北师大版八年级数学上册实数知识点及习题
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根.64；12149； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49100， 441， 196， 10－4（9）(64)2等于多少？(12149)2等于多少？ （10） (2.7)2等于多少？（11）对于正数a ，(a )2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)(2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)94=_________，94=_________；(4)(4)=2516_________，2516=_________. 知识点四、【立方根】：1、如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
记做：3a ，读作，3次根号a 。
注意：这里的3表示的是根指数。
一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。
（2）①a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b -（3）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）a bA. 1+3B. 2+3C. 23-1D. 23+1（4）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且b a >，则化简b a a +-2的结果为（ ） A ．b a +2 B.b a +-2 C .bD.b a -2（5）比较大小(填“>”或“<”). -， 76______67，215- 21，（6）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。
（7）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。
（8）计算：（9）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
基础练习一一、选择题••32 B.2π C.0D.7222.下列说法中正确的是（ ）3.下列语句正确的是（ ）C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数 D.不能确定6.2)2(-的化简结果是（ ） A.2B.－2C.2或－2D.47.9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 8.(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 9.下列式子中，正确的是（ ）A.55-=-B.－6.3=－0.6C.2)13(-=13D.36=±610.7－2的算术平方根是（ ） A.71B.7C.41 D.411.16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 12.一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+213.下列说法正确的是（ ）A.－2是－4的平方根B.2是(－2)2的算术平方根C.(－2)2的平方根是2D.8的平方根是4 14.16的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 15.169+的值是（ ） A.7B.－1C.1D.－7a ob16.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）17.2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对18.如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m19.若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a二、填空题1.在0.351， －32，4.969696………中，无理数的个数有______.2.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.3.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)5.1214的平方根是_________； 6.(－41)2的算术平方根是_________；7.一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； 8.25的算术平方根是_________； 9.9－2的算术平方根是_________；10.4的值等于_____，4的平方根为_____； 11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 三.判断题1.－0.01是0.1的平方根.( )2.－52的平方根为－5.（ ） 3.0和负数没有平方根.（ ） 4.因为161的平方根是±41,所以161=±41.（ ）5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题1.已知：在数－43，－••24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n …中，（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；2.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题讲解
北师大版八年级数学上册实数基础知识点
及练习题讲解
本文档旨在为八年级学生提供关于北师大版数学上册实数基础知识点以及相应的练题讲解。
以下是一些关键的知识点和题解答。
实数的定义
实数是指有理数和无理数的集合。
有理数包括整数、分数和十进制无限循环小数，而无理数是指非循环无穷小数。
实数的运算
实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算。
以下是一些实数运算的例子：
- 加法：a + b = c
- 减法：a - b = d
- 乘法：a * b = e
- 除法：a / b = f
实数的性质
实数具有许多重要的性质，例如：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
实数的应用
实数在数学中有广泛的应用。
例如，实数可以用来表示物体的长度、时间的流逝以及温度的变化等。
实数的概念也常常在代数和几何中使用。
题解答
以下是一些题的解答，供同学们练：
1. 计算：3 + 4 = ?
答案：7
2. 计算：5 * 6 = ?
答案：30
3. 计算：10 - 7 = ?
答案：3
请同学们仔细阅读每个题，并尝试独立解答。
如果有任何问题，请随时向老师请教。
以上是关于北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题
讲解的内容。
希望对同学们的学习有所帮助！。
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习
平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方〔也叫二次方根〕，记做：2.性质：〔1〕一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；〔2〕0只有一个平方根，它是0本身；〔3〕负数没有平方根例〔1〕假设的平方根是±2，那么x= ；的平方根是〔2〕当x 时，有意义。
〔3〕一个正数的平方根分别是m和m-4，那么m的值是多少？这个正数是多少？3.〔1〕〔2〕中，a可以取任意实数。
如例：1.求以下各式的值〔1〕〔2〕〔3〕2.，那么a的取值范围是。
3.2＜x＜3,化简。
【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a3=8，那么2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：〔1〕64的立方根是〔2〕假设，那么b等于〔3〕以下说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有〔〕 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【估算】用估算法确定无理数的大小：“夹逼法〞，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。
首先确定其整数局部的范围，再确定十分位，百分位等小数局部。
“精确到〞与“误差小于〞的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。
解决此类问题的关键是依据平方根〔立方根〕及例：估算以下各数的大小〔1〕〔2〕〔3〕用估算法比拟两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比拟大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比拟〔1〕假设a＞b≥0,那么〔2〕假设a＞b，那么〔3〕假设a、b都为正数，且a＞b时，那么a2＞b2例：通过估算比拟以下各组数的大小比拟两个数的大小：＜4的大小。
例：比拟以下两数的大小（1）〔2〕【实数】定义：〔1〕有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结-练习
第二章：实数知识梳理【无理数】1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数；注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：(1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2—π,3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如:2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数.如:2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数.如2π,(5)开方开不尽的数,如：39,5,2等;应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别:(1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2)所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例:（1）下列各数：①3。
141、②0。
33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号） （2)有五个数:0.125125…，0.1010010001…,-π，4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”,读作,“根号a",其中,a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地,0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
(2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值,并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
(完整版)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。
即 x2 a ，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平方根， a 叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数 a 的平方根的运算。
a2a a 020 ）a ==a a（aa a 0⑷ a 的双重非负性a0且a0（应用较广）例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分： 4 的平方根为____4 的平方根为____4____完全平方类4＝2933.计算 a 的方法非完全平方类＝77精确到某位小数* 若a b 0 ，则a b（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
333 a3a3a3 a （a取任何数）aa*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广：n 次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按属性分类：② 按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为 1 的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。
2024八年级数学上册第二章实数全章热门考点整合应用习题课件新版北师大版
ABCD . 若点 A 表示的数为1，正方形 ABCD 的面积为
7，则 B ， E 两点之间的距离是(
1
A. ＋2
B. －2
C. ＋1
D. －1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
13
14
)
15
16
17
18
19
20
思想2
整体思想
＋a
18
19
20
【点拨】
A. 负数没有平方根，故原说法错误；
B. 100的平方根是±10，故原说法错误；
C. －16没有平方根，故原说法错误；
D. 0的算术平方根是0，故原说法正确.
【答案】 D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2. 若 x ＝ − ，则 x ( x －5)－ x2的值为(
是(
C
A.
＝
)
.
C. . ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B.
＝
D.
＝3
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
考点5
北师大八年级上册第二章实数实数知识点整合与训练
第二章实数知识点整合及习题1. 无理数：2. 算术平方根： 算术平方根具有 即3. 平方根：4. 平方根的性质：一个正数有 ， ，5. 立方根：6. 立方根的性质：正数的 ， ， 7，估算的方法一般是8. 实数：9.实数的两种分类：11.数轴上的点与 是一一对应的。
7. 二次根式：8. 最简二次根式：9.两个规律：10.实数a 的相反数，倒数，绝对值分别表示为 ， ， 。
一、填空题(1)把下列各数填入相应的集合中(只填序号)：①3.14 ②2π- ③179- ④3100 ⑤0 ⑥ 212212221.1 ⑦3 ⑧0.15 有理数集合：｛ …｝正数集合｛ …｝无理数集合：｛ …｝负数集合｛ …｝ (2) 21-的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。
(3) 满足32<<-x 的整数x 是 .(4) 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .(5). 若误差小于10, 则估算200的大小为 .(7) 比较大小:216- 212+.(填“>”或“<”) (8). =-2)4( . =-33)6( , 2)196(= .(9)．一个数的平方根与立方根相等，这个数是______;立方根等于本身的数是_________. 平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是_____________.大于0小于π的整数是_________； (10).._______a ,2)2(2的取值范围是则若a a -=-( (11)使________x 11的值是在实数范围内有意义的-+-x x (12)已知._______19191=-+-xx x 有意义，则 二、 选择题：1. 边长为1的正方形的对角线长是( )A. 整数B. 分数C. 有理数D. 不是有理数2. 在下列各数中是无理数的有( )-0.333…, 4, 5, π-, 3π, 3.1415, 2.010101…(相邻两个1之间有1个0),76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成). A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个3. 下列说法正确的是( )A. 有理数只是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D.3π是分数 4. 下列说法错误的是( )A. 1的平方根是1B. –1的立方根是-1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为( )A. 3B. 7C. 8D. 7或86. 下列平方根中, 已经简化的是( )A. 31B. 20C. 22D. 1217． 81的平方根是( )A. 9B. ±9C. 3D. ±38． 下列说法正确的是( )A. 无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数C. 开方开不尽的数是无理数D.π是无理数, 故无理数也可能是有限小数 9． 方根等于本身的数是( )A. –1B. 0C. ±1D. ±1或010． ππ--14.3的值是( )A. 3.14-π2B. 3.14C. –3.14D. 无法确定11． a 为大于1的正数, 则有( )A. a a =B. a a >C. a a <D. 无法确定12． 下面说法错误的是( )A. 两个无理数的和还是无理数B. 有限小数和无限小数统称为实数C. 两个无理数的积还是无理数D. 数轴上的点表示实数13.下列说法中不正确的是( )A.42的算术平方根是4B. 24的算术平方根是C.332的算术平方根是D.981的算术平方根是 14. 121的平方根是±11的数学表达式是( )A. 11121=B.11121±=C. ±11121=D.±11121±=15.如果,162=x 则x=( )A.16B.16C.±16D.±1616. 364的平方根是( ) A.±8 B.±2 C.2 D.±417.下列说法中正确的是( ) A.±64的立方根是2 B.31271±的立方根是 C.两个互为相反数的立方根互为相反数 D.(-1)2的立方根是-118、-38-的平方根是( ) A.±√2 B.-√2 C.±2 D.219、估计的大小应在76( )A.7～8之间B. 8.0～8.5之间C. 8.5～9.0之间D.9.0～9.5之间20、在实数范围内，下列说法中正确的是( )b a b a D b a b a C b a b a B ba b a A >>======则若则若则若则若,.,.,..,.223322三、 化简:①44.1-21.1; ②2328-+; ③92731⋅+; ④0)31(33122-++.⑤)31)(21(-+. ⑥2)52(-;⑦2)3322(+. ⑧)32)(32(-+五、解答题1. 在数轴上作出3对应的点.。
北师大版数学八年级上册第二章实数知识点归纳及例题
北师大版八年级上册第二章实数知识点归纳及例题1 平方根和开平方【知识点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.知识点诠释：0，≥0.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根2x a =x a a a a a a a a a a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥250=25= 2.5=0.25=C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ） （2．（ ） （3）的平方根是．（） （4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2；（4）是的算术平方根． 2、填空：（1）是的负平方根． （2表示 的算术平方根，．（3的算术平方根为 ．（4，则 ，若，则 ． 【思路点拨】（3的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. ()24-9-4=±21()10-110±25--4254=254254-=3=x =3=x =1811919【答案与解析】(1)16；(2)(3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的. 【变式2】（2015•凉山州）的平方根是 ． 【答案】±3. 解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.3、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（） A. ±1 B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值． 【答案】C ． 【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2． 故选C.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】代数式 ＝有意义，则的取值范围是 ． 【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值，（1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0． 【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解； （2）移项后，根据平方根定义求解． 【答案与解析】 解：（1）169x 2=144， x ， x=， 11;164138-y 3-x x 3x ≥2144=169x=. （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36， x ﹣2=，x ﹣2=±6， ∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数． 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，·3＝1323 3＝1323＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.1213±x x x x 2x 21x =±x2 立方根【知识点梳理】知识点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a知识点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.知识点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点三、立方根的性质==a3=a知识点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.【答案】D；【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C．负数有立方根，故错误；D．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.举一反三：【变式】下列结论正确的是（）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______；（3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125，可得：x ﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗).3 无理数与实数【知识点梳理】知识点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 知识点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，知识点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,,10.1010010001 (7)3π--【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有222,0,,73-,10.1010010001π……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如1举一反三：【变式】下列说法错误的是（ ）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数. A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小．【答案与解析】解：∵＜＜， 即2＜＜3， ∵1＜﹣1＜2， ∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键． 举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--4__32 03___- |___(7)--- 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2016•通州区二模）如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示数的点数接近的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 【思路点拨】先估算出与比较接近的两个整数，再根据数轴即可得到哪个点与最接近，本题得以解决． 【答案】C ； 【解析】解：∵，∴4＜＜5， ∴数轴上与表示数的点数接近的点是C ，故选C ．【总结升华】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，可以估算出与哪两个整数最接近． 类型三、实数的运算4、化简：(1) 1.4|(2)4||(3)|12| 【答案与解析】解： 1.4|1.4=4||4|12|121==.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若2|2|3(4)0a b c -+-+-=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值. 【答案】3； 【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++=【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.4 二次根式—知识讲解【要点梳理】知识点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a aa b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）. 知识点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
北师大八年级数学上册总复习(知识点+例题)
北师大八年级数学上册总复习(知识点+例题)一、实数1、实数的概念与分类实数就是咱们平时说的所有数，包括正数、负数还有零。
实数又可以分为有理数和无理数两大类。
有理数就是能写成两个整数相除的数，比如1/2、3/4这些。
无理数就有点特别了，它不能写成两个整数相除，比如圆周率π、根号2这些。
2、平方根与立方根平方根就是一个数开平方得到的结果。
比如9的平方根是3，因为3×3=9。
立方根就是开三次方，比如27的立方根是3，因为3×3×3=27。
开平方和开立方是互逆运算，一个数的平方根的平方还是它自己。
3、无理数的概念与近似计算无理数就是无限不循环小数，它的小数点后面有无限多位，而且没有规律可循。
比如根号2≈1.41421356...，这个数就是无理数。
无理数虽然写不完，但我们可以用有限位小数来近似表示它，比如根号2≈1.414，这个1.414就是根号2的近似值。
4、典型例题例题1：求64的平方根解：64的平方根就是8，因为8×8=64。
例题2：比较根号3和1.732的大小解：根号3≈1.73205080757...，1.732是根号3的近似值。
因为根号3的小数点后第三位是2，比1.732的第三位0大，所以根号31.732。
例题3：用计算器求根号5的近似值，保留两位小数解：用计算器算得根号5≈2.236067977...，保留两位小数就是2.24。
实数这一章的内容虽然有点抽象，但只要理解了概念，掌握了运算方法，做题就不难了。
平方根、立方根、无理数这些都是实数的基本概念，在以后的学习中会经常用到，所以一定要牢牢掌握。
二、代数式与方程1、整式与分式整式就是由数字和字母通过加减乘运算组成的式子，比如3x²+2x5。
分式呢，就是两个整式相除，像(x+1)/(x2)。
整式和分式在运算时，要遵循先乘除后加减的原则，还要注意合并同类项。
2、一元一次方程一元一次方程就是含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程，比如2x+3=7。
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。
3、当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1、（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。
（3）若的平方根是2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】XXXXX：1、如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
例2、（1）下列说法正确的是（）A、1的立方根是；B、；（C）、的平方根是；（ D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、B、C、D、（3）的算术平方根是。
（4）若有意义，则___________。
（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。
（7）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。
求x － y的值、（8）求下列各数的平方根和算术平方根、64；；0、0004；(－25)2；11、1、44，0，8，，441，196，10－4（9）()2等于多少？()2等于多少？（10）()2等于多少？（11）对于正数a，()2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算、加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算、知识点三、【开平方性质】(1)=_________，=_________；(2)(2)=_________，=_________；(3)=_________，=_________；(4)(4)_________，=_________、知识点四、【立方根】XXXXX：1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。