高二下学期期末考试数学试题(图片版)
，则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得 ＝1或 ＝－5.………………4分
所以 ， 在 上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 ＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当 ＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分
所以， ＝－5不符合题意，舍去，………………………………………………8分
所以 ＝1……………………………………………………………………………10分
（2） 其中 ，所以 中………………………………7分
………………………………………9分
所以 ，………………………………………………………………10分
所以 …………………………………………………………………………11分
所以系数为240……………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1） +1，所以 ……………………………………1分
又 ，……………………………………………………3分
所以 ………………………………………………………4分
故切线方 .…………………………………………………6分
所以 ………………………………………………………………………4分
（1） ，即 ，……………………………5分
化简可得 .………………………………………………………………6分
令 ，…………………………………………………………………7分
，……………………………………………………………8分
因为 ，所以 ， .………………………………………………9分
天津市部分区2019～2020学年度第二学期期末考试
高二数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
C
C
B
D
A
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．6012． 13．135°14．0.9815.
解：(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件 ………………………………1分
且事件 为事件 的对立事件,…………………………………………………2分
则事件 为新产品 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为 ,
则 ,………………………………………3分
再根据对立事件概率之间的概率公式可得 ,……………4分
集合B＝{0,7,3,1}……………………………………………………………………11分
所以 ………………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(1)因为 ………………………………………………………1分
所以 …………………………………………………3分
即
所以 …………………………………………………………………………5分
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教B版
2021年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）新人教B版一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．）1．设全集为，集合，则( ).【答案】B2.在平面直角坐标系中，曲线C：经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为（）．A. B． C． D．【答案】D3．执行如右下图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的最大值是( )【答案】D4．若直线的参数方程为，则直线的斜率为( ). 【答案】D5. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是（)..A. B. C. D.【答案】D6.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）. A．和 B．和C．和 D．和【答案】B7.随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为（）. A． B． C． D．【答案】D8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( ).【答案】C9. 在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为（）. 【答案】10．我校15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）.【答案】C第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．若随机变量，则.【答案】10.12. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 . 【答案】180.13．在区间上随机取一个数，使成立的概率为．【答案】.14.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .15. 用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有个（用数字作答）．【答案】480.三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16. 在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为、，求的值.曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代人曲线的方程并整理得，所以 .考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程；2.直线与椭圆的位置关系.17.设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若函数有最小值，求的取值范围.考点：绝对值不等式.18.某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（III）．【解析】试题分析：解题思路：(Ⅰ)利用对立事件的概率求解；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解（III）利用二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解.规律总结：涉及概率的求法，要掌握好基本的概率模型，正确判断概率类型，合理选择概率公式.试题解析：（1）(Ⅰ)设选手甲答对一个问题的正确率为，则故选手甲回答一个问题的正确率（Ⅱ）选手甲答了4道题进入决赛的概率为；（III）选手甲答了5道题进入决赛的概率为；选手甲答了6道题进入决赛的概率为；故选手甲可进入决赛的概率.考点：1.互斥事件与对立事件；2.二项分布.19. 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表:已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是. (I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关?(II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X的分布列和均值.(参考公式：， )【答案】(Ⅰ)没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（Ⅱ）．【解析】的均值为: .考点：1.独立性检验；2.离散型随机变量的分布列与数学期望.20.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）．【解析】令得① 当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是； ②当，即时，在上的最小上单调递增在时，即],1[)(1,110e x f a a ≥≤<最小值，不合题意；③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是 ，不合题意. 综上所述有， .考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.26754 6882 梂35961 8C79 豹 32558 7F2E 缮JnF30241 7621 瘡|25861 6505 攅 28540 6F7C 潼31134 799E 禞37832 93C8 鏈。
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
人教A版数学选修4高二下学期期末考试数学(理)试题(图片版)
2015年春高二(下)期末测试卷 数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．1～6BDBCBD7～12BCDBDD（12）提示：设n a A 的坐标为)0,(n ，则00=a ，31=a ，142=a ，……由题知，38)1(2)1(41++=++++++=+n a n n n n a a n n n ，n n a n -=∴2423222015a a <<可算得)0,22(1914A ，从而)0,22(2002-A ，)13,22(2015-∴A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）21（14）2（15）65 （16）48（16）提示：显然4班的3人各分在不同小组，这三个小组分别标记为：①②③，1、2、3班的人可分入这三个小组的情况有：①②、①③、②③，故共有482333=⨯A 种分法．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从五名学生中任选两名的不同选法共有10种，其中所选出的两名学生的记忆力均超过8的不同选法有3种，所以概率为103；……6分 （Ⅱ）10=x ，4=y ，5.0422482282222=++++++=b ，154-=-=∴a 故15.0-=x y 所以当学生的记忆力为20时，推测其判断力大约为9．……12分（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）21)1(12121=⇒=-S S S ，32)21()1(22222=⇒-=-S S S S ， 43)32()1(33323=⇒-=-S S S S ；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想1+=n n S n ，下面用数学归纳法证明：当1=n 时，211=S ，成立；假设当k n =时，1+=k k S k ，则有1121)1()1(++++-=-k k k S k k S S 即211++=+k k S k故，对任意*N n ∈有1+=n n S n ．……12分（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）xx ax x a ax x f )1)(1(11)(+-=+-+-='当a ≤0时，)(x f 在(0,)+∞上单增；当0>a 时，)(x f 在)1,0(a上单增，在),1(+∞a上单减；…6分 （Ⅱ）当0=a 时，x x g ln )(=，则xx g 1)(='，设切点为)ln ,(00x x ，则切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-， 由题知)(1ln 1000x e x x --=--即e x x =00ln 令x x x h ln )(=，则1ln )(+='x x h ，)(x h ∴在)1,0(e 上单减，在),1(+∞e上单增，又e e h =)(，e x h =∴)(0有唯一解e x =0，故切线方程为)(11e x e y -=-即x ey 1=． (12)分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）某个侧面需要维修的概率为21)21()21()21(5515525=++C C 故恰有两个侧面需要维修的概率为83)21(424=C ；……6分 （Ⅱ）由题知，X 的可能取值为600,500,400,300,200,100,0，分布列为300)(=∴X E ．……12分（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）xax f -='1)(当a ≤0时，0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞上单调递增 当0>a 时，)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增；……4分（Ⅱ）1ln ))(ln 11(1ln 01ln )211)((ln +->⇔-+>+⇔>++---x x x k k x x x x x k x 令1ln )(+-=x x x x g ，则2)1(ln 1)(+-='x xx x g ，令x x x h ln 1)(-=，则011)(2<--='x xx h ，即)(x h 在),0(+∞上单调递减，而0211)(>-=e e h ，02ln 21)2(<-=h ，故存在)2,(0e x ∈，使得0)(0=x h ，且当),0(0x x ∈时0)(>x h ，当),(0+∞∈x x 时0)(<x h ，即)(x g 在),0(0x 上单增，在),(0+∞x 上单减，11111ln )()(00000000max -=+-=+-==∴x x x x x x x x g x g而11110-<-e x ，故当k ≥11-e时，k ≥max )(x g 即原不等式恒成立． (12)分（22）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）P ACP AP AC ∠=∠⇒=又B ACP ∠=∠P B ∠=∠∴故DP DB =；……5分（Ⅱ）设y PC x PA ==,，则y PD x PB 2,3==，由割线定理得2223y x =32=∴y x 故3622==y x CD AB ．……10分 （23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C 为4)2(22=+-y x ，直线l 为)1(+=x k y ，则21|3|2<+k k即542<k ，552552<<-∴k ；……5分 （Ⅱ）当直线l 与C 相切时，有552±=k ，即)1(552:+±=x y l 即2)cos 2sin 5(±=θθρμ．……10分（24）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）1|12||1|-<--+x x 当1-<x 时，1121-<-+--x x 即1<x ，1-<∴x当112x -<≤时，1121-<-++x x 即31-<x ，113x ∴-<-≤当12x ≥时，1121-<+-+x x 即3>x ，3>∴x 综上，31-<x 或3>x ；……5分（Ⅱ）|1||21||2|x x a x +---≤当2=x 时，00a ⋅≤恒成立当2≠x 时，a ≥|2||12||1|---+x x x 恒成立即a ≥max )|2||12||1|(---+x x x 又|2||12||1|---+x x x ≤1|2||121|=-+-+x x x a ∴≥1即a 的最小值为1．……10分。
2021年高二(下)期末数学试卷(理科)含解析
2021年高二（下）期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．C+C+C+C+C的值为（）A． 64 B． 63 C． 62 D． 613．反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．②③C．①②③D．①②③④4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．6．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种9．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．9210．已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的取值为（）A．﹣l B． 1 C．﹣2 D． 211．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，+∞）12．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（﹣2≤X≤1）=0.4，则P（X＞4）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.613．若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）A． 2 B．C．D． 114．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元15．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A． 4 B．10 C．20 D．4016．要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．48种B．36种C．18种D．12种17．由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）A． 4 B． 2 C．2ln2 D．ln218．用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣119．设函数f（x）=x3+x，若0＜θ≤时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（）A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知复数z=1+i．（I）若复数ω=z2+3﹣4，则复数ω的模长|ω|=；（Ⅱ）如果=1﹣i，求实数a，b的值．22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个） 2 3 45加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．23．xx年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．24．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．（Ⅰ）若a=b=c，则（﹣1）（﹣1）（﹣1）的值为；（Ⅱ）求证：（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．25．若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．xx学年北京市东城区（南片）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中．选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．分析：复数分母实数化，再化简即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．2．C+C+C+C+C的值为（）A．64 B．63 C．62 D．61考点：组合及组合数公式．专题：排列组合．分析：利用组合数公式进行求解即可．解答：解：∵C+C+C+C+C+C+C=26，∴C+C+C+C+C=26﹣C﹣C=64﹣1﹣1=62，故选：C点评：本题主要考查组合数公式的应用，比较基础．3．反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．②③C．①②③D．①②③④考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：直接利用反证法的定义判断正误即可．解答：解：利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法．①与已知条件矛盾；正确．②与假设矛盾；正确．③与定义、定理、公理、法则矛盾；正确．④与事实矛盾．正确．故选：D．点评：本题考查反证法定义的连结与应用，基础题．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型；推理和证明．分析：根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解答：解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；则两球颜色为一白一黑的概率P==；故选B．点评：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．6．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即X～B（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果．解答：解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X=2）==故选B点评：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．7．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解答：解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，则P（A）=P（A1）+P（A2）=，故选B．点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种考点：分步乘法计数原理．分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．9．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76 B．80 C．86 D．92考点：归纳推理．专题：阅读型．分析：观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果．解答：解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．点评：本题考查归纳推理，分寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理．10．已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，是纯虚数，则实数a的取值为（）A．﹣l B． 1 C．﹣2 D． 2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z1=a+i，z2=1+i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再由纯虚数的条件列出方程组，解方程组则答案可求．解答：解：由复数z1=a+i，z2=1+i，得==，∵是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：A．点评：本题考查了，考查了复数的基本概念，是基础题．11．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．解答：解：当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f'（x）＞0，当x＞a时，f'（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；当a=﹣1时，f'（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；当a＜﹣1时，当x＜a时，f'（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f'（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故选B．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．12．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（﹣2≤X≤1）=0.4，则P（X＞4）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∴P（X＞4）=P（X＜﹣2）=1﹣P（﹣2≤X≤1）=0.1故选：A．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．13．若二项式（2x+）7的展开式中项的系数是84，则实数a=（）A． 2 B．C．D． 1考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣3，求得r的值，即可求得展开式中项的系数，再根据项的系数为84，求得a的值．解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式T r+1=•27﹣r•a r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，可得展开式中项的系数是×4×a5=84，求得a=1，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．15．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）的值为（）A． 4 B．10 C．20 D．40考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由条件利用二项展开式的通项公式求得含x3y0的系数，即f（3，0）的值．解答：解：∵（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：f（3，0）==20，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查计算能力，属于基础题．16．要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．48种B．36种C．18种D．12种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选：B．点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏．17．由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为（）A． 4 B． 2 C．2ln2 D．ln2考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：首先利用定积分表示面积，然后计算即可．解答：解：由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；故选D．点评：本题考查了运用定积分求瞿塘峡的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后正确计算．18．用数学归纳法证明1++（n∈N且n＞1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k+1 B．2k﹣1 C．2k D．2k﹣1考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．解答：解：当n=k时，左端=1++，那么当n=k+1时左端=1++++…+=1++++…+，∴左端增加的项为++…+，所以项数为：2k．故选：C．点评：本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．19．设函数f（x）=x3+x，若0＜θ≤时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用函数f（x）=x3+x是奇函数又是[0，]上的增函数，把不等式转化求解．解答：解：∵函数f（x）=x3+x是奇函数又是（0，]上的增函数，∴f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，等价于f（mcosθ）＞﹣f（1﹣m）即f（mcosθ）＞f（m﹣1）即mcosθ＞m﹣1⇒m＜，又0＜θ≤时，0≤cosθ＜1，即有≥1，∴m＜1．故选：A．点评：考查函数的奇偶性单调性的综合运用以及三角函数的单调性的运用能力，属中档题．20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（）A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：令g（x）=，[x∈（0，+∞）]，利用导数研究其单调性，再利用不等式的性质即可得出．解答：解：令g（x）=，[x∈（0，+∞）]，∵xf′（x）﹣f（x）＞0，则g′（x）=＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，∵a＜b，∴＜，∴bf（a）＜af（b），∴af（a）＜bf（a）＜af（b）＜bf（b）．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其他应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知复数z=1+i．（I）若复数ω=z2+3﹣4，则复数ω的模长|ω|=；（Ⅱ）如果=1﹣i，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）由复数z求出，然后代入复数ω=z2+3﹣4化简求值则复数ω的模长可求；（Ⅱ）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵复数z=1+i．∴，∴ω=z2+3﹣4=（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i．则复数ω的模长|ω|=故答案为：；（Ⅱ）由复数z=1+i．得==a+2﹣（a+b）i，由题设条件知a+2﹣（a+b）i=1﹣i，根据复数相等的定义，得，解得：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：零件的个数x（个） 2 3 45加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．参考公式：．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用描点法描出数据对应的四组点，进而作图，可得数据的散点图；（Ⅱ）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（Ⅲ）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．解答：解：（Ⅰ）散点图如图所示：（3分）（Ⅱ）由题中表格数据得=3.5，=3.5，=3.5，=5．∴=0.7，=1.05，∴线性回归方程为=0.7x+1.05（Ⅲ）当x=10时，=0.7x+1.05=8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．（8分）点评：本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．23．xx年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）内4元；12公里至22公里（含）内5元；22公里至32公里（含）内6元；32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）直接由频率分布直方图得到此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为；（Ⅱ）120人中地铁票价为3元、4元、5元，X的所有可能取值为6，7，8，9，10．由频率分布直方图得到地铁票价为3元、4元、5元的频率，以频率作为概率求得P（X=6），P （X=7），P（X=8），P（X=9），P（X=10），列出频率分布表，代入期望公式求得期望．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为．故答案为：；（Ⅱ）X的所有可能取值为6，7，8，9，10．根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，，，即，，，以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，．∴P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=．∴随机变量X的分布列为：X 6 7 8 9 10P∴=．点评：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，关键是对题意的理解，是中档题．24．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．（Ⅰ）若a=b=c，则（﹣1）（﹣1）（﹣1）的值为8；（Ⅱ）求证：（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得a=b=c=，代入计算可得；（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0，三式相乘结合题意变形可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得a=b=c=，代入计算可得（﹣1）（﹣1）（﹣1）=2×2×2=8；（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2＞0，a+c≥2＞0，b+c≥2＞0，∴（a+b）（a+c）（b+c）≥2•2•2=8abc，又a＞0，b＞0，c＞0，∴≥8又a+b+c=1，∴≥8∴••≥8，∴（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的证明，属中档题．25．若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：新定义；导数的综合应用．分析：（1）由已知中函数f（x）和φ（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和φ（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y ﹣e=k（x﹣），即y=kx﹣k+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程．解答：解：（1）∵F（x）=f（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0），∴F′（x）=2x﹣==令F′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和φ（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣，即y=kx﹣k+e由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△=k2﹣4k+4e=（k﹣2）2≤0，∴k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明φ（x）≤2x﹣e exx＞0时恒成立令G（x）=2 x﹣e﹣φ（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=2﹣=（2x﹣2e）=2（x﹣），当x=时，G′（X）=0，当0＜x＜时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则φ（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和φ（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e点评：本题考查的知识点是函数的求导，利用导数求最值，属于中档题，主要做题要仔细．29986 7522 產N22480 57D0 埐U 0"28116 6DD4 淔34089 8529 蔩t32134 7D86 綆31241 7A09 稉25968 6570 数31410 7AB2 窲。
2021年高二数学下学期期末考试卷 理(含解析)
2021年高二数学下学期期末考试卷 理（含解析）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．下面四个命题中正确命题的个数是（ ）.①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】试题分析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确.考点：命题真假的判定.2．函数的定义域为（ ）.A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：要使有意义，则，即，解得；即函数的定义域为.考点：函数的定义域.3．已知集合，，则（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为{}{}11|0)1)(1(|>-<=>+-=x x x x x x B 或，所以.考点：集合的运算.4．函数的零点所在的区间是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：011)(,012ln )2(,02)1(>-<-=<-=ee f f f ，，所以在区间上存在零点. 考点：零点存在定理.5．设f(x)是定义在Ｒ上的奇函数，当时，则=（ ）.Ａ. Ｂ.－１Ｃ.１Ｄ.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为是奇函数，所以.考点：函数的奇偶性.6．设，则的大小关系是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，，即，，.考点：函数的比较大小.7．已知命题p：x∈R，x2+x-60，则命题P是（）A．x∈R，x2+x-6>0 B．x∈R．x2+x-6>0C．x∈R，x2+x-6>0 D.x∈R．x2+x-6<0【答案】B【解析】试题分析：命题p：x∈R，x2+x-60，Px∈R．x2+x-6>0，因此命题p：x∈R，x2+x-60，命题P：x∈R．x2+x-6>0.符合题意，选B。
北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题含答案
东城区2023—2024学年度第二学期期末统一检测高二数学（答案在最后）2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}20,,M a a =，{}2,1,0,1,2N =--，若1M ∈，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】结合集合与元素的关系求出参数a 的值，结合交集的概念即可得解.【详解】由题意1a =或21a =，但是2a a ≠，所以1a =-，{}0,1,1M =-，因为{}2,1,0,1,2N =--，所以{}1,0,1M N ⋂=-.故选：B.2.某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（）A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI 指数【答案】A 【解析】【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得.【详解】对于A ，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A 正确；对于B ，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B 错误；对于C ，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C 错误；对于D ，BMI 指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D 错误.故选：A3.已知,R x y ∈，且x y >，则下列不等式中一定成立的是（）A.22x y >B.11x y> C.ln ln x y> D.22x y>【答案】D 【解析】【分析】举反例排除ABC ，由指数函数单调性即可说明D.【详解】取0x y =>，则22x y <，1,ln ,ln x y x无意义，故ABC 错误；对于D ，由指数函数2t y =在实数域上关于t 单调递增，且x y >，所以22x y >，故D 正确.故选：D.4.袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）A.23B.12C.13 D.310【答案】A 【解析】【分析】由条件概率、古典概型概率计算公式即可求解.【详解】在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球，所以所求概率为6293P ==.故选：A.5.已知23a =，4log 5b =，则22a b -的值为（）A.15B.53C.35D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.【详解】由4log 5b =，得45b =，即225b =，而23a =，所以2223225a a bb --==.故选：C6.A ，B ，C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（）A.30种B.36种C.72种D.81种【答案】B 【解析】【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校求解.【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁，由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校.则不同的报名方法共有2114213C C C =36种.故选：B.7.2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F 处.若“金色大伞”的深度为0.49m ，则“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为（）A.2.25mB.2.74mC.4.5mD.4.99m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点(0.49,2.1)A 设抛物线的方程为22(0)y px p =>，则22.120.49p =⨯，解得29p =，抛物线29y x =的焦点9(,0)4F ，准线方程为94x =-，||0.49 2.25 2.74AF =+=，所以“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为2.74m .故选：B8.已知直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】首先求得d =，又d ==4，所以分4,3,2,1n =进行讨论即可求解.【详解】圆()()22344x y -+-=的圆心、半径分别为()3,4,2r =，圆心()3,4到直线:250l mx y m --+=的距离为d ==，设直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为n ，由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度24r =，故分以下情形讨论：当4n =时，0d ===，解得1m =-，当3n =时，2d ====，化简得23830m m -+=，解得43m ±=，当2n =时，d ====，化简得210m m -+=，该方程无解，当1n =时，152d ==，化简得2118110m m -+=，该方程无解，而直线:250l mx y m --+=是斜率为m 且过定点()2,5的直线，直线l 由m 唯一决定，综上所述，满足条件的直线l 共有3条.故选：C.9.已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在0b a >>的条件下利用导数证明b 为()f x 的极小值点，然后说明当1a =-，2b =-时，b 为()f x 的极小值点，但0b a >>并不成立，从而得到答案.【详解】由题设，()()()()()()][()()222322232f x a x b a x a x b a x a b x b a b a x a b x b ⎡⎤=-+--=-+++=-+-⎣⎦'，若0b a >>，则23a b a b +<<，故()2,,3a b x b +⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>，2,3a b x b +⎛⎫∈⎪⎝⎭上()0f x '<，所以()f x 在()2,,,3a b b +⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，2,3a b b +⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故b 为()f x 的极小值点，从而条件是充分的；当1a =-，2b =-时，有()()()212f x x x =--+，则()()()342f x x x '=-++，显然()4,2,3x ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，42,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上()0f x '>，所以()f x 在()4,2,,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭上递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，此时2b =-为()f x 的极小值点，但此时0b a >>并不成立，从而条件不是必要的.故选：A.10.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.若()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ ，则b 的值可以是（）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】D 【解析】【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.【详解】()202401222024202420242024202420242024C C 3C 3C 3451a =+⨯+⨯++⨯==- 20241202322022202312024202420245C ×5C ×5C ×51=-+-⋯-+()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1=-+-⋯-+则()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C -+-⋯-能被5整除，故()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1-+-⋯-+除以5余数为1，所以0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯++⨯ 除以5余数为1，由()mod5a b ≡，所以202354043÷= ，202454044÷= ，20255405÷=，202654051÷= ，故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()lnf x x =的定义域是_________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由表达式中的每个部分有意义得到不等式组，解之即可得到定义域为()1,+∞.【详解】为了让函数()ln f x x =的表达式有意义，需要1000x x -≥⎧≠>⎩.解得1x >，所以函数()f x 的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.12.已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，一条渐近线方程为y =，则C 的方程为_________.【答案】2213y x -=【解析】【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出,a b 即可得解.【详解】双曲线C 的焦点在x 轴上，设C 的方程为()22221,0,0x ya b a b-=>>，由题意2222,bc a b c a==+=，解得1,a b ==所以C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.13.已知二项式()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++的所有项的系数和为243，则n =_____________；2a =_________.【答案】①.5②.40【解析】【分析】首先利用系数和条件，再原式中取1x =得到5n =；再对展开式两边求导两次并取0x =，得到240a =.【详解】由已知有()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++，且110...243n n a a a a -++++=.再前一式中令1x =得1103...nn n a a a a -=++++，所以3243n =，得5n =.所以()5543254321021x a x a x a x a x a x a +=+++++.由二项式定理可知，353325C 21104140a -=⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：5；40.14.某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.【答案】20【解析】【分析】分选择两个项目、三个项目、四个项目和五个项目四种情况考虑.【详解】由题意得选择两个项目有4种组合；选择三个项目有35C 10=种组合；选择四个项目有45C 5=种组合；选择五个项目有55C 1=种组合，所以共有4105120+++=种.故答案为：20.15.设R a ∈，函数()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩给出下列四个结论：①当0a =时，函数()f x 的最大值为0；②当7a =时，函数()f x 是增函数；③若函数()f x 存在两个零点，则01a <<；④若直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，则a<0.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③##③①【解析】【分析】把0a =和7a =代入解析式，分析单调性即可判断①②，令()0f x =，解出零点，判断零点是否在区间内，对含a 的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点，解出零点，易得取2a =-时有3个零点，可判断④错误.【详解】①当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，()0f x ≤，当0x >时，()0f x <，故max ()0f x =，故①正确；②当7a =时，()327,7,7x x x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩，当0x ≤时，2()f x x =-在(,0)-∞上单调递增，当07x <≤时，2()f x x =-在(0,7)上单调递减，故()f x 不是增函数，故②错误；③当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩只有一个零点，令函数30y ax x =-=，解得1230,x x x ===当a<0时，函数2y x =-在(,]a -∞上没有零点，23,x x 无意义，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有且只有一个零点为0，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；当0a >时，函数2y x =-在(,]a -∞上有1个零点为0，10x =，3x =x a >范围内，当01a <<时，21x a =>>，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有一个零点，即()f x 有两个零点，符合题意，当1a >时，21x a =<<，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上没有零点，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；综上所述：当01a <<时，()f x 有两个零点.故③正确；④直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，可转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点.令函数30y ax ax x =--=，解得1230,x x x ===，当2a =-时，123,,x a x a x a >>>，函数3y ax ax x =--在(,)a +∞上有3个零点，令220y x x =-+=得340,2x x ==，故函数22y x x =-+在(,]a -∞上没有零点，即()g x 有3个零点，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为45，乙发球时甲得分的概率为12，求甲4:0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为13，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.【答案】（1）425；（2）227.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即得.（2）确定乙以3:1赢得比赛的事件，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=，所以单局比赛中甲4:0领先的概率为425.【小问2详解】设事件B ：乙以3:1赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件，则3212()3()3327P B =⨯⨯=，所以乙以3:1赢得比赛的概率是227.17.设函数()e xf x a x =+，其中R a ∈.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2a b ==-（2）递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义列式计算即得.（2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间.【小问1详解】依题意，(0)f a b ==，又()e 1xf x a '=+，则(0)11f a '=+=-，解得2a =-，所以2a b ==-.【小问2详解】由（1）知，()2e xf x x =-+的定义域为R ，()2e 1x f x '=-+，当ln 2x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,ln 2)-∞-上单调递增，当ln 2x >-时，()0f x '<，函数()f x 在(ln 2,)-+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.18.近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 这6个国产新能源品牌或在1B ，2B ，3B ，4B 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：00 1.00.8平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷当日23：00—次日7：000.4时（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌1A 被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X 为遥遥每次充电的费用，求X 的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.【答案】（1）13（2）分布列见解析，期望()48E X =（3）选择新能源汽车的总花费最少【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）X 的所有可能取值为36,45,54，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较.【小问1详解】若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有26C 15=种，若品牌1A 被选中，则有15C 5=种选择，从而所求概率为51153P ==；【小问2详解】在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费()10.83054+⨯=，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.70.83045+⨯=，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.40.83036+⨯=，所以X 的所有可能取值为36,45,54，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以()65412P X ==，()4145123P X ===，()2136126P X ===，X 的分布列为：X k =364554()P X k =161312X 的数学期望为()11136455448632E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】解法一：设燃油车购车成本为x 万元，则新能源汽车购车成本为()4x +万元，燃油车能源消耗支出为33814.45⨯⨯=万元，设Y 为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费10.8 1.8+=，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.70.8 1.5+=，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.40.8 1.2+=，则Y 的所有可能取值为1.8,1.5,1.2，且()()()5313321811.8, 1.5, 1.2243243243P Y P Y P Y +++=========，所以() 1.8 1.5 1.21.53E Y ++==，新能源汽车能源消耗支出为138 1.57.25⨯⨯⨯=万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为114.4y x =+，新能源汽车的总花费为2147.211.2y x x y =++=+<，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少.解法二：按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=(元)，新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=(元)，因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以144000400008640017600--=(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.（1）求E 的方程；（2）过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【小问1详解】由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b =，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m m m m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k为定值.20.已知函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R .（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∈+∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：若()f x 在区间()1,+∞上存在唯一零点0x ，则20e a x -<（其中e 2.71828...=）.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）(],2-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值；（2）对2a >和2a ≤分类讨论，当2a >时由0f <知条件不满足，当2a ≤时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到a 的取值范围是(],2-∞；（3）由条件可直接得到2a >，然后通过导数判断()f x在∞⎫+⎪⎪⎭上的单调性，再证明20e a x -≥>，即可通过反证法得到结论.【小问1详解】当2a =时，()22ln 1f x x x =--，从而()()()21122x x f x x x x-+=-='.故对01x <<有()()()2110x x f x x-'+=<，对1x >有()()()2110x x f x x-'+=>.所以()f x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增.从而()f x 有唯一的极值点1x =，且是极小值点，对应极小值为()10f =，无极大值.【小问2详解】由()2ln 1f x x a x =--，知()2222a a f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'.若2a >1>.而对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，所以()f x 在⎡⎢⎣上递减.故()10f f <=，从而()0f x >对x =若2a ≤，则对1x >有()2221022a a f x x x x ⎛⎫⎛⎫=->-≥ ⎪ ⎝'⎪⎝⎭⎭，所以()f x 在[)1,+∞上递增.从而对任意()1,x ∞∈+，有()()10f x f >=，满足条件.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【小问3详解】据（2）的结果，当2a =时对()1,x ∞∈+有()0f x >，故对1x >有22ln 10x x -->.此即()22ln 1x x >+，所以对任意的1t >，在()22ln 1xx >+中取2t x =就有ln 1t t >+.回到原题.若()f x 在区间()1,∞+上存在唯一零点0x ，根据（2）的结果，首先有2a >.此时对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，对x >()2202a f x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'.所以，()f x 在⎡⎢⎣上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.而()10f =，故()1,∞+上的零点0x 满足0x >.由于2e 1a ->，而对任意的1t >，都有ln 1t t >+，取2e a t -=，就有2e 1a a ->-，从而()224e 1a a ->-.所以()()()()()222222424e e ln e 1e 21e 10a a a a a f a a a a -----=--=---=-->.假设20ea x -≥，由2a >及2e 1a a ->-有2e 1a a ->-=>，所以20e a x -≥>.由()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增，且()2e 0af ->，即可从20e a x -≥>，推知()()20e0a f x f -≥>.但这与0x 是()f x 的零点矛盾，所以20e a x -<.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论.21.已知n 项数列()12:,,...,3n n A a a a n ≥，满足对任意的i j ≠有i j a a ≠.变换T 满足对任意{}1,2,...,i n ∈，有(){}12,,...,i n T a a a a ∈，且对i j ≠有()()i j T a T a ≠，称数列()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a 是数列nA 的一个排列.对任意{}1,2,...,i n ∈，记()()1i i T a Ta =，()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N ，如果k 是满足()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==的最小正整数．．．．．，则称数列n A 存在k 阶逆序排列，称T 是n A 的k 阶逆序变换.（1）已知数列4:1,2,3,4A ，数列()4:3,1,4,2T A ，求()24T A ，()44T A ；（2）证明：对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；（3）若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，求n 的最小值.【答案】（1）()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A （2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）直接根据定义求解对应的数列即可；（2）先证明若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数，再由4n =不满足该条件，即得结论；（3）由上面的结果可知6n ≥，然后对6n =构造符合条件的3阶逆序变换T 即可.【小问1详解】由于4:1,2,3,4A ，()4:3,1,4,2T A ，故()13T =，()21T =，()34T =，()42T =.所以()()()()()24:3,1,4,2T A T T T T ，即()24:4,3,2,1T A .所以()()()()()34:4,3,2,1T A T T T T ，即()34:2,4,1,3T A .所以()()()()()44:2,4,1,3T A T T T T ，即()44:1,2,3,4T A .故()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A .【小问2详解】对3n ≥，设有n 个不同的点12,,...,n P P P ，若()i j T a a =，则在,ij P P 之间画一个箭头i j P P →.则每个点恰好发出一个箭头，也恰被一个箭头指向，这些箭头将形成若干互不相交的圈.若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则对12n i +≠，i a 经过三次变换T 后得到1n i a +-.这意味着i P 和n i P -必然位于一个长度为6的圈中.从而，如果n 是偶数，则必定有12n i +≠，故每个点12,,...,n P P P 都位于一个长度为6的圈中，所以n 是6的倍数；如果n 是奇数，则除12n P +以外的点都位于一个长度为6的圈中，若12n P +单独作为一个圈，则n 1-是6的倍数，若12n P +位于包含其它点的圈中，则n 是6的倍数.但n 是奇数，故只可能是：12n P +单独作为一个圈，n 1-是6的倍数.综上，若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数.由于4n =不满足该条件，故对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；【小问3详解】若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，根据（2）的结果，n 1-和n 中必有一个是6的倍数.而3n ≥，故6n ≥.而当6n =时，对各项互不相同的数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，构造变换{}{}123456123456:,,,,,,,,,,T a a a a a a a a a a a a →，满足()12T a a =，()23T a a =，()36T a a =，()41T a a =，()54T a a =，()65T a a =.则()16236145:,,,,,TA a a a a a a ，()26365214:,,,,,T A a a a a a a ，()36654321:,,,,,T A a a a a a a .所以T是数列6A的3阶逆序变换.综上，n的最小值为6.和n中必有一个是6的倍数，进【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从3阶逆序变换的存在性推出n1而可以迅速由条件确定n的大致范围，最后得到结果.。
广东肇庆2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
肇庆市2022-2023学年第二学期高二年级期末教学质量检测数学本试题共6页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 2253A C +=（ ）A. 13B. 16C. 23D. 26【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合数的运算求解. 【详解】225332A C 542321×+=×+=×, 故选：C.2. 以下求导正确的是（ ） A. ()21log ln2x x ′= B. (cos )sin x x ′= C. 1(ln3)3′= D. 1(3)3x x x ′−=⋅【答案】A 【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A ，21(log )ln2x x ′=，A 正确； 对于B ，(cos )sin x x ′=−，B 错误； 对于C ，(ln3)0′=，C 错误； 对于D ，3l 3)n (3′=x x ，D 错误.故选：A3. 522x x +的展开式中2x 的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】A 【解析】【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】通项公式为51522C kkkk T x x −+ =⋅5352C k kk x −⋅， 令532k −=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为152C 10×=. 故选：A4. 近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入y （单位：万元）与月份()1,2,,12x x = 具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为ˆ0.89.3y x =+，则下列结论正确的是（ ）A. 相关系数0.8r =，销售收入y 与月份x 的相关性较强B. 经验回归直线ˆ0.89.3y x =+过点()3,11.7 C. 根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元D. 关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上 【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质和定义逐个判定即可.【详解】对于A ，由回归方程为ˆ0.89.3y x =+可知，回归系数为0.8，不是相关系数，故A 错； 对于B ，由前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程，故1234535x++++=，30.89.311.7y ∴=×+=，所以过点()3,11.7，故B 正确；对于C ，根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C 错误；对于D ，并不是所有关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上，故D 错误； 故选：B5. 有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（ ） A 80种 B. 100种 C. 120种 D. 140种【答案】C 【解析】【分析】采用先分后排的方法可求出结果.【详解】先将5个元素分成4组，有25C 10=种，再安排含甲的一组，有12C 2=种， 再安排其余3组，有33A 6=种，所以不同的分配方案共有1026120××=种. 故选：C6. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X ，且X 服从二项分布110,4B，则以下说法错误的是（ ） A. ()52E X =B. ()158D X =C. ()216E X +=D. ()314P X == 【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案. 【详解】因为1~10,4X B，所以15()1042E X =×=，故A 正确； 1115()10(1)448D X =××−=，故B 正确；5(21)2()12162E X E X +=+=×+=，故C 正确；.911011(1)C 144P X ==⋅⋅−= 995324×34≠，故D 错误.故选：D7. 若1ea =，b =ln55c =，则（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】B 【解析】【分析】由ln e ln 2ln 4,e 24a b ===，可构造函数ln ()xf x x=，再求导判断单调性，即可求解. 【详解】ln e ln 2ln 4,e 24a b ===， 设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，则()0,()′>f x f x 单调递增， 当e x >时，则()0,()′<f x f x 单调递减，(e)(4)(5)f f f ∴>>，即a b c >>，故选：B【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.8. 已知函数()22,201ln ,0ex x f x x x −−≤≤= +<≤ ，函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点()1212,x x x x <，则212x x +的最大值和最小值的差是（ ） A. 32e −+ B. 34e −+C. 32e −−D. 34e −−【答案】A 【解析】【分析】作出(),1yf x y m ==+的图象，数形结合可得m 的取值范围，将212,x x 用m 表示，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，利用导函数讨论单调性求解.【详解】作出(),1y f x y m ==+的图象如下，由图象可知，当212m −≤+≤，即31m −≤≤时，函数(),1y f x y m ==+有2个交点，即函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点，因为12x x <，所以21221ln 11x m x m −=+ +=+ ，可得2121e mx mx =− = ， 则212e 1mx x m +=−+，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，()e 1,(31)x h x x −−≤≤′， 令()0h x ′>解得，01x <≤，令()0h x ′<解得，−<3≤0x ， 所以()h x 在[)3,0−单调递减，(]0,1单调递增，所以{}3min max ()(0)2,()max (3),(1)e 4h x h h x h h −===−=+， 所以函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤的最大值和最小值之差为32e −+， 所以212x x +最大值和最小值的差是32e −+， 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若1021001210(1)−=++++ x a a x a x a x ，则（ ）A. 01a =B. 01101a a a +++=− C. 100123102a a a a a −+−++= D. 9024102a a a a ++++=−【答案】AC 【解析】【分析】利用赋值法可得.的【详解】A 选项：当0x =时，得100(1)a −=，即01a =，故A 正确；B 选项：当1x =时，得1001210(11)a a a a −=++++ ，即01100a a a +++=，故B 错误； C 选项：当=1x −时，得10012310(11)a a a a a −−=−+−+ ，故100123102a a a a a −+−++=，即C 正确； D 选项：()()10011001231090241002222a a a a a a a a a a a a ++++−+−+++++++=== ， 故D 错误； 故选：AC10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则下列说法正确的是（ ） A. ()35P A =B ()625P AB =C. ()1|2P B A =D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为13【答案】AC 【解析】【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得3()5P A =，故A 正确； 323()5410P AB =×=，故B 不正确；所以()()()310|35P AB P B A P A ==12=，故C 正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为3235410×=，第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为2335410×=， .所以摸球两次，恰有一个是红球为事件33310105+=，故D 不正确. 故选：AC11. 已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），X 服从正态分布()25,N σ，若()4.5P X p <=，则（ ）A. ()152P X >=B. ()14.552pP X −<<=C. σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大D. 若310p =，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为36125【答案】ACD 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB 选项；利用σ与正态密度曲线的关系可判断C 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为)2~5,X N σ，则()152P X >=，A 对； 对于B 选项，因为()4.5P X p <=，则()()()124.555 4.52pP X P X P X −<<=<−<=，B 错； 对于C 选项，σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大，C 对； 对于D 选项，若310p =，()324.5 5.51212105P X p <<=−=−×=， 所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为2232336C 55125⋅⋅= ，D 对.故选：ACD.12. 已知函数()42361f x x x =−+−，()f x ′是()f x 的导函数，且()()()f a f b f c =′′=′，其中a b c <<，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的所有极值点之和为0B. ()f x 的极大值点之积为2C. 1ab ac bc ++=−D. abc 的取值范围是(− 【答案】AC 【解析】【分析】求出()f x ′讨论其符号后可得函数的极值点，故可判断AB 的正误，设()()()f a f b f c t ′′′===，则()31212g x x x t =−+−有3个不同的零点,,a b c ，利用导数和因式分解可求t 的范围及ab bc ac ++与t 的关系，故可判断CD 的正误.【详解】()()()312121211f x x x x x x ′=−+=−−+， 令()0f x '>，则1x <−或01x <<；令()0f x ′<，则10x −<<或1x >； 故()f x 的极大值点为1,1−，它们的乘积为1−，故B 错误.而()f x 的极小值点为0，故()f x 的所有极值点之和为0，故A 正确.设()()()f a f b f c t ′′′===， 则()f x t ′=有三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<.设()31212g x x x t =−+−，则()g x 有3个不同的零点， 又()23612g x x ′=−+，令()0g x ′>，则x <<令()0g x ′<，则x <x >故()g x 在 为增函数，在, −∞ 、 ∞ 上为增函数，因为()0g x =有三个不同的实数解，故00g g >< ，整理得到：1212012120t t −+> −<，解得t <<. 又因为()0g x =有三个不同的实数解,,a b c ，故()()()()12g x t x a x b x c −=−−−− ()()3212x a b c x ab bc ac x abc =−−+++++− ，故()()332121212x x t x a b c x ab bc ac x abc −+−=−−+++++− 恒成立，故1ab bc ca ++=−且12t abc −=，故C 正确，而12t abc −=∈ ，故D 错误. 故选：AC.断，则需根据导数的符号来确定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，若()74E X =，则()2P X ≤=_________．【答案】34##0.75 【解析】【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得()2P X ≤的值.【详解】由分布列的性质和期望公式可得()114172344m n E X m n ++= =+×+= ，解得1214m n = =，因此，()1132244P X ≤=+=. 故答案为：34. 14. 已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是ACD ，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为_________． 【答案】67【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】设事件A ：“小明得分”，事件B ：“小明拿到2分”，小明只选一个选项有14C 4=种选法；小明只选两个选项有24C 6=种选法； 小明只选三个选项有34C 4=种选法； 小明选四个选项有44C 1=种选法；事件A ：“小明得分”包含123333C C C 7++=个基本事件； 事件B ：“小明拿到2分” 包含1233C C 6+=个基本事件； 所以6(|)7P B A =, 故答案为:67. 15. “白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()00,x f x 处的切线与()g x 在()()00,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为_________．【解析】【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x = 当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =（舍）或0cos x =，故答案为:16. 已知函数()ln 2g x x a =−的两个零点分别为1x 和2x ，且12x x <，则212x x a的最小值为_________．【答案】2e 【解析】【分析】先将1x 和2x 用a 去表示，可将212x x a 转化为2e a a，构造函数()2e x f x x =，利用导数求最小值即可.【详解】当01x <<时，ln 0x <，当1x >，时ln 0x >，由题意1ln 2x a −=，2ln 2x a =，0a >， 所以21eax −=，22e ax =，故2212e ax x a a=设()2e xf x x=，0x >， 则()()22e 21x xf x x−′=， 当102x <<时，()0f x ′<，()f x 在区间10,2上单调递减， 当12x >时，()0f x '>，()f x 在区间1,2 +∞上单调递增， 故()12e 2f x f≥=， 故2212e ax x a a=最小值为2e . 故答案为：2e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】（1）72 （2）48 【解析】【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；（2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【小问1详解】的从1，3，5中选一个填入个位，有13A 种， 剩余四个位置全排列，有44A 种， 故共有4134A =72A 个． 【小问2详解】3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有1242A A 种，其他位置进行全排列，有33A 种， 故共有123423A A A 48=个．18. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的人获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立． （1）求甲以3:1获胜的概率；（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）827（2）分布列见解析，10727． 【解析】【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；（2）由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望. 【小问1详解】若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，概率为：2232228C 133327P =×−×=． 【小问2详解】由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则()332113333P X ==+=，打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，则()222233222111104C 1C 133333327P X ==×−×+×−×= ， 打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，法一：()22242185C 3327P X ==×=．法二：可用列举法，具体情况如下表：甲前四局胜负及概率情况()48568127P X ==×=． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望()11081073453272727E X =×+×+×=． 19. 已知函数()323612f x x x x =−−+． （1）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()1212x x f x f x ++的值； （2）设[]2,3x ∈−，求()f x 的最值．【答案】（1）()()1212132x x f x f x ++=− （2）最大值为92，最小值为9−． 【解析】【分析】（1）求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可； （2）计算极值和端点的函数值，从而可求解. 【小问1详解】()f x 的定义域为R ．由()323612f x x x x =−−+，得()()()2336321f x x x x x ′=−−=−+， 令()0f x ′=，解得=1x −或2x =，当(),1x ∈−∞−时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,2x ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 依题意有11x =−，22x =，则()()1912f x f =−=，()()229f x f ==−， 所以()()1212132x x f x f x ++=−． 【小问2详解】由（1）知()f x 在[)2,1−−上单调递增，在()1,2-上单调递减，在(]2,3上单调递增，所以()9()12f x f =−=极大值， ()()29f x f ==−极小值．又(2)1f −=−，7(3)2f =−， 所以()f x 的最大值为92，最小值为9−． 20. 为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x （单位：亿元）与收益y （单位：亿元）的数据如下表所示：研发投入x 3 6 8 10 14 17 22 32收益y 43 52 60 71 74 81 89 98（1）已知可用一元线性回归模型ˆˆˆy bx a =+模型拟合y 与x 的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ， ，(),n n x y ，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()121ˆn i ii ni i x y nxybx x ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−，819138i i i x y ==∑，()821634i i x x =−=∑，结果保留两位小数） （2）该企业主要生产I 、II 类产品，现随机抽取I 类产品2件、II 类产品1件进行质量检验，已知I 类、II 类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率．【答案】（1）ˆ 1.8744.82yx +（2）47． 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法估计公式可得经验回归方程； （2）根据条件概率公式可得. 【小问1详解】3681014172232148x +++++++=，4352607174818998718y+++++++=，()8182189138814711186ˆ 1.87634634i ii ii x y xybx x ==−−××==≈−∑∑， ˆˆ71 1.871444.82abx y =−≈−×=， 所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ 1.8744.82yx +．【小问2详解】记“恰有2件产品为合格品”为事件A ，“II 类产品为合格品”为事件B ，则()2123233271C 14344316P A =×−+−××= ， ()123321C 14434P AB =−××=， 由条件概率的计算公式得()()()144|7716P AB P B A P A ===， 故在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率为47． 21. 为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行统计，数据如下表． （1）完成下面的22×列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验判断业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度是否有关联；（2）现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．②临界值表α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.84166357.87910.828【答案】（1）表格见解析，认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联.（2）分布列见解析，()1E X = 【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22×列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【小问1详解】解：依题意得22×列联表如下：评价服务合计安保服务维修服务 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计4060100 零假设为0:H 业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度无关联，220.001100(2831257)11.76510.82840608515x χ××−×=≈>=×××，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】解：依题意可知，所抽取的6人中对维修服务不满意的有4人，对安保服务不满意的有2人，X 的所有可能取值为0、1、2，则()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列如下：故X 的数学期望为()1310121555E X =×+×+×=． 22. 已知函数()e ln 1xf x ax x x =−−−．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：1a ≥．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的符号可得结果； （2）转化为maxln 1e xx x a x ++≥ ，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立. 【小问1详解】当0a =时，()()ln 1,0,f x x x x =−−−∈+∞．所以()110f x x′=−−<， 故()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间． 【小问2详解】由()e ln 10xf x ax x x =−−−≥恒成立，可知ln 1e xx x a x ++≥恒成立，即maxln 1e x x x a x ++ ≥ ， 令()ln ln 1ln 1e e x x xx x x x g x x +++++==， 不妨设ln t x x =+，则()()1e tt h t t +=∈R ，()()2e 1e e et ttt t t h t −+==−′， 由()0h t ′>，得0t <，由()0h t ′<，得0t >，所以()h t 在(),0∞−上单调递增，在()0,∞+上单调递减．故()()()0max max 101eg x h t h ====， 所以()max 1a g x ≥=．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,yf x x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <； （2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >； （3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <； （4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。