高一数学教案：极限的概念及其运算

极限的概念及其运算 重难点归纳

1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限

学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如

)1|(|0lim ,0)1(lim

<==-∞→∞→a a n n n n

n

????

?

????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 0

1

1

10110

典型题例示范讲解

例1已知lim ∞→x (12

+-x x －ax －b)=0,确定a 与b 的值

命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法

错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理

解

b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞

→∞

→1)()1(lim

)1(lim 22

22

b

ax x x b x ab x a x +++--++--=∞

→1)

1()21()1(lim

2222

要使上式极限存在，则1－a2=0, 当1－a2=0时，

1)

21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22

2

22=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a

x b x

x x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴

?????=++-=-01)21(012a ab a 解得??

??

?-==211b a

例2设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn 和an 的关系是Sn=1－ban －n

b )1(1+,其中b 是与

n 无关的常数，且b ≠－1

(1)求an 和an －1的关系式；

(2)写出用n 和b 表示an 的表达式；

(3)当0＜b ＜1

时，求极限lim

∞→n Sn

命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和Sn 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和Sn 再求极限，本题考查学生的综合能力

知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系

错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一性 技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律

解 (1)an=Sn －Sn －1=－b(an －an －1)－1

)1(1

)1(1-+++n n b b

=－b(an －an －1)+n

b b )1(+ (n ≥2) 解得an=1

1)1(1+-+++n n b b a b b (n ≥2) 代入上式得

把由此猜想2

11132111

323212

13212221

22

1111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b b

a b b b b b a b b a b b b b a b b b b b b b a b b b b b b

b a b b b b b a b b b b a b b

a b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=

++++++

+=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+-

-==+--+-+--+-+-

),

1()11(1)()1(11)1(1

)1)(1(1)1(11)3()

1(2)

1()1)(1()1(1

1111

1

1

1

2≠+---+-=+-

+--?-=+--=???????=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n n

n n n n n n n n n n n n

.

1lim ,0)11(

lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞

→∞

→n n n

n n n S b b b 时

例3求11

22lim +-∞→++n n n n n a a

1

1

1

121()21:22,;lim lim 22()n n

n n n n n n a a a a a a a a a --+→∞→∞++><-==++解当或时

1

1

1()212222,;lim lim 24

2()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞

++-<<==++当时

111

212321

2,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+?===+?当时

2,a =-当时

1111111

11

12221

()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n n

n n n

n n

n n n n n n a a n ----+++--+?-+-==-?+-+?+?==?++-+??==-??--为奇数为偶数

学生巩固练习

1 an 是(1+x)n 展开式中含x2的项的系数，则

)111(

lim 21n

n a a a +++∞

→ 等于

A 2

B 0

C 1

D －1

2 若三数a,1,c 成等差数列且a2,1,c2又成等比数列，则n

n c a c a )(

lim 2

2++∞

→的值是( )

A 0

B 1

C 0或1

D 不存在

3

)

(lim x x x x n -+++∞

→ =_________

4 若)

12(lim 2

nb n n a n --+∞

→=1,则ab 的值是_________

5 在数列{an}中，已知a1=53,a2=10031,且数列{an+1－101an}是公比为21

的等比数列，数列

{lg(an+1－21

an}是公差为－1的等差数列

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)Sn=a1+a2+…+an(n ≥1),求lim

∞→n Sn

6 设f(x)是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim 2)(lim

42-=-→→=1,试求a x x f n 3)

(lim

-∞→的值 (a 为

非零常数)

7已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q,其中p ＞q,且p ≠1,q ≠1,

设cn=an+bn,Sn 为数列{cn}的前n 项和，求1

lim -∞→n n

n S S 的值

8 已知数列{an}是公差为d 的等差数列，d ≠0且a1=0,bn=2

n

a (n ∈N*),Sn 是{bn}的前n 项

和，Tn=n n b S (n ∈N*)

(1)求{Tn}的通项公式； (2)当d ＞0

时，求lim

∞→n Tn

参考答案

1 解析

)1

11(21,2)1(C 2n

n a n n a n n n --=∴-=

=，

2

)1

1(2lim )111(

lim 21=-=+++∴∞→∞

→n

a a a n n n

答案 A

2 解析

???=+=+???=+=+???==+62

22 ,122

22222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C

二、3 解析

x x x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞

→+∞

→lim

)(lim

.211

11111lim

2

3

=++

++

=+∞

→x x

x x

答案 21

4 解析

原式=

1

12)2(lim

12)12(lim

2

2

22222

2222=+-+-+-=+-+--+∞

→∞

→nb

n n a a n a n b a nb

n n a b n n n a n n

???==??????=+=-4221

20222b a b b a ∴a ·b=82 答案 82

5 解 (1)由{an+1－101an}是公比为21的等比数列，且a1=53,a2=10031

,

∴an+1－101an=(a2－101a1)(21)n -1=(10031－53×101)(21

)n -1=1

121)21(41+-=n n , ∴an+1=101

an+1

21+n

①

又由数列{lg(an+1－21

an)}是公差为－1的等差数列， 且首项lg(a2－21a1)=lg(10031－21×53

)=－2, ∴其通项lg(an+1－21

an)=－2+(n －1)(－1)=－(n+1), ∴an+1－21an=10－(n+1),即an+1=21

an+10－(n+1) ②

①②联立解得an=25［(21)n+1－(101

)n+1］

(2)Sn=

]

)10

1()21([25111

11∑∑

∑

==++=-=n k n k k k n

k k a

911

]1011)61(211)21

([25lim 22=

---=∴∞→n n S

6 解 由于a x x f a x 2)(lim

2-→=1，可知，f(2a)=0

①

同理f(4a)=0 ②

由①②可知f(x)必含有(x －2a)与(x －4a)的因式，由于f(x)是x 的三次多项式，故可设f(x)=A(x －2a)(x －4a)(x －C),这里A 、C 均为待定的常数，

,

1))(4(lim 2)

)(4)(2(lim ,12)(lim

222=--=----=-→→→C x a x A a

x C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a2A －2aCA=－1

③

同理，由于a x x f a x 4)

(lim

4-→=1,得A(4a －2a)(4a －C)=1,即8a2A －2aCA=1

④

由③④得C=3a,A=221a ,因而f(x)= 2

21a (x －2a)(x －4a)(x －3a), 21

)(21)4)(2(21lim 3)(lim

2

2

33-=-??=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 11111111111111111

11)1()1()1()1()1()1()1()1(1)

1(1)1(1)

1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=

--+

----+

--=

∴

--+

--=n n n

n n n n n n n

n n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a q

q b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解

由数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0

.

1

)1(00)1(01))(1(1)1()

1()1())(1()1()1()1(lim

)1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 1111111

111

1111

11

11111111p p q a q a p p q p b p q a p

p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n n

n

n n

n n n

n

n n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1,

lim lim lim lim 1

1====-∞

→∞

→-∞

→∞

→n n n n n n n n q q p p

1

lim

1

=∴-∞→n n

n S S

8 解 (1)an=(n －1)d,bn=2

n

a =2(n －1)d

Sn=b1+b2+b3+…+bn=20+2d+22d+…+2(n －1)d

由d ≠0,2d ≠1,∴Sn=d

n

d 21)2(1-- ∴Tn=nd

d

n nd d n d n

d n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--

(2)当d ＞0时，2d ＞1

122121101211

)2(1

lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→d

d d d n

d n n

d n d n

d n nd d n nd n n n T

课前后备注