最新巧思妙解高考数学
巧思妙解高考数学
巧思妙解2011年高考数学题（北京卷）
1.（文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为
（2,0）.斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求△PAB的面积.
【参考答案】
（1）……
（2）设直线l的方程为由
得
设A、B的坐标分别为
AB中点为E，
则.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率解得m = 2.
此时方程①为解得
所以所以|AB|=.
此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离
所以△PAB的面积S=
·巧思·
①椭圆的方程中，y 2的系数是x2系数的3倍，故由直线方程和椭圆方程合成的方程组中，消去x得关于y的一元二次方程，一定式子比较简单、运算比较方便。
②求出x A =0或y A = 2 =y p后，便知△PAB又是直角三角形（ APB为直角），故其面积可用
∣PA∣2计算，而不必先求P到AB的距离d、再用∣AB∣·d计算。
③注意点P的坐标为（-3, 2），而椭圆的方程中，也有b = 2，故可猜想点A（0, 2）；再令x B= - 3,得B（-3, -1），果然有k AB = 1,于是△PAB又是直角三角形……
·妙解·
解法1：设l：x= y–2n ①, PD⊥AB于D∣AD∣=∣BD∣.
①代入G：y 2- ny+ n2- 3 = 0
2y D = y A + y B = n，且l PD：x + y + 1 = 0 ②.
①②y D= n- = n = 1y2- y- 2 = 0y A = 2 =y p
PA∥x轴PB∥y轴S△PAB = ∣PA∣2 = .
解法2：椭圆G的上端点为C（0,2）PC⊥y轴，∣PC∣= 3.
作PD⊥x轴，且使∣PD∣= 3D（-3,-1）在G上.
k CD= 1AB与CD重合S△PAB = S△PCD= .
【评注】
①有关平面解析几何的命题，经常会出现一次方程和二次方程合成的方程组。如果x2的系数大于y2的系数（指绝对值），就要消去y得关于x的一元二次方程；否则便反之……
②三角形的面积公式，除了底×高，还有其他形式；即使采用“底×高”，也要适当地选取“底”和“高”——特别是遇到直角三角形时，更要注意选取的适当、得当、恰当。
③观察命题条件的特点，分析命题结论的要求，揣测命题内含的本意，可能出现“意想不到”的“拍案惊奇”，收获“喜出望外”的“信手拈来”。
2.（理19）已知椭圆.过点（m,0）作圆x2+ y2 =1的切线l交椭圆于A，B两点.
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）将表示为m的函数，并求的最大值.
【参考答案】
（1）……焦点坐标为，离心率为.
（2）由题意知，∣m∣≥1.
当时，切线l的方程为，
点A、B的坐标分别为此时.
当m = －1时，同理可得.
当∣m∣＞1时，设切线l的方程为
由.
设A、B两点的坐标分别为，
则.
又由l与圆
所以
=
由于当时，
所以.
因为∣AB∣==≤2.
且当时，|AB|= 2，所以|AB|的最大值为2.
·巧思·
①将直线l的方程设为x = ty + m型（l与y轴不垂直），可避免对其位置
的分类讨论，
且式子比y = k（x- m）简单。
②由直线方程和椭圆方程消去x，得到关于y的一元二次方程，同样可以解
决问题，
并且式子比较简单、容易运算。
③利用“x 1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根∣x1 - x2∣=”，可以避免求出两根
之和、两根之积以及繁琐的运算。
·妙解·
（2）由题可设l：x = t y + m= 1m2= t2 + 1.
由l、G（t y + m）2 + 4 y2= 4（t 2+ 4）y2+ 2t my + m2- 4 = 0
⊿= 4 t 2m2 - 4（t 2+ 4）（m2- 4）= 64 -16（m2- t 2）= 48
∣AB∣=·∣y A-y B∣=·=
=≤2∣m∣=时，∣AB∣max= 2.
【评注】
①直线方程的待定式，既可设为y= f（x）型，也可设为x= g（y）型——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。
②含有二元一次方程和二元二次方程（不含一次项）的方程组中，未知数x 和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得关于x的一元二次方程，也可消去x 得关于y的一元二次方程——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。
③“习惯作用”实质是“思维定势”。考虑问题不能受“思维定势”的影响，解决问题不能受“思维定势”的影响，而要“因地制宜”、“随机应变”！
3.（文20）若数列A n：a1，a2,…，a n（n≥2）满足∣a k+1 - a k∣= 1（k =
1,2,…, n-1），则称数列A n为E数列，记S（A n）=a1 + a2,+ … + a n.
（1）写出一个E数列A n满足a1 = a3= 0；
（2）若，n= 2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是= 2011；
（3）在a1 = 4的E数列A n中，求使得S（A n）= 0成立的n的最小值.
【参考答案】
（1）……
（2）必要性：
因为E数列A n是递增数列，
所以a k+1 - a k= 1（k = 1,2,…,1999）,
所以A n是首项为12，公差为1的等差数列，
所以a2000 = 12 +（2000 — 1）×1 = 2011.
充分性：
由于a2000 - a1999≤1，a1999 - a1998≤1，……，a2 - a1≤1，
所以a2000 - a1≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1 = 12，a2000 = 2011,所以a2000 = a1 + 1999.
故a k+1 - a k = 1＞0（k= 1,2,…,1999）,即A n是递增数列.
综上，结论得证.
（3）对首项为4的E数列A n，由于
a2 ≥a1 - 1 = 3，a3 ≥a2 - 1≥2，…，a8 ≥a7– 1≥-3，…，
所以a1 + a2 + …+ a k ＞0（k= 2,3,…,8）.
所以对任意的首项为4的E数列A n，