高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
A.－153
5 B.13
√C.－152
高三数学一轮复习
第四章 三角函数、解三角形
4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1 .
余弦
cos α
－__c_o_s_α_ _c_o_s__α_ _－__c_o_s_α_ __s_i_n_α__
_－__s_in__α_
正切
tan α
__ta_n__α_ _－__ta_n__α_ －tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【概念方法微思考】 1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
B.－15
5 C.13
解析 因为 tan α＝－152，所以csoins αα＝－152，
所以 cos α＝－152sin α， 代入 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin α＝±153，
又 α 是第四象限角，所以 sin α＝－153.
√D.－153
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 67
7.已知
cos
α＝15，－π2<α<0，则tanα＋cπoscoπ2s＋－ααtan
的值为 α
6 12
.
解析 ∵－π2<α<0，
∴sin α＝－ 1－512＝－25 6， ∴tan α＝－2 6.
则
cosπ2＋α
tanα＋πcos－αtan
∴sin
θ－cos
θ＝－
2 3.
1 2 3 4 5 67
6.(2018·成都诊断)已知 α 为锐角，cos32π＋α＝45，则 cos(π＋α)＝ －35
.
解析 ∵cos32π＋α＝sin α＝45，且 α 为锐角，
∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35.
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.
2.诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？ 提示 所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口 诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1 2 3 4 5 67
sin α＋cos α
3.[P22B 组 T3]已知 tan α＝2，则
的值为 3 .
sin α－cos α
tan α＋1 2＋1
解析 原式＝
＝ ＝3.
tan α－1 2－1
1 2 3 4 5 67
4.[P28T7]化简scions52απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 －sin2α . 解析 原式＝csoins αα·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
解得tan α＝3，
又 α 为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故 sin α＝31010.
(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos
x＝－
1 5.
①求sin x－cos x的值；
解 由已知，得 sin x＋cos x＝15， 两边平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215，整理得 2sin xcos x＝－2245. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295，
跟踪训练 1 (1)已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边
在直线 3x－y＝0 上，则sisnin32ππ2＋－θθ＋－2sicnosπ－π－θθ＝
3 2
.
解析 由已知得tan θ＝3，
∴sisnin32ππ2＋－θθ＋－2sicnosπ－π－θθ＝－ccooss
2.已知 tan(α－π)＝34，且 α∈π2，32π，则 sinα＋π2等于
4 A.5
√B.－45
3 C.5
思维升华
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、 结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
跟踪训练 2 (1)(2018·唐山模拟)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ＝－2 2，
则 sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－ 2cos2θ 等于Biblioteka 解析tan 原式＝
αcos
αsin－2π＋α＋π2
cos3π＋α[－sin3π＋α]
tan ＝
αcos
αsinπ2＋α＝tan
αcos
αcos
α
－cos αsin α －cos αsin α
＝－tansαincoαs
α＝－csoins
α cos α·sin
由－π<x<0知，sin x<0，
又 sin xcos x＝－2152<0，∴cos x>0，∴sin x－cos x<0， 故 sin x－cos x＝－75.
sin 2x＋2sin2x
②求
的值.
1－tan x
sin 2x＋2sin2x 2sin xcos x＋sin x
解
＝ 1－tan x
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan
α＝
sin cos
α α
恒成立.(
×
)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × )
(4)若sin(kπ－α)＝
1 3
(k∈Z)，则sin
α＝
1 3
.(
×
)
1 2 3 4 5 67
题组二 教材改编 2.[P19 例 6]若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α＝ －12 . 解析 ∵π2<α<π， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5， ∴tan α＝csoins αα＝－12.
3.若角 α 的终边落在第三象限，则 cos α ＋ 2sin α 的值为 1－sin2α 1－cos2α
A.3
√B.－3
C.1
D.－1
解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，
故原式＝|ccooss αα|＋2|ssiinnαα|＝－cocsosαα＋－2ssiinnαα＝－1－2＝－3.
4.已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α 等于
√A.－1
B.－
2 2
2 C. 2
D.1
sin α－cos α＝ 2， 解析 由
sin2α＋cos2α＝1，
消去 sin α，得 2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
即(
2cos
α＋1)2＝0，∴cos
α＝－
解析 ∵f(α)＝ 1＋sin2α＋sin α－cos2α
2sin αcos α＋cos ＝
2sin2α＋sin α
α cos ＝ sin
α1＋2sin α1＋2sin
αα＝tan1
α，
∴f
－236π＝tan－1 263π＝tan－14π＋π6＝tan1
这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3) 注 意 公 式 逆 用 及 变 形 应 用 ： 1 ＝ sin2α ＋ cos2α ， sin2α ＝ 1 － cos2α ， cos2α ＝ 1 －
sin2α.
师生共研
题型二 诱导公式的应用
sinkπ＋α coskπ＋α 例 1 (1)已知 A＝ sin α ＋ cos α (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是
2022届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2三角函数的同角关系诱导公式课件理北师大版 (1
13
所以cos α=-
1－sin2=- 1 5 3
,tan α= sin ＝ 12 .
cos 5
方法二:看到sin α=- 1 2 ,想到勾股数5,12,13,
13
所以cos α=± 5 ,tan α=± 1 2 ,因为α为第三象限角,
13
5
所以tan α>0,tan α= 1 2 .
5
答案: 1 2
(2)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不
2
变指函数名称的变化.
(3)给角求值的基本原则
负化正,大化小,化到锐角为终了.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos2β=1. ( )
(2)若α∈R,则tan α= s i n 恒成立. ( )
4
6
= 3tan2(2)3tan(67）
4
6
= 3
【结论】求三角函数值时,熟练运用勾股数解3,4,5;5,12,13;7,24,25等.
【典例】已知sin α=- 1 2 ,且α为第三象限的角,则tan α=
13
金榜导学号
. 世纪
【解析】方法一:因为sin α=- 1 2 ,α为第三象限的角,
【易错点索引】
【教材·基础自测】
1.(必修4P23练习2T3改编)已知sin(π+α)= 1
A.- 1
3
B. 1
C.- 1 或 1
3
3
3
3
,则sin(π-α)=
D. 1
4
()
【解析】选A.由sin(π+α)= 1 ,得sin α= 1 ,
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
2017年新课标版高考数学大第四章 三角函数 4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件 理
(1) cos（π
－α）sin（3π
－α）sin（－π
－α）sin（9π2
. ＋α）ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】 (1)原式＝ （－sinα）（－cosα）（－sinα）（－sinα）
（－cosα）·sinα·sinα·cosα ＝－tanα. 【答案】 －tanα
(2)若k∈Z，化简：sin[（skin＋（1k）ππ－＋α）α]··ccooss（[（kkπ＋＋1）α）π －α].
对称性 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称
关于y＝x对称
诱导公式
2kπ ＋α
－α
π ＋α
π －α
π 2
－α
π 2
＋α
sin sinα －sinα －sinα sinα
cosα
cosα
cos cosα cosα －cosα －cosα
sinα
－sinα
tan tanα －tanα tanα －tanα
例2 (1)已知sinα ＝13，且α为第二象限角，求tanα . (2)已知sinα ＝13，求tanα . (3)已知sinα ＝m(m≠0，m≠±1)，求tanα .
【解析】 (1)∵sinα＝13，且α是第二象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－
∴tanα＝csoinsαα＝－
2 4.
∴cosθ－sinθ＝－
（cosθ－sinθ）2＝－
3 2.
【答案】
－
3 2
(2)已知α是三角形的内角，且sinα ＋cosα ＝15，则
cos2α
1 －sin2α
＝________．
【解析】 由sinα＋cosα＝15，可求得sinα－cosα＝75. ∴cos2α－1 sin2α＝（cosα－sinα）1（cosα＋sinα）＝ 15×（1－75）＝－275. 【答案】 －275
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理
[探究 3] 在本例(3)的条件下，求 sin2α＋2sin αcos α 的值． 解：sin2α＋2sin αcos α＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α ＝tan12＋α＋ta2nt2aαn α＝1196＋－19836＝－285.
第十五页，共29页。
(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化， 利用csions αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．
第七页，共29页。
[典题 1] (1)(2015·福建高考)若 sin α＝－153，且 α 为第四
象限角，则 tan α 的值等于( )
A.152
B．－152
C.152
D．－152
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
(3)已知 α 为三角形的内角，且 sin α＋cos α＝15，则 tan α
第二十二页，共29页。
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式 化成单角三角函数；③整理得最简形式． (2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可 能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
第二十三页，共29页。
1．已知 sinα＋1π2＝13，则 cosα＋71π2的值为________．
第二十五页，共29页。
解：(1)f(α)＝sintαa－nπ－2·αco－sπ32π·s＋inα－·taαn－ππ－ α
＝－cos－αta·sninαα··si－n αtan α＝－cos α.
(2)∵cosα－32π＝15，∴－sin α＝15，从而 sin α＝－15.
福建高考数学复习三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理新人教A版
2. “1”的灵活代换:1=cos 2 α+sin2 α=(sin α+cos α)2 -2sin αcos α=tan4 .
π
-11考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)已知2sin αtan α=3,则cos α的值是( 1 3 1 A. -1由已知得 B. -22α=3cos α, C. 4 D. 2 (1)D 2sin ∴2cos2α+3cos α-2= 4 0,(cos α+2)(2cos α-1)=0. (2)已知 tan α=-3. 又∵cos α∈[-1,1], sin������-4cos������ 1 ∴cos α ≠ ,故选 ①求 -2,∴cos α= 的值 ; D. 2
2√5 5
3π +������ 2
C. ±
2√5 5
D.
√5 2
(2)设 f (α)= f 23 π 6
2sin (π +������ )cos (π -������ )-cos (π + ������ ) -si n 2 2 +������
π
1+si n 2 ������ +cos
√2
)
C. 2
√2
D.1
(2)若 sin θ,cos θ 是方程 4x2 +2mx+m=0 的两个根, 则 m 的值为 ) A.1+√5 C.1±√5
答案: (1)A
B.1-√5 D. -1-√5
(2)B
-15考点1 考点2 考点3
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α=√2, 所以(sin α-cos α)2=2, 所以 sin 2α=-1. 因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π), 所以 2α= . 所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式文
1 【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 文
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sin αcos α＝tan α. 2．下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
图示 错误！未找到引用源。 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称
角 π－α π2－α π2＋α
图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称
3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 2
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( ³ )
(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ³ ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ³ ) (4)六组诱导公式中的角α可以是定义域内的任意角．( √ )
(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )
1．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝ . 答案 －1213 解析 ∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin2α＝－1213. 2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴2sin θcos θ＝79. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29， ∴sin θ－cos θ＝23或－23. 又∵θ∈0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23. 3．已知sin(π－α)＝log814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 ． 3
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
【解】(1)原式=
2tan������-3 4tan������-9
=
2×2-3 =-1. 4×2-9
(2)∵ sin2α+cos2α=1, ∴ 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α
4sin2 α-3sin������cos������-5cos2 α = sin2 α+cos2 α 4tan2 α-3tan������-5 = tan2 α+1
sinα 把正切化成正弦、余弦. cos������
(2)和积转换法:利用(sinθ± cosθ)2=1± 2sinθcosθ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =….
4
2.下面各角的终边与角 α 的终边的关系
角 2kπ+α(k∈Z) π+ α -α
12 5
.
【解析】∵ sinα,cosα 是方程 5x2-7x+m=0 的两根, ∴ sinα+cosα= ,sinα·cosα= ,把等式 sinα+cosα= 两边平方,得 1+2sinαcosα= ,即 1+ m= ,∴ m= .
49 25 2 5 49 25 12 5 7 5 ������ 5 7 5
=
4×4-3×2-5 =1. 4+1
这是一组在已知 tanα=m 的条件下,求关于 sinα,cosα 的齐次式之值 的问题,解这类问题需注意: (1)齐次指的是关于 sinα,cosα 的齐次式或能化为齐次式的三角函数式; (2)由 cosα≠0,可用 cosα 除,这样可以将被求式化为关于 tanα 的表达式, 代入 tanα=m 即可.
高考数学第一轮基础复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
8 解法 2：设 tanα1＝ ，α1 为锐角， 15 8 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝ ， 15 设 AC＝8，BC＝15，则 AB＝17， 8 ∴sinα1＝ ， 17
8 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝ . 17 解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， sinα 8 又 tanα＝ ＝－ ， 由勾股数组 8,15,17 知排除 A， cosα 15 ∴选 C.
π ∴θ∈2，π，∴sinθ>0，cosθ<0，
∴|sinθ|>|cosθ|，∴|tanθ|>1，即
π 3π θ∈2， 4
∴tanθ<－1，∴tanθ＝－ 3，故应选 C.
答案：C
3－1 点评：本题中由 sinθ＋cosθ＝ 两边平方扩大了 2 θ 的取值范围会引起增解，必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ＋ π cosθ<1 得出 <θ<π， 进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ 2 3 ＝－ ，故变换时必须要等价，使用不等价变换时，一 3 定要检验．
第 二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
重点难点 重点：①掌握同角三角函数的关系公式． π ②掌握－α，π±α，2π－α， ± α 的诱导公式． 2 难点：诱导公式的规律性及综合运用．
知识归纳 1．同角三角函数的基本关系
1； (1)倒数关系：tanα· cotα＝__
sinα (2)商数关系： ＝_____； cosα tanα
[例 2]
解题技巧 1．怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化 任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用－ α 的诱导 公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-同角三角函数基本关系式及诱导公式(含解析)
同角三角函数基本关系式及诱导公式复习要点1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式π2±α，π±α的正弦、余弦、正切
.
一同角三角函数的基本关系式1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.二六组诱导公式角函数2kπ＋α
(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ
2＋α
正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α
余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α——
诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”“偶”指的是“k·π2＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·π2＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·π2
＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．常/用/结/论1．sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sin
α±cosα)2
＝1±2sinαcosα.
2．sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.在已知tanα，cosα后，用此法求sinα.
1．判断下列结论是否正确．(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin3π2－α＝13，则cosα＝－13.(√)2．sin210°cos120°的值为()A.14B．－34C．－32D.34
解析：sin210°cos120°＝(－sin30°)·(－cos60°)＝－12×－12＝14.
高考数学一轮总复习课件：同角三角函数的基本关系式及诱导公式
sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则A的
值构成的集合是( C )
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2}
D．{1，－1，0，2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A＝ssiinnα α＋ccoossα α＝2； 当k为奇数时，A＝－sisniα nα－ccoossα α＝－2.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可 求其余两个代数式的值．
＝
（－751）×15＝－275.
【答案】 －275
题型四 齐次式下弦切互化
例4 (1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【解析】 ∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α－3sinαcosα＋1＝sin2sαin2－α3＋sincoαs2cαosα＋1 ＝tan12α＋－tan32tαanα＋1＝321－＋33×2 3＋1＝1. 【答案】 1
本例属于同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开 方，后作商”的原则，先求与 sinα(或 cosα)的平方关系相联系 的 cosα(或 sinα)，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定， 需讨论确定开方的符号．
思考题 2 (1)设 sinα2＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα2的 4 值为____3____．
状元笔记
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终 了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终 了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函 数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cosα.