2020-2021天津市高一数学下期末试题带答案
2020-2021天津市高一数学下期末试题带答案一、选择题1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．82．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+ 3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 176 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π6．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9012．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =二、填空题13．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 15．()sin1013tan 70+=_____16．若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.18．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 19．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．20．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= .三、解答题21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 22．已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 24．a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；（2）若3a =，17b =ABC ∆的面积.25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．3．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176，代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 5．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2)22442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.8．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
【详解】由题函数定义域为0x ≠，22()()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，函数为偶函数，图像关于y 轴对称，B,C 选项不符合，当0x →时，y →-∞，则函数图像大致为A 选项所示. 故选：A 【点睛】此类题目通常根据函数的定义域，周期性，奇偶性以及值域和特殊点等来判断大致图像。
9．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rr r nT C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝ 令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．14．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：1n-【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111nn n S =-+--=- ，即1n S n=-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.15．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1【解析】 【分析】tan 60，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70，利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅，由sin 20cos70=可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0+=++⋅=()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==本题正确结果：1 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：78【分析】根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】 因为21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 由诱导公式化简得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 226ππα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 26πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故答案为: 78【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.17．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：92π设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ， 外接球直径为344279233,πππ3382R a V R ====⨯=. 【考点】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.18．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()1,3C ， 则：()2,0AB =，()1,3BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC =， 据此可知AB 在BC 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-.本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真， 则()24420a a ∆=--≥，解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3 【解析】 【分析】 【详解】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝，＝＝故答案为3. 【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题21．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解， 则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点， 而y ＝f （x ）的图象如图：分析可得﹣1＜m ＜0； 故m 的取值范围是（﹣1，0）． 【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．22．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅． 【解析】 【分析】（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；由根与系数的关系，得，解得a ＝1，b ＝2；（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 23．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-， 由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.24．（1）1cos 3B =；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以sin 3sin cos BB B =，因为sin 0B >，所以1cos 3B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则21179233c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >，解得4c =.因为1cos 3B =，所以sin 3B ==，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）13n na = （2）21nn -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+考点：等比数列的通项公式；数列的求和 26．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3【解析】 【分析】()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．【详解】() 1函数()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，故它的最小正周期为2ππ2=．()2对于函数()1f x 22=-+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．()3ABC 中，若1cosB 3=，sinB 3∴==．若C 11f 224⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，sinC ∴=，C 为锐角，πC 3∴=．()ππ11sinA sin B C sinBcoscosBsin 3332326∴=+=+=⋅+⋅=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．。
天津市部分区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
6
24
当 a 1 或 a 31 时，解为 2 个；
6
24
当 1 a 31 时，解为 3 个．
6
24
18．（本小题满分 12 分）
…………12 分
解：（Ⅰ）零假设为 H0 ：性别与测试成绩之间没有关联，
根据列联表中的数据，经计算得到
…………………1 分
部分区期末练习高二数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
63 3
6
3 36 3
3 54 18
………………………………………………………………………7 分
部分区期末练习高二数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
P( X 2) 1 2 (1 2) (1 1) 2 2 1 (1 2) 2 24 4
63 3
6 3 3 6 3 3 54 9
f (x)
1 x
，所以原不等式可化为
h(
x1
)
h(x2 ) ，………………9 分
故可知
h(
x)
ln
x
1 2
ax
1 x
在
e1,
e
上单调递减，
因为
h( x)
1 x
1 x2
a 2
，
所以，
1 x
1 x2
a 2
0
在
x e1, e
上恒成立，…………………………10
分
即：
a
2 x2
2 x
2
1 x
1 2
2
2
2 24
当 x 1时， f ( x) 有极小值 f (1) 1 ． 6
…………8 分
（Ⅱ）方程 f (x) a ， a R 的解的个数为函数 y f (x) 的图象与直线 y a 的交点个数．
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
密封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在直角坐标系中，下列直线的倾斜角为钝角的是（ ）A ．2x =-B ．2y = C ．123x y+=D ．210x y -+= 2．直线2y kx k =-恒过定点（ ）A ．() 0,2-B ．() 0,2C ．()2,0-D ．() 2,03．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与CD 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒4．如图，四棱锥P ABCD-中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（ ）A ．//MN PDB ．// MN PAC ．//MN AD D ．以上均有可能5．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，αβ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．//l mB ．l m ⊥C ．m α⊥ D ．//l β或l β⊂ 6．已知点()2,0A ，()0,2B -，圆C 以线段AB 为直径，则它的标准方程是（ ）A ．()()22112x y -++= B ．()()22112x y ++-= C ．()()22 114x y -++=D ．()()22 114x y ++-=7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73πB ．83π C ．3π D ．103π密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题8．若直线y ax b =+经过第一、二、四象限，则圆()()221x a y b ++-=的圆心位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．圆221x y +=与圆()()223416x y +++=的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相离D ．相交10．若直线l 将圆222440x y x y +-+-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y -+=或20x y -=B ．10x y --=或20x y -=C ．10x y ++=或20x y +=D ．10x y -+=或20x y +=11．过点()2,1A 作圆()()22114x y ++-=的切线，切点为B ，则AB =（ ）A ．2B 5C ．3D ．5 12．圆(()223327x y ++=上与直线3430x +=的距离等于23的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上.13．经过点(),3P m -，()1,Q m 的直线与直线10x y +-=平行，则实数m =____________．14．经过直线20x y -=与60x y +-=的交点，且与直线2 10x y +-=垂直的直线方程为____________．15．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为60︒，则此圆锥的侧面积为____________．16．圆()()22214x y -++=上的点到直线34130x y ++=的距离的最大值为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知ABC 的三个顶点()1,1A -，()3,3B ，()5,1C ，求：（1）AB 边上的垂直平分线方程； （2）AB 边上的高所在直线的方程． 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：AB PD ⊥；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）若4AB =，PA PD =，求四棱锥P ABCD -的体积．19．（12分）已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当弦AB 最短时，求直线l 的方程． 20．（12分）如图，长方体1111ABCD A BC D -中，ABCD 是正方形，E 、F 分别为1CC 、1BB 上的点，且2EC FB =，M 是AE 的中点．（1）证明：//FM 平面ABCD ； （2）证明：平面AEF ⊥平面11AAC C ．21．（12分）已知圆C 经过()3,4A ，()3,6P ，()5,6Q 三点． （1）求圆C 的方程； （2）过点()3,0的直线l 截圆C 所得弦长为2，求直线l 的方程． 22．（12分）已知圆221:420C x y x y +-+=，圆222:240C x y y +--=． （1）求证：圆1C 与圆2C 相交； （2）求两圆的公共弦长．高一数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBBDABAACBC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1 14．260x y -+= 15．2π 16．5 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．解：（1）ABC 的三个顶点()11A -，，()3,3B ，()5,1C ，∴AB 的中点坐标为()2,1，斜率为31231+=-， ∴AB 的垂直平分线的斜率为12-，∴AB 边上的垂直平分线方程为()12y x -=--，即240x y +-=；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）AB 边上的高所在直线的斜率为12-，∴AB 边上的高所在直线的方程为()1152y x -=--， 即270x y +-=．18．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，AB PD ⊥； （2）取AD 中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ，2PE =，13244238P ABCD V -=⨯⨯⨯=四棱锥．19．解：（1）圆心()1,0C ，∴直线l 的斜率为2，方程为()21y x =-， 即220x y --=；（2）当弦AB 被点P 平分时，弦AB 最短，此时l PC ⊥，直线l 的方程为()1222y x -=--， 即260x y +-=．20．解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，∵M 为AE 中点，∴//MO EC ，又2EC FB =，∴//MO FB ，MOBF 是平行四边形， ∴//MF OB ，∵OB ⊂平面ABCD ，FM ⊄平面ABCD ， ∴//FM 平面ABCD ；（2）∵1AA ⊥平面ABCD ，1AA BD ⊥，又底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥， ∵1AA AC A =，∴BD ⊥平面11AAC C ．∵//FM BD，FM ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11AAC C ．21解：（1）由题意可知圆心C 在AP 的中垂线5y =上，也在PQ 的中垂线4x =上，∴圆心()4,5C ，半径2r =∴圆C 的方程为()()22452x y -+-=． （或设圆的一般方程代入求解）密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，由题意得245311k k d k --==+，解得125k =． ∴直线l 的方程为125360x y --=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =， 此时弦长为2，符合题意，∴直线l 的方程为3x =或125360x y --=．22．解：（1）圆()()221: 215C x y -++=，圆()222: 15C x y +-=，∴圆心()12,1C -，()2 0,1C 5()()2220112225-+--<，∴两圆相交；（2）将两圆的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为10x y --=，∴两圆的公共弦长为201125232--⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：120分 时间： 100分钟）题号一二三总分得分一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列{}n a 中，12a =，3512a a +=，则7a =（ ） A ．8 B ．10 C ．14 D ．16 2．在ABC △中，若2a =，23b =60B =︒，则A 等于（ ） A ．30° B ．150° C ．60° D ．60°或120°3．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．a c b c > D ．()()2222a c b c +>+5．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D ．经过任意两个不同的点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题6．若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --= 7．已知ABC △中，sin()sin()sin 2B A B A A ++-=，则ABC△的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．无法确定8已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ）A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >9．已知三点(1,0)A ，3)B ，3)C ，则ABC△外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213 C ．253D ．4310．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则3a b ）A ．4B ．423+C ．8D ．823+二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）11原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是________．12．已知x ，0y >，且194xy+=，则x y +的最小值________．13．已知直线l 过点(3,4)P 且与点(2,2)A -，(4,2)B -等距离，则直线l 的方程为________．14．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =()223tan 3b c A bc +-=，22cos 21)cos 2A BC +=，则ABC △的面积等于________．三、解答题（本大题共5个小题，共50分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）已知直线l 的方程为34100x y +-=，求直线的方程，使得（1）l '与l 平行且过点(1,2)-；（2）l '与l 垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为2． 16．（10分）设ABC△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a B cb =-，且23a =（1）求A ；（2）若ABC △的面积23ABC △的周长．17．（本小题满分10分）设函数2()(1)f x x m x m =-++． （1）若2m =，求不等式()0f x <的解集；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）求不等式()0f x <的解集（3）若对于[1,2]x ∈，()4f x m >-恒成立，求m 的取值范围． 18．（10分）已知圆224x y +=上一定点(2,0)A ，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．（1）求线段AP 中点的轨迹方程（2）若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．19．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前项和n S 满足：()2*42,n n n S a a n N =+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有564n T <． 参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BABDDACCBB二、填空题 112 12．4 13．23180x y +-=或220x y --= 14．334+ 三、解答题15．（1）解：设l '的方程为340x y m ++=， 2分 由点(1,2)-在l '上知380m -++=，5m =-， 4分所以直线l '的方程为3450x y +-=． 5分 （2）解：设l '的方程为430x y λ-+=， 6分令0y =，得4x λ=-，令0x =，得3y λ=， 7分 于是三角形面积12243S λλ=-⋅=，得248λ=，43λ=±9分所以直线l '的方程为43430x y -+=或43430x y --=． 10分 16．解：（1）因为1cos 2a B cb =-，由正弦定理知1sin cos sin sin 2A B C B =- 1分又sin sin()C A B =+，所以1sin cos sin()sin 2A B A B B =+-，即1cos sin sin 2A B B = 3分∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π= 5分 （2）由23a =，3A π=及余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2212b c bc =+-．① 6分因为1sin 232S bc A ==8bc =② 8分 由①②解得42b c =⎧⎨=⎩或24b c =⎧⎨=⎩ 9分 ∴ABC △的周长623a b c ++=+． 10分17．解：（1）解集为(1,2) 3分密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）∵()0f x <，∴2(1)0x m x m -++<，∴()(1)0x m x --< 4分 当1m <时，不等式()0f x <的解集为(,1)m 5分当1m =时，原不等式为2(1)0x -<，该不等式的解集为∅；6分 当1m >时，不等式()0f x <的解集为(1,)m ． 7分（3）由题意，当[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，即[1,2]x ∈时，41m x x<+-恒成立． 8分 由基本不等式得441213x x x x+-≥⋅=，当且仅当2[1,2]x =∈时，等号成立，所以，3m <，因此，实数m 的取值范围是(,3)-∞． 10分 18． 【解析】（1）设AP 的中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(22,2)x y - 2分 因为P 点在圆224x y +=上，所以22(22)(2)4x y -+=， 4分 故线段AP 中点的轨迹方程为22(1)1x y -+=． 5分 （2）设PQ 的中点为(,)N x y ， 在Rt PBQ △中，PNBN=．设O 为坐标原点，连接ON ，则ON PQ ⊥，所以22222||||||||||OP OM PM OM BM =+=+，所以2222(1)(1)4x y x y ++-+-=．故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=． 10分19．解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：()2*42,n n n S a a n N =+∈，（1）则211142n n n S a a ---=+，(2)n ≥，（2） 1分 （1）-（2）得2211422(2)n n n n n a a a a a n --=-+-≥即221122(2)n n n n a a a a n --+=-≥ 2分即()()()1112(2)n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥ 又10n n a a -+>，12n n a a --=,(2)n ≥ 4分又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列，所以2n a n =． 5分（2）证明：由于2n a n =，221(2)n nn b n a +=+则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦6分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+⋯+-+-⎢⎥-++⎣⎦8分 2222111111511162(1)(2)16264n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =- 2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．33．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A 5B 35C 145D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s 3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC的外接圆的面积为3π，且2cos A 22cos cos 13sin sin B C A C -+=，则ABC 的最大边长为（）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P -ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（）A 61+B 62+C 261+D 262+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值．18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin 3b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值．22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB二、填空题：13．3 14．3 15．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯． 因为22ππϕ-≤<，所以0k =． 所以2236πππϕ=-=-．（2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 1664ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =1220210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒． ∴122A A B 是等边三角形，1212102AB A A ==．由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B AB AB AB AB =+-⋅⋅︒，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22220(102)220102200=+-⨯⨯=．∴12102B B =10260302=/h ）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．12202260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin 45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)4-=()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)4=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B AB A A AB A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯100(423)=+．∴2110(13)A B =+.由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠ 2(13)210(13)+==+．∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．2(13)cos15sin105︒︒+==． 在122B A B 中，由已知，22102A B =由余弦定理,得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅． ∴12102B B =，2222(13)10(13)(102)210(13)1022004=++-⨯⨯=乙船速度的大小为1026030220⨯=/h ． 答：乙船每小时航行302海里．19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||2b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题化简可得52b a ⋅=-，即55cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯ 如图所示，取BC 的中点M ，在RtBOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()2OM OB BM =-=-=在RtDOM中，12OM BD BM=-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 31．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23s b B =，in 23s c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c+-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=， 整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)3)233AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+- 44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+-43sin23cos2B =+- 43sin(2)3B π=+-，当sin(2)13B π-=，即512B π=时，2AD 取得最大值423+所以AD 31．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB= 所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA 中可得25cm MA =，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线AM 的距离减OB 长．解得：2cm ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每题4个选项中，只有一个符合题目要求） 1．20210是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．设312iz i-=+，则z =（ ）A ．2B 3C 2D ．13．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m ⊥n ，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且m//n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m ⊥n ，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且m//n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是（ ） A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④4．已知sin 378a =︒，tan 211b =︒，cos282.5c =︒，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐声的是（ ） A ．0.02sin360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin540000y t =6．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为全等的直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）．A ．223B 2C 2D 4237．“2sinx=cosx+1”是“1tan 22x =”，的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 8．已知半径为2的扇形AOB 中，弧AB 的长为3π，扇形的面密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题积为ω，圆心角AOB 的大小为ϕ弧度，函数()sin()h x x πϕω=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x ）在区间[]2,0π-上是增函数C ．函数()h x 图象关于(3),0π对称D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角4π;D ．三棱柱1111 AA D BB C -外接球表面积为3π10．下列说法正确的有（ ）A ．在ABC 中，::sin :sin :sin a b c ABC = B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >，若A B >，则sin sin A B>都成立D ．在ABC 中，sin sin sin A B b cCa +=+11．ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．(6)a b BC +⊥ 12．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若30A =︒，3a =，2c =，则sin C =______，b =________．（第一空2分，第二空3分）14．已知函数()2sin()(0,,)2x f x πωϕωϕπ⎡⎤=+>∈⎢⎥⎣⎦部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为15．已知如图所示的三棱锥D -ABC 的四个顶点均在球O 的球皿上，ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =23BC CD BD ===O 的表面积为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点()00,p x y ，且()0op r r =>，定义：00y x rsos θ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为2,2⎡⎤⎣⎦；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线34x π=对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,2,44k z k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈．其中正确的是_________．（填上所有正确性质的序号） 四、解答题（17题满分10分，18题到22题满分12分，共70分） 17．已知(,)2παπ∈且6sin cos 22αα+=（1）求cos a 的值； （2）若1sin()5αβ-=-，(,)2πβπ∈，求cos β的值．18．已知()4sin()cos()32tan 3x f x x x ππ=---ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，B 为锐角，且()3f B =．（1）求角B 的大小; （2）若3b =，2a c =，求ABC 的面积．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，且ABC 为等边三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ;（2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ； （3）求三棱锥1C BC D -的体积．20．如图1，平面五边形ABCDE 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD =，ADE 是边长为2的正三角形．现将ADE 沿AD 折起，得到四棱锥E -ABCD （如图2），且DE AB ⊥．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）在棱AE 上是否存在点F ，使得//DF 平面BCE ？若存在，求EFEA的值，若不存在，请说明理由．21．已知函数()()si )0(n 2f x x φφπ=+<<．其图像的一个对称中心是(,0)12π-，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()g x 的解析式：（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值．22．在直角三角形ABC 中，2B π=，1AB =，3BC =，点M 、N分别在边AB 和AC 上（M 与B 不重合），将AMN沿MN翻折，AMN变为A MN '，使顶点A '落在边BC 上（A '与B不重合），设AMN θ∠=．（1）若3πθ=，求线段AM 的长度; （2）用θ表示线段AM 的长度; （3）求线段A N '长度的最小值．高一数学参考答案单选题密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题填空题13141516 13322+(1,2)-16π①④⑤17．【答案】解：（1）因为6sin cos 22αα+=1sin 2α=．又2παπ<<，所以3cos α=．（2）因为2παπ<<，2πβπ<<，所以2ππβ-<-<-，故22ππαβ-<-<． 又1sin()5αβ-=-，得26cos()αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-32611621()2510+=+⨯-=-． 18．（1）()4sin()cos()32tan 3x f x x x ππ=---134tan cos cos 32x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22sin cos 23sin 3x x x =+-sin 232sin(2)3x x x π==-∵()2sin(2)33f B B π=-=B 为锐角∴233B ππ-=，∴3B π=．（2）由余弦定理：2292cos a c ac B =+-，∵2a c =，∴3c =23a =ABC 面积入13333232=．19．（1）证明：如图所示连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ， 因为四边形11BCC B 是平行四边形， 所以O 为1B C 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以OD 为1AB C 的中位线，所以1//OD B A ，又OD ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ， 所以1//AB 平面1C BD ．（2）证明：因为ABC 是等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又因为1AA ⊥底面A BC ，所以1AA BD ⊥，密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题根所线面垂直的判定定理得BD ⊥平面11A ACC ，又因为BD ⊂平面1C BD ， 所以平面1BC D ⊥平面11ACC A ； 解：由（2）知，ABC 中，BD AC ⊥，sin6033BD BC =︒=∴1933332BCD S =⨯⨯=∴1119369332C BCD C BCD V V --==⋅⋅=20．（1）证明：由已知得AB AD ⊥，AB DE ⊥，因为AD DE D ⋂=，所以AB ⊥平面ADE ． 又AB ⊂平面ABCD ， 所以平面ADE ⊥平面ABCD ．（2）在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =． 理由如下：假设存在点F 为AE 的中点， 设BE 的中点为G ，连接CG ，FG ，则//FG AB ，12FG AB =．因为//AB CD ，且12CD AB =，所以//FG CD ，且FG CD =，所以四边形CDFG 是平行四边形，所以//DF CG ． 因为CG ⊂平面BCE ，且DF ⊄平面BCE ， 所以//DF 平面BCE ．所以在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =． 21．（1）由题意，得()sin()0126f ππϕ-=-+=，解得()6k Z k πϕπ+∈=，又0ϕπ<<，∴6πϕ=，∴()sin(2)6x x f π=+，从而5()()sin 2()sin(2)3366g x f x x x ππππ⎡⎤=+=++=+⎢⎥⎣⎦.（2）对任意12,[0,] x x t ∈，，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题5()()sin(2)sin(2)3sin 266f xg x x x x ππ-=+-+=，易得其单调增区间为,()44k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-+，由于[]0,,()44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而4](0,t π∈， ∴实数t 的最大值为4π；22．（1）由翻折可知AMN NMA θ∠=∠'=，所以3BMA π'∠=，所以在Rt MBA '中，1122MB MA MA '==， 所以112MA MA AB +==，即23AM =． （2）由翻折可知AMN NMA θ∠=∠'=，2A MB πθ∠'=-，(2)222A MB πππθθ=--=-'∠，设MA MA x ='=，则1MB x =-，在Rt MBA '中，1sin(2)cos22xxπθθ--=-=，所以2111cos22sin MA x θθ===-因为点M 在线段AB 上，M 与B 不重合，A '与B 不重合， 所以42ππθ<<所以21,()2sin 42AM ππθθ=<<．（3）在AMN中，由AMN θ∠=，可得23ANM πθ∠=-，所以根据正弦定理得：2sin sin()3AN MAπθθ=- 所以21sin 12sin 22sin 2sin sin 33AN θθππθθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2132sin sin 2sin sin 32t πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2131sin 3sin cos sin 2cos2222θθθθθ==+- 1sin(2)26πθ=+- 因为42ππθ<<，所以52366πππθ<-<，当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时，t 有最大值32，所以AN 有最小值为23，即线段A N '有最小值为23．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案
（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水 千吨，求 的最小值，使得供水紧张现象消除.
18.（12分）已知函数 .
（1）求函数 最小正周期；
（2）若将函数 图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在区间 上的值域.
19.（12分）有如下数阵： ，其中第 个括号内的所有元素之和记为 .
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（）
A. B. C. D.
2.已知 ， ，那么下列命题正确的是（）
A. B. C. D.
（可能用到的公式与数据： ，其中 ， ， ）
21.（12分）在 中， 是角 的对边，且 .
（1）若 ，解这个三角形；
（2）我们知道，如果 是某个定圆的一条弦，点 在 分圆所得的优（劣）弧上运动，则 的大小确定.本题中，若 ，请结合 的外接圆，根据 的取值讨论 解的个数，并请说明 取何值时 的面积最大.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22题考生都必须作答.
17.（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）
【解析】
【分析】（1）设蓄水量为y，根据题意求出函数解析式，求解 即可；（2）当每小时向池内注水 千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于3求解a即可得a的最小值.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
9.若直线 与圆 相切，则 的值为（）
A.2B. C.1D.
10.设直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 （）
A. -1或1B. 1或5C. -1或3D. 3或5
11.若圆 与圆 的公共弦过圆C的圆心，则圆D的半径为（）
A. 5B. C. D.
12.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（）
即实数 的取值范围为 ；故选C．
【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，其中解答中把圆的一般方程与标准方程，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7. C
【解析】
【分析】
由体积桥可知 ，求解出 和高 ，代入三棱锥体积公式求得结果.
【详解】 为 中点
又 平面
本题正确选项：
10. B
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离为 求出a的值.
【详解】由题得圆的方程为 ，所以圆心为(-1,2),半径为 .
所以圆心到直线的距离为 .故选B
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，考查圆心到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11. D
【点睛】本题考查三棱锥体积 求解问题，关键是能够利用体积桥将所求三棱锥更换顶点，从而更容易求得几何体的高和底面积，属于基础题.
8. B
【解析】
【分析】
根据三视图复原几何体，结合题中数据，即可求得答案.
【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，
故几何体的表面积为 ，故选B.
22.(12分）已知点 ，圆 的方程为 ，点 为圆上的动点，过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ．
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
A. B. C. D.
10.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
11.若 ， ，则 等于（）
A. B. C. D.
12.若关于 的方程 有两个不同解，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
6.B
【解析】
【详解】由 ，得 ,
当 时，函数 单调递增，
函数 单调递增；
当 时，函数 单调递减，
函数 单调递减,选B.
点睛：解决对数函数综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
3.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
4.已知奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ，则 （）
A. B. C. D.
5.若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，正确的不等式是（）
A.①④B.②③C.①②D.③④
6.已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
因为 为 的中点， ，所以 .
又因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
（2）解：作 于点 ，则 是 的中点， ，且 ， 底面 .
连接 ，则 为 与底面 所成的角.
设 ，在 中， ， ，
所以 .
（3）解：作 ，垂足为 ，则 为 的中点，连接 ，则 ，所以 为所求二面角的平面角.
2020-2021学年天津市第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年天津市第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{M x y ==，{}220N x x x =-<，则MN =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x ≤<【答案】B【分析】首先根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合{}|1M x x =≤，解一元二次不等式求得集合{}|02N x x =<<，之后求交集得到结果. 【详解】由10x -≥，得1x ≤，所以{}|1M x x =≤， 由220x x -<，解得02x <<，解得{}|02N x x =<<， 所有{}|01M N x x =<≤，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有偶次根式有意义的条件，一元二次不等式的求解，集合的运算，属于简单题目.2．已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤ B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤【答案】B【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即00x ∃>，使得()001e 1xx +≤，故选：B3．已知函数ln 01()2(1),1x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．16ln2- B ．16ln2C ．8ln2-D ．32ln2-【答案】C【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案. 【详解】由题意可知，75312488ln 22222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C ．4．已知0.80.31212,log ,423a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【分析】利用对数函数的性质判定1b <,利用指数幂的运算化为同底数的幂后利用指数函数的性质可以判定1a c >>，从而得到结论. 【详解】0.80.80.40.301122211log log 1,24441322-⎛⎫===>= ⎪⎝⎭,b c a ∴<<,故选D.【点睛】本题考查利用指数、对数函数的性质比较大小问题，关键是熟练掌握和运用指数、对数函数的单调性.5．函数23sin ()x xx x x f x e e --=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性排除A,D,再根据(1)0f >，排除C 即得解. 【详解】解：根据题意，23sin ()x x x x x f x e e --=+，其定义域为R ，有23sin ()()x xx x x f x f x e e ---==+，则函数f (x )为偶函数，排除A ，D ， 3sin11(1)01f e e-=>+，排除C ， 故选：B ．【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证.6．某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类相同的选法有（ ）种 A ．180 B ．225 C ．200 D ．400【答案】A【分析】根据题意，分2步进行分析，利用分步乘法原理求解. 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①在六个门类中选出2类，作为甲乙共同选择的科目，有2615C =种选法，②甲乙从剩下的4类中，任选2个，有2412A =种选法， 则有15×12＝180种选法， 故选：A ．【点睛】方法点睛：排列组合的实际应用题常用的解法有：简单问题原理法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、小数问题列举法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法，要根据已知条件灵活选择方法求解.7．已知函数3223,0()1,0x x x x f x e x ⎧-<=⎨-≥⎩，对于实数a ，使2(3)(2)(0)f a f a f -->成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．31a -<< B ．10a -<< C ．31a -≤≤ D ．13a a <->或【答案】C【分析】先利用导数法判断()f x 在R 上是增函数，再将2(3)(2)(0)f a f a f -->，转化为2(3)(2)f a f a ->求解.【详解】当0x <时，()3223f x x x =-，则 ()()160f x x x '=->，所以 ()f x 是增函数，当0x ≥时，()1xf x e =-，()f x 是增函数，又()00f =，所以函数3223,0()1,0x x x x f x e x ⎧-<=⎨-≥⎩在R 上是增函数，因为2(3)(2)(0)f a f a f -->， 所以2(3)(2)f a f a ->，所以232a a ->，即2230a a +-<，解得31a -<<，所以使2(3)(2)(0)f a f a f -->成立的一个必要不充分条件是31a -≤≤， 故选：C8．已知函数(1)(),()1ln ,(1)xx f x g x kx k xx x ⎧<⎪==--⎨⎪≥⎩，则以下结论正确的是（ ） ①()f x 在R 上为增函数②当14k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 ③()f x 的值域为(1,)-+∞④若(1)(()())0x f x g x --≤，则[1,)∈+∞k . A ．①② B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D【分析】依题意画出函数图象即可判断①②③，利用导数求出切线方程，即可判断④； 【详解】解：对于①：当1x 时，()f x lnx =单调递增， 当1x <时，(1)11()1111x x f x x x x--+===-+---单调递增， 当1x -→时，()f x →+∞， 作出函数()f x 图像可得：所以()f x 在(,1)-∞，(1,)+∞时，单调递增，故①不正确； 对于②：当14k =时，11()44g x x =-过点(1,0)， 所以当1x 时，()f x 与()g x 有两个交点，当1x <时，令()()f x g x =，即11144x x x =--，解得1x =-， 此时()f x 与()g x 的交点为1(1,)2--，综上，()f x 与()g x 有三个交点， 即()()f x g x =有三个实数根，故②正确； 对于③：当x →-∞时，()1f x →-，结合图像可得()f x 的值域为(1,)-+∞，故③正确； 对于④：若(1)(()())0x f x g x --，则10()()0x f x g x -⎧⎨-⎩或10()()0x f x g x -⎧⎨-⎩，当1x 时，()()0f x g x -，即为lnx kx k -，()g x 恒过(1,0)点，设过(1,0)与()f x lnx =相切的切线的切点为0(x ，0)y ， 所以0000011k x y k x y lnx ⎧=⎪⎪⎪=⎨-⎪⎪=⎪⎩切切，解得01x =，01y =，1k =切，所以当1x 时，()()0f x g x -的k 的取值范围为[1，)+∞， 当1x <时，()()0f x g x ->，即1xkx k x>--， 设过点(1,0)与1()1f x x=-相切的切线的切点为1(x ，1)y ， 22(1)(1)1()(1)(1)x x f x x x ---'==--， 所以21111111(1)11k x y k x x y x ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪=⎪-⎩切切，解得11x =-，14k =切，所以当1x <时，()()0f x g x ->的k 的取值范围为1[4，)+∞， 综上所述，k 的取值范围为[1，)+∞，故④正确． 故选：D ． 二、填空题9．已知复数z 满足1i21iz +-=-(i 为虚数单位)，则||z =___________.【分析】先对复数化简，求出z ，再求z【详解】解：由1i21iz +-=-，得222(1i)12i+i 222i (1i)(1+i)1i z ++=+=+=+--，所以z =10．函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为 _________ 【答案】1-【分析】求出导函数，根据()10f '=即可求解. 【详解】()1af x x'+＝，故答案为：1-【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，解题的关键是求出导函数，属于基础题. 11．8)y -的展开式中，26x y 项的系数是___________. 【答案】56【分析】写出展开式通项公式，然后由未知数的指数求得所在项数后可得结论． 【详解】解：)8y -的展开式中，通项公式为8618(1)rr r r r r T C x y --+=⋅-⋅⋅⋅， 令6r =，可得26x y 项的系数是68256C ⋅=.故答案为：56．12．已知定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()2x f x =，则23(log )(2018)16f f +=___________. 【答案】76【分析】依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得23log 16f ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2018f ，进而可得到结果.【详解】函数()f x 满足：()()11f x f x +=， 可得：对x R ∀∈，都有()()()121f x f x f x +==+，∴ 函数()f x 的周期2T =.∴ ()()()()2log 2223123112log log 34log 3163132log f f f f -⎛⎫=-==== ⎪-⎝⎭， 由()()11012f f ==得()()1201802f f ==， ∴()23217log 201816326f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：76.【点睛】结论点睛：定义在R 上的函数()f x ，若存在非零常数a ，使得对x R ∀∈，都有1()()f x a f x +=，则函数()f x 的周期2T a =. 13．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==22a b =+=. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14．若函数32()33x f x x x m =---在区间[2,6]-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】25,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数可求得()f x 在[2,6]-上的单调性､极值和最值，由零点个数可确定()f x 大致图象，由此可得不等关系，解不等式可求得结果. 【详解】∵2()23(1)(3)f x x x x x ==+'---，∴当[2,1)(3,6]x ∈--时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<； ∴()f x 在[2,1),(3,6]--上单调递增，在(1,3)-上单调递减，又25(2),(1),(3)9,(6)1833f m f m f m f m -=---=-=--=-，显然(3)(2)f f <-，(6)(1)f f >-，则()f x 在区间[2,6]-有三个不同的零点，则其大致图象如下图所示：∴25033m m --≤<-，解得2533m -≤<，即实数m 的取值范围为25,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：25,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由()0f x =分离变量得出()a g x ，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 三、解答题15．某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E ξ.【答案】（1）恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为（2） 2 34P25815115【详解】解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的,则其概率为1142268().15C C P A C == ………4分答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 ………5分（2）随机变量24262(2);5C P C ξ=== ……7分1142268(3);15C C P C ξ=== ………9分22261(4);15C P C ξ=== ………11分∴随机变量的分布列为 2 34P25815115∴2818234.515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ……14分16．已知函数32(),f x x x x a =-+++,3()2 (,)g x a x x R a R =-∈∈（1）求函数()f x 的单调区间; （2）求函数()f x 的极值;（3）若任意[]0,1x ∈,不等式()()g x f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为1(,1),3-单调减区间为1(,)(1,)3-∞-+∞，； （2）极小值为，极大值为；（3）[2,+∞）【详解】试题分析：（1）先求出()f x 的定义域，然后求，再分别令去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数()f x 的极值，（3）由题意知[]0,1x ∀∈，3322a x x x x a -≥-+++恒成立，整理得2a x x ≥+，然后构造函数2()h x x x =+，求其最大值即可．试题解析：（1）32(),f x x x x a =-+++定义域为R ．2()321,f x x x =-++＇令2()321=0f x x x =-++＇， 令121, 1.3x x =-= 令()0f x >＇，得113-<<x ， ()0f x <＇，得1, 1.3x x -或所以函数()f x 的单调增区间为1(,1),3-单调减区间为1(,)(1,)3-∞-+∞，（2）由（1）可知，当13x =-时，函数()f x 取得极小值，函数的极小值为15()327f a -=-当1x =时，函数()f x 取得极大值，函数的极大值为(1)1=+f a（3）若[]0,1x ∀∈,不等式()()g x f x ≥恒成立，即对于任意[]0,1x ∈,不等式2a x x ≥+恒成立，设2()h x x x =+，[]0,1x ∈，则()21h x x =+＇ []0,1x ∈，()210h x x ∴=+>＇恒成立， 2()h x x x ∴=+在区间[]0,1上单调递增，max [()](1)2h x h ∴==2,a ∴≥ ∴a 的取值范围是[2,+∞）【解析】利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,,2,3ABC AC BC AC BC CC ⊥===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1,2AD CE ==，M 为棱11A B 的中点.（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求平面1B ED 与平面1BEB 的夹角余弦值； （3）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2（3【分析】首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标. （1）利用直线的方向向量的数量积为零即可证明；（2）先求得两平面的一组法向量的坐标，利用两平面的法向量所成的角的余弦值公式求得，注意平面与平面所成的角的概念，得到两平面所成的角的余弦值；（3）利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦的绝对值即为线面所成角的正弦值求得．【详解】解：依题意，以C 为原点，分别以,CA ,CB 1CC 的方向为,x ,y z 轴，建系如图， 得(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,3)C ，1(2,0,3)A ，1(0,2,3)B ，(2,0,1)D ，(0,0,2)E ，(1,1,3)M ．（1）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=， 所以11C M B D ⊥．（2）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，取(1,1,2)n =-．因此有6cos ,6||CA n CA n CA n ⋅〈〉==||，所求平面1B ED 与平面1BEB （3）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（２）知(1,1,2)n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅〈〉==-．所以，AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直，求面面所成的角和线面所成的角的有关问题，属中档题，关键是掌握平面的法向量的求法和向量夹角的余弦值公式，准确进行向量的数量积的坐标运算余弦值． 18．已知函数21()2x f x e x ax =--（1）若函数()f x 的图像在0x =处的切线方程是2y x b =+，求a ，b 的值； （2）若函数()f x 在R 上是单增函数，求实数a 的取值范围；（3）如果21()()2g x f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点12,x x ，证明：12ln 22x x a +<. 【答案】（1）1,1a b =-=；（2）1a ≤；（3）证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求解，由题意可得(0)12f a =-='，可求出a ，由(0)1f =可求出b 的值；（2）由函数()f x 在R 上是单增函数，可得0x e x a --≥恒成立，即x a e x ≤-恒成立，构造函数()x h x e x =-，利用导数求出其最小值即可；（3）由12,x x 是函数()g x 的两个不同极值点(不妨设12x x <)，当0a ≤时可判断出函数不存在两个极值点，所以0a >，则112220,20x xe ax a e ax a --=--=，两式相减可得12122x x e e a x x -=-，所以要证明12ln 22x x a +<，即证明1212212x x x xe e e x x +-<-，两边同除以2ex ，即证12122121x x x e x ex x ---<-，即证()12212121x x x x x e e x -->--，即证()121221210x x x x x x e e ----+>，令12,0x x t t -=<，则210xx te e -+>，然后构造函数利用导数证明即可 【详解】（1）∵()x f x e x a '=--，∴(0)1f a '=-. 于是由题知12a -=，解得1a =-. ∴21()2x f x e x x =-+，∴(0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =. 即1,1a b =-=.（2）由题意()0f x '≥即0x e x a --≥恒成立，∴x a e x ≤-恒成立. 设()x h x e x =-，则()1x h x e '=-.∴min ()(0)1h x h ==，∴1a ≤.（3）由已知222211()22xx g x e x ax ax x e ax ax =---+=--. ∴()2x g x e ax a '=--.∵12,x x 是函数()g x 的两个不同极值点(不妨设12x x <)，若0a ≤时，()0g x ''>，即()'g x 是R 上的增函数，()g x 至多有一个极值点与已知矛盾 ∴0a >，且()10g x '=，()20g x '=.∴112220,20x xe ax a e ax a --=--=. 两式相减得：12122x x e e a x x -=-，于是要证明12ln 22x xa +<，即证明1212212x x x xe e ex x +-<-， 两边同除以2ex ，即证12122121x x x e x ex x ---<-，即证()12212121x x x x x e e x -->--，即证()121221210x x x x x x ee ----+>，令12,0x x t t -=<.即证210xx te e -+>不等式，当0t <时恒成立.设2()1xx t te e ϕ=-+，∴222221()11222x x x x xt t t t e t e e e e e e ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅-=+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭'⎭⎣'⎝⎦.∵由（2）知212t t e >+，即2102tt e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，∴()0t ϕ'<.∴()0t ϕ>，得证∴12ln 22x xa +<.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式问题，解题的关键是由()10g x '=，()20g x '=得12122x xe e a x x -=-，所以将不等式转化为1212212x x x x e e ex x +-<-，化简变形后得()121221210x x x x x x e e ----+>，令12,0x x t t -=<.即证210x xte e -+>不等式，当0t <时恒成立，构造函数2()1x x t te e ϕ=-+利用导数证明即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题。
天津市第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(PDF版,含答案)
设过点（1，0）不 f（x）＝ 相切的切线的切点为（x1，y1），
f′（x）＝
＝
，
所以
，解得 x1＝﹣1，k 切＝ ，
所以当 x＜1 时，f（x）﹣g（x）＞0 的 k 的取值范围为[ ，+∞），
综上所述，k 的取值范围为[1，+∞），故 D 正确． 故选：BCD．
二、填空题：
9． z 5
10．－1
）
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． b c a
5．函数
f
(x)
3x sin x x2 ex ex
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
6．某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架
雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类
先利用导数法判断 f x 在 R 上是增函数，再将 f (3 a2) f (2a) f (0) ，转化为
f (3 a2) f (2a) 求解.
【详解】
当 x 0 时， f x 2x3 3x2 ，则 f x 6x x 1 0 ， 所以 f x 是增函数， 当 x 0 时， f x ex 1 ， f x 是增函数， 又 f 0 0，
相同的选法有（ ）种
A． 180
B． 225
C． 200
D． 400
7．已知函数
f
(x)
2x3 3x2, x ex 1, x 0
0 ，对亍实数 a ，使
f
(3 a2)
f
(2a)
f
(0) 成立的
一个必要丌充分条件是（ ）
2020-2021学年高一数学下学期期末满分冲刺全真模拟卷 含答案
2020-2021学年高一数学下学期期末满分冲刺全真模拟卷01一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设x ∈R ，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），且a →∈b →，则|a →+b →|＝（ ）AB ．2C D ．5【答案】A 【分析】由向量共线求得未知数x ，根据模长的坐标表示求得即可. 【详解】解：根据题意，向量a →＝（x ，1），b →＝（1，﹣2），若a →∈b →，则﹣2x ＝1，解可得x ＝﹣12，则a →＝（﹣12，1），故a →+b →＝（12，﹣1），则|a →+b →|，故选：A ．2．为了得到函数2sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象，只需把函数sin y x x =的图象（ ） A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位【答案】C 【分析】逆用两角差的正弦公式将sin y x x =化为一个角的三角函数，再根据平移法则判断即可. 【详解】1sin 2sin 2sin cos cos sin 2sin 22333y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故将其向左平移2π个长度单位可得2sin 2sin 236y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：解决此类问题的方法是将原函数化为与目标函数同名的一个角的三角函数，再根据三角函数图象的变换法则求解.3．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8010030a b A ===︒，，，则B 的解的个数是（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．不确定【答案】A 【分析】通过正弦定理求得5sin 8B =，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可. 【详解】 由正弦定理知，sin sin a bA B =，即 80100sin 30sin B =，解得5sin 8B =，又(0,)B π∈，由三角函数性质知角B 由两个解， 当角B 为锐角时，满足A B π+<，即存在；当角B 为钝角时，cos B =51sin()0828216B A ⎛+=⨯+-⨯=> ⎝⎭， 则满足A B π+<，即存在；故有两个解. 故选：A 【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况.4．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为43,54，那么两人中恰有一人通过的概率为（ ） A ．35B ．15C ．14D ．720【答案】D由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过. 【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为41137545420P =⨯+⨯=. 故选：D.5．在长方体1111ABCD A BC D -中，已知棱长1AB =，体对角线1AC =1C D 与1A A 所成的角为45°，则该长方体的表面积是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【答案】C 【分析】推导出11AA AB ==2BC =，由此能求出该长方体的表面积.【详解】∈在长方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1C D 与1A A 所成的角为45°， ∈1C D 与1C C 所成的角为45°，即145C CD ∠=︒，∈11=C C C D ，∈11AA AB ===2BC =，∈该长方体的表面积是：()11112ABB A ABCD BCC B S S S S =++矩形矩形矩形 2(212111)=⨯+⨯+⨯=10.故选：C6．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD是边长为ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【答案】C 【分析】设底面正三角形的外心为G ，侧面三角形ABD 的外心为H ，过G 作底面垂线，过H 作侧面ABD 的垂线，相交于O ，从而可得O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，利用勾股定理求出OH ，再利用正弦定理求出ABD △的外接圆半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设底面正三角形的外心为G ，侧面三角形ABD 的外心为H ，过G 作底面垂线，过H 作侧面ABD 的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，由已知可得1OH GE ===，1sin 2ABD ∠==，设三角形ABD 的外接圆的半径为r ，则2212r =，即2r ．在Rt BHO 中，可得22225R BO OH BH ==+=， ∈该几何体的外接球的表面积为2420R ππ=． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考外接球查了多面体的外接球问题，解题的关键是作出外接球的球心，求出外接球的半径，考查了空间想象能力以及数学运算能力.7．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[]40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．可求得0.005a =B ．这200名参赛者得分的中位数为64C ．得分在()60,80之间的频率为0.5D ．得分在()40,60之间的共有80人【答案】B 【分析】利用直方图的面积之和为1求出a 的值，可判断A 选项的正误；利用频率分布直方图计算中位数，可判断B 选项的正误；利用频率分布直方图可判断CD 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于直方图的面积之和为1，则100.350.30.20.11a ++++=，解得0.005a =，A 选项正确；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为0.050.350.40.5+=<，前三个矩形的面积之和为0.050.350.30.70.5++=>，设中位数为x ，则()60,70x ∈，则()0.4600.030.5x +-⨯=，解得63.33x ≈，B 选项错误；对于C 选项，得分在()60,80之间的频率为0.30.20.5+=，C 选项正确； 对于D 选项，得分在()40,60之间的人数为()0.050.3520080+⨯=，D 选项正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法 （1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，=⨯频率频率组距组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． （4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．8．如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（ ）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【答案】B 【分析】由题设有AD AB ⊥、//AB DC ，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴构建直角坐标系，则C ，设(,)M x y ，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值.【详解】由题意知：222AB AD BD +=，有AD AB ⊥且3ABD π∠=，即//AB DC ， ∈以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴构建直角坐标系，设点(,)M x y ，且满足y ，点C ，∈2(2)(45AM CM x x y y x x ⋅=-+=-，其中01x ≤≤，当58x =时，AM CM ⋅的最小值为2516-，故选：B ． 【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设(,)M x y 且在y =上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得3分，多选、错选不得分。
2020-2021学年天津市西青区杨柳青一中高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市西青区杨柳青一中高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣22．（5分）在△ABC中，若且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．3．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa24．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．2πC．D．π5．（5分）已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A．B．a＝3C．或a＝3D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．7．（5分）已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（）A．若l∥m，则l∥αB．若l⊥m，则l⊥αC．若l∥α，则l∥m D．若l⊥α，则l⊥m8．（5分）点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN 与CM交于点P，若，，则的值为（）A．B．C．D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则•＝．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．12．（5分）边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．14．（5分）如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝米．15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若，求实数m的值：（2）若，求实数m的值．17．（12分）复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z．（1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部；（2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围；（3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值．18．（14分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且b sin C+2c sin B cos A ＝0．（1）求∠A大小；（2）若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S的大小．19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝P A＝2，P A⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面P AB；（3）求BE与平面P AC所成的角．20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC．（1）用向量，表示；（2）若AB＝2，BD＝，求BC的长；（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣2【分析】根据复数的运算法则先进行化简，结合虚部的定义进行求解即可．【解答】解：＝＝＝2﹣2i，则复数z的虚部为﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则是解决本题的关键．2．（5分）在△ABC中，若且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据数量积和角A的度数，求得bc＝；再代入三角形的面积计算公式即可．【解答】解：因为在△ABC中，若且∠BAC＝30°，∴c•b•cos A＝2⇒b•c×＝2⇒bc＝；∴△ABC的面积为：bc sin A＝××＝；故选：C．【点评】本题主要考查数量积的应用以及解三角形的有关知识，属于基础题目．3．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2＝6a2，代入球的表面积公式，S＝4πR2，即可得到答案．球【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．4．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．2πC．D．π【分析】根据圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为60°求出母线的长，把圆锥沿着母线P A剪开后再展开，得到一个以P A为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，则展开后扇形的面积即为圆锥的侧面积．【解答】解：如图，O为圆锥底面圆的圆心，圆锥的底面半径OA＝1，母线P A与底面所成的角为∠P AO＝60°，则P A＝2，该圆锥的侧面展开图为以P A为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，如图，则展开后扇形的弧长l＝2π•OA＝2π，所以，展开后扇形的面积为S＝×l•P A＝×2π×2＝2π．即圆锥的侧面积为2π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，圆锥的侧面积就是把圆锥沿着一条母线剪开后再展开得到的扇形面积，圆锥的母线是所得扇形的半径，圆锥的底面圆的周长是所得扇形的弧长，另外对于扇形面积公式的记忆可模仿三角形面积公式的记法，此题是中低档题．5．（5分）已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠A＝60°，b＝2，若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（）A．B．a＝3C．或a＝3D．【分析】根据题意求出b sin A＝3，然后数形结合可得a的范围．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，b＝2，∴由正弦定理可得b sin A＝2×＝3，∵这样的三角形有且只有一个，∴a＝3或a≥2．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】解．由正弦定理得，即，即，也即，故，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．（5分）已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，（）A．若l∥m，则l∥αB．若l⊥m，则l⊥αC．若l∥α，则l∥m D．若l⊥α，则l⊥m【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，l与α相交、平行或l⊂α；对于C，l与m平行或异面；对于D，由线面垂直的性质得l⊥m．【解答】解：由平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α，知：对于A，若l∥m，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若l⊥m，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，若l∥α，则l与m平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、应用意识等核心素养，是中档题．8．（5分）点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：以CA，CB为x，y轴，建立直角坐标系，如图：点G为△ABC的重心，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得A（，0），B（0，1），则G（，），＝（，），＝（﹣，）则＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，善于利用平面向量的一些常见结论是求解本题的关键．9．（5分）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN 与CM交于点P，若，，则的值为（）A．B．C．D．6【分析】用，作为基底分别表示，根据平面向量基本定理，求出λ，μ，即可得到结论．【解答】解：由题意，＝＝＝+＝根据平面向量基本定理，可得，∴∴＝6故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则•＝0．【分析】利用向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．【解答】解：向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，可得＝5，1+2•+4＝5，则•＝0．故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【分析】求两条异面直线AB1与BC1所成角，只要连结AD1，即可证明AD1∥BC1，可得∠D1AB1为两异面直线所成的角，在三角形D1AB1中可求解．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1＝60°．故答案为60°．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，此题是中档题．12．（5分）边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积之比求解即可．【解答】解：正方形的边长，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系是，故直观图的面积为＝．故答案为：．【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用，解题的关键是掌握，属于基础题．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的中点，则三棱锥B1﹣ADE的体积为．【分析】由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥B1﹣ADE的体积＝三棱锥D﹣B1AE的体积＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥B1﹣ADE的体积，正确转换底面是关键．14．（5分）如图：为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得CD＝200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝200米．【分析】设AB＝h，则BC＝h，BD＝h，△BCD中，由余弦定理，可得方程，即可求塔高AB．【解答】解：设AB＝h，则BC＝h，BD＝h，△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理，可得40000＝h2+3h2﹣2h•h•，∴h＝200，即AB＝200米．故答案为：200．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，，AB＝AD＝2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为．【分析】由平面向量的线性运算得：＝+＝+（1﹣λ），＝＝，由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，又＝2，＝||2＝3，可得：3λ2﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以，得解．【解答】解：由图可知：＝+＝+（1﹣λ），＝＝，又，所以[+（1﹣λ）]•（）＝﹣2，所以2+λ（1﹣λ）＝﹣2，又＝2，＝||2＝3，可得：3λ2﹣5λ+2＝0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若，求实数m的值：（2）若，求实数m的值．【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，计算求得结果．（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，计算求得结果．【解答】解：（1）∵，，∵，∴﹣3m＝﹣1﹣m，解得．（2）∵，∵，∴，解得．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题．17．（12分）复平面内表示复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m﹣3）i的点为Z．（1）当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部；（2）当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围；（3）当点Z位于直线y＝x上时，求实数m的值．【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）分别由实部小于0且虚部大于0或实部大于0且虚部小于0求解不等式组得答案；（3）由实部与虚部相等列式求解．【解答】解：（1）当m2﹣2m﹣3＝0且m﹣3≠0，即m＝﹣1时，复数Z是纯虚数，虚部为﹣4；（2）由题意，或，解得当m＜﹣1，即m＜﹣1时，点Z位于二、四象限；（3）当m2﹣2m﹣3＝m﹣3，即m＝0或m＝3时，点Z位于直线y＝x上．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．18．（14分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，且b sin C+2c sin B cos A ＝0．（1）求∠A大小；（2）若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S的大小．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边，转化为角的正弦，化简整理求得cos A的值，进而求得A．（2）利用正弦定理求得sin C的值，进而求得C，利用三角形内角和求得B，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵b sin C+2c sin B cos A＝0．∴sin B sin C+2sin C sin B cos A＝0∴sin B sin C（1+2cos A）＝0∵sin B≠0，sin C≠0，∴1+2cos A＝0，cos A＝﹣，∴A＝．（2）∵＝∴sin C＝•sin A＝×＝，∴C＝，∴B＝π﹣＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×2×2×＝【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，三角函数恒等变换等知识．要求对三角函数常用公式能熟练记忆．19．（18分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝P A＝2，P A⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面P AB；（3）求BE与平面P AC所成的角．【分析】（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．【解答】解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME＝CD．又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴ME∥FB，且ME＝FB．∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥P A．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵P A∩AB＝A，∴DF⊥平面P AB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面P AB．（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥平面P AC．∴OB⊥OE，即OE是BE在平面P AC上的射影．∴∠BEO是BE与平面P AC所成的角．∵O，E，分别是中点，∴OE＝AP＝1，OD＝＝＝1，∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO＝45°，即BE与平面P AC所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．20．（19分）如图：在△ABC中，b2＝a2+c2﹣ac，点D在线段AC上，且AD＝2DC．（1）用向量，表示；（2）若AB＝2，BD＝，求BC的长；（3）若AC＝2，求△DBC的面积最大值．【分析】（1）由平面向量的线性运算法则，可得解；（2）先由余弦定理求得cos B＝，再由||2＝（+）2，根据平面向量的数量积运算，得关于BC的方程，解之即可；（3）易知sin B＝，由b2＝a2+c2﹣ac，结合基本不等式，知ac≤3，而S△BCD＝S＝•ac•sin B，得解．△ABC【解答】解：（1）＝+＝+＝+（﹣）＝+．（2）∵b2＝a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cos B＝＝＝，由（1）知，＝+，∴||2＝（+）2＝+•cos B+，∴＝×4+×2××+，即3+2﹣33＝0，解得＝3或﹣（舍负），∴BC的长为3．（3）∵，∴，由，∴ac≤3，当且仅当a＝c＝时，取等号，∵AD＝2DC，∴，∴△DBC的面积最大值为．【点评】本题考查解三角形与平面向量的综合，熟练掌握余弦定理、三角形面积公式和平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。