2013考研数学模拟卷数二3答案
1 2012考研数学模拟试卷三【数二】解析 一、选择题 （1）B
解：因为1lim(1)0xx，所以 321lim(4)0xxaxx，
因此 4a 并将其代入原式 321144(1)(1)(4)limlim1011xxxxxxxxlxx
（2）C 解：首先由01cos1)(lim0xxfxx，得0)(lim0xfx。又因为)(xf在0x的某邻域内有二阶连续导数，
于是0)0(f。其次，根据极限保号性，在0x的某去心邻域内必然有0)(xfx，即)(xf在0x两侧变号，于是))0(,0(f为曲线的拐点。
（3）C 解：由导数的几何意义，应选（C）
（4）B 解：因为xxettext2ln)11(ln)11(0，
所以xxxedtttexxxt2ln)11(ln)11(02， 而02ln2lim2ln)11(limxexxxxexxxx，由夹逼定理得原极限为零。 （5）C 解：由 (,)0fxyx，当固定y时，(,)fxy对x单调下降，故对12xx时，有
1121(,)(,)fxyfxy；
又由(,)0fxyy，，当固定x时，(,)fxy对y单调上升，故对12yy时，有 2122(,)(,)fxyfxy；
因此，当1212,xxyy时，有 112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy.应选(C).
（6）A 解：令 2
.81),(813121)()(),(),(1002xyyxfAAdxdyAxydxdxdyAxyAAxyyxfdudvvufAxDD （7）A 解：设)3,2,1(),,,(4321iaaaaTiiiii，由已知条件有)3,2,1,4,3,2,1(0jijTi。
即)4,3,2,1(ii为方程组000434333232131424323222121414313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa的非零解。 由于321,,线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，从而向量组4321,,,的秩为1。
（8）C 解A=2x; A特征值：2,1,x；对应*A特征值为：x，2x，2；解得x=-1或-2
二、填空题 （9）241124xxC （10）
解：因为 0!nxnxen ，令其中 1x，得 01!nen，
则 22200111111(2)1(2)1!(1)!!!!nnnnnneennnnn (11) ()2(1)2xfxxe 解：令xtu，原方程变为30001()()()3xxxxfuduufuduxftdt 方程两边对x求导得20()()xfuduxfx 再两边对x求导得()2()fxxfx，即2dyyxdx [(2)]2(1)dxdxyexedxCxC 由(0)0y得2C，故()2(1)2xyfxxe
(12) 12e 解：1)1,0(2)()(2|,2222222eyxzeeduexexzxyxyxuyx； 3
（13）32(cos1sin1) (14) 123【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】 解：由0,20,30AEAEAE，知A的特征值为11231,2,3，相似矩阵具有相同的特征值，所以B的特征值也为11231,2,3，故B相似的标准形为123 三、解答题 (15)解：（I）000()()1lim()limlim11xxxxxfxexfxegxx
00lim()lim()xxgxaxbb 若要()gx在0x处连续，必须00lim()lim()(0)xxgxgxg，即1bb 故1b，a为任意实数时，()gx在0x处连续。 （II）若要()gx在0x处可导，则必须()gx在0x处连续（1b），且(0)(0)gg
所以200()(0)()(1)(0)limlimxxxgxgfxexxgxx
200000()()1()(0)1limlimlim221()(0)11limlim[(0)1]22xxxxxxxxxfxefxefxfexxxfxfefxx
01(1)(0)limxaxgax
所以1[(0)1]2af，1b时，()gx在0x处可导
（16）解：因为在x时，曲线)(xfy有水平渐近线1y，所以 1)(lim)(xffx．于是有
原式0000220d)(4darctan)(d)(dxxfxxyxfyyxxfxxxyyx 2)]1(1[4)]0()([4ff．
（17）证明：采用移项作辅助函数，初值加增减性分析法。 4
aadxxfdxxxfX
00
)(
)(。
要证明32aX，即要证明32)()(00adxxfdxxxfaa，只要证明0)()32(0adxxfax。 令,)()32()(0xdttfxtxF则0)0(F。 0)0(,)(323)()(0FdttfxxfxFx，
),0()],()([3)(313)()(xfxfxxfxfxxF
。
因为0)(xf，所以)(xf单调增加，于是0)(xF。
由0)0(0)(FxF，得)0(0)(xxF。 再由0)0(0)(FxF，得)0(0)(xxF，所以0)(aF，原不等式得证。 （18）解： 令,dxdyu则dyduudxyd22，则原方程化为
,sincos2uyudyduyu0u
时，Cy，不符合初始条件，舍去。
所以原方程化为 yyudydusectan，解得)tan(cos1yCyu。 由初始条件得01C，从而ydxdysin，所以2|cotcsc|lnCxyy。 由6)1(y，得)32ln(12C。原方程的解为 1)32(sincos12tanxe
y
yy。
（19）解：2)2(212ydxdyyy， 切线方程为)2(22xy， 与x轴的交点坐标为)0,1(。 5
切线旋转后的旋转体体积为32， 曲线转转后的旋转体的体积为)12(34222dxy。 此容器的质量为)23(43)]12(3432[M。 容器内表面积为 )2312ln2262()2(12222222dxxxxS
。
（20）证明：由于()fx在[,]ab上可导，知()fx在[,]ab上连续，从而()()cosFxfxx在[,]2aba上连续.由积分中值定理，知存在一点(,)2abca使得
22()()cos2()()2()abaFbfxxdxbaabFcabaFc
在[,]cb上，由罗尔定理得至少存在一点(,)(,)cbab使 ()()cos()sin0Fff，
即()()tanff，(,)ab.
（21） 解：
3322
00323
00
3
033
00
30
12
()()()()()()(21)()(21)()((3)0)[(21)()2()][7(3)(0)]2()[7(2)2]2(20)20442(2(0)(0)02xxfxdxxxdfxxxfxxfxdxxfxdxfxfxfxdxfffxkffk
2(3)(3)2)23ff
（22）解：(Ⅰ) 二次型f的矩阵32422423Aa 由2是A的特征值，有
考研_2013考研数学二真题及参考答案
2021考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，那么当0x →时，()x α是〔 〕〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小 〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 等价的无穷小〔2〕设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，那么2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦〔 〕〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕2- 〔3〕设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕〔A 〕x π= 是函数()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π= 是函数()F x 的可去连续点〔C 〕()F x 在x π=处连续但不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导〔4〕设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<< 〔5〕设()yz f xy x=，其中函数f 可微，那么x z z y x y ∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2()f xy x- 〔6〕设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的局部，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 〔7〕设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，假设,B AB C =则可逆，则 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价〔8〕矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为〔A 〕a 0,b 2== 〔B 〕为任意常数b a ,0= 〔C 〕0,2==b a 〔D 〕为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，那么L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．〔14〕设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，假设ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
考研数学(数学二)模拟试卷399(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷399(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，则( )．A．B．a=0，b=一2C．D．a=1，b=一2正确答案：A解析：(用到等价无穷小代换x—ln(1+x)～x2／2 (x→0))．当a一1=0时，，仅A入选．2．设，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但f’(x)在x=0处不连续D．可导且f’(x)在x=0处连续正确答案：D解析：所以f(x)在x=0处可导，且f’(x)在x=0处连续．仅D入选．3．有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为r，则液体对薄板的侧压力为( )．A．ra2bB．ra2bC．rab2D．rab2正确答案：B解析：取坐标系如右图所示．椭圆方程为在小区间[x，x+dx]上对应的小横条薄板，液体对应的压力为于是液体对薄板的侧压力为仅B入选．4．下列广义积分发散的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：因而C中积分发散．5．函数u=sinxsinysinz满足的条件极值为( )．A．1B．0C．1／6D．1／8正确答案：D解析：仅D入选．设由式①与式②得到tany=tanm，由式②与式③得tanz=tany．因而tatar=tany=tanz，而，故x=y=z．因而为条件极值点．于是所求的条件极值为6．已知函数y=f(x)对一切x满足xf”(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x．若f’(x0)=0(x0≠0)，则( )．A．f(x0)是f(x)的极大值B．f(x0)是f(x)的极小值C．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点D．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B解析：将x=x0代入所给方程，利用f’(x0)=0得到当x0＞0时，有f’’(x0)＞0，当x0＜0时，也有f’’(x0)＞0，且x=x0为f(x)的驻点，故x0为f(x)的极小值点．仅B入选．7．设，其中A可逆，则( )．A．A一1P1P2B．P1A一1P2C．P1P2A一1D．P2A一1P1正确答案：C解析：即B=AP2P1，故B一1=(AP2P1)一1=P1一1P2一1A一1=P1P2A 一1，其中用到初等矩阵的性质：P1一1=P1，P2一1=P2．仅C入选．8．设A=[α1,α2,α3,α4]，且η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，1，0，1]T 是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则( )．A．α1，α3线性无关B．α2，α4线性无关C．α4能被α2，α3线性表示D．α1,α2,α3线性无关正确答案：C解析：因为η1，η2为齐次线方程组Ax=0的基础解系，可知基础解系含有n一r=2个向量，其中n=4为齐次方程组未知量的个数，r为系数矩阵A的秩，所以r=n一2=2．因此A=[α1,α2,α3,α4]中任意3个向量都线性相关，故D不正确．由Aη2=0得α2+α4=0，可见α2，α4线性相关，故B不正确．再由α2+α4=0可知，α4可以被α2线性表示，则α4可被α2，α3线性表示，故C 正确．由Aη1=0，得α1+α2+α3+α4=0．又由Aη2=0得α2+α4=0，所以α1+α3=0．于是α1，α3线性相关，故A不正确．仅C入选．填空题9．=_________．正确答案：利用一阶微分形式不变性求之．10．设=_________.正确答案：，因x，y互换，xy不变，所以f(x，y)具有对称性，故得到同理，由及对称性得到而，故11．如果则x=_________．正确答案：12．设u=u(x，y)是方程u+eu=xy所确定的二元函数，则=_________.正确答案：对等式u+eu=xy两边求微分，得d(u+eu)=dxy，du+deu=ydx+xdy，即du+eudu=ydx+xdy，13．已知区域D为x2+y2≤1，则=_________.正确答案：14．已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3，则(A-1)*的特征值为_________．正确答案：设A的特征值为λi，则A一1的特征值为，则(A一1)*的特征值为因｜A｜=1.2.3=6，故(A一1)*的三个特征值分别为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2013年北京大学高等数学考研押题模拟试卷及答案解析
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北京大学360考研数学内部模拟题
模拟一
一、（12分）求下列各式的极限：
（1），其中a ＞0； （2）
（3）； （4）
二、（12分）求下列函数的指定阶导数，或在指定点的切线与法线方程：
（1）y=f(lnx)，其中f(x)二阶可导，求y ’，y ’’；
（2） 求f ’(x)；
（3）求由方程ysinx+xlny=0所确定的平面曲线在x=π处的切线与法线方程；
（4），求f ’(x)
算过程），单选题写明选项。
模拟二
2 / 5
全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址： 一、求下列极限：
（1） （2）
（3）
（4）
二、（28分）求下列函数的指定阶导数、偏导数：
（1）y=(1+x)1/x
，求y ’； （2），求f ’(x)；
（3）设δ=δ（x ，y ）是由方程δ3-2x δ+y=0所确定的隐函数，求，，
（4）设δ=f （x 2-y 2,e xy ）,其中f(u,v)有二阶连续的偏导数，求，
三、（21分）计算下列不定积分、定积分： （1） （2）
（3）
四、（24分）计算下列重积分、累次积分和曲线积分：
（1）
，其中D 为半圆域：；
（2） （3）
,其中L 为区域D ：0≤x ≤π，0≤y ≤sinx 的正向边界。
2013考研数学真题试卷
2013考研数学真题试卷2013年的考研数学真题试卷是广大考研学子备考的重要资料之一。
考研数学通常分为数学一、数学二和数学三三个科目，每个科目的难度和侧重点都有所不同。
以下是2013年考研数学真题试卷的模拟内容，供考生参考。
一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-2,2)内的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 设随机变量X服从正态分布N(0, σ^2)，当P(X > μ) = 0.1时，μ的值是：A. -1.645σB. 1.645σC. -0.645σD. 0.645σ3. 以下哪个是二阶微分方程的解：A. y = e^x + e^(-x)B. y = e^(2x)C. y = sin(x) + cos(x)D. y = x^2 + 2x二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 2x + 1，求f''(1)的值。
2. 设曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程是______。
三、解答题1. 证明：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在[a,b]上单调递增。
2. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 2x^2 - 200x + 3000，其中x是产品数量。
求该工厂生产多少产品时，平均成本最低。
2. 某公司计划在一条河流的两岸建造两座桥，已知河流两岸的直线距离为1000米。
公司希望两座桥的总长度最短。
如果河流两岸是直线，求两座桥的最短总长度。
以上是模拟的2013年考研数学真题试卷内容，考生在备考时应以官方发布的真题为准，并结合历年真题和模拟题进行系统性复习。
同时，考生应注重数学基础的打牢，理解数学概念、原理和方法，并能够灵活运用到解题中去。
考研数学的复习是一个长期且系统的过程，考生需要合理安排时间，逐步提高解题能力和应试技巧。
[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷13.doc
![[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷13.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/fbcb92e36037ee06eff9aef8941ea76e58fa4ab8.webp)
[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷13.doc[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷13一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32一4x1x2+2x2x3的标准形可以是( )（A）y12+4y22。
（B）y12一6y22+2y32。
（C）y12一y22。
（D）y12+4y22+y32。
2 二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的规范形为( )（A）f=z12+z22+z32。
（B）f=z12一z22。
（C）f=z12+z22一z32。
（D）f=z12。
3 设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与C( )（A）等价但不相似。
（B）合同但不相似。
（C）相似但不合同。
（D）等价，合同且相似。
4 下列矩阵中，正定矩阵是( )5 关于次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( ) （A）是正定的。
（B）其矩阵可逆。
（C）其秩为1。
（D）其秩为2。
6 已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32 x2+a33x3)2正定，矩阵A=(a ij)3×3，则( )（A）A是正定矩阵。
（B）A是可逆矩阵。
（C）A是不可逆矩阵。
（D）以上结论都不对。
7 设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )（A）A－1+B－1。
（B）AB。
（C）A*+B*。
（D）2A+3B。
二、填空题8 二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为________。
9 二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是_________。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是( ) A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选B．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(一x，一y)．D．F(一y，一x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选B．知识模块：概率论与数理统计3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[r(z)2C．FZ(2z)≤[F(z)]2．D．FZ(2z)≥[，(z)]2．正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}=P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(z)，从而[p(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，y≤z对应区域B，显然BA，故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( ) A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，F1(+∞)=F2(+∞)=1，∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=1，选项(A)不正确；例如令f1(x)=，故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．?C．P{X=Y}=．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{x=1，Y=1}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1} = 知识模块：概率论与数理统计7．设二维随机变量(X，Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x 轴，y轴以及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度为( )正确答案：B解析：由已知条件，如图3—4所示。
考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（ ）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.设()f x 是奇函数，除0=x 外处处连续，0=x 是其第一类间断点，则⎰xdt t f 0)(是（ ）.（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在0=x 间断的奇函数 （D ）在0=x 间断的偶函数. 5.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点有（ ）. （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个.6.若)(),()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)('>x f ，0)(''<x f ，则()f x 在),0(+∞内 有（ ）.（A ）0)('>x f ，0)(''<x f （B ）0)('>x f ，0)(''>x f（C ）0)('<x f ，0)(''<x f （D ）0)('<x f ，0)(''>x f7. 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=.若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.(A) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（ ）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 设()f x 二阶可导，2)0(",1)0(',0)0(===f f f ，则2()limx f x xx→-= . 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为 .12. 设()f x 是连续函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .13.若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则=a ，=b .14.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 三、解答题（本题共9小题，满分94分。
考研数学(数学二)模拟试卷303(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷303(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=min{sinx,eosx}，则f(x)在区间｜0，2π]内不可导的点共有A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：【分析一】在[0，2π]上，画出y=sinx与y=cosx的图形，立即可得y=f(x)的图形．由图形直接看出，两个交点为y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点．应选C．【分析二】写出f(x)的表达式f(x)是一个分段函数，有两个分界点和又f(x)在[0，2π]上连续，在除分界点外其余各点处均可导，但f(x)在的左导数，由于连续，它在一的右导数即在不可导，类似可得也不可导．故应选C．2．设f(x)在[0，1]上连续，又，则A．F(x+π)>F(x)(x∈(一∞，+∞))．B．F(x+π)<F(x)(x∈(一∞，+∞))．C．F(x+π)=F(x)(x∈(一∞，+∞))．D．x>0时F(x+π)>F(x)，x<0时F(x+π)<F(x)．正确答案：C解析：考察因此选C．3．设在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)= A．4eB．4C．2D．2e正确答案：A解析：由g(x)在x=0连续及g(x)=1+2x+o(x)(x→0)→由复合函数求导法及变限积分求导法→故应选A．4．曲线的拐点的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：D解析：先求出y’与y’’．由在(一∞，+∞)连续，y’’不存在的点只有戈=0，而y’’=0的点不存在，且在两侧y’’变号，x=0两侧y’’也变号→(0，0)，均为的拐点，再无其他拐点．因此，应选D．5．若f(一1，0)为函数f(x，y)=e-x(ax+b—y2)的极大值，则常数a，b应满足的条件是A．a≥0，b=a+1．B．a≥0，b=2a．C．a<0，b=a+1．D．a<0，b=2a．正确答案：B解析：应用二元函数取极值的必要条件得所以b=2a．由于再由二元函数极值的必要条件A≥0得3a一b≥0．于是常数a，b应满足的条件为a≥0，b=2a．故应选B．6．设其中D1={(x，y){x2+y2≤R2}，D2={(x，y){x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)}｜x｜≤R，｜y｜≤R}，则下列关于I1，I2，I3大小关系正确的是A．I1的圆，D2是正方形，边长2R，如图所示．因为D1D3D2，又被积函数f(x，y)=e-(x2+y2)连续，且恒正，则I17．已知，则代数余子式A21+A22=A．3B．6C．9D．12正确答案：B解析：对行列式｜A｜按第2行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9．①构造行列式则｜A｜和｜B｜第2行元素代数余子式相同．对｜B｜按第2行展开．又有A21+A22+2A23+2A24=｜B｜=0．②联立①，②可得A21+A12=6．故选B．8．已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是A．如果α4不能由α4，α1,α2,α3线性表出，则α1,α2,α3线性相关．B．如果α1,α2,α3线性相关，α2,α3,α4线性相关，那么α1,α2,α4也线性相关．C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性：表出，则α1可以由α2,α3,α4线性表出．D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．正确答案：B解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知B不正确．应选B．关于A：如果α1,α2,α3线性无关，又因α1,α2,α3,α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1,α2,α3线性表出．关于C：由已知条件，有(1)r(α1，α2)≠r(α1,α2,α3)，(Ⅱ)(α1,α2,α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2,α3)=1，则必有r(α1,α2)=r(α1,α2,α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2,α3,α4)=3，从而r(α1,α2,α3,α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出关于(D)：经初等变换有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1,α2,α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α2)→(α1,α2,α3,α4)，从而r(α1，α2，α3)=r(α1,α2,α3,α4)．因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．填空题9．设函数f(x)在点x=1的某邻域内有定义，且满足3x≤f(x)≤x2+x+1，则曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为________．正确答案：y=3x．解析：在3x≤f(x)≤x2+x+1中取x=1，可得f(1)=3．当x>1时,即令x—1+，由夹逼定理与导数定义可得f+’(1)=3．同理，当x．类似可得f+’(1)=3．由此可知f’(1)=3，所以曲线y=f?在点x=1处的切线方程为y=f(1)+f’(1)(x一1)=3+3(x 一1)，即y=3x．10．设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1,则=__________.正确答案：解析：【分析一】由反函数求导公式得再由复合函数求导法得从而于是【分析二】将上述导出的φ’(y)，φ’’(y)表达式代入得于是【分析三】在xOy直角坐标系中y=f(x)与它的反函数x=φ(y)代表同一条曲线，作为x的函数y=f(x)与作为y的函数x=φ(y)在同一点处的曲率是相同的，按曲率公式应有因f(0)=1，即x=0时y=1→11．有一椭网形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为y，则液体对薄板的侧压力为__________．正确答案：解析：取坐标系如图所示，椭圆方程为对小区间[x，x+dx]对应的小横条薄板，液体对它的压力dP=压强×面积于是液体对薄板的侧压力为12．设则df(x，y)=__________.正确答案：解析：13．设，则=__________．正确答案：解析：I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为其中D：0≤y≤2a，它是半圆域：x2+(y—a)2≤a2，x≥0．由二重积分中值定理，(ξ，η)∈D，使得又ln(1+a2)～a2(a→0)，于是其中a→0+时，ξ2+η2→0．14．已知A*是A的伴随矩阵，则=__________．正确答案：解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，又所以于是解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(二重积分)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学二（二重积分）模拟试卷13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，则( )A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b正确答案：A解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以由cosx在上单调减少可得因此有c＞b＞a．知识模块：二重积分2．设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若则I1，I2，I3的大小顺序为( )A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I1＜I3＜I2D．I3＜I1＜I2正确答案：C解析：在D内，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是知识模块：二重积分3．设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较的大小，则有( ) A．I1=I2B．I1＞I2C．I1＜I2D．不能比较正确答案：C解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分区域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭区域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．知识模块：二重积分4．二次积分写成另一种次序的积分是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为D：如图1．5—1所示．则知识模块：二重积分5．已知则I= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：如图1．5—2所示，积分区域由两部分组成设将D=D1∪D2视为y 型区域，则从而故应选(A)．知识模块：二重积分填空题6．由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_________，其值等于__________．正确答案：解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为知识模块：二重积分7．二重积分的符号为____________．正确答案：负号解析：二重积分的积符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定．积分区域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故知识模块：二重积分8．设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2)，则二重积分正确答案：解析：被积函数含有x2+y2的形式，且积分区域是以原点为中心的圆环区域，选用极坐标计算较方便．故知识模块：二重积分9．设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则正确答案：0解析：因积分区域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故知识模块：二重积分10．设交换积分次序后，I=_________．正确答案：解析：积分区域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故知识模块：二重积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷393(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷393(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)满足f″(x)-t-x[f′(x)]2=sinx，且f′(0)=0，则( )A．f(0)是f(x)的极小值．B．f(0)是f(x)的极大值．C．曲线y=f(x)在点(0，f(0))左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的．D．曲线y=f(x)在点(0，f(0))左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的．正确答案：D解析：由f″(x)+x[f′(x)]2=sinx，有f″(0)=0，再求导，得(x)+[f′(x)]2+2xf′(x)f″(x)=cosx，(0)=1．所以由保号性知，存在x=0的去心邻域，当x∈且x ＞0时，f″(x)＞0，故应选(D)．2．下列命题①设f′(x)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；②设f′－(x0)与f′+(x0)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；③设f(x0－)与f(x0+)均存在，则f(x)在x=x0处必连续；④设f′(x)中至少有一个不存在，则f(x)在x=x0必不可导正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：(x0)存在，即f(x)在x=x0处左导数存在，推知f(x)在x=x0处左连续；(x0)存在，推知f(x)在x=x0处右连续．故f(x)在x=x0处连续，②正确．①与③都不正确，因为这两种情形，f(x0)可能没有定义．④也不正确，反例：f(x)=f′(x)不存在，但f′(0)却存在．3．设区域D={(x，y)｜≤1}，其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限的部分，f(x，y)在D上连续，等式f(x，y)dσ=4f(x，y)dσ成立的一个充分条件是( ) A．f(－x，－y)=f(x，y)．B．f(－x，－y)=－f(x，y)．C．f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)．D．f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)．正确答案：D解析：当(C)成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数，积分应为零，而题中未说f(x，y)dσ=0．类似地，可知，也不选(A)、(B)．当(D)成立时，f(x，y)关于x和y分别都是偶函数，将D在各个象限中的部分分别记为D1、D2、D3与D4，于是f(x，y)dσ4．设f(x)在(－∞，+∞)上连续且严格单调增加，f(0)=0，常数n为正奇数，并设F(x)=tnf(t)dt．则下列选项中正确的是( )A．F(x)在(－∞，0)内严格单调增加，在(0，+∞)内也严格单调增加．B．F(x)在(一∞，0)内严格单调增加，在(0，+∞)内严格单调减少．C．F(x)在(一∞，0)内严格单调减少，在(0，+∞)内严格单调增加．D．F(x)在(一∞，0)内严格单调减少，在(0，+∞)内也严格单调减少．正确答案：C解析：设x＞0，则0f(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞)上，当x≠0时，f(x) ( )A．恒为正．B．恒为负．C．与x同号．D．与x异号．正确答案：C解析：令x－t=u，作积分变量代换，得f(x)=f(u)sin(x－u)du+x =sinxf(u)sinudu+x，f′(x)==cosxf(u)sinudu－cosxsinx. f(x)+1 =cosxf(u)sinudu+1，f″(x)=－sinxf(u)cosudu+cos2x.f(x)+cosxf(u)sinudu+sin2x .f(x) =f(x)－f(x)+x=x，所以f(x)=+C1x+C2．又因f(0)=0，f′(0)=1，所以C1=1，C2=0．从而f(x)=+1)．故应选(C)．6．设f(x)在(－∞，+∞)上连续，下述命题①若对任意a，f(x)dx=0，则f(x)必是奇函数；②若对任意a，f(x)dx=2f(x)dx，则f(x)必是偶函数；③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)=f(t)dt也具有周期T正确的个数是( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：①是正确的．记F(a)=f(x)dx，有F′(a)=f(a)+f(－a)．由于F(a)≡0，所以F′(a)=0，即f(a)=－f(－a)，f(x)为奇函数．②是正确的．记F(a)=f(x)dx，F′(a)=f(a)+f(－a)－2f(a)≡0，所以f(－a)=f(a)，f(x)为偶函数．所以F(x)具有周期T．故应选(D)．7．已知向量组α1，α2，…，αs线性相关，其中αi=(ai1，ai2，…，ain)T，i=1，2，…，S．则下列向量组可能线性无关的是( )A．βi=(ai2，ai1，ai3，…，ain)T，i=1，2，…，S．B．γi=(ai1，ai1－ai2，ai3，…，ain)T，i=1，2，…，S．C．ξi=(ai1，ai2，…，ai(n－1))T，i=1，2，…，S．D．ηi=(ai1，ai2，…，ain，ai(n+1))T，i=1，2，…，s．正确答案：D解析：n维向量αi后面增加了分量(即维数)成n+1维向量ηi，讨论线性相关性时，相当于以αi为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组η1x1+η2x2+…+ηsxs=0变得只有零解，即η1，η2，…，ηs可能线性无关．故应选(D)．(A)、(B)相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性．(C)中向量减少分量，仍保持线性相关．8．设ξ1，ξ2，ξ3，ξ1+aξ2－2ξ3均是非齐次线性方程组Ax=b的解，则对应齐次线性方程组Ax=0有解( )A．2ξ1+aξ2+ξ3．B．－2ξ1+3ξ2－2aξ3．C．aξ1+2ξ2－ξ3．D．3ξ1－2aξ2+ξ3．正确答案：D解析：由题设条件Aξi=b，i=1，2，3及A(ξ1+aξ2－2ξ3)=b+ab－2b=b，得(1+a－2)b=b，b≠0，即1+a－2=1，故a=2．当a=2时，将选项逐个左乘A，看是否满足Aηi=0，i=1，2，3，4．Aη1=A(2ξ1+2ξ2+ξ3)=5b≠0，Aη2=A(－2ξ1+3ξ2－4ξ3)=－3b≠0，Aη3=A(2ξ1+2ξ2－ξ3)=3b≠0，Aη4=A(3ξ1－4ξ2+ξ3)=0．故η4是对应齐次方程组Ax=0的解，故应选(D)．填空题9．函数f(x)=的间断点的个数为___________．正确答案：2解析：应先写出f(x)的表达式，故知f(x)有且仅有两个间断点x=±．10．设f″(x0)=2，则=___________．正确答案：1解析：11．dx=___________．正确答案：－ln2解析：=0－ln(ex+1)=－ln2．12．设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2－y2)围成的平面区域记为D，则二重积分(x2+y2)dσ=____________．正确答案：a4解析：由于被积函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，所以13．设z=f(xy，，其中f，g均可微，则=____________．正确答案：2xy解析：14．设A，B是2阶矩阵，且A相似于B，A有特征值λ=1，B有特征值μ=－2，则｜A+2AB－4B－2E｜=____________．正确答案：-36解析：因为A～B，所以A，B有相同的特征值1，－2．｜A+2AB－4B－2E｜=｜A(E+2B)－2(2B+E)｜=｜(A－2E)(2B+E)｜=｜A－2E｜｜2B+E｜．A，B有特征值1，－2，A－2E有特征值－1，－4，2B+E有特征值3，－3，故｜A+2AB－4B－2E｜=｜A－2E｜｜2B+E｜=(－1)×(－4)×3×(－3)=－36．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。