全等三角形中几种常见的辅助线添法 PPT课件
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
《全等三角形》中常见辅助线
全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
《初中数学辅助线》PPT课件
DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B
E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线
性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和
垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过
程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线，求证：AD 1 ( AB AC) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 专题训练(五)作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP， 在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
第四页，共二十二页。
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
第五页，共二十二页。
证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
第十五页，共二十二页。
方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.
全等三角形(常见辅助线)
N125PBFC Q
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE BE+BD+CD BE+BC BE+AC BE+AE AB
A E B C D
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE BD+CE+DE BC
B D E C A
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与 BC的垂直平分线DM相交于D，过D作 DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。 A 求证：BE=CF
连接DB,DC
B
E
C
M
F
D
垂直平分线上点向两端连线段
• 如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平 分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂 直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交 AC于点G。求证：(1)BF=CG • (2)判定AB+AC与AF的关系
E
F
A
M
N D
B
如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B A C
连 线 构 造 全 等
D
连接AC
构造全等三角形
连线 构造全等
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。