高考文科数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式
正切 tan α tatnanα α －－tatnanα －－tatnanα α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看 象限
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题型考向·层级突破
练习测评·课时作业
【必记结论】 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍， 变与不变指函数名称的变化．
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3．(2019·呼和浩特二模)若 sin α＝153，且 α 为第二象限角，则 tan α 的
值等于( D )
A．152
B．－152
C．152
D．－152
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解析 ∵sin α＝153，且 α 为第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－1123， ∴tan α＝csions αα＝－152.故选 D.
公式 一
二
三
2kπ＋α
角
π＋α
－α
(k∈Z)
正弦 sin α －－ssininα α －－sinsiαn
四 π－α ssininα α
五
六
π2－α
π2＋α
cocsosα α ccoossα α
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公式 一
二
三
四
五
六
余弦 cos α －－ccoossα α cos α α －－cocossα α ssininα α －－sisninα
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(3)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( × ) 解析 对于正、余弦的诱导公式角 α 可以为任意角，而对于正切的诱 导公式 α≠π2＋kπ，k∈Z. (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与 α 的大小 无关．(√ ) 解析 诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角 α 都看成锐角时原 函数值的符号，因而与 α 的大小无关．
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2．sin 2 025°的值为( A )
A．－
2 2
B．－
3 2
C．12
D．
2 2
解析 sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝
－sin
45°＝－
2 2.
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素养
3．诱导公式、同角三角函数关系式的综合运用，提升数学抽 5年5考
象和数学运算的素养
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趋势分析 同角三角函数基本关系及诱导公式多与和角、差角的正弦、余弦、正切 公式及倍角公式综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低 档题目，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思 想的运用
锁定高考
文数
第三章 三角函数、解三角形
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3.2
同角三角函数的基本关系与诱导公式
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【考纲考情】
考试说明
考点
1．理解同角三角函数的基本关系：
1．同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1，csions αα＝tan α.
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) 解析 sin2α＋cos2β＝1 中的角不是同角． (2)若 α∈R，则 tan α＝csions αα恒成立．( × ) 解析 在 tan α＝csions αα中 α≠π2＋kπ，k∈Z.
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题型考向 层级突破
题型一| 同角三角函数的基本关系
(子母变式)
[高考分析] 同角三角函数的基本关系是求解三角函数问题的基础，多
与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题
为主，属于中低档题．
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夯实双击 自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sinsi2nα2＋α＋cocso2αs2＝α＝1 1 ．
(2)商数关系：
cs＝ionstααa＝tan
α n
α
．
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5．sin（co2sπ52－π＋α）αs·cinos5（2π－π－αα）＝
－11
．
解析
原式＝sin（ cos－π2α＋）α·（sin－π2c－osαα ）＝－sisninααcocsosαα＝－1.
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(5)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( × )
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝ －sin α＝13，则 sin α＝－13；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π －α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13.
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4．(2019·洛阳二模)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 cos α＝( B )
A．23 2
B．－2 32
C．－4
2 9
D．49 2
解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝13，且π2≤α≤π，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－23 2，故选 B.
2．诱导公式
2．借助单位圆的对称性，能利用三角函数线 3．同角三角函数的基本关系
推导出诱导公式(π2±α，π±α 的正弦、余弦、与诱导公式的综合应用
正切)
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五年考情
素养定位
1．同角三角函数的基本关系的运用，发展数学抽象和数学运 5年5考
算的素养
2．三角函数的诱导公式的应用，提升数学抽象和数学运算的 5年5考
第二讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习
正弦 sin α
－sin α
－α －sin αFra bibliotekπ－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
函数名不变，符号看象限
函数名改变， 符号看象限
【常用结论】
)
1 A.3
22 B. 3
C.－13
D.－2 3 2
解析：由 sinα－1π2＝31，得 cosα＋1172π＝cosα＋32π－1π2＝ sinα－1π2＝13.故选 A.
答案：A
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导 公式的综合应用
[例 3](1)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ＝－2 2，则 sin2θ ＋sin(3π－θ)cos (2π＋θ)－ 2cos2θ 等于( )
1.已知 sin x＋cos x＝ 32－1，x∈(0，π)，则 tan x＝(
)
A.－
3 3
3 B. 3
C. 3
D.－ 3
解析：因为 sin x＋cos x＝ 32－1，且 x∈(0，π)，所以 1＋ 2sin x cos x＝1－ 23，所以 2sin x cos x＝－ 23<0，所以 x 为钝角， 所以 sin x－cos x＝ (sin x－cos x)2＝1＋2 3，结合已知解得 sin x＝ 23，cos x＝－21，则 tan x＝csoins xx＝－ 3.故选 D.
A.－
2 6
2 B. 6
C.－23
2 D.3
解析：由 tan 2θ＝－2 2可得 tan 2θ＝1－2tatnanθ2θ＝－2 2， 即 2tan2θ－tanθ－ 2＝0，
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)
所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教师用书
其次节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α.2．借助单位圆的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：=tan α.(3)常见变形：sin α＝±；cos α＝±；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.利用同角三角函数的基本关系可以实现正弦、余弦、正切值的转化，但肯定要留意确定角的终边所在的象限．“同角”有两层含义：一是角相同，二是随意一个角(在有意义的前提下)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限．”其含义理解为：(1)全部诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数，变与不变是指三角函数名称的变更．(2)结果的符号与把α当成锐角时角k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号相同．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)对随意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( √)(2)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.( ×)(3)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3.(×) 2．若α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )A．B．－C．D．－D解析：因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±.因为α是第四象限角，所以sin α＝－.3．已知sin ＝，则cos ＝( )A．C．－D．－C解析：因为sin ＝，所以cos ＝cos ＝－sin ＝－.故选C.4．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝_______，tan α＝_________．－解析：因为α是第三象限角且cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝.5．已知sin α＝，则·sin (α－π)·cos (2π－α)的值为_________．－解析：原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－.考点1 同角三角函数关系的基本应用——应用性考向1 知弦求弦、切或知切求弦(1)(2024·济南一模)已知α∈(0，π)，若cosα＝－，则tan α的值为( ) A．B．－C．D．－D解析：因为α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，则tan α＝－.(2)已知3sin ＋sin (θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝( )A．－B．－C．A解析：由3sin ＋sin (θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3. 而θ∈(－π，0)，可得sin θ＝－＝－.本例(2)条件不变，求cos θ的值．解：由3sin ＋sin (θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3.而θ∈(－π，0)，可得sin θ<0.又tan θ＝3>0，所以cos θ<0，所以cos θ＝－＝－.1．利用sin 2α＋cos2α＝1可以实现正弦、余弦的互化，利用tanα＝可以实现弦切互化．2．由一个角的随意一个三角函数值可以求出这个角的另外两个三角函数值，求值时要留意角所在的象限，以免出现符号错误．考向2 弦切互化求值(1)已知cos θ＝，则sin θ·的值为( )A．B．－C．3 D．－3C解析：原式＝sin θ＝sin θ·＝3.(2)(2024·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝( )A．－B．－C．C解析：将式子进行齐次化处理，得＝in θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.本例(2)条件不变，求cos2θ－sin2θ的值．解：cos2θ－sin2θ＝＝＝1.1．弦化切的常见结构(1)形如“a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α将原式转化为齐次式求值．(2)形如“次分式．2．切化弦当要化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tan α＝，把式中的正切化为弦．考向3 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系(1)已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，则sin α－cos α＝( )A．±B．－C．C解析：把sin α＋cos α＝，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0.因为0<α<π，故sin α>0，cos α<0.所以sin α－cos α＝＝＝＝.(2)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x等于( )A．－C．D．－D解析：由题意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝.因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sin x cos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－. 当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去．所以tan x＝－.留意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．1．已知tan θ＋＝4，则sin4θ＋cos4θ＝( )A．C．D解析：由tanθ＋＝＝＝4，得sin θcos θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝.2．若sinα＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝( )A．B．－C．D．－B解析：因为sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，所以两边平方，可得1＋2sin αcos α＝，可得2sin αcos α＝－＜0，所以sin α＞0，cos α＜0，可得cos α－sin α＝－＝＝－＝－，所以＝＝－＝－.考点2 诱导公式的应用——综合性(1)sin ·cos ·tan 的值是_________．－解析：原式＝sin ·cos ·tan＝··＝×(－)＝－.(2)(2024·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值：_________．(答案不唯一)解析：因为P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，故其横坐标相反，纵坐标相等，即sin θ＝sin 且cos θ＝－cos ，由诱导公式sin θ＝sin (π－θ)，cos θ＝－cos (π－θ)，所以θ＋＝π－θ，解得θ＝，则符合题意的θ值可以为.1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．角的变更的通式特别角±已知角＝所求角．1．下列各选项中与sin 2 022°最接近的是( )A．C．－D．－D解析：sin 2 022°＝sin (1 800°＋222°)＝sin 222°＝sin(180°＋42°)＝－sin 42°≈－.2．已知sin ＝－，则cos ＝( )A．C．－D．－B解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－sin ＝.已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．[四字程序]读想算思求tan x的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cos x＋4sin x 的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cosx，sin x)在哪条直线上1．求sin x和cos x．2．协助角公式1．方程思想．2．数形结合．3．转化与化归3cos x ＋4sinx＝51．sin2x＋cos2x＝1，tan x＝.2．3cos x ＋4sin x的最大值为5.3．点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上1．联立3cos x＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1.2．3cos x＋4sin x＝5sin (x＋φ)1．tan x可看作直线的斜率．2．将已知条件变为cos x＋sinx＝1思路参考：解方程组解：由消去cos x，整理得(5sin x－4)2＝0，解得sin x＝，cos x＝.故tan x＝＝.思路参考：留意到3cos x＋4sin x的最大值为5，利用协助角公式推出x与协助角的关系．解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin (x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝，所以tan φ＝，所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是tan x＝tan ＝＝.思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cos x.解：令tan x＝t，即t cos x＝sin x，代入3cos x＋4sin x＝5，得3cos x＋4t cos x＝5，所以cos x＝，sin x＝.再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝.思路参考：设P(m，n)为角x终边上随意一点，r＝，利用三角函数的定义求解．解：设P(m，n)为角x终边上随意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝.把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5，即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.明显m≠0，故tan x＝＝.思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x ＝k OA.解：由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan x＝.思路参考：m＝(cos x，sin x)，n＝，证明m∥n.解：因为cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1，所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，则有cos x＝sin x，即tan x＝.1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应留意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于课程标准，解答本题一般须要有良好的运算求解实力、转化与化归的实力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、协助角公式、直线与圆、向量等学问，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的敏捷性起到了主动的作用．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．解：因为sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－，所以＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－cosθ－＝0，即＝0.又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝，所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝.课时质量评价(二十二)A组全考点巩固练1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝( )A．B．－C．D．－D解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，则tanα＝＝－.2．已知α是其次象限角，sin (π－α)＝，则cos (π＋α)＝( )A．－B．－C．D解析：因为α是其次象限角，sin (π－α)＝，可得sin α＝，所以cos α＝－＝－，则cos(π＋α)＝－cos α＝.3．已知tan α＝3，则＝( )A．－C．±D解析：因为tanα＝3，所以＝＝＝.4．(2024·安徽模拟)已知cos＋cos (π＋α)＝，则tan α＋＝( ) A．2 B．－2C．D．3A解析：因为cos ＋cos (π＋α)＝，所以－sin α－cos α＝，即sin α＋cos α＝－，两边平方，可得1＋2sin αcos α＝2，所以sin αcos α＝，所以tan α＋＝＝＝2.5．已知cos ＝，则cos ＝______，sin＝_________．－解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－.sin ＝sin ＝cos ＝.6．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)＝_________．－3解析：因为f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.B组新高考培优练7．(多选题)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值可能为( )A．－B．－C．BC解析：因为α是三角形内角，所以α∈(0，π)，又因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，解得2sin αcos α＝.因为sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α－cos α符号不确定，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，所以sin α－cos α＝±.8．(2024·聊城模拟)已知α，β∈，且满意sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan (2π＋α)＋tan 的最小值为( )A．2 B．C．1 D．2D解析：因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，所以tan (2π＋α)＋tan ＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时等号成立．9．(2024·承德二模)若α∈，2sin α＋cos α＝，则tan α＝( )A．－2 B．2C．D．－A解析：由2sin α＋cos α＝，两边平方，可得(2sin α＋cos α)2＝，即4sin2α＋4sinαcos α＋cos2α＝.所以，所以，则11tan2α＋20tanα－4＝0.解得tan α＝－2或tan α＝.因为α∈，所以tan α＝－2.10．(2024·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝_________．解析：因为3sin α－sin β＝，α＋β＝，所以3sin α－cos α＝，所以cos α＝3sin α－.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(3sinα－)2＝1，解得sin α＝，cos β＝sin α＝，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝.11．已知cos＋sin ＝1，则cos2＋cosβ－1的取值范围为_________．解析：由已知得cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1.又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，所以cos2＋cosβ－1＝sin2α＋1－sinα－1＝sin2α－sinα＝－.(*) 又0≤sin α≤1，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值－，当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.12．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos －sin α·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解：(1)因为－<α<0，所以sin α<0，所以f(α)＝sin α－sin α·－1＝sinα＋sin α·－1＝sin α＋cos α.(2)法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sinα·cos α＋cos2α＝，即2sinαcos α＝－.所以sin αcos α＝－.又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝－.法二：联立方程解得或因为－<α<0，所以所以sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.。
2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(真题测试)解析版
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（真题测试）一、单选题1．（2013·广东·高考真题（文））已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】由51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，得 1cos 5α=.故选C ． 2．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）已知3tan 4α=，α为第三象限角，则cos α的值为（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可 【详解】 因为3tan 4α=，故sin 3cos 4αα=，即2216sin 9cos αα=，221616cos 9cos αα-=，所以216cos 25α=，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-故选：D3．（2022·辽宁· ） A ．sin 4cos4- B ．sin4cos4-- C ．cos4sin 4- D ．sin4cos4+【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和平方关系求解. 【详解】==cos4sin 4=-，故选：C4．（2007·山西·高考真题（理））α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得：5sin 13α=±， 又α是第四象限角，所以5sin 13α=-. 故选：D.5．（2020·全国·高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） AB ．23C ．13D【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.6．（2014·全国·高考真题（理））设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出． 解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°， ∴a ＜b ， 又sin 35tan 35sin 35cos35=>，∴c ＞b ＞a ． 故选C ．7．（2010·全国·高考真题（理））记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）AB ．C D ．【答案】B 【解析】 【详解】()0cos 80k -=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =-=-，sin 801tan 80cos80∴==， 那么21tan100tan(18080)tan 80k k-=-=-=- 故选B ．8．（2022·安徽·高一期中）设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．12B ．12±C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由条件两边平方结合同角关系可求2sin cos αα，结合同角关系求cos sin αα-.【详解】 因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取cos sin αα-=． 故选：C. 二、多选题9．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin x x -= B ．3sin cos 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．()tan tan x x π+=【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式化简可得. 【详解】∵()sin sin x x -=-，故A 不成立；∵3sin cos 2x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，故B 不成立；∵cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故C 成立；∵()tan tan x x π+=，故D 成立. 故选：CD.10．（2021·江苏·高一专题练习）在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）A ．()sin sin απβ+=B ．()sin sin απβ-=C ．()sin 2sin παβ-=-D ．()sin 2sin παβ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据α与β的终边关于y 轴对称可得()2k k Z αβππ+=+∈，利用诱导公式依次验证各个选项即可. 【详解】α与β的终边关于y 轴对称，()2k k Z αβππ∴+=+∈，对于A ，()sin sin απα+=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ+=不恒成立，A 错误； 对于B ，()sin sin απα-=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ-=不恒成立，B 错误；对于C ，()sin 2sin παα-=-，()sin sin 2sin k βππαα-=-+-=-，则()sin 2sin παβ-=-恒成立，C 正确； 对于D ，()sin 2sin παα+=，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin 2sin παβ+=恒成立，D 正确. 故选：CD.11．（2022·云南玉溪·高一期末）已知(0,)θπ∈，sin cos θθ+= ）A ．sin cos 0θθ<B ．sin cos θθ-C ．cos θ=D ．sin θ=【答案】ABD 【解析】 【分析】考虑角θ 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可. 【详解】由sin cos θθ+=…①，以及22sin cos 1θθ+= ， 对等式①两边取平方得112sin cos 5θθ+= ，2sin cos 5θθ=- …②，()0,θπ∈ ，sin 0θ∴＞，由②，cos 0θ＜ ，由①②sin θ ，cos θ 可以看作是一元二次方程2205x -= 的两个根，解得sin θ=，cos θ= ，故A 正确，B 正确，C 错误，D 正确； 故选：ABD.12．（2022·福建·+） A ．3B ．3-C ．1D ．1-【答案】ABCD 【解析】 【分析】 由题得原式cos 2sin |cos ||sin |αααα=+，再对α分四种情况讨论得解.【详解】cos2sin|cos||sin|αααα=+，当α在第一象限时，原式cos2sin=3c=os sinαααα+；当α在第二象限时，原式cos2sin=1cos si=nαααα+-；当α在第三象限时，原式cos2sin==3cos sinαααα+---；当α在第四象限时，原式cos2s=in=1cos sinαααα+--.故选：ABCD三、填空题13．（2011·重庆·高考真题（文））若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=______．【答案】【解析】【详解】试题分析：根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．解：因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα==故答案为14．（2015·四川·高考真题（文））已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【解析】【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝22222sin cos cos2tan1411sin cos tan141ααααααα----===-+++15．（2010·上海·高考真题）在△ABC中，tan A，则sin A=____________【解析】【详解】因为tan 03A =>，则A ∠是锐角，于是2221111tan 199cos A A +=+==，则29cos11A =，cos A =sin tan cos A A A =⋅==．（或由29cos 11A =得22sin 11A =，因为sin 0A >，则sin A =．） 16．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】 【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2， 故∠DAP ＝2－2π.∴DP ＝AP·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 四、解答题17．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）sin ()3πα+13=-；1cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）1-．【解析】 【分析】（1）化简已知得sin 13α=，再利用诱导公式化简即得解；（2）直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】（1）由sin ()13πα-=，有sin 13α=，所以sin ()()13sin sin 3παπαα+=+=-=-；1cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.（2）()()()()sin 2cos sin cos 13cos sin sin()cos 22παπαααππαααα-⋅+⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭. 18．（2022·福建·高二学业考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()sin πα-的值； (2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)45(2)-7【解析】 【分析】先求出 sin α 和tan α ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可. (1)由题意，4445sin ,tan 3535αα===，()4sin sin 5παα∴-== ；(2)41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-- ； 综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.19．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））已知sin cos αα+= (1)求π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若ππ2α<<，β终边经过()3,4P -，求()()()111sin πcos 3πcos 2πααβ++-+--. 【答案】(1)1353【解析】 【分析】（1）将sin cos αα+=两边同时平方，得到1sin cos 3αα=-，再利用诱导公式计算可得；（2）首先求出sin cos αα-，再根据任意角的三角函数的定义求出cos β，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得； (1)因为sin cos αα+=，所以()22sin cos αα⎛+= ⎝⎭，即112sin cos 3αα+=，所以1sin cos 3αα=-，所以31sin cos cos sin 223ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为2απ<<π，所以sin 0cos αα>>所以sin cos αα- 又因为β终边经过()3,4P -，所以3cos 5β==- 所以111sin()cos(3)cos(2)παπαβπ++-+--111sin cos cos ααβ=-+cos sin 1sin cos cos ααααβ-=+15313335=+=--20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知1sin cos 5αα+=.(1)求sin cos αα⋅的值(2)若2απ<<π，求()11sin cos απα+-的值. 【答案】(1)1225-； (2)3512. 【解析】 【分析】（1）把1sin cos 5αα+=平方即得解；（2）求出cos sin αα-，即得解. (1)解：21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+， ∴12sin cos 25αα=-. (2) 解：原式=11cos sin sin cos sin cos αααααα--=，∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭， 又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<，∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.21．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知1sin cos 2αα+=，0απ<<. (1)求sin cos αα的值. (2)求sin cos αα-的值. (3)的值.【答案】(1)38-(3)43- 【解析】【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=，从而可得出答案；（3）=化简，从而可求出答案.(1)解：因为1sin cos 2αα+=， 所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=， 所以3sin cos 8αα=-； (2)解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><， 所以sin cos αα-=； (3) 解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，=1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-. 22．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知()0,θπ∈，7sin cos 5θθ-=． (1)求sin cos θθ+的值；(2)求tan θ的值．【答案】(1)15±(2)见解析.【解析】【分析】（1）将已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，结合()0,θπ∈，可知θ为第二象限角，可得sin cos θθ+的值；（2）由（1）知sin cos θθ+的值，与已知等式联立可求出sin cos θθ，的值，则tan θ的值可求. (1) 把7sin cos 5θθ-=平方后得，4912sin cos 25θθ-=，可得12sin cos 25θθ=-，可得sin cos 0θθ<，由()0,θπ∈，可得sin 0θ>，cos 0θ<，有,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由()2241sin cos 12sin cos 12525θθθθ+=+=-=，有1sin cos 5θθ+=±． (2)由（1）有，①1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得4sin 45tan 3cos 35θθθ===--． ②1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得3sin 35tan 4cos 45θθθ===--．。
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第三章第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。
为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿 所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。
2022高考数学(文)一轮通用版讲义：4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1理解同角三角函数的基本关系式：sin2＋cos2＝1，＝tan．±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．突破点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2α＋cos2α＝1α∈R．2商数关系：tanα＝2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“11＝sin2θ＋cos2θ＝表达式中需要利用一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝12若α∈R，则tanα＝恒成立．答案：1×2×二、填空题1．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，于是tanα＝－答案：－2．已知tanα＝2，则的值为________．解析：原式＝＝＝3答案：3考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] 12022·成都龙泉中学月考设cos－80°＝，那么tan100°等于B．－D．－22022·甘肃诊断已知tan＝，且角的终边落在第三象限，则cos＝B．－D．－[解析] 1∵cos－80°＝cos80°＝，∴sin80°＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－故选B2因为角的终边落在第三象限，所以cos<0，因为tan＝，所以解得cos＝－，故选D[答案] 1B 2D[易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f sinα、cosα的值[例2] 2022·保定三校联考已知tan3π＋α＝3，则＝D．2[解析] ∵tan3π＋α＝3，∴tanα＝3，∴＝＝＝故选B [答案] B[方法技巧]利用“切弦互化”的技巧1弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式如a sin2α＋b sinαcosα＋c cos2α的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．2切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3] 1已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为B．±C．－D．－2已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则＝[解析] 1因为sinαcosα＝，所以cosα－sinα2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα<sinα，即cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－2∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，cosα－sinα2＝1＋＝又∵－<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα－sinα＝，∴＝＝＝[答案] 1D 2B[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即sinα±cosα2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝因此在解题中已知1个可求另外2个．已知α∈0，π，cosα＝－，则tanα＝B．－D．－解析：选D ∵cosα＝－且α∈0，π，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－故选D已知sinα＋cosα＝，则sinαcosα的值为________．解析：∵sinα＋cosα＝，∴sinα＋cosα2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝－答案：－已知tanα＝－，求：1的值；2的值；3sin2α＋2sinαcosα的值．解：1＝＝＝2＝＝＝＝＝－3sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－突破点二三角函数的诱导公式组一二三四五六一、判断题对的打“√”，错的打“×”1sinπ＋α＝－sinα成立的条件是α为锐角．2诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．答案：1×2√二、填空题1．已知cosπ＋α＝－，则sin等于________．解析：cosπ＋α＝－cosα＝－，则cosα＝，sin＝－sin ＝－cosα＝－答案：－2．已知sin＝，则sin等于________．解析：sin＝sin＝－sin＝－答案：－3．已知tan＝，则tan＝________解析：tan＝tan＝tanπ－－α＝－tan＝－答案：－1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求1化简过程是恒等变形；2结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．2022·武威六中第一次阶段性检测已知fα＝1化简fα；2若－<α<，且fα<，求α的取值范围．解：1fα＝＝＝＝－sinα2由已知得－sinα<，∴sinα>－，∴2π－<α<2π＋，∈Z∵－<α<，∴－<α<故α的取值范围为应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项1已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．2对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．2022·玉林陆川中学期中sin570°的值是A．－D．－解析：选A sin570°＝sin720°－150°＝－sin150°＝－故选A2．2022·湖北八校联考已知sinπ＋α＝－，则tan＝A．2 B．－2D．±2解析：选D ∵sinπ＋α＝－，∴sinα＝，∴tan＝＝±2，故选D3．2022·南充模拟设f＝a sinπ＋α＋b cosπ＋β，其中a，b，α，β都是非零实数．若f2022＝－1，则f2022＝A．1 B．2C．0 D．－1解析：选A ∵f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝－a sinα－b cosβ＝－1，∴a sinα＋b cosβ＝1，∴f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝a sinα＋b cosβ＝4．化简：＝________解析：原式＝＝＝1答案：1[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．2022·新疆普通高中学业水平考试已知∈，cos＝，则tan的值为B．－D．－解析：选B 因为∈，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－故选B2．2022·淮南十校联考已知sin＝，则cos的值是A．－D．－解析：选A ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A3．2022·重庆一模log2的值为A．－1 B．－解析：选B log2＝log2＝log2＝－故选B4．2022·遵义模拟若sin＝－，且α∈，π，则sinπ－2α＝A．－B．－解析：选A ∵sin＝cosα＝－，α∈，∴sinα＝，∴sinπ－2α＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－故选A5．2022·沈阳模拟若＝2，则cosα－3sinα＝A．－3 B．3C．－解析：选C ∵＝2，∴cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋2sinα－12＝1,5sin2α－4sinα＝0，解得sinα＝或sinα＝0舍去，∴cosα－3sinα＝－sinα－1＝－故选C 6．2022·庄河高中期中已知sin＝，则cos等于C．－D．－解析：选A cos＝cos＝sin＝故选A[B级保分题——准做快做达标]1．2022·宝鸡金台区质检已知sin2α＝，则tanα＋＝C．3 D．2解析：选C tanα＋＝＋＝＝＝＝2．2022·常德一中月考已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝C．－D．－解析：选C 因为sinα＋2cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或所以tanα＝3或－所以tan2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－故选C3．2022·株洲醴陵二中、四中期中联考已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为A．－B．－解析：选A 由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝，所以sin2α－2sinαcosα＝＝＝－故选A4．2022·大庆四地六校调研若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tanα的值是A．－B．－C．－或－D．不存在解析：选A 由sin＋cos＝，得cosα＋sinα＝，∴2sinαcosα＝－<0∵α∈0，π，∴α∈，∴sinα－cosα＝＝，∴sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－，故选A5．2022·平顶山、许昌联考已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是B．－C．－3 D．3解析：选A 由＝5，得＝5，解得tanα＝2，∴cos2α＋sin2α＝＝＝＝6．2022·河南中原名校联考已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于的方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，则sinθ－cosθ＝D．－解析：选B ∵sinθ，cosθ是方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，∴sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得sinθ＋cosθ2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得m＝－∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，∵sinθ－cosθ2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，∴sinθ－cosθ＝＝，故选B 7．2022·全国卷Ⅰ已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点A1，a，B2，b，且cos2α＝，则|a－b|＝D．1解析：选B 由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tanα＝±，即＝±，∴|a－b|＝故选B8．2022·武邑中学调研已知sinα＝，0<α<π，则sin＋cos＝________解析：2＝1＋sinα＝，又0<α<π，∴sin＋cos>0，∴sin ＋cos＝答案：9．2022·广西桂林等五市联考已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则tanθ＝________解析：∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＋cosθ2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－，又<θ<π，∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝，由，解得∴tanθ＝＝－答案：－10．2022·浙江名校协作体检测已知sin·cos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________解析：sincos＝－cosα－sinα＝sinαcosα＝又∵0<α<，∴0<sinα<得sinα＝，cosα＝答案：11．2022·惠安惠南中学月考已知cosα－sinα＝，α∈1求sinαcosα的值；2求的值．解：1∵cosα－sinα＝，α∈，平方可得1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝2sinα＋cosα＝＝＝，∴原式＝＝＝cosα＋sinα＝12．在△ABC中，1求证：cos2＋cos2＝1；2若cossintan C－π＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：1在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝12因为cossintan C－π＜0，所以－sin A－cos B tan C＜0，即sin A cos B tan C＜0因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A ＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案 －sin 2α 解析 原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一 诱导公式的应用 例1 (1)化简：错误!＝________. 答案 －1 解析 原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案 －1713解析 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析 原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解 原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析 由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析 因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析 因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案 －43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案 －4解析 因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析 因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则 错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析 由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析 原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析 原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解 由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。
同角三角函数基本关系式及诱导公式-2025年高考数学大一轮复习
5
2
4
π
π
－ ＜2 k π－ ， k ∈Z，所以
4
4
π
sin（− 4 ）
π
cos（− 4 ）
4
3
＝－ .
sin
π
(θ－ )＝－
4
1
3
4
π
2
− （ ） ＝－ ，所以tan(θ－ )＝
5
5
4
π
4
3
5
π
4
解法二
因为θ是第四象限角，且 sin (θ＋ )＝ ，所以θ＋ 为第一象限角，
所以 cos
π
4
sin[（2n＋2）π＋θ]·cos [（2n＋2）π－θ]
sin θ·cos θ
原式＝
＝
＝－1.
sin[（2n＋1）π－θ]·cos[（2n＋1）π＋θ] sin θ·（－cos θ）
综上，原式的值为－1.
易错点5
不能确定角之间的特殊关系导致诱导公式应用失误
2
π
2
2π －
3
1．已知 cos －α ＝ ，则 sin(α－ )＝________.
命题点2
诱导公式的应用
应用诱导公式的一般思路
(1)化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
(2)统一角，统一名；
π
2
π
2
(3)角中含有 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍.
1
π
π
例2 (1)[全国卷Ⅲ]函数 f ( x )＝ sin ( x ＋ )＋ cos ( x － )的最大值为( A
5
3
6
A．sin 2＋cos 2
B．sin 2－cos 2