抛物线及其标准方程【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件PPT
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.3.1 抛物线及其标准方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.
3.理解𝑝 的几何意义，并能解决简单的求抛物线的标准方程问题. 1.逻辑推理—能够推导出抛物线的标准方程.
2.数学运算—会根据条件求抛物线的标准方程.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
1.抛物线的定义：
把平面内与一个定点𝐹 和一条定直线𝑙 （𝑙 不经过点𝐹 ）的距离① 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点𝐹 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的② 准线 .
2.抛物线的标准方程：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0) ③ 𝐹(𝑝2,0) ④ 𝑥=−𝑝2
𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝>0) ⑤ 𝐹(−𝑝2,0) 𝑥=𝑝2
𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0) ⑥ 𝐹(0,𝑝2) ⑦ 𝑦=−𝑝2
𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝>0) ⑧ 𝐹(0,−𝑝2) 𝑦=𝑝2
自主思考
1.平面内与一个定点𝐹(1,0) 和定直线𝑙:𝑥=1 的距离相等的点的轨迹是什么？
提示 由已知𝑙 经过点F，所以轨迹是过点F，且垂直于l的直线.
2.已知抛物线𝑦2=8𝑥 ，则焦点到准线的距离是多少？
提示 由已知得2𝑝=8 ，所以𝑝=4 ，根据𝑝 的几何意义，焦点到准线的距离是4.
3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？ 提示 第三个和第四个.
名师点睛
1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题
（1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中一次式±2𝑝𝑥 ，±2𝑝𝑦 来确定焦点位置，“𝑥 ，𝑦 ”表示焦点在𝑥 轴或𝑦 轴上，系数“±2𝑝 ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上.
3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
抛物线的简单几何性质 抛物线的实际应用 抛物线的标准方程 抛物线的几何特征与概念
范围、对称性、顶点、
离心率 3.3.1抛物线及其标准方程
教学设计
抛物线的研究是类比椭圆、双曲线的研究方法进行的.先抽象抛物线的几何特征，然后通过坐标法建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用这些性质解决简单的实际问题.整体研究框架如下：
通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.
二、学情分析
抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识.
三、教学目标
1.能通过实验探究 ，理解抛物线的定义；
2.类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题；
3.体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
四、教学重难点
1.理解抛物线定义
2.推导抛物线的标准方程
五、教学过程 2
1导入新课
世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜
“中国天眼”--500m口径抛物面射电望远镜的轴截
面是一个开口向上的抛物线的一部分。
2抛物线定义的形成
2.1尺规作图，观察抛物线的形成过程
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，
一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的
一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等
于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一
点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把
第05讲 抛物线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
第05讲 抛物线
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
知识点2 抛物线的标准方程和几何性质
焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．
p的几何意义：焦点F到准线l的距离．
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
顶点 O(0,0) 【考点目录】
【知识梳理】 对称轴 x轴 y轴
焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
知识点3 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
抛物线(教案)-2022-2023学年高二数学教材教案(人教A版2019选择性必修第一册)
3.3 抛物线
考纲要求
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)
2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)
知识解读
知识点①抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
知识点①抛物线的标准方程和几何性质
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F p2，0 F －p2，0 F 0，p2 F 0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2
知识点①必记结论
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为a4，0，准线方程为x＝－a4. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
题型讲解
题型一、抛物线的定义及其应用
抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程
课时内容 3.3.1抛物线及其标准方程 3.3.2抛物线的简单几何性质
所在位置 教材第130页 教材第134页
新教材
内容
分析 教材在用直尺画抛物线的过程中，体会抛物线的定义，感知抛物线的形状，为选择适当的坐标系，建立抛物线的标准方程、研究抛物线的几何性质做好铺垫。 通过对抛物线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的p的几何意义，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过抛物线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对抛物线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过抛物线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与抛物线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 抛物线的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.
重点：抛物线的标准方程及其推导过程
难点：求抛物线标准方程
（一）新知导入
已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．
(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？ (2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？
【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.
(2)关于x轴对称．
（二）抛物线的几何性质
知识点一 抛物线的几何性质
◆抛物线的几何性质
标准
抛物线的简单几何性质(教学设计)高中数学 人教A版2019选择性必修第一册
3.3.3抛物线的简单几何性质(第二课时)教学设计
(一) 教学内容：
通过解决具体问题体会经过抛物线的焦点和顶点的直线的重要性以及抛物线在实际生活动中的应用举例.
(二) 教学目标
1.通过解决问题，能熟练利用抛物线的定义、方程和性质解决综合问题，提升学生的解题能力；
2.通过实例，能体会抛物线在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识.
(三) 教学重点和难点
重点：解决抛物线综合问题和体会抛物线在实际生活中的应用；
难点：解决抛物线综合问题的解题思维培养
(四) 教学过程设计
引入： 我们已经知道了抛物线的定义，并根据抛物线的定义得到了标准方程，通过定义和方程及图像得到了抛物线的几何性质，现请同学完成下列表格.
焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
范围
对称性
顶点
焦点在𝑥正半轴上 y2＝2px(p>0) (p2,0) 𝑥=−𝑝2
𝑥≥0,
𝑦∈𝑅
关于𝑥轴对称
焦点在𝑥负半轴上 y2＝－2px(p>0) (−p2,0) 𝑥=𝑝2
𝑥≤0,
𝑦∈𝑅
关于𝑥轴对称 坐标原点
焦点在𝑦正半轴上 x2＝2py(p>0) (0,p2,) 𝑦=−𝑝2
𝑦≥0,
𝑥∈𝑅
关于𝑦轴对称
焦点在𝑦负半轴上 x2＝－2py(p>0) 0,−p2,) 𝑦=𝑝2
𝑦≤0,
𝑥∈𝑅
关于𝑦轴对称
【师生活动】教师用多媒体展示表格，学生填写.
【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。
问题1 经过抛物线焦点𝐹的直线交抛物线于𝐴、𝐵两点，经过点𝐴和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点𝐷，求证：直线𝐷𝐵平行于抛物线的对称轴.
【师生活动】
教师：如果使用坐标法来证明这个结论，怎么转化这个问题？
学生：只要证明证明点𝐷的纵坐标和点𝐵的纵坐标相等即可.
教师：𝐷、𝐵两点的坐标与问题中的哪些几何量有关？
第2章 2.7.1 抛物线的标准方程-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
1 2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
学
习 目 标
核 心 素 养
1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)
2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．
2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养．
在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．
1．抛物线的定义
2
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px(p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p＞0) 0，p2 y＝－p2
x2＝－2py(p＞0) 0，－p2 y＝p2
提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负．
[提示] 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．
( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．
( ) 3 (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
二十六 抛物线及其标准方程
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 ( )
A. B.
C. D.
2.抛物线y=x2的准线方程是 ( )
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
3.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是 ( )
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=x2或y=-x2
4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 ( )
A. B. C. D.4
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知抛物线的方程为x=y2,则该抛物线的准线方程是 .
6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上的一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
8.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.
(15分钟·30分)
1.(5分)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y
2.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 ( )
A.2 B.2 C.2 D.4
【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
1．抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
图形
性质 焦点 p2，0 －p2，0 0，p2 0，－p2
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴
顶点
离心率 e＝
2.焦点弦
直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝ .
3．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．
设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
∈k＝0时，直线与抛物线只有 交点；
∈k≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点．
Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．
Δ＜0∈直线与抛物线 ∈ 公共点．
【小试牛刀】
1．抛物线关于顶点对称．( )
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．( )
5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．( )