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超级画板《动态几何教程》9经典范例
第九篇 经典范例
本篇将用更多的例子，展示《超级画板》的高级技巧所能做出的效果。
我们尽量从比较简单的问题开始。
对于每个例子的掌握程度，可以有三个层次。
第一个层次，是能用。这是最容易的。只要看看说明，动手做做，就能用了。
第二个层次，是会做。这要多花点时间和精力，但也不难。只要对照说明，一步一步地按文件在“对象工作区”中显示的对象性质和顺序来做，有些点的坐标和曲线的方程要复制粘贴一下，就会成功。
第三个层次，是明理。这比较困难。特别是有些点的坐标，有些曲线的方程，有些被测量的表达式，这些数学式子是如何设计出来的，不很容易理解。我们没有对这些数学表达式的由来作进一步的说明。数学功底较深厚的读者，花些力量能够理解其中的道理。对多数的读者，只要能用会做就可以了。
如果有读者确实对文件中的某些表达式的设计原理有很大的兴趣而又百思不解，不妨在网上提出来讨论（例如在 ， 或 等网站上）。相信能够得到满意的解答。
一 线段和圆弧的动态n等分点
1．等分线段的程序和函数
作出一条线段的等分点，例如3等分点或8等分点，这很容易。
最基本的做法，是用尺规作图。《超级画板》可以实现尺规作图，当然能等分线段。
如果想快捷一些，可以使用作定比分点的文本作图命令。在文本作图对话框的作点类的函数中可以找到这个函数：
DivisionPoint(A, B, r );
其中参数A、B是要等分的线段的两端的编号，r是分点所分的两端的长度的比。例如，4个5等分点对应的比值顺次为 1/4、2/3、3/2、、4/1。这样，一行命令只能作1个分点。
如果要一次作出4个5等分点，可以用for循环语句：
for (i=1;i<5;i=i+1) {DivisionPoint(A, B, i/(5-i) );}
或while 循环语句：
i=1;
while (i<5) {DivisionPoint(A, B, i/(5-i) );
中考数学压轴题专题十动态几何问题
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1 中考数学压轴题专题十 动态几何问题
试题特点
用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．
方式趋势
动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．
热点解析
一、点的运动
【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象
交于点A，且与x轴交于点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点
P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向
点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移
过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点
P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点
P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【思路】 (1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．
(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA百度文库 - 让每个人平等地提升自我
希沃白板几何画板绘制多步动态图形
希沃白板几何画板绘制多步动态图形
现代的教育技术不断发展，互联网技术的发展也改变了传统的教育方式。虚拟现实技术、人工智能、可视化技术等跨领域领先技术融合成一体，构建出可以支持多对多在线协同教学的生动多样的技术体系。其中，虚拟现实技术与可视化技术的创新让电子教学发挥更大的作用，极大地改善了传统的教育方式。
最新几何白板画板是一款以虚拟现实为基础，以可视化技术为支撑，并可实现同步多步绘图、动态表示、突出重点等功能的聚合学习工具。XiwoVision几何白板画板拥有真实世界般的3D动态绘图效果，具备多种场景支持，能够满足使用者协同合作、动态展示教学过程和多方分析等诉求，在教学领域具有重要的应用价值。
可以按步骤形象的展示知识点的讲解和学习过程，XiwoVision几何白板画板可以进行图形演示，能在同一白板上同时展示几何图形和多步动态绘图，加深学习者在几何绘画方面的认知。通过围绕几何白板进行多步动态绘图，让学生快速体验几何概念，同时提升几何绘图的能力，提高学生学习的积极性和训练的效率。
XiwoVision几何白板画板的多步动态绘图功能使学生可以在白板上进行实时多步绘图，以可视化和动态形式讲解知识点，让学生能够在学习过程中多元的体验几何的趣味，提升学习的实效性。
在现代社会，XiwoVision几何白板画板的多步动态绘图功能，以及丰富的虚拟现实技术和可视化技术，使得现代教育可以更高效地培养学生的几何功能，促进学生的知识累积和创新能力，提升教育效果。
九年级数学寒假专题六动态几何—类比探究
专题六 动态几何—类比探究
★河南近9年中招热点命题规律
探究性问题见年来每年必考，考查类型包含两种：1.动态探究题；2.类比探究题。主要考察对矩形、菱形、直角三角形的判定；涉及到的知识点有三角形的旋转、平行四边形的性质、相似、矩形折叠、勾股定理等。近两年还出现了，线段的比例问题，以及运动路程问题。
★解题技巧：
题型
题型特征
处理思路及解题方法
动态几何
动点问题：
速度已知的几何问题，常在动态背景下，探究图形性质和图形间关系。 1. 研究基本图形；分析运动过程。
2. 分析起点、终点、状态转折点，确定分段；
3. 根据几何特征表达线段长度，建等式求解。
几何综合问题：
常以三角形，四边形为背景，结合几何变换，几何模型，几何结构等 1. 找特征（中点，特殊角、折叠）、找模型（相似机构、三线合一、面积等）；
2.围绕目标，转化条件。
3. 借助问与问之间的联系。寻找条件和思路。
注意：综合性问题，问与问之间往往相互联系，能够为思路探索指明方向。
类比探究 图形结构类似，问法类似，常含探究、类比等关键词。 1.类比上一问思路，迁移解决下一问；
2.依据不变特征，分析结构解决问题；
3.分层书写，框架一致，条理分明，结论突出。
具体操作：
1.照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。
2.找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。常见不变结构及方法：
直角，作横平竖直的线，找全等或相似;
中点，作倍长，通过全等转移边和角；
平行，找相似，转比例。
类型一、图形旋转变化探究
1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，=
；②当α=180°时，= ．
数学几何图形之美
数学几何图形之美
几何图形作为数学的一个重要分支，是一门研究空间形状、大小、相对位置关系的学科。它不仅在数学中具有重要地位，还在生活和艺术中具有重要影响。本文将探讨数学几何图形之美的魅力所在。
1. 几何图形之美的起源
几何图形之美源自于我们身边的自然界和人类创造的艺术作品。例如，圆形代表完美和无限，正方形代表稳固和平衡，三角形则常常被用来表示力量和动态。这些简单的几何图形蕴含着深刻的寓意，正是它们的美丽和意义赋予了数学几何图形独特的魅力。
2. 几何图形的对称美
对称是几何图形之美的一个重要方面。旋转对称、轴对称、中心对称等各种对称性质让几何图形展现出独特的美感。对称美不仅存在于自然界中，也广泛应用于建筑和艺术作品中。对称线的穿越和交叉让人感受到一种平衡与和谐，这种对称之美深深吸引着人们的眼球。
3. 几何图形的黄金比例
黄金比例是一种特殊的比例关系，常被认为是最美的比例。在艺术创作和建筑设计中，黄金比例常被用来构图，使作品更加和谐、美观。从正规多边形到著名的黄金矩形，几何图形中隐藏着许多黄金比例的奥秘，这种比例之美让人感受到数学之美的深远之处。
4. 几何图形之美的艺术表现
几何图形不仅存在于数学领域，也是艺术作品中常用的表现元素。从古希腊的几何雕塑到现代派画作，几何图形在艺术中扮演着重要角色。艺术家们通过几何图形的组合和运用，创造出各种富有设计感的作品，展现了几何图形之美在艺术中的无限可能性。
5. 结语
数学几何图形之美是一种独特的美学体验，它体现了数学和艺术之间的密切联系。通过对几何图形的研究和欣赏，我们可以感受到数学之美和人类文明的智慧。几何图形的美丽和魅力永远不会褪色，它将继续影响和启发我们的人生和创作。
以上就是关于数学几何图形之美的一些思考，希望能够引起您对几何图形之美的更深入思考和探索。愿我们在数学几何图形之美的世界中发现更多的奇迹与启示。
高考满分数学压轴题14 立体几何的动态问题(可编辑可打印)
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一．方法综述
立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.
二．解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1. 已知平行四边形ABCD中，1AB，2AD，60A，沿对角线BD将ABD△折起到PBD△的位置，使得平面PBD平面BCD，如图，若M，N均是线段PD的三等分点，点Q是线段MN上（包含端点）的动点，则二面角QBCD的正弦值的取值范围为（ ）
A．12,23 B．1419,219 C．2419,319 D．11,32
【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）
【答案】B
【解析】在ABD△中，1AB，2AD，60BAD，所以由余弦定理得3BD，所以222ABBDAD，所以ABBD，由翻折的性质可知，PBBD．又平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，所以PB平面BCD，过点Q作//QQPB，交BD于点Q，则QQ平面BCD，所以QQBC，过Q作QTBC，垂足为T，连接QT，则BC⊥平面QQT， 立体几何的动态问题 2 / 49
动态几何与函数问题
动态几何和函数问题是数学中两个不同的概念，但它们可以相互结合来解决一些有趣的问题。
动态几何是指在几何图形中，通过改变参数或条件，观察图形的变化情况。它关注的是几何图形的性质随着条件的变化而变化的规律。
函数问题则是研究数学函数的性质、行为和应用。函数是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。函数问题可以涉及函数的连续性、可导性、极值、曲线的图像、函数的变换等方面。
将动态几何与函数问题结合起来，我们可以通过动态几何软件来观察函数图像的变化，从而更好地理解函数的性质。例如，我们可以通过改变函数的系数或参数，观察函数图像的平移、缩放、翻转等变化；或者通过改变函数的定义域和值域，观察函数图像的截断、延伸等变化。
此外，我们还可以利用动态几何软件来解决一些与函数相关的几何问题。例如，给定一个几何图形，我们可以通过动态几何软件构造函数来描述该图形的性质，并通过函数的分析和计算来解决与该图形相关的问题。
综上所述，动态几何和函数问题是两个独立但相互关联的数学概念，在解决数学问题时可以相互结合，帮助我们更好地理解和探索数学的奥妙。
初中数学竞赛：动态几何的定值
初中数学竞赛：动态几何的定值
【内容提要】
1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.
用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如：
① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线；
② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；
③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.
2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：
半径等于RA的圆A与半径为RB (RB>RA) 的定圆B内切.那么：
动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆. 而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA.
若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围：
RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).
即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA .
所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA.
3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：
第一种是分两步完成 ：
① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.
② 再证明它能成立.
探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明.
D A
E
B P C F 【例题】
例1. 已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.
求证：PE＋PF有定值.
分析：（探求定值）用特位定值法.
① 把点P放在BC中点上. 这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，
例说立体几何中的动态问题
例说立体几何中的 动态问题
立体几何中的“动态问题”，是指空间图形中的某些点、线、面的位置关系是不确定的，可变的一类开放问题。对学生来说，解决这类问题，对其空间想象能力，逻辑推理能力的要求更高，难度一般比较大。但又因为这类问题是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养。这类问题往往把立体几何知识和其他部分的知识有机地结合起来，解决问题的关键就是转化与化归，把空间问题转化为平面问题来解决。本文归纳了几类动态问题，希望对大家解决立体几何中的动态问题有所启发。
一、与轨迹有关的动态问题
例1：如图，正方体 中，P为底面 上的动点， 于E，且 则点P的轨迹是（ ）
A ．线段 B．圆 C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
解析：
连结 ，可证 ，即 ，即点E是体对角线 上的定点，直线AE也是定直线． ，∴动点P必定在线段AE的中垂面 上，则中垂面 与底面 的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选A
例2：在正方体 中，点 是侧面 内一个动点，它到直线 与直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在曲线是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
解析：本题是立体几何与解析几何相结合的一道题目，学生难在空间问题如何转化为平面问题，即解析几何问题。这里动点 到直线 的距离易作出，难在 到直线的距离 的距离是什么。因 垂直平面 ，所以，即点 到点 的距离与 到直线 的距离相等。所以动点 在侧面
内的轨迹是一段抛物线。
评注：动点轨迹主要是把空间的关系转化为平面内动点所具有的特性。这类问题综合了平面几何、立体几何、解析几何等知识，渗透了数形结合思想，转化与化归思想，分类讨论思想，对第一次碰到此类问题的学生有较好的检测功能。
二、与距离有关的动态问题
例3 ：如图，在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面 内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是（ ）
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七 几何图形动点运动问题
【考题研究】
几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．
【解题攻略】
几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．
【解题类型及其思路】
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 ,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：
几何动点运动问题常见有两种常见类型：
(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；
(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题
【典例指引】
类型一 【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】