过 12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
Hale Waihona Puke (2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立，只需 mx2－mx＋m＜6
恒成立(x∈[1,3])，
又因 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，
所以
6 m<x2－x＋1.
因为 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34，
由 t＝x－122＋34在[1,3]上是增函数， ∴y＝x2－6x＋1在[1,3]上是减函数 因此函数的最小值 ymin＝67. 所以，m 的取值范围是{m|m<67}．
号 语 言 之 间 的 合 理 转 化 .2 避 免 忽 视 v≥0 的 限 制 条 件 ， 及
3v＋ v2 50 400
≤12.6 中的等号.
2.解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要
理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，
最后用不等式的解回答实际问题.
规律方法 3 1.1求解本例的关键是文字语言、图形语言，符
又 n∈N，∴取 n＝6.
(2)由(1)知，s＝35v0＋4v020，v≥0. 依题意，s＝35v0＋4v020≤12.6， 即 v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60. 注意到 v≥0，所以 0≤v≤60. 故行驶的最大速度为 60 km/h.
规律方法 3 1.1求解本例的关键是文字语言、图形语言，符
②若
1＜ a≤2，则
1
－
a
＜
0
，
1 a－1
≥1
，
解
得
x＜0，或
1≤x≤a－1 1；
③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0，或
a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
【思路点拨】 本题(1)可讨论 m 的取值，利用判别式来解 决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常 有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是 先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单．
【尝试解答】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0， 则Δm＝<0m2＋4m<0 ⇒－4<m<0. 所以 m 的取值范围为{m|－4<m≤0}．
(2)当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由 2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1. 综上所述，所求 a 的取值范围为－3≤a≤1. 法二 由已知得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立， 令 f(x)＝x2－2ax＋2－a，
Δ>0， 即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a<－1，
对点训练 若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立， 试求a的取值范围．
【解】 法一 令 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞)， f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为 x＝a. (1)当 a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单 调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
下表
判别式 Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
－4ac
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
没有实 数根
ax2＋bx＋c>0 _{_x_|_x_<_x_1_或__x_>_x_2_}_ ___{_x_|_x_≠_x_1_}___ R
【解析】 由已知得方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根为－12，13.
则2a－＝ba＝ －－1212×＋1313
解得ab＝ ＝－ －12，2， ∴a＋b＝－14.
【答案】 －14
5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解
集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15 ，则 a＝ ( )
∴原不等式的解集为－12，1.
【答案】 A
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是________．
【解析】 要使函数有意义，只需6－x－x2＞0， ∴x2＋x－6＜0， ∴－3＜x＜2，∴f(x)的定义域为{x|－3＜x＜2}． 【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，则 a ＋b 的值是________．
【答案】 D
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为(
)
A.x－12＜x≤1
B.xx≥1或x＜－12
C.x－12≤x≤1
D.xx≥1或x≤－12
【解析】 原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＜0 或 x－1＝0.
【解析】 ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8. 【答案】 (0,8)
考向一 [102] 一元二次不等式的解法 已知不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞ b}． (1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1
.
考向二 [103] 不等式恒成立问题 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
规律方法 1 1.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要 先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合 相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次， 一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行分类， 其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后当根存在时， 根据根的大小进行分类.
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高考数学一轮总复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件文
答案：(－4,1)
x＋8 (2)(2015 年上海)下列不等式中，与不等式 2 ＜2 解 x ＋2x＋3 集相同的是( )
A.(x＋8)(x2＋2x＋3)＜2 B.x＋8＜2(x2＋2x＋3) 1 2 C. 2 ＜ x ＋2x＋3 x＋8 x2＋2x＋3 1 D. ＞2 x＋8
解析：因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0，x＋8 可能是正 x＋8 数、负数或零，所以由 x＋8＜2(x ＋2x＋3)可得 2 ＜2， x ＋2x＋3
【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标 准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确 定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方 程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的 图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二 次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
3 1＋b＝a， 得 1×b＝2. a
a＝1， 解得 b＝2.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为
2
x＋8 所以与不等式 2 ＜2 解集相同的是 x＋8＜2(x2＋2x＋3). x ＋2x＋3 故选 B.
答案：B
x (3)(2013 年上海)不等式 <0 的解集为________. 2x－1
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法课件
12/11/2021
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则实数 a 的取值范围是______ _42_，__＋__∞___ _____．
解析 依题意可知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成 立，
当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方，
12/11/2021
触类旁通 解决一元二次不等式恒成立问题的方法
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒 小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法 求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就 是参数．
12/11/2021
考点 2 三个二次之间的关系
判别式
Δ＝b2－
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
4ac
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c (a>0)
的图象
12/11/2021
一元二次方程 有 两相异 ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，x2
(a>0)的根 (x1<x2)
有 两相等 实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
12/11/2021
本例中(1)变为：若 f(x)<0 对于 m∈[1,2]恒成 立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直 线，当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则实数 a 的取值范围是______ _42_，__＋__∞___ _____．
解析 依题意可知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成 立，
当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方，
12/11/2021
触类旁通 解决一元二次不等式恒成立问题的方法
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒 小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法 求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就 是参数．
12/11/2021
考点 2 三个二次之间的关系
判别式
Δ＝b2－
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
4ac
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c (a>0)
的图象
12/11/2021
一元二次方程 有 两相异 ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，x2
(a>0)的根 (x1<x2)
有 两相等 实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
12/11/2021
本例中(1)变为：若 f(x)<0 对于 m∈[1,2]恒成 立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直 线，当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
高考数学导航一轮复习 一元二次不等式及其解法课件 新人教A
(a>0)的根
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b 2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1 或x>x2}
{x|x≠x1}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
没有实 数根
{x|x∈R}
∅
基础知识梳理
当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋ bx＋c<0的解集如何？
三基能力强化
3．设p：x2－x－20>0，q：1－ x2<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
4．(教材习题改编)已知函数f(x) ＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的 x的取值范围是________．
答案：{x|23<x<1}
课堂互动讲练
2．对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在x轴上方，恒 小于0就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在x轴下方．
课堂互动讲练
例3 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－ 1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取 值范围．
【思路点拨】 可以从函数的角 度进行考虑，转化为函数求最值问 题，也可以从方程的角度考虑，可转 化为对方程根的讨论．
(2)引进数学符号，用不等式表示 不等关系．
(3)解不等式． (4)回归实际问题．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分8分)2008年8月8日， 第29届奥运会在北京举行，某超市 从2008年1月1日开始代销某种奥运 会纪念品，记2008年1月1日为x＝ 1,1月2日为x＝2，依次类推，经过 10天的销售，超市得到日
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b 2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1 或x>x2}
{x|x≠x1}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
没有实 数根
{x|x∈R}
∅
基础知识梳理
当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋ bx＋c<0的解集如何？
三基能力强化
3．设p：x2－x－20>0，q：1－ x2<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
4．(教材习题改编)已知函数f(x) ＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的 x的取值范围是________．
答案：{x|23<x<1}
课堂互动讲练
2．对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在x轴上方，恒 小于0就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在x轴下方．
课堂互动讲练
例3 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－ 1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取 值范围．
【思路点拨】 可以从函数的角 度进行考虑，转化为函数求最值问 题，也可以从方程的角度考虑，可转 化为对方程根的讨论．
(2)引进数学符号，用不等式表示 不等关系．
(3)解不等式． (4)回归实际问题．
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分8分)2008年8月8日， 第29届奥运会在北京举行，某超市 从2008年1月1日开始代销某种奥运 会纪念品，记2008年1月1日为x＝ 1,1月2日为x＝2，依次类推，经过 10天的销售，超市得到日
高考数学一轮复习第6章 第2节 一元二次不等式及其解法
3.会解一元二次不等式， 参数的范围问题也是热点．
对给定的一元二次不等 2.从考查形式看，以选择题、填空
式，会设计求解的程序框 题为主，有时也穿插于解答题中
图.
考查，属于中档题.
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第二级
• 第三级
– 第四级
ax2＋bx＋c<0(a>0)
»第五级
ax2＋bx＋c>0(a>0)
【典例剖析】
(1)(2013·南充模拟)已知不等式 x2－2x－3<0 的解集
为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B，不等式 x2＋ax＋b<0 的解
集为 A∩B，则 a＋b 等于
A．－3
B．1
C．－1
D．3
(2)解下列不等式：
①－3x2－2x＋8≥0；②x＋2≥3x.
题号 (1) (2)
C．{x|x<－2»或第五x>级3}
D．{x|x>3}
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第二级
解析：• 第由三题级意知 2,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的解，且 a<0. ∴b＝－6–a第，四c＝级8a. ∴不等式 cx»2＋第b五x＋级a<0 即为 8ax2－6ax＋a<0，
∴8x2－6x一元二次方程根与系数的关
系解题． ①按一元二次不等式的解法步骤求解； ②移项、通分、转化为一元二次不等式求解.
(1)解析：由题意知 A＝{x|－1<x<3}， B＝{x|－1<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}， ∴方程 x2＋ax＋b＝0 的两根为－1,2. ∴－ －11＋ ×22＝ ＝－b. a， ∴ab＝ ＝－ －12， ， ∴a＋b＝－3.
高考数学一轮复习 第六篇 不等式 第2节 一元二次不等式的解法课件 文
答案：[－1，2]
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第2节 一元二次不等式的解法 第十四页，共五十页。
5．下列命题： ①若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0； ②若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则 方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根是 x1 和 x2；
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第2节 一元二次不等式的解法 第二十一页，共五十页。
(3)方法一：原不等式可化为x－1 1－1≤0， 即2x－－1x≤0， 故有xx－－21≥0，所以 x－2 与 x－1 同号或 x－2＝0， 故有xx－－21≥＞00，或xx－－21≤＜00，，所以 x≥2 或 x＜1. 所以原不等式的解集为{x|x≥2 或 x＜1}．
解：(1)方法一：∵原不等式即为 16x2－8x＋1≥0， 其相应方程为 16x2－8x＋1＝0，
Δ＝(－8)2－4×16＝0，
∴上述方程有两相等实根 x＝14， 结合二次函数 y＝16x2－8x＋1 的图象知， 原不等式的解集为 R.
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第2节 一元二次不等式的解法 第十九页，共五十页。
第2节 一元二次不等式的解法 第二十六页，共五十页。
(1)C 解析：由于不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|－13≤x≤2}，
得 a＜0，且－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，∴－13＋2＝
－ba，－13×2＝ac，∴b＝－53a，c＝－23a.
∴不等式 cx2＋bx＋a＜0，可化为－23ax2＋53ax＋a＜0.
方法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0 ⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，∴不等式的解集为 R. (2)方法一：原不等式等价于xx2≥－03x＋2＞0， 或xx2＜＋03. x＋2＞0，
【三维设计】高考数学 第六章第二节一元二次不等式及其解法课件 新人教A版
故a2－a≥12，解得a≤1－2
3或a≥1＋2
3 .
[答案] C
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
4．(2012·南宁模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式
(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则
()
A．－1<a<1
B．0<a<2
C．－12<a<32
D．－32<a<12
解集
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
1．(教材习题改编)不等式x2－3x＋2<0的解集为 ( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1,2)
解析： x2－3x＋2<0，∴(x－1)(x－2)<0.∴1<x<2.
答案： D
解析：由Δ1<0，即a2－4(－a)<0，得－4<a<0； 由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2. 答案： (－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)
[冲关锦囊] 1．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二
次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方．恒小 于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部 在x轴下方． 2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法.
()
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
[自主解答] 由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－4x， ∵f′(x)＝2x2－x2x－4>0，∴x2－x－2>0. 解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.
高考数学一轮复习 6-2不等式的解法课件 理 新人教A版
2x＋1，x>2
所以当 x<－3 时，g(x)>5； 当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x>2 时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－∞，5]．
[变式探究 2] [2012·武邑中学模拟]已知关于 x 的不 等式 2x－1>m(x2－1)．
xx－ －ab≥0 等价于（ x－x－ b≠a）0 （x－b）≥0， xx－ －ab≤0 等价于（ x－x－ b≠a）0 （x－b）≤0.
■ ·考点自测· ■ 1. [2011·广东]不等式 2x2－x－1>0 的解集是( ) A. (－12，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1)∪(2，＋∞) D. (－∞，－12)∪(1，＋∞)
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵不等式 f(x)>－2x 的解集为(1，3)， ∴f(1)＝a＋b＋c＝－2，① f(3)＝9a＋3b＋c＝－6.② 又∵f(x)＋6a＝ax2＋bx＋c＋6a＝0 有两个相等的实 数根，
∴Δ＝b2－4a(c＋6a)＝0，③
由①②③解得 a＝－15或 a＝1.
又∵f(x)>－2x的解集为(1，3)， ∴a<0，故a＝－15，b＝－65，c＝－35， ∴f(x)＝－15x2－65x－35. (2)由①②得b＝－2－4a，c＝3a， ∴g(x)＝ax3＋(－2－4a)x2＋3ax， g′(x)＝3ax2＋2(－2－4a)x＋3a.
∵g(x)无极值， ∴方程g′(x)＝0无实根或有两个相等的实数根，
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，求f(x)的 解析式；
所以当 x<－3 时，g(x)>5； 当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x>2 时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－∞，5]．
[变式探究 2] [2012·武邑中学模拟]已知关于 x 的不 等式 2x－1>m(x2－1)．
xx－ －ab≥0 等价于（ x－x－ b≠a）0 （x－b）≥0， xx－ －ab≤0 等价于（ x－x－ b≠a）0 （x－b）≤0.
■ ·考点自测· ■ 1. [2011·广东]不等式 2x2－x－1>0 的解集是( ) A. (－12，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，1)∪(2，＋∞) D. (－∞，－12)∪(1，＋∞)
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵不等式 f(x)>－2x 的解集为(1，3)， ∴f(1)＝a＋b＋c＝－2，① f(3)＝9a＋3b＋c＝－6.② 又∵f(x)＋6a＝ax2＋bx＋c＋6a＝0 有两个相等的实 数根，
∴Δ＝b2－4a(c＋6a)＝0，③
由①②③解得 a＝－15或 a＝1.
又∵f(x)>－2x的解集为(1，3)， ∴a<0，故a＝－15，b＝－65，c＝－35， ∴f(x)＝－15x2－65x－35. (2)由①②得b＝－2－4a，c＝3a， ∴g(x)＝ax3＋(－2－4a)x2＋3ax， g′(x)＝3ax2＋2(－2－4a)x＋3a.
∵g(x)无极值， ∴方程g′(x)＝0无实根或有两个相等的实数根，
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，求f(x)的 解析式；
高考数学大一轮复习 第六章 第2节 一元二次不等式及其解法课件
③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0， 或a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
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17
当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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7
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】 －14
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8
5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝ ＝3a2a， .
解得ab＝ ＝12， .
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12
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
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当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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7
3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】 －14
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5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝ ＝3a2a， .
解得ab＝ ＝12， .
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(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
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当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1
【名师A计划】(全国通用)高考数学一轮复习 第六章 不等式 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理
.
2
4.-2 【解析】由题意可知 m<0,且-1,2 是方程 mx2+2x+4=0 的两根,则-1+2=- , ������ 解得 m=-2. 5.若一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(x1,x2)(x1· x2<0),则不等式 cx2-bx+a<0 的解集为 .
������ ������ 5. 【解析】由题意可知������ < 0, ������1+������2= − ������ , ������ 1·������ 2= ������ < 0, 所以������ ������ 2 ������ 0, 所求不等式的解集在两根之间, 又所求不等式等价于 ������ ������ − ������ ������ + 1 > 1 1 - ������ ,- ������ 2 1
1.三个二次(一元二次不等式、二次函数、一元二次方程)之间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不等实根 有两相等实根 b x1,x2 x1=x2=2a
没有实数根 R ⌀
不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的 {x|x<x1 或 x>x2} 解集 不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的 {x|x1<x<x2} ⌀ 解集
������-������ (3) ≥0⇔ ������-������
4.常用的数学方法与思想
高中数学一轮复习课件：一元二次不等式及其解法
数学
高考总复习人教A版 ·(理)
∴由根与系数关系得11＋×22＝＝－b a 解得ab＝＝－2 3 ，
∴不等式 bx2＋ax＋1>0 可化为 2x2－3x＋1>0，
∴x>1
或
1 x<2.
∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<12}．
第六模块 不等式
第十五页，编辑于星期日：二十三点 四分。
数学
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第六模块 不等式
第二十九页，编辑于星期日：二十三点 四分。
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解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称 轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
数学
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4．若不等式x－ax1<1 的解集为{x|x<1 或 x>2}，则 a
等于
A．2 B．－2
()
1 C.2
D．－12
第六模块 不等式
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解析：x－ax1<1⇔[(a－1)x＋1]·(x－1)<0， ∵不等式的解集为{x|x<1 或 x>2}， ∴1,2 是方程[(a－1)x＋1]·(x－1)＝0 的两根，且 a －1<0，解得 a＝12.故选 C. 答案：C
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解析：(1)当 a＝1 时，－1<0，x∈R，适合；当 a＝－