辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题答案
沈阳市郊联体2020－2021学年第一学期期末测试 高一数学试卷标准答案 一、【单项选择题】 1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 6、C 7、A 8、B 二、【多项选择题】 9、AC 10、AC 11、ACD 12、ABD 【详细解答】
1、由题意，因为2,1a，(6,)bk，且ba//
，所以12k，故选A；
2、因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70%， 所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取10070%70人， 故选B； 3、 A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件； B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件
之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D正确； 4、函数0ayxx与log0ayxx， 选项A中没有幂函数图像； 选项B中0ayxx中1a，log0ayxx中01a，不符合； 选项C中0ayxx中01a，log0ayxx中1a，不符合； 选项D中0ayxx中01a，log0ayxx中01a，符合，故选D 5、考察零点的存在性定理，由于2()ln(1)fxxx，可知xf在，0单调递增， 依次带入数值：013ln2,022ln1ff，可知存在2,10x，使得00xf 故选B； 6、13301.0a，10.903，22log0.2log10c， 所以cba，故选C； 7、由已知，从第一行的第5个数开始,即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取： 937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），035（保留），159（保留），775（保留），956（超范围，剔除），780（保留）
故留下的8个编号为：060，223，585，151，035，159，775，780， 按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780， 因为数据的个数为8，而且758%=6，所以样本编号的75%分位数为6802775585，故选A 8、 设这台机器破译密码所需时间大约为x秒，则256112105.2x 两边同时取以10为底的对数可得：256112lg105.2lgx 即658.65122lg258lg2lg256112lg21lgxx、 可得658.065658.65101010x，又653.02lg3lg229lg5.4lg 所以0.65810可以近似表示为4.5，故65105.4x，故选B 9、由频率分布直方图可知，成绩在[70，80]的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故A正确；成绩在[40，60]的频率为0.2100.015100.005，故不及格的人数为4000.22000，故B不正确；成绩在[70，80]的频率最大，故众数为75，故C正确；成绩
在[40，70]的频率和为0.4，所以中位数为73.330.30.11070，故D错误；故选AC
10、由基底向量的概念，baba22，两向量平行，不能做基底，故A错误； 由于cba,,均为非零向量，所以cbba//,//，则一定平行于c，B正确；若ba//，使得ba，要强调0b，C错误；由定义可知，D选项正确． 故选不正确的为AC．
11、函数||24xfxxa, ①对于选项A：由于xR,且fxfx-＝,故函数fx为偶函数．故选项A正确． ②对于选项B：当0x时2a时,0fx,故选项B错误． ③对于选项C：由于函数fx的图象关于y轴对称,在0x时,函数为单调递增函数,在0x时,函数为单调递减函数,
故fx在,1上单调递减,故选项C正确． ④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称,且在0x时,函数为单调递增函数,在0x时,函数为单调递减函数,故存在实数0a时, 使得关于x的不等式5fx的解集为,11,,故选项D正确．
故选ACD. 12、P是斜边BC上一点，且满足，则＝+， 若，，则＝+，又由M、P、N三点共线，则+＝1， 可得+＝3；故+为常数，故A正确； 对于B，m+2n＝（+）（m+2n）＝[5++]≥[5+2×]＝3， 当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，则m+2n的最小值为3，故B正确； 对于C，m+n＝（+）（m+n）＝[3++]≥[3+2×]＝1+， 当且仅当n＝m时等号成立，故C错误； 对于D，当，n＝2，满足+＝3，此时M为AB的中点，C为AN的中点， 符合题意，故D正确；故选ABD． 三、【填空题】 13、13 14、,22,【写成2x或2x或集合也给满分】 15、-3 16、 1 ； 4【第一空2分，第二空3分】 【详细解答】 13、由题意可得88689694868580827879xx
58328081yy，所以13yx
14、由题意画图，
当2x时，0xf，故0xfx成立； 当20x时，0xf，故0xfx不成立； 当02x时，0xf，故0xfx不成立； 当2x时，0xf，故0xfx成立； 综上，x的取值范围是：2x或2x
15、2142log（827）23lg1100（21）
lg1
19442+1＝﹣3．
故答案为﹣3．
16、画出20.521,0log,0xxxfxxx的图像有： 因为方程fxa有四个不同的解1234,,,xxxx,故fx的图像与ya有四个不同的交点,又由图,01f, 12f，故a的取值范围是1,2,故a的最小值是1.
又由图可知,1212122xxxx
,0.530.54
loglogxx
,
故0.530.540.534
logloglog0xxxx
,故341xx.
故41242
344
16162xxxxxxx.
又当1a时, 0.544log12xx.当2a时, 0.544log24xx, 故42,4x.又44162yxx在42,4x时为减函数,故当42x时，4
4
162yxx
取最大值162242y.
四、【解答题】【详细答案】
17、【解析】（本小题满分102分） （，）由题意可知()0.8PA，()0.7PB，且事件A，B相互独立，
事件“甲、乙二人都破译密码”可表示AB
，
所以()()()0.80.70.56PABPAPB； ………2分 （，）事件“恰有一人破译密码”可表示为+ABAB，且AB，AB互斥 所以(+)()+()()()+()()PABABPABPABPAPBPAPB
0.20.70.80.30.38
………5分
（，）错误原因：事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式 ………7分 正确解答过程如下 “密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码” 可以表示为+ABABAB，且AB，AB，AB两两互斥 所以(+)()+()()()()+()()()()PABABABPABPABPABPAPBPAPBPAPB
0.20.70.80.30.80.70.94 ………10分
若 【※注意※】 记C=“甲、乙二人中至少有一人破译密码” 所以94.03.02.0111BPAPBAPCP ………10分 18、【解析】（本小题满分12分） （，）由已知，将2m代入22210xmxm，可得2430xx ，
解得13x，即{|13}Bxx ………2分 又32|222|8241|32xxAxAxAxx， ………4分 所以{|13}ABxx. ………6分 （，）若选B：由22210xmxm，得(1)(1)0xmxm， 11mxm，{|11}Bxmxm， ………8分
由p是q的必要非充分条件，得集合B是集合A的真子集 1213mm
， ………10分
解得12m， ………12分
若选C：由||2xm，得22mxm，
{|22}Cxmxm， ………8分
由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子集 2223mm
， ………10分
解得01m ………12分
19、【解析】（本小题满分12分） 解：（，）指标Y的平均值为： 47.10368.37636128.10184.10610Y ………2分 （，）由分层抽样方法知： 先抽取的6件产品中，指标Y在[9.8，10.2）的有1件，记为A，
在[10.2，10.6）的有3件，记为B
1，B2，B3，在[10.6，11.0]的有2件，记为C1，
C2， ………2分
从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为： （A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期期末数学试题
【分析】
由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.
【详解】
因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是 ，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
A．0.3B．0.55C．0.7D．0.75
3．若样本数据 ， ，…， 的方差为2，则数据 ， ，…， 的方差为（ ）
A．4B．8C．16D．32
4．函数 的图象的相邻两支截直线 所得的线段长为 ，则 的值是（ ）
A．0B． C．1D．
5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为 ，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）
A．24B．48C．56D．64
6．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
7．已知点 在正 所确定的平面上，且满足 ，则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， ，若 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．2B． C． D．1
9．已知函数 在一个周期内的图象如图所示.则 的图象，可由函数 的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点 ， ，则与向量 的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（ ）
2020-2021学年辽宁省沈阳市级重点高中联合体高一下学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年辽宁省沈阳市级重点高中联合体高一下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★ (含答案)满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.i 是虚数单位，若2i2im ++是纯虚数，则实数m =（ ） A.1B.1-C.4D.4-2.已知向量a 与b 夹角为3π，且1a =，23a b -=，则b =（ ）C.13.若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.725B.15C.15-D.725-4.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若2cos b a C =⋅，则ABC △的形状为（ ） A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.已知函数()()1cos 2f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN 的长为2，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.4-B.4C.14-D.146.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为（ ） A.60°B.45°C.30°D.757.已知ABC △的三个内角为A ，B ，C ，向量()3sin ,sin m A B =，()cos n B A =.若()1cos m n A B ⋅=++，则C =（ ） A.6πB.3πC.23πD.56π 8.已知三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，且SA AC ⊥，SA AB ⊥，若已知2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，6SA =，则球O 的体积是（ ）A.1003πB.2003πC.3D.523π二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A.234i i i i 0+++=B.复数3i z =-的虚部为i -C.若()212i z =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D.已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 10.如图，在三棱锥P ABC -中，能推出AP BC ⊥的条件是（ ） A.AP PB ⊥，BC PB ⊥B.AP PB ⊥，AP PC ⊥C.平面BCP ⊥平面PAC ，BC PC ⊥D.AP ⊥平面PBC11、下列命题中是真命题的有（ ）A.在ABC △中，A ，C 均为锐角，且sin cos A C >，则B 为锐角B.在ABC △中，若sin 2sin 2A B =，则ABC △是等腰三角形C.在ABC △中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D.在ABC △中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cos C 的值为3365或636512、如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ） A.AC BE ⊥B.//EF 平面ABCDC.AEF △的面积与BEF △面积相等D.三棱锥A BEF -的体积为定值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
专题07概率(原卷版)
专题07概率1．【吉林省长春市第150中学2017-2018学年高一下学期期末】从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A．所取的3个球中至少有一个白球B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C．所取的3个球都是黑球D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球2．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.953．【湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末】从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥4．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（）A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次5．【湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．35C．12D．136．【北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球7．【山东省威海市2020-2021学年高一上学期期末】从含有3件正品2件次品的5件产品中，任意取出2件产品，则取出的2件产品中至少有一件次品的概率为（）A ．710B ．310C ．15D ．1108．【北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末】从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x 和y ，则xy为整数的概率是（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．7129．【辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末】从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（） A ．“至少一个白球”和“都是红球”B ．“至少一个白球”和“至少一个红球”C ．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”D ．“恰有一个白球”和“都是红球”10．【甘肃省庆阳市镇原中学第2019-2020学年高一下学期期末】围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）A ．17B ．1235C ．1735D ．111．【湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末】华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A．115B．15C．13D．1212．【山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末】人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，bB或Bb”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BdDd，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）A．116B．316C．716D．91613．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（）A．35B．310C．15D．11014．【广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A．甲获胜的概率是16B．甲不输的概率是12C．乙输的概率是13D．乙不输的概率是1215．【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）A．19B．29C．39D．4916．【辽宁省沈阳市2020-2021学年高一上学期期末】设,,A B C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且1()4P A=，()23P C=，则()P A B+=_____________．17．【山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）期末】在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．18．【福建省三明市2019-2020学年高一（下）期末】已知事件A B ，互相对立，且2P A P B （）＝（），则P （A ）＝_____．19．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一下学期期末】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是16，甲不输的概率是56，则甲赢的概率为______. 20．【重庆市九龙坡区2019-2020学年高一下学期期末】已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是________.21．【北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末】暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.22．【湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末】甲､乙两人随意入住两间空房，则甲､乙两人各住一间房的概率是_______23．【安徽师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末】抛掷甲、乙两枚质地均匀且各面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子，记正面向上的数字分别为x ，y ，则x y <的概率是__________.24．【延安市实验中学高一下学期期末】采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.25．【山西省朔州市怀仁一中2018-2019学年高一上学期期末】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A =“取出的两球同色”，B =“取出的2球中至少有一个黄球”，C =“取出的2球至少有一个白球”，D “取出的两球不同色”，E =“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件：④()1P C E =；⑤()()P B P C =.26．【安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期期末】甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；（2）两人中至少一人译出的概率；（3）至多有一人译出的概率.27．【辽宁省营口市2020-2021学年高一上学期期末】甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.28．【安徽省蚌埠市2020-2021学年高一上学期期末】袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙成平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.29．【北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测】某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.30．【山东省滕州一中2019-2020学年高一下学期期末】若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：（1）甲中奖的概率()P A；（2）甲､乙都中奖的概率()P B；（3）只有乙中奖的概率(C)P.。
辽宁省沈阳市郊联体2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题扫描版
2019-2020沈阳市郊联体上学期末考试高一数学答案一、选择题1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 12.D二、 填空题 13. 16 14. 4 15. 2 16. [)51+3⎛⎤-∞∞ ⎥⎝⎦，-，三、 解答题 22AE=AD+DE=AD+DC=b+a 332 =a+b (43)17.解：（1）. a=b=a 2b (,2)(6,4)(6,24) (5)2a 4b (2,4)(12,8)(14,4).......................................................k k k k k +=+-=-+-=--=-（2）因为 （1,2）， （-3,2）所以. (6)a 2b 2a 4b 6241 (10)k k k k +--+=-由于()∥（）则-4()=14()所以说明：没写向量符号（箭头）扣2分 18、解：（1） (4)10+11=10.5 (2)（2）甲种麦苗株高的中位数 122222221.................591010111220==12 (66)+++++41S ==..76312+13=12.5 (2)x +++++甲种麦苗株高的平均数 甲种麦苗株高的方差（9-12）（10-12）（10-12）（11-12）（12-12）（20-12）乙种麦苗株高的中位数 2.....................................................881012131421==13......................................96x +++++乙种麦苗株高的平均值 D b a22222222+++++50S = (1063)41350................................................................................3=乙种麦苗株高的方差（8-13）（10-13）（12-13）（13-13）（14-13）（21-13）由此估计甲种麦苗株高的平均数为12，方差为，乙种麦苗株高的平均数为13，方差为.......................12 [][][]22219()1,1(0)=0=0=111=0(1)==222=1,=0()=1,1 (1)()11()=()=11f x f n m m n n f x m n f x x f x f x f x mx n mx n x x -⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨+⎩⎪⎪⎩⎩-+----+--++、解：（1）法一：是定义在上的奇函数则 得 解得经检验时，是定义在上的奇函数4法二：是定义在，上的奇函数则即，2=0......................................................................................21()=(1)==1. (412)=1=0(2)n mx f x f m x m n +则所以，又因为，得所以，由（1[][]2222()=,()1,1 (61)()1,1(1)(1)0(1)(121........................................)1..........1.,x f x f x x f x f a f a f a f a a a a -+--+-<-<--<--<<）知在上是增函数又因为是定义在上的奇①函数由得所以即22..............................02.....................................................111,111.................................902.............................................,..a a a a ≤≤≤-≤-≤-≤-≤≤③又②即8即[)2.......................................21020 1.0,1. (12)02a a a a a ⎧-<<⎪≤≤≤<⎨⎪≤≤⎩10由①②③得解得故的取值范围是121220==120200.0050.112048243636...................................................................236=0.0150.015 (12020)z x z x ⨯==⨯--==-、解：（1）由表格可知样本的频数为所以12，即由=，即.....................................448+243=(0.0220+0.0120=0.6)12053...................................65⨯⨯（2）或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是 {123121************=12024172=3241=2 (874)=()()()()(a a a b b a a a a a b a b a a a ⨯⨯Ω（3）合格的有72人、不合格的有48人抽样比故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为、、从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为48，记为、则从5份答卷中抽取2份 ，基本事件（,），,，,，,，,，,}{}122313212111221223132)()()()()10.........A A=()()()()()()6....................................................63()==1055b a b a b a b b b a b a b a b a b a b a b P A ，,，,，,，,共个基本事件9记事件：恰有1份评定等级为“不合格”,，,，,，,，,，,共个基本事件10则从这份答卷3, (125)中抽取2份恰有1份评定等级为“不合格”的概率为[]2221()2110()2,3(3)496141(2)144110()2 1....................................................................................f x ax ax b x a f x f a a b a f a a b b f x x x =-+-=>=-+-==⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-+-==⎩⎩⎩=-+解：（1）的对称轴为当时，在上为增函数则即解得故[]...................................30()2,3(2)444141(3)1961131..............................................................................a f x f a a b a f a a b b b <=-+-==-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-+-==-⎩⎩⎩>-当时在上为减函数则即解得由于所以这组解舍去[]22............................()2 1...................................................................................................................()211(2)()21,1f x x x f x x x g x x x x xx =-+-+===+-∃∈-5综上6若，不等式[]2max221(2)202220211()211,1...........................................................................................2211,,2,21(1)222x x x x x x x x g m m m x t t y t t t t -⋅≥+--⋅≥⎡⎤≤-⋅+∈-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∈=-+=-⎢⎥⎣⎦=成立，即成立即8令则当时，(]max 1 1.......................................................................................................1........................................................................y m m =≤-∞，故10即的取值范围为， (12)1022.1110()...........................................................................................................x x x f x ->⎧-<<⎨+>⎩解:（1）由得故的定义域为（-1,1）2221()=0,log (1)2log (1)0log (1)log (1)(1)(1)0 3 (4)a a a af x x x x x x x x x -++=+=-+=-==-由即得.得，解得或由于[][)[)21,1() (5)(1)()00,1,0,1...........................................1mx f x x m f x a x x∈-+-==∈-，故的零点为0（2）法一：在区间内有解，即有解(](]2..644441,0,1440,1441 1.............................................................................................................8010..............m t t t x t y t y t t t tt a ta m -+=-∈==+-=+-+-≥≥<<≤令，，在为减函数则，即当时，.....................................................................................................1010.........................................................................................a m >≥时，[)[)(](](]22...................................12()00,1()0,1.. (6)(1)444()log .1,0,1log log (4)14440,10,14 1.....a a a m f x y f x y m x x t t f x x t t y t x t ty t t t t t-===∈+-+=-=∈==+--=+-∈+-≥法二：由方程在区间内有解，即与在有交点令，在为减函数，，(][)........................................................8401log (4)0(),00.................................................1041log (4)0()0,,0..................a a a t f x m ta t f x m t<<+-≤∈-∞≤>+-≥∈+∞≥当时，，即，∴当时，，即∴[)[)1........................................12()=log (1)2log (1)=2log (1)log (1)1()0,1()00 (8)01()0,1()a a a af x x x x x a f x f x m a f x f x -+++-->≥≥<<≤法三：当时,在上为增函数，此时，故此时当时,在上为减函数，此时[)(]00 (11).10,,01,0....................................................................12m a m a m ≤>∈+∞<<∈-∞，故此时综上时，时附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤﹣1或x＞2}2．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2B．﹣2i C．1D．i3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π5．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（）A．0.7B．0.65C．0.35D．0.266．（2x2﹣n）（x﹣）3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含x3项的系数为（）A．2B．8C．﹣5D．﹣177．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤3，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y ＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．﹣B．C．2D．2二、多选题（共4小题）.9．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α∥β，γ∥β，则γ∥αD．若α⊥β，m⊥β，则m∥α10．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X＜4）＝0.8，则P（2＜X＜4）＝0.2B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝，若＝2，＝1，＝3，则＝1D．若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x16+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为211．下列命题中是真命题的是（）A．“ω＝1”是“f（x）＝sin（2ωx﹣）的最小正周期为π”的必要不充分条件B．在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若＝m+n，则的最小值是9C．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，则数列{}的前24项和为2D．函数f（x）是定义在R上的偶函数且在[0，+∞）上为减函数，f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜3}12．已知l1，l2是双曲线T：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且l∥l1，I交T于点M，交l2于点Q交y轴于点N，则下列说法正确的是（）A．△FOQ与△OQN的面积相等B．若T的焦距为4，则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为C．若＝，则T的渐近线方程为y＝±xD．若∈[，]，则T的离心率e∈[2，3]三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13．一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则E（X）＝．14．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率k＝﹣2，则线段PF的长为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③三棱锥A﹣BEF的体积为定值④△AEF的面积与△BEF的面积相等．四、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期1月期末考试数学试卷参考答案
答案说明：以上解答题答案不唯一,正解同样得分。
2021届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期1月期末考试数学试卷
随机变量 的所有可能取值有0,1,2,3.
,1,2,3） ……………………………6分
所以随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
随机变量 的数学期望 ……………………8分
（Ⅲ）由题可知,样本中男生40人,女生60人,属于“高消费群”的25人,其中女生10人；得出以下 列联表：
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
∴ 在 为减函数,在 上为增函数,
∴ 是 极小值点,无极大值点；
综上可知：当 时,函数 无极值点,
当 时,函数 的极小值点是 ,无极大值点.…………………………5分
（Ⅲ） ,
由题意知：当 时, 恒成立,
又不等式 等价于： ,即 ,
即 ①,①式等价于 ,………………………7分
由 知, , .
令 ,则原不等式即为： ,
因为 ,①
所以当 时, ,②
①-②得, ,所以 ．…………………………4分
故数列 是首项为1,公比为2的等比数列,
其通项公式为 …………………………6分
（Ⅱ）由题知, ,…………………………7分
所以 ,③
,④
③-④得,
．…………………………10分
所以 ．…………………………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, , .
因为 , , 平面 .
所以 平面 .
以 为坐标原点, , , 的方向分别为 轴, 轴, 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系：
【精准解析】辽宁省沈阳市郊联体2020届高三上学期期末考试数学(文)试题
2019－2020学年度沈阳市郊联体上学期期末考试高三试题文科数学第I 卷（选择题）一、选择题：（本大题共12个小题，每道小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分.） 1.复数21z i =+（i 为虚数单位）的虚部是( ) A. -1 B. 1C. -iD. i【答案】A 【解析】 【分析】先对复数化简可求得结果. 【详解】解：因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以复数z 的虚部为1-， 故选：A【点睛】此题考查的是复数的运算和概念，属于基础题.2.已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =（ ）A. (0,1)B. (1,0)-C. (1,1)-D. (,1)-∞【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若非零向量a 、b 满足a b =且()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由垂直关系可得()20a b b +=，因为a b =，所以2cos 10θ+=，求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由已知得：()2a b b +⊥，()20a b b +=，则220a b b ⋅+=，a b =，2cos 10θ∴+=，1cos 2θ=-，解得23πθ=.故选：C【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及垂直关系的向量表示，属于基础题.4.设 1.53131log ,,log 4a eb ec ===，则 A. b a c << B. c a b << C. c b a << D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】先判断三个数取值范围，再根据范围确定大小.【详解】因为 1.531331log (0,1),2,log log 4(1,2)4a eb ec =∈=>==∈，所以b c a >>，选D.【点睛】比较大小：一般根据函数的单调性，确定各数取值范围，再根据范围判断大小. 5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值3191.9≈3192，故③正确.故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (3π-B. 1)πC. 1)πD.2)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.7.数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值． 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B 【解析】 【分析】先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.8.已知函数()3222f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为6，则数对(),a b 为（ ）A. ()2,5-B. ()19,4-C. ()4,19-D. ()2,5-或()4,19- 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用函数在1x =处有极值6，得到()01f '=，(1)6f =，联立方程组求解a 和b 的值即可得到结果.【详解】由()3222f x x ax bx a =+++得：2()34f x x ax b '=++，()f x 在1x =处有极值6，2(1)340(1)126f a b f a b a =++=⎧∴⎨=+='++⎩， 计算得出：419a b =⎧⎨=-⎩，或25a b =-⎧⎨=⎩，则数对(),a b 为()2,5-或()4,19-. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了已知函数的极值求解参数的问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题.9.设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则“//αβ”是“//m β且//n α”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念可得结果.【详解】当//αβ时，根据平面与平面平行的性质可得//m β且//n α， 当//m β且//n α时，//αβ或α与β相交，所以“//αβ”是“//m β且//n α”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了平面与平面平行的性质、平面与平面的位置关系以及充分不必要条件的概念，属于基础题.10.在ABC ∆中，A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，3B π=，2AB BC ⋅=-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求得4ac =，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得4a c +=，进而得到2b =，再利用正弦定，即可求解球的半径.【详解】由题意，因为1cos22AB BC ac B ac π⋅=-=-=-（），所以4ac =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-.又因为sin sin 2sin A C B +=， 所以2a c b +=，所以2234a c a c ac +=+-（）（），所以23124a c +=（），所以216a c （）+=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 603b R B ===， 所以3R =. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.将函数()()sin 08,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象向左平移1148π个单位后得到函数()g x 的图象，且函数()f x 满足31121616f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题中正确的是（ ） A. 函数()g x 图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()g x 图象关于点5,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()g x 图象关于直线712x π=对称 D. 函数()g x 在区间50,24π⎛⎫⎪⎝⎭内为单调递减函数 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知31121616f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得316π和1116π是函数的两条对称轴，可确定出ω和φ值，得到f(x)解析式，由平移可得函数g(x)解析式，根据正弦函数的性质对选项逐个检验判断即可得到答案.【详解】因为函数()f x 的最大值是1，所以31111616f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，周期是*111316162T N n n πππ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，(n )，则2,4.2n nππωω==又08ω<<故n=1时， 4.ω= 又因为342,()162k k Z ππφπ⨯+=+∈所以2,()4k k Z πφπ=-∈,2πϕ<，故.4πφ=- 于是()sin 4.4f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭函数()f x 的图象向左平移1148π个单位后得到()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数g(x)周期为242T ππ==,则两条相邻对称轴之间的距离为24T π=，故选项A 错误；将524x π=代入函数g(x)解析式，函数值不为0，故选项B 错误； 将712x π=代入函数g(x)解析式，函数取不到最值，故选项C 错误；当x ∈50,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，2234,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数图像可知函数单调递减， 故选D.【点睛】本题考查正弦函数图像的周期性，对称性和单调性的应用，考查函数图像的平移变换，属于中档题.12.已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，l 为12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F SSS =+成立，则双曲线的渐近线方程为()A. 220x y ±=B. 80x y ±=C. 20x y ±=D.30x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接,,IE IF IG ,12IF F ，1IPF ，2IPF 可看作三个高均为圆I 半径r 的三角形.利用三角形面积公式，代入已知式121213IPF IPF IF F SSS =+，化简可得121213PF PF F F -=，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【详解】如图，设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接,,IE IF IG ，则12IE F F ⊥，1IF PF ⊥，2IG PF ⊥，它们分别是12IF F ，1IPF ，2IPF 的高，111122IPF rSPF IF PF ∴=⋅=， 222122IPF rSPF IG PF =⋅=， 121212122IFF rSF FIE F F =⋅=， 其中r 是12PF F 的内切圆的半径．121213IPF IPF IF FSSS =+，1212226r r rPF PF F F ∴=+， 两边约去2r得：121213PF PF F F =+，121213PF PF F F ∴-=， 根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =，3a c ∴=，b ==，ba= 可得双曲线的渐近线方程为y =± , 即为0y ±=，故选A ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.第II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数,x y 满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则25z x y =+-的最小值为__________．【答案】-6 【解析】 【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【详解】画出001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影区域：由1 0y x y ⎧⎨+⎩＝＝ 得11A -（，）， 目标函数25z x y =+-可看做斜率为-2的动直线l ，由图数形结合可知： 当l 过点A 时，z 最小为21156-⨯+-=- ． 故答案为-6．【点睛】本题主要考查了简单线性规划问题的一般解法，线性约束条件对应的可行域的画法，数形结合解决问题的思想方法，属基础题． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线214x y =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用焦半径公式可求P 的横坐标.【详解】抛物线的方程为24y x =，故2p =且焦点为()1,0F ，设()00,P x y ，则P 到焦点F 的距离00152pPF x x =+=+=，故04x =， 故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，对于抛物线()220y px p =>，抛物线上的动点()00,P x y 到焦点的距离为02px +，注意该公式的合理使用. 15.已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，若DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，32AB =，23DC =后，则球O 的表面积为__________.【答案】30π 【解析】 【分析】将三棱锥还原成长方体，根据长方体的外接球与三棱锥的外接球相同即可得答案.【详解】解：如图，将三棱锥还原为长方体，设该长方体的外接球为球O ，则长方体的8个顶点都在球O 的球面上，所以，三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，故长方体的外接球与三棱锥的外接球都为球O ，而根据长方体的对称性，球O 的球心O 在长方体的体对角线上，且长方体的体对角线是球的半径的2倍，而体对角线22221812302AE AB BE AB CD R =+=+=+==,所以30R =，故球的表面积为223044()30S R πππ===故答案为：30π【点睛】此题考查了三棱锥的外接球，还原三棱锥是比较好的一种解法，属于中档题. 16.设函数()f x 的定义域为()0,∞+，满足()()113f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()212x f x x+=.（1）当(]0,1x ∈时，()f x 的最小值为__________；（2）若对任意(]()0,0x m m ∈>，都有()1181f x ≥成立，则实数m 的最大值是__________.【答案】 (1). 103【解析】 【分析】（1）由()212x f x x+=得，()12f x x x =+，由于(]0,1x ∈，然后利用基本不等式求()f x 的最小值；（2）分别求出(]1,2x ∈时，(]2,3x ∈时，(]3,4x ∈时，()f x 的值域，解方程可得m 的最大值.【详解】解：（1）由()212x f x x+=得，()12f x x x =+，因为(]0,1x ∈，所以()12f x x x =+≥=，当且仅当12x x =，即2x =时取等号，所以()f x 的最小值为 （2）因为()()113f x f x +=，所以()1()13f x f x =-，因为当(]0,1x ∈时，()212)x f x x+=∈+∞，所以 (]1,2x ∈时，(](1)0,1x -∈，()21112(1)11()1[2(1)]331313x f x f x x x x +-=-=⋅=+-≥--，值域[,)3+∞，当(]2,3x ∈时，(](1)1,2x -∈， ()111()1[2(2)]3929f x f x x x =-=+-≥-，当(]3,4x ∈时，(](1)2,3x -∈， ()111()1[2(3)]327327f x f x x x =-=+-≥-，因为1198127>>，所以(]3,4x ∈时，1111[2(3)]27381x x +-=-，解得 103x =若对任意(]()0,0x m m ∈>，都有()1181f x ≥成立，则103m ≤，所以实数m 的最大值为103， 故答案为：（1）22，（2）103【点睛】此题考查函数与方程的综合运用，考查了函数解析式的求法，考查分类讨论的思想 属于较难题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：1//B E 平面ACF ； （2）求三棱锥1B ACF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，然后利用三角形中位线定理，再结合正棱柱的性质，可得四边形1EMFB 为平行四边形，从而可得1//B E FM ，再由线面平行定理可证得结果. （2）设O 为BC 的中点，则可证得AO ⊥平面11BCC B ，所以11113B ACF A B CF B CFV V SAO --==⨯⨯，然后代入值计算即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ， 在ABC 中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =又F 为11B C 的点，11//B C BC ， 所以1//B F BC 且112B F BC =， 即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以1//B E FM . 又MF 平面ACF 内，1B E 在平面ACF 外， 所以1//B E 平面ACF .（2）设O 为BC 的中点，因棱柱底面是正三角形， 所以有3AO =AO BC ⊥， 因为正三棱柱111ABC A B C -，所以1BB ⊥平面ABC ，AO 在平面ABC 内，所以1BB AO ⊥， 因为1BB BC B =，1,BB BC 在平面11BCC B 内，所以AO ⊥平面11BCC B . 于是111111323332B ACF A B CF B CFV V S AO --==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】此题考查空间图形中证明线面平行，考查求棱锥的体积，属于中档题.18.已知{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，n S 、n T 分别是{}n a 、{}n b 的前n 项和，且63a b =，10445S T =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若6n S b >，求n 的取值范围．【答案】（1）2n a n =+；（2）10n ≥且n *∈N 【解析】 【分析】（1）利用11,a b 和公差、公比表示出6310445a b S T =⎧⎨=+⎩，解方程求得11,a b ，由等差数列通项公式求得n a ；（2）由等比数列通项公式求得6b ，由等差数列求和公式求得n S ，可整理得不等式25128n n +>；根据n *∈N ，可验证出9n =时不等式不成立，10n =时不等式成立，结合二次函数性质可知10n ≥时不等式成立.【详解】（1）由6310445a b S T =⎧⎨=+⎩得：()11411541210454512a b b a +=⎧⎪⎨-+=+⎪-⎩，解得：1132a b =⎧⎨=⎩ ()()11312n a a n d n n ∴=+-=+-=+（2）由（1）知：112n nn b b q -== 662b ∴=又()221153222n n n n n n n S na d n --+=+=+= 26522n n+∴>，即25128n n +>*n N ∈，当9n =时，25126128n n +=<；当10n =时，25150128n n +=>∴当10n ≥且n *∈N 时，6n S b >【点睛】本题考查等差、等比数列基本量的求解问题，关键是能够熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，能利用基本量表示出通项和前n 项和.19.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[)100,110、[)110,120、[)120130,、[)130140,、[]140,150．（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[)100,110[)110,120[)120130, [)130140, :x y1:31:13:4 10:1从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的概率．【答案】（1）中位数是121.67；平均数是123；（2）35. 【解析】 【分析】（1）利用中位数左边矩形面积之和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再相加可得出这100名学生语文成绩的平均数；（2）计算出数学成绩在[]130,150、[]140,150的学生人数，列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）0.050.40.30.750.5++=>，0.750.50.25-=，∴这100名学生语文成绩的中位数是0.2513010121.670.3-⨯=. 这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）数学成绩在[)100,140之内的人数为4130.050.40.30.210097310⎛⎫⨯++⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴数学成绩在[]140,150的人数为100973-=人，设为1a 、2a 、3a ，而数学成绩在[)130140,的人数为10.2100210⨯⨯=人，设为1b 、2b ， 从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2人基本事件为：()12,a a 、()13,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()23,a a 、()21,a b 、()22,a b 、()31,a b 、()32,a b 、()12,b b ，共10个，选出2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的基本事件为：()11,a b 、()12,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()31,a b 、()32,a b ，共6个，∴选出的2人中恰好有1人数学成绩在[]140,150的概率是35．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算平均数与中位数，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题.20.在平面直角坐标系xOy 中动圆P 与圆()22:11M x y ++=外切，与圆()22:19N x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）直线l 过点()1,0E-且与动圆圆心P 的轨迹交于A 、B 两点.是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠-；（2）存在，32. 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心(),P x y ，半径为r ．利用已知条件转化判断动圆圆心P 在以M ，N 为焦点的椭圆上，求出,a b 然后求解椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-或0y =（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示AOB 的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果． 【详解】（1）设点(),P x y ，动圆P 的半径为r ， 由题意知，1PM r =+，3PN r =-，42PM PN MN ∴+=>=.由椭圆定义可知，动圆圆心P 在以M ，N 为焦点的椭圆上，2a =1=，∴b =所以22143x y +=.由于圆M 内切于圆N 于点()2,0-，则2x ≠-.因此，动圆圆心P 的轨迹方程为()221243x y x +=≠-.（2）因为直线l 过点()1,0E-，若直线l 的方程为0y =，显然构成不了AOB ，故舍去； 故可设直线l 的方程为1x my =-，则2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，整理得()2234690m y my +--=.由()()()2226363414410m m m ∆=++=+>.设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则122634m y y m +=+，122934y y m =-+. 则12y y -=234m ==+，因为1211122AOBSOE y y =⋅-=⨯. 设1t =≥，则221m t =-， 则()226661313143AOBt t St t t t===+-++.设()13g t t t =+，()223103t g t t-'=> 所以()g t 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()()min 14g t g ==.所以32AOBS≤， 当且仅当0m =时取等号，即()max 32AOB S =.因此，AOB 面积的最大值为32.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21.已知函数()ln ()a f x x a x=+∈R 的图象在1x e =处的切线斜率为e -.（1）求实数a 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）若()()xg x e f x =⋅，证明：()1g x >. 【答案】（1）2a e =，()f x 在区间20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于2ln xx x x e e>-，设()ln (0)h x x x x =>，2()(0)x x t x x e e =->，根据函数的单调性求出它们的最值，即可证明． 【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()21a f x x x '=-，∴21f e ae e e ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， ∴2a e=，所以()22122ex f x x ex ex ='-=-，令()0f x '=，得2x e=，所以()f x 在区间20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）证明：()g x 的定义域为(0,)+∞，要证()1g x >，即证2e ln 1x x ex ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，等价于2ln x x x x e e >-，设()ln (0)h x x x x =>，则()ln 1h x x =+'，∵11ln 10h e e ⎛⎫=+= ⎪'⎝⎭，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 故()h x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min 11()h x h e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设2()(0)x x t x x e e =->，则1()xxt x e -='，所以当(0,1)x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '<， 故()t x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴max 1()(1)t x t e==-．综上可得，在区间(0,)+∞上恒有()()h x t x >成立，即()1g x >．【点睛】本题考查了切线方程问题，将不等式的证明转化为函数最值问题，考查了函数的单调性，最值以及转化的思想，是一道综合题.选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2220x y x +-=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ. （I ）求1C 的参数方程与2C 的直角坐标方程； （II ）射线03πθρ=≥（）与1C 交于异于极点的点A ,与2C 的交点为B ,求AB . 【答案】（I ）1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），2C 的直角坐标方程为2213x y +=；（II 1-. 【解析】【分析】（I ）由题意，可得曲线1C 是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，即可求得曲线1C 的参数方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；（II ）由（I ）得到曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，将射线03πθρ=≥（）代入曲线1C 的方程，求得关于ρ的方程，根据极径的几何意义，即可求解.【详解】（I ）由2220x y x +-=，得2211x y -+=（）.所以曲线1C 是以（1，0）为圆心， 1为半径的圆，所以曲线1C 的参数方程为1,x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）. 由22312sin ρθ=+，得2222sin 3ρρθ+=，所以22223x y y ++=，则曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=. （II ）由（I ）易得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则射线03πθρ=≥（）与曲线1C 的交点的极径为12cos 13πρ==， 射线03πθρ=≥（）与曲线2C 的交点的极径2ρ满足22212sin 33πρ+=（），解得2ρ=所以121AB ρρ=-=-. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中熟记互化公式，准确运算，以及合理应用极径的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.选修4－5：不等式选讲23.已知函数()()2110a f x x x a a+=-+->，()41g x x =-+. （1）当1a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合.【答案】（1）(][),14,x ∈-∞-+∞；（2）{}1. 【解析】【分析】（1）1a =时，()215f x x x =-+-≥，根据绝对值的几何意义即可求解（2）不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2即21141a x x x a+-+-≤-+在[]1,2上恒成立，去掉绝对值号，分离参数即可求解.【详解】（1）1a =时，()215f x x x =-+-≥，由()21=5f x x x =-+-可解得=1x -或4x =，所以不等式的解为(][),14,x ∈-∞-+∞.（2）由21141a x x x a+-+-≤-+在[]1,2上恒成立， 由于0a >，可得212a a+≥，等价于21141ax x xa+-+-≤--在[]1,2上恒成立，即214axa+≤-[]1,2上恒成立，即212aa+≤，可得1a=，故a的取值集合为{}1.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，恒成立问题，分离参数的方法，属于难题.。
辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题数学（答案在最后）第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U N =，集合{}21,A x x n n N ==+∈，{}41,B x x n n N ==+∈，则U =（）A 、AB B.()UA Bð C.()UA Bð D.()()UUA B 痧2.不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（）A.1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C.13x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或3.函数()1f x +的定义域为[]2,1-，函数()g x =()gx 的定义域为（）A.1,22⎛⎫-⎪⎝⎭B.()1,-+∞ C.()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1,22⎛⎤-⎥⎝⎦4.使“11x>”成立的一个充分不必要条件是（）A.0x > B.102x << C.01x << D.02x <<5.命题p ：{}15x x x ∀∉≤≤，245x x ->，则命题p 的否定是（）A.{}15x x x ∃∈≤≤，245x x -≤ B.{}15x x x ∃∉≤≤，245x x -≤C.{}15x x x ∀∉≤≤，245x x -≤ D.{}15x x x ∀∈≤≤，245x x -≤6.已知函数()()2213,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞B.14,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[]1,27.已知函数223y x x =-+在闭区间[]1,m -上有最大值6，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[]0,3 C.(],2-∞ D.[]1,38.定义在R 上的函数()f x 若满足：①对任意()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，则称函数()f x 是以(),a b 为中心的“中心捺函数”.已知函数()1y f x =+是以()1,0-为中心的“中心捺函数”，若()()22220f n mn f m mn -+-≥，则mm n+的取值范围为（）A.[]2,4 B.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是（）A.a c d b->- B.a c b d+>+ C.ac bd> D.ad bc>10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，则（）A.函数2y ax bx c =++有最大值B.50a c +>C.65b c=-D.20bx a x c +->的解集为33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.已知定义域为R 的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=，则下列说法正确的是（）A.()()34f f >-B.若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-+∞ C.M ∃∈R ，使得对x ∀∈R ，()f x M ≥恒成立D.若()()12f m f -<，则(),3m ∈-∞第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。