2021北京海淀高三一模数学试卷(含答案)
1 / 14 2021北京海淀高三一模 数 学 2021. 04 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A＝{1}，B＝{x | x≥a）。若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 （A）（－∞、1） （B）（－∞，1] （C）（1，＋∞） （D）[1，＋∞）
（2）如图，在复平面内，复数z对应的点为P.则复数zi的虚部为
（A）1 （B）－1 （C）2 （D）－2 （3）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a5＝S5＝5，则a1＝
（A）－5 （B）－4 （C）－3 （D）－2
（4）在6()axx−的展开式中，x4的系数为12，则a的值为 （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 （5）函数①()sincosfxxx=+，②()sincosfxxx=，③21()cos()42fxx=+−中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是 （A）①② （B）② （C）③ （D）②③ （6）已知函数()fx满足(1)(1)fxfx+=−，且当x＞1时，f（x）＝log2x，则(8)(2)ff−−=
（A）－2 （B）－1 （C） 1 （D） 3 （7）已知a，b是单位向量，c＝a＋2b，若a⊥c，则|c|＝ 2 / 14
（A）3 （B）7 （C）3 （D）2 （8）已知点211(,)Axx，222(,)Bxx，1(0,)4C，则“△ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn若－a1＜a2＜a1，则
（A）{Sn}为递减数列 （B）{Sn}为递增数列
（C）数列{Sn}有最大项 （D）数列{Sn}有最小项
（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为a，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是
第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. （11）已知函数f（x）＝x3＋at若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2.则实数a的值是_____________。
（12）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为_____________。 3 / 14
（13）已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos,OAOB=_____________,若B是以OA为边的矩形的项点，则m＝____________。
（14）若实数，β满足方程组12cos2cos32sin2sin+=+=，则β的一个值是________。 （15）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线ax＋by＋c＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点词l的距离的最小值为d，约定：d1越大，分类直
线l的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第I组点，樽Q1，Q2，和Q3归为第
II组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L给出下列四个结论：
①直线x＝2.5比直线3x－y－5＝0的分类效果好； ②分类直线L的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；
④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
其中所有正确结论的序号是_________________。 4 / 14
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共14分）
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝26，CD＝6，cos A＝63，cos 13ADB=。 （I）求cos∠BDC； （II）求BC的长.
（17）（本小题共14分） 在如图所示的多面体中，AB//CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2. （I）求证：平面ABE//平面CDF； （II）设平面BEF∩平面CDF＝l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B－l－C的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①：AB⊥AD； 条件②：AE⊥平面ABCD： 条件③：平面AED⊥平面ABCD. 5 / 14
（18）（本小题共14分） 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（I）求a的值； （II）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列；
（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名
学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k＝0，1，2，…，20.当P20
（k）最大时，写出k的值.（只需写出结论）
（19）（本小题共15分） 已知函数f（x）＝x sin x.
（I）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性，并说明理由；
（II）求证：函数f（x）在（2，）内有且只有一个极值点； （III）求函数g（x）＝()1lnfxx+在区间（1，]上的最小值. （20）（本小题共14分） 6 / 14
已知椭圆M：22221xyab+=（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点. （I）求椭圆M的离心率； （II）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点.
（21）（本小题共14分） 已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m).
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）.
（I）若an＝5＋4×1()2n−（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（II）是否存在具有性质P（1）的数列{an}?若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（III）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式. 7 / 14
2021北京海淀高三一模数学 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B A C B D C C A D D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15）
答案 1− 2 55 5 0.答案不唯一.满足22ππ,3kk+Z或2π,kkZ即可 ②③④ 三、解答题共6小题，共85分。 （16）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）在ABD△中，因为6cos3A=，1cos3ADB=，
所以23sin1cos3AA=−=，222sin1cos3ADBADB=−=. 所以coscos(π)ABDAADB=−− cos()AADB=−+ (coscossinsin)AADBAADB=−− 61322633339=−+=.
因为//ABCD， 所以BDCABD=.
所以6coscos9BDCABD==.
（Ⅱ）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB=.
因为26AB=，
2021北京高三一模数学试卷含答案石景山
2021北京石景山高三一模数 学本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（ 1 ）已知集合{}1,3,5A =，{}2|160B x x =-<，则AB =（A ）{}1,3 （B ）{}3,5（C ）{1,3,5}（D ）0,4（） （ 2 ）下列函数中，是奇函数且最小正周期πT =的是（A ）1()f x x=（B ）3()f x x =（C ）()2sin cos f x x x = （D ）()sin f x x =（ 3 ）复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,0)-∞（C ）0+∞（，） （D ）(1,)+∞（ 4 ）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ 5）“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（ 6）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅＝（A ）232a -（B ）234a -（C ）234a（D ）232a（D ）（C ）（B ）（A ）正（主）视图直观图（ 7 ）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若F 是线段AB 的中点，则 | AB |=（A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4（ 8 ）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有 （A ） 81个（B ）90个（C ）100个（D ）900个（ 9 ）已知22,0,()32,0,x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤若|()|f x ax ≥在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值 范围是（A ）(,1][0,)-∞-+∞ （B ）[0,1]（C ）[1,0]-（D ）(1,0)-（10）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B (1,3-)，点C (4,2-)，且其“欧拉线”与圆M ：222()(3)x a y a r -+-+=相切．则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为 （A）（B）（C）（D ）6第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）双曲线221169x y -=的离心率为__________． （12）已知函数()|ln |f x x =，若1()8a f =，1()4b f =，(2)c f =，则,,a b c 从小到大排序为__________．（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的11122122,,,a a a a 的值．11a =_______，12a =_______，21a =_______，22a =_______．（14）在锐角△ABC中，5,2sin a c a b A ===，则B =__________，b =__________．（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2y x ω=+（ω∈R ），其中；然后，假设某虚拟货船空载时 吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙． 在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________． ① 若π=6ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； π0x ω≤≤② 若π=6ω，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③ 若=1ω，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则π2x =时，船底离海底的距离最大； ④ 若=1ω，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2π3x =时，船底离海底的距离最大． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，面ABFE 面CDEF EF =，AD ED ⊥，CD EA ⊥．（Ⅰ）求证：CD ∥平面ABFE ；（Ⅰ）若EF ED =，2=2CD EF =，求平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的大小．\（17）（本小题13分）已知有限数列{}n a 共有30项，其中前20项成公差为d 的等差数列，后11项成公比为q 的等比数列，记数列的前n 项和为n S ．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）,d q 的值；（Ⅰ）数列{}n a 中的最大项． 条件①：2521=4,=30,20a S a =； 条件②：320220,36,9S a a ==-=-； 条件③：1212448,20,160S a a ===．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（Ⅰ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X 表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X 的分布列和数学期望； （Ⅰ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1μ和2μ，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为21S 和22S ．试判断1μ和2μ的大小，以及21S 和22S 的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且经过点(2,0)A -和点(2,0)B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）M 和N 是椭圆C 上两个不同的点，四边形AMBN 是平行四边形，直线AM 、AN 分别交y 轴于点P 和点Q ，求四边形APFQ 面积的最小值．已知函数()()1e xa xf x a +=∈R ． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅰ）已知()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立，求a 的值．（21）（本小题15分）由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =（其中123m a a a a <<<<），记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”.（Ⅰ）分别判断集合1{1,2}M =与2{2,3}M =是否为“满集”，请说明理由； （Ⅰ）若集合M 为“满集”，求1a 的值； （Ⅰ）若123,,,,m a a a a 是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M 是否为“满集”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2021北京石景山高三一模数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．（11）54； （12）c b a << （13） 1,2,2,1 答案不唯一； （14）π,6（15）①④．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题13分）解：（Ⅰ）在五面体ABCDEF 中， 因为面ABCD 是正方形 ， 所以CD ∥AB ．又因为AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ， 所以CD ∥平面ABFE ．（Ⅱ）因为面ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD . 又因为CD ⊥AE . 又ADAE A =，所以CD ⊥平面ADE又因为DE ⊂平面ADE ，所以CD ⊥DE ． 因为面ABCD 是正方形 ，所以CD AD ⊥． 又因为AD ⊥DE ，所以以点D 为坐标原点，DA ,DC ,DE 分别为x ,y ,z 轴，如图建立空间直角坐标系．因为=22,CD EF EF ED ==(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ,(0,2,0)C ，(0,0,1)E .由（Ⅰ）CD ∥平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ， 平面CDEF平面ABFE EF =，所以CD ∥EF ．所以12EF DC =. 可得(0,1,1)F .由题意知平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC =设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =.由0,0,n BC n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,x y z -=⎧⎨-=⎩令1y =，得=1z ，0x =, 所以(0,1,1)n =设平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为θ.cos θ=222DC n DC n⋅==⋅所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为π4（17）（本小题13分）选择条件①：2521=4,=30,20a S a =解：（Ⅰ）因为{}n a 的前20项成等差数列，25=4,=30a S ，所以114,545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得12,2a d =⎧⎨=⎩．所以20=2192=40a +⨯．因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列， 所以212012a q a ==．综上，12,2d q ==． （Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d >0． 所以前20项为递增数列． 即:前20项的最大项为2040a =． 数列{}n a 的后11项成等比数列，12q =， 所以后11项是递减数列． 即:后11项的最大项为2040a =综上，数列{}n a 的最大项为第20项，其值为40． 选择条件②：320220,36,9S a a ==-=-解：（Ⅰ）因为{}n a 的前20项成等差数列，3200,36S a ==-，所以11330,1936a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 所以122.a d =⎧⎨=-⎩，因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，2036a =-，又因为229a =-， 2222014a q a == 所以12q =±．综上，12,2d q =-=±．（Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d <0． 所以前20项为递减数列． 前20项的最大项为12a =． 因为12q =±．i.当12q =时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，所以当2030n ≤≤时，0n a <．此时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当12q =-时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，后11项的最大项为2118a =.此时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18． 综上，当12q =时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2； 当12q =-时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18． 选择条件③：1212448,20,160S a a ===解：（Ⅰ）因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，212420,160a a ==，所以324218a q a ==， 解得2q =． 所以212010a a q==． 又因为{}n a 的前20项成等差数列，1148S a ==， 所以2012201a a d -==--． 综上，2,2d q =-=．（Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d <0． 所以前20项为递减数列． 前20项的最大项为148a =．{}n a 的后11项成等比数列，而2010a =，2q =， 20102(2030)n n a n n -*=⋅∈N ≤≤且，所以后11项为递增数列． 后11项的最大项为3010240a =综上，数列{}n a 的最大项为第30项，其值为10240． （18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A ， 由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以33381()56C P A C ==.所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为156. （Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家， 所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为12. 依题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.0033111(0)()(1)228P X C ==-=；123113(1)()(1)228P X C ==⋅-=； 223113(2)()(1)228P X C ==-=；3303111(3)()(1)228P X C ==-=.所以随机变量X 的分布列为：其数学期望13313012388882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）221212,S S μμ<=.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知2a =，1c =， 所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）因为四边形AMBN 是平行四边形，所以AB 与MN 的中点重合，所以M 、N 关于原点对称. 设11(,)M x y ，则11(,)N x y --.（1120x y ≠±≠且）112AM y k x =+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 令0x =，得1122y y x =+，即112(0,)2y P x +, 又112AN y k x =-， 直线AN 的方程为11(2)2y y x x =+-， 令0x =，得1122y y x =-，即112(0,)2y Q x -. 四边形APFQ 面积为13||||||22AF PQ PQ ⋅=，1112111228||||||224y y yPQ x x x =-=+--. 因为点M 在椭圆上，所以2211143x y +=，110y y ≠.所以2211443x y -=-.所以16||||PQ y =.所以当1y =时，min ||PQ =所以四边形APFQ面积的最小值为（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a =-时，1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，所以(0)1f =， (0)2f '=-切线l 的斜率为(0)2k f '==-.所以()f x 在0x =处的切线方程为21y x =-+. （Ⅰ）依题意，()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立， 2(1)e (1)(e )1()=(e )e x x x xax ax ax a f x ''+-+-+-'=当0a =时，1()ex f x '=-，由于e 0x >，则()0f x '<恒成立， 所以()f x 在R 内单调递减， 因为(0)1f =，故当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a ≠时，令()0f x '=，得11x a=-当0a <时，110x a=->，因为(0)1f =，那么,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以结合()f x 的单调性知：当0x <时，，不符合题意. 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：当01a <<时，110x a=-<，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当11,0)x a ∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a >时，110x a=->，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当10,1)x a ∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a =时，110a-=.由()f x 的单调性可知，max ()=(0)1f x f =，所以符合题意. 综上，1a =. （21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1M 是满集，2M 不是满集.1()3P M =，且1M 的子集为,{1},{2},{1,2}∅1,({1})()k k P P ==-∅，2,({2})()k k P P ==-∅，3,({1,2})()k k P P ==-∅所以1M 是满集；2()5P M =，且2M 的子集为,{2},{3},{2,3}∅4k =时不存在集合M 的两个子集A 、B ，使得4()()P A P B =-)成立， 所以2M 不是满集.（Ⅱ）设0()k P M =，因为集合M 为“满集”对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A 、B ，使得()()k P A P B =-)成立.则01()()k P A P B -=-，且()0P B ≥，所以0()P A k =或0()1P A k =-. 当0()P A k =时()1P B =，此时11a =； 当0()1P A k =-时()0P B =，因为123m a a a a <<<<，所以2m a a ++为最大01k -，此时11a =.综上11a =.（Ⅲ）集合M 是满集. 由题意知集合1{1,2,4,,2}m M -=，12()2112mm P M -==--，对任意的正整数21m k ≤-，根据二进制可知， 12222s i i i k =+++（10s i i m ≤<<<）.取21{2,,2,2}s i i i A =，B =∅.即()()k P A P B =-，所以集合M 为“满集”.【若有不同解法，请酌情给分】。
北京市海淀区2021-2022学年第一学期期末考试高三数学试题及答案
海淀区2021-2022学年第一学期期末练习高三数学 2022. 01本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1,2},{|(2)0}A B x x x =−=−<，则AB =(A) ∅ (B) {0} (C) {1} (D) {01}，（2）抛物线22x y =的准线方程为(A) 1x =− (B) 1y =− (C) 12x =− (D) 12y =−（3）复数52i+的虚部为 (A) 2− (B) 2 (C) 1− (D) 1（4）在421()x x−的展开式中，x 的系数为(A) 4− (B) 4 (C) 6− (D) 6 （5）已知角α的终边在第三象限，且tan 2=α，则sin cos −=αα(A) 1− (B) 1 (C) 5 (D)5（6）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和. 则“43a a >”是“对于任意*N n ∈且3n ≠，3n S S >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）若函数πsin(π)6y x =−在[0,]m 上单调递增，则m 的最大值为(A) 13(B) 12 (C) 23 (D) 1（8）已知圆C 过点(1,2),(1,0)A B −，则圆心C 到原点距离的最小值为(A) 12(B) 2 (C) 1 (D)（9）如图，,A B 是两个形状相同的杯子，且B 杯高度是A 杯高度的34，则B 杯容积与A 杯容积之比最接近的是 （A ）1:3 （B ）2:5 （C ）3:5 （D ）3:4（10）已知函数()2x f x =，()log a g x x =. 若对于()f x 图象上的任意一点P ，在()g x 的图象上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且||||OP OQ =，则实数a = (A)14 (B)12(C)2 (D)4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
海淀八模·2023届高三模拟测试卷(一)1各科试题及答案
一、单选题1．若非空且互不相等的集合A 、B 、C ，满足：A ∪B =A ，B ∩C =C ，则A ∩C =（ ）A ．AB ．BC ．CD ．∅2．已知复数z 满足(z −1)i =1+i （其中i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√53．在△ABC 中，满足A >2B ，则下列说法正确的是（ ）A ．cosA <2cosB B ．sinA >2sinBC ．sinA >sin2BD ．tanA >2tanB4．已知直线m ，n 是平面α的两条斜线，若m ，n 为不垂直的异面直线，则m ，n 在平面α内的射影m ′，n ′（ ）A ．不可能平行，也不可能垂直B ．可能平行，但不可能垂直C ．可能垂直，但不可能平行D ．可能平行，也可能垂直5．已知a =ln22，b =ln33，c =ln65，则正确的大小顺序是（ ） A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b6．已知数列{a n }满足a n =n ，在a n ，a n+1之间插入n 个1，构成数列{b n }：a 1，1，a 2，1，1，a 3，1，1，1，a 4，⋯，则数列{b n }的前100项的和为（ ） A ．178B ．191C ．206D ．2167．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1625BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +1225BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若函数f(x)=P(x ≤ξ≤x +2)是偶函数，则实数μ=（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题9．已知二项式(x −1x 2)2022，则下列说法中正确的有（ ） A ．二项展开式中有常数项 B ．二项展开式的系数和为0 C ．二项展开式的第2项系数为2022 D ．二项展开式的第1012项的系数最大10．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是底面ABCD 内的动点，若B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xB 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ，y ∈R)，则（ ）A ．B 1P ⊥BD 1 B ．B 1P//平面A 1DC 1C ．四面体PA 1DC 1的体积为定值D ．B 1P 与底面ABCD 所成的角最大为45∘11．已知圆C ：(x −3)2+(y −2)2=1，点A(2，0)，过点A 的直线与圆C 交于两点P ，Q ，且AP <AQ ．则（ ）A ．直线PQ 的斜率k ≥1B ．AQ 的最小值为2C ．AP 的最小值为√5−1D ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4 12．已知函数f(x)=|sinx|cosx ，x ∈R ，则（ ）A ．函数f(x)的值域为[−12，12]B ．函数f(x)是一个偶函数，也是一个周期函数C ．直线x =3π4是函数f(x)的一条对称轴D ．方程f(x)=log 4x 有且仅有一个实数根三、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2−1<0”的否定是 ．14．已知θ为第二象限角，若tan(θ+π4)=12，则sinθ+cosθ的值为 ．15．在三棱锥A −BCD 中，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB =2，BC =CD =4，则AC 与BD 所成角的余弦值为 ．16．设随机变量ξ的分布列如下：且数列{a n }满足P(ξ≤k)=ka k (k =1，2，3，⋯，10)，则E(ξ)= ．四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n =3−22n ．（1）若b n =2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列； （2）求出数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ．18．在△ABC 中，AB ⋅tanC =AC ⋅tanB ，点D 是边BC 上一点，且满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． （1）证明：△ABC 为等腰三角形； （2）若BD =3CD ，求∠BAC 的余弦值．19．如图，以C 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 所在的平面与以O 为圆心的半圆弧AB ⌢所在的平面垂直，P 为AB⌢上异于A ，B 的动点，已知圆O 的半径为1．（1）求证：CO ⊥PB ；（2）若二面角P −BC −A 的余弦值为√77，求点P 到平面ABC 的距离．20．某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如下表：附：x2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d）．临界值表：（1）是否有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关？（2）从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．21．已知函数f(x)=xe x−1．（1）求函数f(x)的极值，（2）对任意实数x>0，f(x)≤(x−a)lnx+1恒成立，求正实数a的取值范围．22．离心率为e的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过抛物线y2=8x的焦点，且直线y=ex是双曲线x 24−y23=1的一条渐近线．椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线PQ过x轴上一定点(m，0)，求k1k2（用含m的式子表示）．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】A,B 10．【答案】A,B,C 11．【答案】C,D 12．【答案】A,B,D13．【答案】∃x ∈R ，x 2−1≥014．【答案】−√10515．【答案】√10516．【答案】5.517．【答案】（1）解：由S n +a n =3−22n ，得S n−1+a n−1=3−22n−1，n ≥2．相减得2a n −a n−1=22n ，即a n =12a n−1+12n ．所以b n −b n−1=2n a n −2n−1a n−1=2n (12a n−1+12n )−2n−1a n−1=1，故数列{b n }是等差数列．（2）解：当n =1时，S 1+a 1=3−1，则a 1=1，b 1=21a 1=2， 由于数列{b n }是等差数列，故b n =2n a n =n +1，∴a n =n+12n ． ∴S n =−a n +3−22n =3−n+32n ．18．【答案】（1）证明：在△ABC 中，AB ⋅tanC =AC ⋅tanB ，即ctanC =btanB ，则c ⋅sinCcosC=b ⋅sinBcosB， 由正弦定理c sinC =b sinB ，得sin 2C cosC =sin 2B cosB ，1−cos 2C cosC =1−cos 2B cosB ，化简得(1+cosBcosC)(cosB −cosC)=0．因为B ，C ∈(0，π)，所以cosB ，cosC ∈(−1，1)，所以1+cosBcosC ≠0， 则cosB −cosC =0.又因为y =cosx 在(0，π)上单调递减，所以B =C ， 所以△ABC 为等腰三角形．（2）解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以AB ⊥AD ，有∠BAD =90°． 所以sin∠BDA =AB BD ，cos∠BAC =cos(π2+∠CAD)=−sin∠CAD ． 由（1）得AB =AC ，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin∠CAD =ACsin∠CDA， 所以sin∠CAD =CD AC sin∠CDA =CD AC sin(π−∠CDA)=CD AC sin∠BDA =CD AC ⋅AB BD =CD 3CD =13， 所以cos∠BAC =−sin∠CAD =−13．19．【答案】（1）证明：等腰△ABC 中，因为CA =CB ，O 是AB 中点，所以CO ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面PAB ，平面ABC ∩平面PAB =AB ，CO ⊂平面ABC ， 所以CO ⊥平面PAB ，又因为PB ⊂平面PAB ，所以CO ⊥PB ．（2）解：取弧AB⌢中点D ，连结OD ，则OC ，OB ，OD 两两垂直且OC =OB =OD =1， 以{OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为单位正交基底，建立空间直角坐标系O −xyz ，则C(1，0，0)，B(0，1，0)，设P(0，a ，b)，其中a ∈(−1，1)，b ∈(0，1]，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1−a ，−b)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)， 设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x −y =0(1−a)y −bz =0，取y =b ，可得x =b ，z =1−a ，所以n ⃗ =(b ，b ，1−a)， 因为平面ABC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0，0，1)，因为a ∈(−1，1)，所以cos <m ⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗⃗ |⋅n ⃗⃗ ∣=√2b 2+(1−a)2>0， 则√2b 2+(1−a)2=√77，得3(1−a)2=b 2， 又因为OP =1，所以a 2+b 2=1，结合a ∈(−1，1)，b ∈(0，1]，解得a =12，b =√32，所以点P 到平面ABC 的距离为√32．20．【答案】（1）解：由表格得a +10=18，所以a =8，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=48×(8×20−10×10)218×30×18×30=1627≈0.59<2.706， 所以没有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关．（2）解：“第一次取到女教师备课本”的概率为3048，“第一次取到女教师良好备课本且第二次取到优秀备课本”的概率为10×3048×47．“第一次取到女教师优秀备课本且第二次取到优秀备课本”的概率为20×2948×47．所以“第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本”的概率为10×30+20×2948×473048=88141．21．【答案】（1）解：由题意，函数f(x)=x e x−1，可得f ′(x)=1−x ex−1，令f ′(x)=0，可得x =1，所以函数f(x)的极大值为f(1)=1，无极小值．（2）解：令g(x)=f(x)−(x −a)lnx +1=xex−1−(x −a)lnx −1，可得g ′(x)=1−x ex−1−lnx −1+ax ，因为对任意实数x >0，f(x)≤(x −a)lnx +1恒成立，即g(x)max ≤0，设ℎ(x)=g ′(x)=1−x e x−1−lnx −1+a x ，a >0，可得ℎ′(x)=x−2e x−1−1x −a x 2<x−2ex−1−1x ，若x ∈(0，2]时，ℎ′(x)<0；若x >2，令t(x)=x −1−2ln(x −1)，可得t ′(x)=1−2x−1=x−3x−1>0当x ∈(2，3)时，t ′(x)<0，t(x)单调递减； 当x ∈(3，+∞)，t ′(x)>0，t(x)单调递增，所以t(x)min =t(3)=2−2ln2=2(1−ln2)>0，所以x −1>ln(x −1)2， 两边取指数得到e x−1>(x −1)2，因为当x >2时，ℎ′(x)=x−2e x−1−1x −a x 2<x−2e x−1−1x <x−2(x−1)2−1x =x 2−2x−(x 2−2x+1)x(x−1)2=−1x(x−1)2<0，所以g ′(x)在(0，+∞)递减， 又由g ′(1e )=1−1ee 1e −1−ln 1e −1+a 1e>0； g ′(a +1)=−a ea −ln(a +1)−1+a a+1<0， 由零点存在定理知，存在唯一x 0∈(1e，a +1)，使得g ′(x 0)=0，所以g(x 0)≤0，因为g(1)=0，则x 0=1，g ′(1)=0，所以a =1．22．【答案】（1）解：抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2，0)，所以22a 2+02b2=1(a >b >0)，所以a =2，双曲线x 24−y 23=1的渐近线为y =±√32x ，又直线y =ex 是双曲线x 24−y 23=1的一条渐近线，所以e =√32，即c a =√32，所以c =√3，所以b 2=a 2−c 2=22−(√3)2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）解：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =ty +m ，与椭圆方程联立，有{x 24+y 2=1，x =ty +m ，消去x 得，(t 2+4)y 2+2tmy +m 2−4=0， 则(2tm)2−4(t 2+4)(m 2−4)>0，且{ y 1+y 2=−2tmt 2+4，y 1y 2=m 2−4t 2+4， 由x 124+y 12=1，得y 1x 1+2=2−x14y 1． 由题意，k 2≠0，所以k1k 2=y 1x 1+2y 2x 2−2=y 1(x 2−2)y 2(x 1+2)=(2−x 1)(x 2−2)4y 1y2=−t 2y 1y 2+(mt−2t)(y 1+y 2)+m 2−4m+44y 1y 2， 代入得，k 1k 2=−t 2×m 2−4t 2+4+(mt−2t)×−2tm t 2+4+m 2−4m+44×m 2−4t 2+4=−t 2(m 2−4)+(mt −2t)×(−2tm)+(m 2−4m +4)(t 2+4)4(m 2−4)=2−m 2+m ．。
2021年北京市海淀区初三数学一模试题及答案
2021年北京市海淀区初三数学一模试题及答案北京市海淀区2021年一模第1页北京市海淀区2021年抽样测试初三数学试卷2021.5一、选择题(本题共32分, 每小题4分)下面各题均有四个选项, 其中只有一个是符合题意的．．．1． ?1的倒数是 211 D.? 22A. 2 B.?2 C.2． 2021年2月12日至28日，温哥华冬奥会官方网站的浏览量为275 000 000人次.将275 000 000用科学记数法表示为A. 2.75?10B.27.5?10C. 2.75?10D.0.275?1077893. 右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A. 圆柱B. 正方体C. 球4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为A. 5B.6C. 7D. 圆锥D. 85．一个布袋中有4个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，1个红球．从袋中任意摸出1个球是白球的概率是6．四名运动员参加了射击预选赛，他们成绩的平均环数x及其方差s如表所示．如果23 4B．12 C． 43D．1 3选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选 A．甲 B．乙322 C．丙 D．丁7．把代数式 3x?6xy?3xy分解因式，结果正确的是A．x(3x?y)(x?3y)B．3x(x2?2xy?y2)EAFBDCC．x(3x?y)2 D．3x(x?y)28. 如图,点E、F是以线段BC为公共弦的两条圆弧的中点，BC?6. 点A、D分别为线段EF、BC上的动点. 连接AB、AD，设BD?x，AB?AD?y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象是22A． B． C． D．北京市海淀区2021年一模二、填空题(本题共16分, 每小题4分) 9. 函数y? 第3页3x?1的自变量x的取值范围是．10. 如图, ?O的半径为2，点A为?O上一点，OD?弦BC于点D，OD?1,则?BAC?________?OAD11. 若代数式x?6x?b可化为(x?a)?1，则b?a的值是．2212. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn?1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ (用含n的式子表示)．三、解答题(本题共30分, 每小题5分)13. 计算：12?2cos30??(3?1)?() ．0?11214. 解方程：2x3??2． x?3x?315. 如图, △OAB和△COD均为等腰直角三角形，?AOB??COD?90?, 连接AC、BD.求证: AC?BD.BC DAO 16. 已知：x?3x?10，求代数式(x?2)?x(x?10)?5的值. 17. 已知：如图，一次22函数y?33的图象在第一象限的交点为A(1，n)． x?m与反比例函数y?3x(1) 求m 与n的值；(2) 设一次函数的图像与x轴交于点B，连接OA，求?BAO的度数．北京市海淀区2021年一模第5页18. 列方程(组)解应用题：2021年12月联合国气候会议在哥本哈根召开．从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．四、解答题(本题共20分, 第19题6分, 第20、21题每小题5分, 第22题4分)19. 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?DCB?90?，AC?BD于点O，DC?2,BC?4，求AD的长.AOD20. 已知：如图，?O为?ABC的外接圆，BC为?O的直径，作射线BF，使得BA平分?CBF，过点A作AD?BF于点D. (1) 求证：DA为?O的切线；BC(2) 若BD?1，tan?BAD?1，求?O的半径. 2AFDBOC感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年北京市海淀区高考数学考前热身练习试卷(三模)【含答案】
2021年北京市海淀区高考数学考前热身练习试卷（三模）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}【分析】根据集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则log2a＝0，b＝0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q＝{0}，∴log2a＝0∴a＝1从而b＝0，P∪Q＝{3，0，1}，故选：B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．（4分）若||＝||＝1，（+2）⊥，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用向量的垂直，推出关系式，通过数量积转化求解向量的夹角即可．【解答】解：||＝||＝1，（+2）⊥，可得＝0，即：1+2cos＝0，所以＝120°．故选：C．【点评】本题考查向量的夹角的求法，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．3．（4分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b 的值，求出a+b．【解答】解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4．（4分）直线x+ay+2＝0与直线ax+y+2a2＝0平行，则实数a的值为（）A．1或﹣1B．0或﹣1C．﹣1D．1【分析】利用两条直线平行的充要条件列出方程组，求解即可．【解答】解：因为直线x+ay+2＝0与直线ax+y+2a2＝0平行，所以，解得a＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了两条直线位置关系的应用，解题的关键是掌握两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．5．（4分）甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学成绩的极差为18；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①④C．②④D．②③【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算甲、乙二人的中位数、平均数、方差，再求出甲的极差．【解答】解：根据茎叶图中数据，计算甲的中位数是×（80+82）＝81，乙的中位数是×（87+88）＝87.5，所以甲的中位数小于乙的中位数，①错误；计算甲的平均数是＝×（72+76+80+82+86+90）＝81，方差是＝×[（72﹣81）2+（76﹣81）2+（80﹣81）2+（82﹣81）2+（86﹣81）2+（90﹣81）2]＝，乙的平均数是＝×（69+78+87+88+92+96）＝85，方差是＝×[（69﹣85）2+（78﹣85）2+（87﹣85）2+（88﹣85）2+（92﹣85）2+（96﹣85）2]＝，所以甲的平均分比乙的低，②错误，甲的方差小于乙的方差，④正确；计算甲同学成绩的极差为90﹣72＝18，所以③正确；综上知，正确的命题序号是③④．故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数、方差和极差的应用问题，是基础题．6．（4分）我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A．8﹣πB．8﹣2πC．12﹣2πD．12﹣π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法求出结合体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由长为3，宽为2，高为2的长方体，在长方体的两头挖去两个半圆柱组成的不规则的几何体；故V＝2×3×2﹣π•12•2＝12﹣2π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）已知函数f（x）的图象沿x轴向左平移2个单位后与函数y＝2x的图象关于x轴对称，若f（x0）＝﹣1，则x0＝（）A．﹣2B．2C．﹣log23D．log23【分析】将函数y＝2x的图象逆向变换（即先关于x对称，再向右平移2个单位）可得到f（x）的解析式，再结合指数的运算法则，求解即可．【解答】解：函数y＝2x的图象关于x轴对称的函数为y＝﹣2x，将其向右平移2个单位，得到f（x）＝﹣2x﹣2，∵f（x0）＝﹣1，∴＝﹣1，即x0﹣2＝0，∴x0＝2．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换，熟练掌握函数图象的平移与对称变换原则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＞S8，S8＝S9＜S10，则下面结论错误的是（）A．a9＝0B．S15＞S14C．d＜0D．S8与S9均为S n的最小值【分析】由已知可得a8＜0，a9＝0，a10＞0，d＞0，然后结合各选项进行分析即可求解．【解答】解：因为等差数列{a n}，S7＞S8，S8＝S9＜S10，所以S7﹣S8＝﹣a8＞0，S9﹣S8＝a9＝0，S10﹣S9＝a10＞0，即a8＜0，a9＝0，a10＞0，d＞0，故A正确，C错误；S15﹣S14＝a15＞0，即S15＞S14，故B正确；由a8＜0，a9＝0，a10＞0可知S8与S9均为S n的最小值，D正确．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，还考查了考生分析问题的能力．9．（4分）在△ABC中，“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若B为钝角，A为锐角，则sin A＞0，cos B＜0，则满足sin A＞cos B，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cos B＜cos（﹣A），即cos B＜sin A，故“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．10．（4分）已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则满足条件的整数a的个数为（）A．2B．3C．4D．无数【分析】作出f（x）的函数图象，由不等式表示的几何意义，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：表示点（x，f（x））与点（a，1）所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点（x，f（x））（x为整数）和点（a，1）所在直线的斜率大于0，而点（a，1）在到直线y＝1上运动，由f（0）＝0，f（1）＝3，f（2）＝0，可得当﹣1≤a≤0时，只有点（1，3）满足；当1≤a≤2时，只有点（0，0）满足．综上可得a的范围是[﹣1，0]∪[1，2]．故满足条件的整数a有：﹣1，0，1，2共四个．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）双曲线＝1的渐近线方程为y＝±2x．【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．【解答】解：已知双曲线﹣x2＝1令：﹣x2＝0即得到渐近线方程为：y＝±2x故答案为：y＝±2x【点评】本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的求法．12．（5分）设（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1＝10．【分析】根据a1是x的系数，求出二项展开式的通项公式，令x的次数为1，进行求解即可．【解答】解：a1是x的系数，展开式的通项公式为k k+1＝C（2x）5﹣k（﹣1）k＝C25﹣k x5﹣k（﹣1）k，由5﹣k＝1得k＝4，则a1＝2•（﹣1）4＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式系数的求解，求出二项式的通项公式是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知f（x）＝sin（x﹣θ）+cos（x+θ）是偶函数，且θ∈[0，π]，则θ＝．【分析】正弦函数的图象关于y轴对称，从而当x＝0时，函数取得最值，代入函数后，结合正弦函数对称轴处取得函数最值可求．【解答】解∵f（x）＝sin（x﹣θ）+cos（x+θ）是偶函数，故函数的图象关于y轴对称，根据正弦函数的对称性可知，当x＝0时，f（x）取得最值，故﹣sinθ+cosθ＝±2，所以sinθ﹣cosθ＝±2，即2（）＝±2，所以sin（）＝±1，因为θ∈[0，π]，则θ＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，解题的关键是正弦函数在对称轴处取得最值条件的应用．14．（5分）能够说明命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0是假命题的一个实数a是．【分析】若命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0是假命题，则命题￢p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0是真命题，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0是假命题则命题￢p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0是真命题，即Δ＝4a2﹣4a＜0，解得：a∈（0，1），故答案为：（答案不唯一，（0，1）上任意数均可）【点评】本题考查的知识点是命题的否定，二次函数的图象和性质，难度中档．15．（5分）向量集合，对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：①若S为“C类集”，则集合也是“C类集”；②若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”；③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪A2也是“C类集”；④若A1，A2都是“C类集”，且交集非空，则A1∩A2也是“C类集”．其中正确的命题有①②④（填所有正确命题的序号）．【分析】由新定义“C类集”，结合不等式的性质和集合的运算性质，即可判断结论．【解答】解：①若S为“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈S，集合，可得对于任意μ，μ∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λμ+（1﹣λ）μ∈M，故①正确；②若S是“C类集”，则对于任意，∈S，以及任意λ1∈（0，1），都有λ1+（1﹣λ1）∈S，T是“C类集”，则对于任意，∈T，以及任意λ2∈（0，1），都有λ2+（1﹣λ2）∈T，可得对于任意+∈M，+∈M，以及任意λ∈（0，1），都有λ（+）+（1﹣λ）（+）∈M，故②正确；③若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈A2，设M＝A1∪A2，M为A1，A2中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C类集”的定义，故③错误；④若A1“C类集”，可得对于任意，∈A1，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈A1，A2是“C类集”，对于任意，∈A2，以及任意λ∈（0，1），都有λ+（1﹣λ）∈A2，设M＝A1∩A2，M为A1，A2中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C类集”的定义，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查集合的新定义的理解和运用，考查定义法解题，以及推理能力，属于基础题．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2021北京高三一模数学试卷含答案 东城 西城 朝阳 丰台等
2021北京朝阳高三一模数 学2021．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则AB =（A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}（C ）{2,3} （D ）{3}（2）如果复数2iib +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b = （A ）2-（B ）1（C ）2（D ）4（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =（A ）0（B ）1-（C ）2-（D ）3-（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为k =（A （B ）（C ）2（D ）3（5）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）y =（B ）y x = （C ）12y x =±（D ）2y x =±（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）2π3（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（A ）2（B（C（D ）（8）在ABC △中，“tan tan 1A B <”是“ABC △为钝角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且5AF =，则PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为 （A ）8（B）（C（D ）6（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直．当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是 （A ）1（B ）54（C（D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021北京门头沟高三一模数学试卷(含答案)
2021北京门头沟高三一模数学2021.3 考生须知1.本试卷共5页。
请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。
2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。
4.考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数z＝i（1－i）的模| z |＝（A（B）2（C）1（D）122.集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|| x |≤2}, 则A∩B＝（A）R（B）[－2,＋∞）（C）（0,2]（D）（0,＋∞）3.二项式522xx⎛⎫−⎪⎝⎭展开式中，x4的系数是（A） 40（B） 10（C）－40（D）－10 4.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为（A） 2（B）（C） 4（D）5.数列{a n}中，a1＝1,a n＋1＝－2a n，数列{b n}满足b n＝| a n |，则数列{b n}的前n项和S n＝（A）1(2)3n−−（B）123n+（C）21n−（D）(2)1n−−6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A）10分钟（B）12分钟（C）14分钟（D）16分钟7. "ln(x＋1)＜0"的一个必要而不充分条件是（A）－1＜x＜1e−（B）x＞0（C）－1＜x＜0（D）x＜08.在平面直角坐标系xOy中，角a与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若cos5α=，则cos（a－β）＝（A）35−（B）35（C）1（D）349.已知抛物线C:y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝（A） 1（B） 2（C） 9（D） 1810.在平面直角坐标系中，从点P（－3,2）向直线kx－y－2－k＝0作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是（A）5−（B）（C）（D） 17二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。
2021年北京东城高三一模数学及答案(高清版)
2021北京东城高三一模数学2021.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <1}，那么A ∪B ＝（A ）（－1，2）（B ）（－1，1）（C ）（－∞，2）（D ）（－∞，1）（2）在复平面内，复数（1＋2i ）i 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（A ）18（B ）22（C ）40（D ）60（4）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（A ）92（B ）9（C ）272（D ）27（5）已知圆x 2＋y 2＝1截直线y ＝k （x ＋1）（k >0）所得弦的长度为1，那么k 的值为年级人数高一550高二500高三450合计1500学习是一件很有意思的事（A ）12（B）3（C ）1（D（6）已知函数2102,()6,2,x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式f （x ）（A ）（0，1]（B ）（0，2]（C ）[1，4]（D ）[1，6]（7）“x y <”是“ln ln x y <”成立的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）宽与长的比为心，10.6182-≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC1-，AB ＞BC ，那么AB AC ⋅ 的值为（A1-（B1+（C ）4（D）2（9）已知椭圆221221x y C a b+=：（a >b >0）的右焦点F 与抛物线222(0)C y px p =>：的焦点重合，P 为椭圆C 1与抛物线C 2的公共点，且PF ⊥x 轴，那么椭圆C 的离心率为（A1（B）3（C）2（D1-（10）如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线y ＝f （x ）连接在一起，需满足要求：曲线y ＝f （x ）经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD，那么下列说法正确的是（A ）存在曲线y ＝ax 3＋bx 2－2x ＋5（a ，b ∈R ）满足要求（B ）存在曲线y ＝sin cos 2ax bx +＋c （a ，b ，c ∈R ）满足要求（C ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意满足要求的曲线y ＝g （x ），存在实数λ，μ，使得g（x ）＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）（D ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意实数λ，μ，当λ＋μ＝1时，曲线y ＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）满足要求第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021北京西城高三一模数学试卷(含答案)
2021北京西城高三一模数 学2021.4本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A ＝{x | x ≥1}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝（A ）{2}（B ）{1，2}（C ）{0，1，2}（D ）{x | x ≥－1}（2）已知复数z 满足2z z i −=，则z 的虚部是（A ）－1 （B ）1（C ）－i（D ）i（3）在621()x x −的展开式中，常数项为 （A ）15（B ）－15（C ）30（D ）－30（4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（A ）12 （B ）8（C ）16 （D ）8+（5）已知函数22()log f x x x=−，则不等式()0f x >的解集是 （A ）（0，1） （B ）（－∞，2） （C ）（2，＋∞）（D ）（0，2）（6）在△ABC 中，C ＝90º，AC ＝4，BC ＝3，点P 是4B 的中点，则CB CP ⋅=（A ）94（B ）4 （C ）92（D ）6（7）在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6 sin B ，则c ＝（A （B （C ） 6（D ）5（8）抛物线具有以下光学性质:从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y 2＝4x 的焦点F 发出的两条光线a ,b 分别经抛物线上的A ,B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a'和b'之间的距离为（A （B ）83（C （D （9）在无穷等差数列{a n }中，记n T ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－…＋(－1)n+1，a n （n ＝1,2,…），则“存在m ∈N*，使得m T <2m T +”是“{a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，则记△（X ）＝M －m .下列命题中正确的是（A ）已知X ＝{－1，1}，Y ＝{0，b }，且△（X ）＝△（Y ），则b ＝2（B ）已知X ＝[a ，a ＋2]，Y ＝{y |y ＝x 2，x ∈X }，则存在实数a ，使得△（Y ）<1 （C ）已知X ＝（xf （x ）≥g （x ）x ∈[－1，1]}，若△（X ）＝2，则对任意X ∈[－1，1]，都有f （x ）≥g （x ）（D ）已知X=[a ，a ＋2]，Y ＝[b ,b ＋3]，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得△（X ∪Y ）≤3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021年北京市海淀区高三期末数学试卷整体评析
1 2021年北京市海淀区高三期末数学试卷整体评析一．总评 期末考试如期而至，这份试卷给人的总体印象就是：体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想、方法的考查。试题考查全面，涵盖了高中学习的重点内容，布局合理、难度水平略高于2020年高考难度。既考查了学生对于基础知识、基本技能、基本运算的掌握，又考查了学生观察、分析、猜想、论证的综合思维能力。 试卷的题型与去年高考题型一致，即10道选择、5道填空、6道大题的试卷结构所占分值分别为40分、25分、85分。试卷由基础题、中档题以及少量拔高题组成。试卷对贯穿高中数学课程主要脉络的函数、三角函数、立体几何、平面解析几何、概率统计、数列等模块的考查依旧保持了较高的比例，并具有一定的深度；对复数、向量、不等式等基本知识的考查体现了高考试题的全面性；试卷既对数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想）做了全方位的考查，同时渗透考查新课程改革中数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养，充分体现了北京高考对能力的全面考查。 二．分评
（一）具体知识模块考查方式 1.预备知识与函数模块：函数性质、三角函数、逻辑语言、数列依然是高考的重点；导数题目出现在20题位置，第一问研究函数单调性比较常规，第二问不等式问题与导数的结合，对函数构造的技巧要求较高，第三问需要借助第二问的结果合理放缩，考查了学生灵活处理问题的能力。
2.几何与代数模块：复数的运算与几何表示，平面向量的模长与数量积，解三角形正余弦定理的应用，立体几何三视图、线面平行、垂直与线面角，抛物线双曲线的定2
义与基本性质的考查方式都比较常规，平时做好基础知识的复习即可得分；填空压轴多选题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，还涉及到几何条件的转化，圆锥曲线题目（19题）考查了单动点模型下的面积求参问题，对基本逻辑步骤与消元技巧的要求都比较高，学生得满分有一定困难。