2020上海市嘉定区初三数学一模试卷及详解答案 (WORD版)
第1页 共4页 2019学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学试卷 （满分150分，考试时间100分钟）（2020.1） 同学们注意： 1.本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何问题均视为在同一个平面内研究问题. 2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.下列选项中的两个图形一定相似的是····························································· （▲）
（A）两个等腰三角形； （B）两个矩形； （C）两个菱形； （D）两个正五边形.
2.在Rt△ABC中，90C，10AB，8AC.下列四个选项，不正确的是………（▲） （A）54sinA； （B）54cosA； （C）43tanA； （D）34cotA． 3.如果A（2，n），B（2，n），C（4，12n）这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ··········································································· （▲） （A）xy2； （B）xy2； （C）2xy； （D）2xy. 4.如图1，在平行四边形ABCD中，设aAB，bAD，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量OC可以表示为 ················································································· （▲）
（A）ba2121； （B）ba2121； （C）ba2121； （D）ba2121. 5.三角形的重心是 ······················································································· （▲） （A）三角形三边的高所在直线的交点； （B）三角形的三条中线的交点； （C）三角形的三条内角平分线的交点； （D）三角形三边中垂线的交点． 6.下列四个选项中的表述，正确的是································································ （▲） （A）经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （B）经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （C）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （D）经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
A B
C D
图1 O 第2页 共4页
7.如果ba32，那么ba ▲ ． 8.如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的 ▲ 倍. 9.在某一时刻测得一根高为8.1m的竹竿的影长为9.0m，如果同时同地测得一栋楼的影长为27m，那么这栋楼的高度为 ▲ m． 10.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=2，DB=1，AE=4，EC=2，那么BCDE的值为 ▲ ． 11.抛物线2)1(21xy的顶点坐标为 ▲ ．
12.如果抛物线bxxy2的对称轴为y轴，那么实数b的值为 ▲ ． 13.将抛物线542xxy向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为 ▲ ． 14.已知抛物线cxxy22经过点),1(1yA和),1(2yB，那么1y ▲ 2y（从“”或“”或“”选择）. 15.如图2，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度5.2:1i，那么该斜坡的水平距离AC的长为 ▲ m. 16.如果正多边形的边数是n（3n），它的中心角是，那么关于n的函数解析式为 ▲ . 17.如图3，⊙O的半径长为5 cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部.如果ACAB，
8BCcm，那么△ABC的面积为 ▲ 2cm． 18.在△ABC中，90ACB，10AB，53cosA（如图4），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A、B.如果BA恰好经过点A，那么点A与点'A的距离为 ▲ .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分） 计算：30cot30sin245tan30cos2.
BA C
图4
BAC
图2
图3
C
O
AB第3页 共4页
20.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 已知不等臂跷跷板AB长为3米．跷跷板AB的支撑点O到地面的点H的距离6.0OH米.当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时（如图5-1），AB与直线AH的夹角OAH的度数为30. （1）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图5-2），跷跷板AB与直线BH的夹角ABH
的正弦值是多少？ （2）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图5-2），点A到直线BH的距离是多少米？
21.（本题满分10分） 如图6，在⊙O中，AB、CD是两条弦，⊙O的半径长为rcm，弧AB的长度．．为1lcm，
弧CD的长度．．为2lcm（温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）. 当21ll时，求证：CDAB.
22.（本题满分10分） 如图7，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁.有一货轮在海面上由西向东航行.到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30的方向上的C处.如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？ 请通过计算说明.
A B H O 图5-1 A B H O
图5-2
COABD图6
图7 第4页 共4页
23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第2小题8分） 已知：如图8，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，CABE.
（1）求证：BCDEBE2； （2）当BE平分ABC时，求证：ABAEBEBD.
24．（本题满分12分，每小题4分） 在平面直角坐标系xOy中，将点)(1abaP，定义为点)(baP，的“关联点”.
已知：点)(yxA，在函数2xy的图像上（如图9所示），点A的“关联点”是点1A. （1）请在图9的基础上画出函数22xy的图像，简要说明画图方法； （2）如果点1A在函数22xy的图像上，求点1A的坐标； （3）将点),(2nabaP称为点)(baP，的“待定关联点”（其中，0n）.如果点)(yxA，的“待定关联点”2A在函数nxy2的图像上，试用含n
的代数式表示点2A的坐标.
25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 已知：点P在ABC△内，且满足APCAPB（如图10），180BACAPB. （1）求证：PAB△∽PCA△； （2）如果120APB，90ABC，求PBPC的值； （3）如果45BAC， 且ABC△是等腰三角形， 试求PBCtan的值.
A
B C P 图10
B . 图8 C A E D
图9 第5页 共4页 2019学年第一学期嘉定区九年级期终学业质量调研测试 数学试卷阅卷参考答案 （考试时间100分钟，总分150分）（2020.1）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.D；2.A；3. D；4.A；5.B；6.C. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.23；8.81；9.54；10.32；11.)0,1(；12.0；13.12xy；14.；15.75；16.n
360
（不要求写出函数的定义域）；17.32；18.536. 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19.（本题满分10分） 解：30cot30sin245tan30cos2
=3-21×2123×2 ······························································· 8分
=03113. ······························································· 1+1分 20.（本小题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 证明：在Rt△AOH中， ∵90AHO，30AOH，6.0OH， ∴2.16.022OHAO(m).································································ 2分 ∴8.12.13OAABOB(m) ··························································· 2分 在Rt△BOH中， ∵90BHO，6.0OH，8.1OB， ∴318.16.0sinOBOHABH ····································································· 2分 （2）过点A向直线BH作垂线，垂足为M. ·························································· 1分 在Rt△ABM中， ∵90AMB，31sinABM，3AB， ∴131×3sinABMABAM ····································································· 2分 答：ABH的正弦值为31，点A到直线BH的距离是1米. ········································ 1分
M A B H
O
图6-2
2020年上海市中考数学试卷(WORD精校版带答案解析)
2020年上海市中考数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（4分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A． 6 B．9 C．12 D．182．（4分）用换元法解方程x＋1x2＋x2x＋1＝2时，若设x＋1x2＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝03．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，－4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝2x B．y＝－2x C．y＝8x D．y＝－8x5．（4分）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：2a·3ab＝．8．（4分）已知f （x ）＝ 2x －1，那么f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）10．（4分）如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 ．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ．12．（4分）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.6米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为 米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC →＝a →，CA →＝b →，那么向量BD→用向量a →、b →表示为 ．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 米．17．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，点D 在边BC 上，CD ＝3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 ．18．（4分）在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：15＋2－(12)－2＋|3－5|．20．（10分）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧10x ＞7x ＋6x －1＜x ＋7321．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△CEB∽△HCB；（2）如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x＋5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2＋bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4( )A B C D解：的被开方数不相同，故不是同类二次根式；3=C =D =故选：C ．2．（4分）用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是( )A ．2210y y -+=B ．2210y y ++=C ．220y y ++=D ．220y y +-= 解：把21x y x+=代入原方程得：12y y +=，转化为整式方程为2210y y -+=． 故选：A ．3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A ．条形图B ．扇形图C ．折线图D ．频数分布直方图 解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图， 故选：B ．4．（4分）已知反比例函数的图象经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是( )A ．2y x = B ．2y x =-C ．8y x =D ．8y x =- 解：设反比例函数解析式为ky x =，将(2,4)-代入，得：42k -=，解得8k =-， 所以这个反比例函数解析式为8y x =-，故选：D ．5．（4分）下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形解：A 、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C 、正确；D 、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误； 故选：C ．6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．正六边形D ．圆 解：如图，平行四边形ABCD 中，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ．四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，∴平行四边形ABCD 是平移重合图形，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：23a ab = 26a b ．解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．8．（4分）已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是 1 ． 解：2()1f x x =-，f ∴（3）2131==-， 故答案为：1．9．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )解：函数(0)y kx k =≠的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而减小，故答案为：减小．10．（4分）如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ． 解：依题意，方程240x x m -+=有两个相等的实数根，∴△224(4)40b ac m =-=--=，解得4m =，故答案为：4．11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 5． 解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是21105=． 故答案为：15．12．（4分）如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 23y x =+ ． 解：抛物线2y x =向上平移3个单位得到23y x =+．故答案为：23y x =+．13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 3150名 ． 解：15084003150400⨯=（名)． 答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB =米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 7 米．解：BD AB ⊥，AC AB ⊥，//BD AC ∴，ACE BDE ∴∆∆∽， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.410.2AC =， 7AC ∴=（米)，答：井深AC 为7米．15．（4分）如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为 2a b + ．解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，AB CD =，//AB CD ，∴AD BC a ==，CD CA AD b a =+=+，∴BA CD b a ==+，BD BA AD =+，∴2BD b a a a b =++=+，故答案为：2a b +．16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 350 米．解：当820t 时，设s kt b =+，将(8,960)、(20,1800)代入，得：8960201800k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：70400k b =⎧⎨=⎩， 70400s t ∴=+；当15t =时，1450s =，180********-=，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350．17．（4分）如图，在ABC ∆中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ．如果将ACD ∆沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为 332．解：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ．7BC =，3CD =，4BD BC CD ∴=-=，4AB BD ==，60B ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，60ADB ∴=︒，120ADC ADE ∴∠=∠=︒，60EDH ∴∠=︒，EH BC ⊥，90EHD ∴∠=︒，3DE DC ==，sin 60EH DE ∴=︒=，E ∴到直线BD ，． 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是33AO << ． 解：在矩形ABCD 中，90D ∠=︒，6AB =，8BC =，10AC ∴=，如图1，设O 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ⊥，//OE CD ∴，AOE ACD ∴∆∆∽，∴OE AO CD AC =， ∴2106AO =， 103AO ∴=， 如图2，设O 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ⊥，//OF AB ∴，COF CAB ∴∆∆∽，∴OC OF AC AB =， ∴2106OC =， 103OC ∴=， 203AO ∴=，∴如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<， 故答案为：102033AO <<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：123127()|35252-+-++．解：原式133(3)52435=+-+-352435=+--+0=．20．（10分）解不等式组：1076,713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩解：1076713x x x x >+⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解不等式①得2x >，解不等式②得5x <．故原不等式组的解集是25x <<．21．（10分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求DBC ∠的正切值．解：（1）过C作CE AB⊥于E，//AB DC，90DAB∠=︒，90D∴∠=︒，90A D AEC∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE是矩形，AD CE∴=，5AE CD==，3BE AB AE∴=-=，35BC=，226CE BC BE∴=-=，∴梯形ABCD的面积1(58)6392=⨯+⨯=；（2）过C作CH BD⊥于H，//CD AB，CDB ABD∴∠=∠，90CHD A∠=∠=︒，CDH DBA∴∆∆∽，∴CH CDAD BD=，22228610 BD AB AD=+=+=，∴5 610 CH=，3CH∴=，2222(35)36 BH BC CH∴=-=-=，DBC∴∠的正切值3162 CHBH===．22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 解：（1）45045012%504+⨯=（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：2350(1)504x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；（2）如果2BE AB AE =，求证：AG DF =．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，D B ∠=∠，//CD AB ，DF BE =，()CDF CBE SAS ∴∆≅，DCF BCE ∴∠=∠，//CD BH ，H DCF ∴∠=∠，BCE H ∴∠=∠，B B ∠=∠，BEC BCH ∴∆∆∽．（2）证明：2BE AB AE =，∴BE AE AB EB =， //AG BC ，∴AE AG BE BC =， ∴BE AG AB BC=， DF BE =，BC AB =， BE AG DF ∴==，即AG DF =．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （如图）．抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上的另一点C ，且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于AOB ∆内，求a 的取值范围．解：（1）针对于直线152y x =-+，令0x =，5y =，(0,5)B ∴， 令0y =，则1502x -+=，10x ∴=， (10,0)A ∴，2251055AB ∴=+=（2）设点1(,5)2C m m -+，(0,5)B ，|BC m ∴==， 5BC =，∴|m =， 2m ∴=±，点C 在线段AB 上，2m ∴=，(2,4)C ∴，将点(10,0)A ，(2,4)C 代入抛物线2(0)y ax bx a =+≠中，得100100424a b a b +=⎧⎨+=⎩， ∴1452a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线21542y x x =-+； （3）点(10,0)A 在抛物线2y ax bx =+中，得100100a b +=， 10b a ∴=-，∴抛物线的解析式为2210(5)25y ax ax a x a =-=--，∴抛物线的顶点D 坐标为(5,25)a -，将5x =代入152y x =-+中，得155522y =-⨯+=，顶点D 位于AOB ∆内，50252a ∴<-<， 1010a ∴-<<； 25．（14分）如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是ABC ∆的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D ．（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当BCD ∆是等腰三角形时，求BCD ∠的大小；（3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长．【解答】（1）证明：连接OA．=，AB AC=，∴AB AC∴⊥，OA BC∴∠=∠，BAO CAO=，OA OB∴∠=∠，ABD BAO∴∠=∠．2BAC BAD（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD CB∠=∠=∠+∠=∠，C BDC ABD BAC ABD=，则3 =，AB AC∴∠=∠，ABC C∴∠=∠，DBC ABD2∠+∠+∠=︒，180DBC C BDC∴∠=︒，8180ABD367.5C ABD ∴∠=∠=︒．②若CD CB =，则3CBD CDB ABD ∠=∠=∠， 4C ABD ∴∠=∠，180DBC C CDB ∠+∠+∠=︒， 10180ABD ∴∠=︒，472BCD ABD ∴∠=∠=︒．③若DB DC =，则D 与A 重合，这种情形不存在． 综上所述，C ∠的值为67.5︒或72︒．（3）如图3中，作//AE BC 交BD 的延长线于E ．则23AE AD BC DC ==， ∴43AO E OH BH ==，设4OB OA a ==，3OH a =， 22222BH AB AH OB OH =-=-， 2222549169a a a ∴-=-，22556a ∴=， 52BH ∴ 522BC BH ∴==．。
2020上海初三一模-压轴汇编
（宝山）如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒︒1800ππα）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．（崇明）如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，那么A A '的长为 ▲ ．24、如图，抛物线与x 轴相交于点(3,0)A -、点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ． （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB ∠的正切值；（3）当AOE △与ABC △相似时，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在ABC △中，10AB AC ==，16BC =，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作ADE B =∠∠，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于点F ．（1）求证：AB CE BD CD ⋅=⋅；（2）当DF 平分ADC ∠时，求AE 的长；（3）当AEF △是等腰三角形时，求BD 的长．DBAFEC(第25题图)（奉贤） 如图，已知矩形ABCD ()AB CD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点(2,3)A -和点(5,0)B ， 顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2y x bx c =++向上平移t （0t >）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B，求t的值. 落在点F处，如果BE BF25. 如图，已知平行四边形ABCD 中，5AD =，5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =. （1）当点E 在边AD 上时，① 求CEF V 的面积；（用含m 的代数式表示） ② 当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF V 与CFG V 相似，求m 的值.（虹口）、如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，sin 5C 4=，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF V 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段'B F 经过顶点A ，'B F 交对角线BD 于点P ，当'B F AB ⊥时，AP = .24、在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”， ①当D 在射线AP 上，如果DAB ∠为ABD V 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE EF ⊥，如果CEF ∠为ECF V 的特征角，求点E 的坐标.25、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G .（1）当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠；（2）当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，ADF S y =V ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）； （3）如果8AG =，求DE 的长.（黄浦）．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”． （1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．图8ECBAD xOy25．（本题满分14分）如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCEAEFS y S =V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当7BCEAEFS S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.B图12备用图（嘉定）在ABC V 中，∠ACB =90°，AB =10，3cos 5A（如图4），把ABC V 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点','A B ，如果''A B 恰好经过点A ，那么点A 与点'A 的距离为____________24. 在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,P a b a -定义为点(),P a b 的“关联点”.已知：点(),A x y 在函数2y x =的图像上（如图9所示），将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在图9的基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点()2,P a b na -称为点(),P a b 的“待定关联点”（其中，0n ≠），如果点(),A x y 的“待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.25. 已知：点P在ABCV内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°.（1）求证：PAB PCA:V；（2）如果∠APB=120°，∠ABC=90°，求PCPB的值；（3）当∠BAC=45°，ABCV为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.（静安）、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=o，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S =V V ，求tan DBC ∠的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD V 相似的三角形，并说明理由；（2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=o ，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.（闵行）. 如图，在等腰△ABC 中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为24. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线2x =-的抛物线经过点(0,2)C ，与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC ，求BCO ∠的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且CEO BCO ∠=∠，求点P 的坐标.25. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，90ADC ∠=︒，2CD=（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△=，CE yABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=.∠=∠；（1）求证：DAB DCF（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.。
上海市2020届初三数学一模提升题汇编第18题(填空小压轴)
18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．参考答案： 3)4(2+-=x y .【2020崇明一模】18．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，那么A A '的长为 ▲ ．参考答案：【2020奉贤一模】18．如图4，已知矩形ABCD （AB>AD ），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，联结DF ，如果点G 是DF 的中点， 那么∠BEG 的正切值是 ▲ ．参考答案：1图4D C BA18．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．参考答案：247【2020黄浦一模】18．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．118C图7A BD图818.在△ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ，53cos =A （如图4），把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '.如果B A ''恰好经过点A ，那么点A 与点'A 的距离为 ▲ .参考答案：536.【2020静安一模】18. 如图3，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 ▲ ．参考答案：71图3ABCD18．如图，在等腰△ABC 中，AB = AC = 4，BC = 6，点D 在底边BC 上，且∠DAC =∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ． 参考答案：1【2020浦东一模】18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’ 经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．参考答案：【2020普陀一模】18．如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =,，点P 为边BC 上一点，3PC =，将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于▲ ．参考答案：2013ACDB 图8ABC18．已知，在矩形纸片ABCD 中，AB =5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF 上，那么边AD 的长至少是 ▲ cm ．【2020松江一模】18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果'AE F =,那么k = ▲ .1【2020徐汇一模】18．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__▲___．参考答案：825(第18题F ED C B AC′A′ D′【2020长宁金山一模】18. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP ∆绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合， 点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于 ▲ ．第18题图ABC。
2020年上海虹口区初三数学一模试卷及答案(2)
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虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1考生注意:1．本试卷含三个大题，共25题;2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．如果 ，那么锐角的度数为1cos =2ααA ．30°；B ．45°；C ．60°；D ．90°．2．在Rt△ABC 中,∠C =90°，如果BC =2，tan B =2，那么AC 长为A ．1；B ．4; C；D ．．3．抛物线的顶点所在象限是23(1)+1y x =+A ．第一象限;B ．第二象限；C ．第三象限；D 。
第四象限．4．已知抛物线经过 、两点，在下列关系式中，正确的是2y x =1(2,)A y -2(1,)B y A ．； B ．；C ．； D ．．120y y >>210y y >>120y y >>210y y >>5．已知和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是b a 、c a bA ．;B ．∥，∥；=a b a c b c C ．； D ．，．+0a b = +2a b c = 3a b c -= 6．如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点,∠BAD=∠C ，AC =2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为A ．；B ．；C ．7。
(精校版)2020年上海浦东初三数学一模试卷及答案
∵BC=7，∴ DE 7 ． ……………………………………………………(1 分）
2
(2）∵AE=4,AC=6，∴EC=2． ∵△ADE 与△CDE 同高，∴ S△ADE AE 2 ． ………………………（1 分）
S△DEC EC 1
∵S△DEC=a，∴S△ADE=2a． …………………………………………………（1 分） ∵△ADE∽△ACB，∴ S△ADE AD 2 1 ．………………………………（1 分）
（D）如果
a
1
b
（
b
为非零向量），那么
a
//
b
．
2
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分,满分 48 分）
【请将结果直接x 填y入答题纸的相应位置】
x 2y
7．已知 x=3y,那么
=▲．
8．已知线段 AB=2cm，P 是线段 AB 的黄金分割点,PA>PB，那么线段 PA 的长度等于 ▲ cm．
1
(直打版)2020 年上海浦东初三数学一模试卷及答案(word 版可编辑修改)
浦东新区 2019 学年第一学期初中学业质量监测
初三数学 试卷
考生注意： 1．本试卷共 25 题，试卷满分 150 分,考试时间 100 分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算 的主要步骤．
将△BDE 绕着点 B 旋转,点 D、E 旋转后的对应点分别为点 D’、E’，当直线 D'E'
经过点 A 时，线段 CD’的长为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共 7 题,满分 78 分）
上海市嘉定区2020年初三中考数学二模试卷(逐题详解版)
2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷2020.05一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（▲）（A ）214-；（B ）722； （C ）2π； （D ）%50.2. 当0≠x 时，下列运算正确的是（▲）（A ）523x x x =+； （B ）623x x x =⋅； （C ）923)(x x =； （D ）x x x =÷23． 3. 下列关于二次函数32-=x y 的图像与性质的描述，不正确的是 （▲）（A ）该函数图像的开口向上；（B ）函数值y 随着自变量x 的值的增大而增大； （C ）该函数图像关于y 轴对称；（D ）该函数图像可由函数2x y =的图像平移得到.4. 一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，那么会发生变化的统计量是（▲）（A ）平均数； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差． 5. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（▲）（A ）线段； （B ）矩形； （C ）等腰梯形； （D ）圆. 6. 下列四个命题中，真命题是（▲）（A ）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （B ）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （C ）一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （D ）一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：xx 32+= ▲ ．8. 函数321+=x y 的定义域是 ▲ ． 9. 分解因式：1442+-x x = ▲ ． 10.方程32-=x 的根是 ▲ ．11.如果反比例函数xk y =（0≠k ）的图像经过点P （1，3），那么当0<x 时，函数值y 随自变量x 的值的增大而 ▲ （从“增大”或“减小”中选择）．12.一个不透明的布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋中随机取出1个球恰好是红球的概率为： ▲ . 13.半径长为2的半圆的弧长为 ▲ （计算结果保留π）．14.为了调查A 学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t （单位：时），一个数学课外活动小组随机调查了A 学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t （单位：时），并绘制成如图1所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定）.请根据以上信息，估计A 学校该周阅读课外书籍的时间位于108<≤t 之间的学生人数大约为 ▲ 人．15.如图2，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =，b AF=，那么向量AD 用向量,a b表示为 ▲ ．16.如图3，点A 、B 、C 在⊙O 上，其中点C 是劣弧AB 的中点.请添加一个条件，使得四边形AOBC 是菱形，所添加的这个条件可以是 ▲ （使用数学符号语言表达）． 17.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图4中的正方形ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为 ▲ ．18.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足βα∠=∠2，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三图4图3F EDAC B图2角形的腰长与底边长的比值为 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：22)3()13(6213-++⋅--．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x ．21.（本题满分10分，每小题5分）图5所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的.点A 、B 、C 、D 均在方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB 与线段CD 相交于点E .设图中每个小正方形的边长均为1，（1）求证：CD AB ⊥； （2）求BCD ∠sin 的值.图522.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知汽车燃油箱中的剩余油量．．．．y （单位：升）与该汽车行驶里程数．．．．．x （单位：千米）是一次函数关系.贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）.行驶了200千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为40升；又行驶了．．．．100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升.（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写函数的定义域）；（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来.在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明.23.（本题满分12分，每小题6分）已知：△ABC ，AC AB =，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF .（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；（2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CF BEDFDE =22图6-1图6-224．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知经过点)0,3(-A 的抛物线322-+=ax ax y 与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点.（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标； （2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC .如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线， 垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F .当FH EF 2=时，求点E 的坐标.25.（满分14分，第（1）5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图8，在△ABC 中，︒=∠90C ,AB =5cm ，54cos =B .动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动.已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒. 联结BD.（1）当AB AD =时，求ABD ∠tan 的值；（2）以A 为圆心，AD 为半径画⊙A ；以点B 为圆心、BE 为半径画⊙B .讨论⊙A 与⊙B 的位置关系，并写出相对应的t 的值.（3）当△BDE 为直角三角形时，直接写出CBD ∠tan 的值.图8备用图2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题：【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.下列四个选项，其中的数不是分数的选项是( )A. ﹣412B.227C.2π D. 50%【答案】C 【解析】 【分析】根据分数的定义进行判断即可． 【详解】A ．﹣412是分数，与要求不符； B ．227是分数，与要求不符； C ．2π是无理数，不是分数，与要求相符； D ．50%12=是分数，与要求不符． 故选：C ．【点睛】本题考查了分数的定义，掌握知识点是解题关键． 2.当x ≠0时，下列运算正确的是( )A. x 3+x 2=x 5B. x 3•x 2=x 6C. (x 3)2=x 9D. x 3÷x 2=x【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】A ．x 3与x 2不能合并，故原题计算错误； B ．x 3•x 2=x 5，故原题计算错误； C ．(x 3)2=x 6，故原题计算错误；D．x3÷x2=x，故原题计算正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．3.下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是()A. 该函数图象的开口向上B. 函数值y随着自变量x的值的增大而增大C. 该函数图象关于y轴对称D. 该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．【详解】A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误；由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；D．该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4.一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是( )A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差【答案】D【解析】【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的3，4，4，5的平均数为3+4+4+5=44，原数据的3，4，4，5的中位数为4+4=24，原数据的3，4，4，5的众数为4，原数据的3，4，4，5的方差为14×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；新数据3，4，4，4，5的平均数为3+4+4+4+5=45，新数据3，4，4，4，5的中位数为4，新数据3，4，4，4，5的众数为4，新数据3，4，4，4，5的方差为15×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；∴添加一个数据4，方差发生变化，故选D．【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．5.下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. 线段B. 矩形C. 等腰梯形D. 圆【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】A．线段是轴对称图形也是中心对称图形；B．矩形是轴对称图形也是中心对称图形；C．等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；D．圆是轴对称图形也是中心对称图形．故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.下列四个命题中，真命题是()A. 一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形B. 一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形C. 一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形D. 一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．【详解】A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理和平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．二、填空题：【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.化简23x x+=____．【答案】5x ．【解析】【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【详解】232+3x x x+=5x=．故答案为：5 x【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.函数y123x=+的定义域是____．【答案】x≠32-． 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可知2x+3≠0，从而可以求得x 的取值范围． 【详解】∵函数y 123x =+， ∴2x +3≠0， 解得：x 32≠-． 故答案：x≠32-．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．9.分解因式4x 2﹣4x +1＝_____． 【答案】（2x ﹣1）2． 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2分解即可． 【详解】解：4x 2﹣4x +1＝（2x ﹣1）2．【点睛】本题考查用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．10.=3的根是____． 【答案】11x =． 【解析】 【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：两边平方得29x -=，解得11x =， 经检验11x =为原方程的解． 故答案为：11x =．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．11.如果反比例函数y kx=(k ≠0)的图象经过点P (1，3)，那么当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的值的增大而____(从“增大”或“减小”中选择)． 【答案】减小． 【解析】 【分析】根据题意，利用待定系数法解出3k =，再根据k 值的正负确定函数值的增减性． 【详解】解：反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(1,3)P ， 所以1330k，所以当0x <时，y 的值随自变量x 值的增大而减小． 故答案为：减小．【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题时注意：当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小．12.一个不透明的布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋中随机取出1个球恰好是红球的概率为____． 【答案】13． 【解析】 【分析】由布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，∴从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为：21243=+． 故答案为：13． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 13.半径长为2半圆的弧长为____(计算结果保留π)． 【答案】2π． 【解析】【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】由弧长公式得：1802180π⋅⨯=2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．14.为了调查A 学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t (单位：时)，一个数学课外活动小组随机调查了A 学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t (单位：时)，并绘制成如图所示的频率分布直方图(列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定)．请根据以上信息，估计A 学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t ＜10之间的学生人数大约为____人．【答案】600． 【解析】 【分析】根据直方图给出的数据先求出810t 的频率，再用该校的总人数乘以810t的频率即可得出答案． 【详解】组距是2，810t的频率是0.12520.25⨯=，A 学校共有2400名学生，A ∴学校该周阅读课外书籍的时间位于810t 之间的学生人数大约为：24000.25600（人)； 故答案为：600．【点睛】本题考查了频数分布直方图和用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．15.如图，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =，AF b =，那么向量AD 用向量a ，b表示为____．【答案】2a+2b．【解析】【分析】=，根据三角形法则求出AO 如图，连接BE交AD于O．则AOB∆是等边三角形，OA OD即可解决问题．【详解】如图，连接BE交AD于O．∵ABCDEF是正六边形，∴△AOB是等边三角形，AO=OD，∴∠F AO=∠AOB=60°，OB=AB=AF，∴AF∥OB，∴BO AF b==，∵AO AB BO a b=+=+，∵AD=2AO，∴AD=2a+2b．故答案为：2a+2b．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．16.如图，点A、B、C在⊙O上，其中点C是劣弧AB的中点．请添加一个条件，使得四边形AOBC是菱形，所添加的这个条件可以是____(使用数学符号语言表达)．【答案】AC =AO 或AC =OA 或∠AOB =120°或OA ∥CB 等． 【解析】 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AC BC =，然后根据菱形的判定方法添加条件． 【详解】∵点C 是劣弧AB 的中点，∴AC =BC ，∴当添加AC =OA 时，OA =OB =AC =BC ，四边形OACB 为菱形；当添加∠AOB =120°时，四边形OACB 为菱形； 当添加OA ∥CB 时，四边形OACB 为菱形．故答案为：AC =AO 或AC =OA 或∠AOB =120°或OA ∥CB 等．【点睛】本题考查了菱形的性质和圆周角定理，熟悉相关性质是解题的关键．17.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为____．【答案】18． 【解析】 【分析】四边形EFGH 是正方形，AEH ∆是等腰直角三角形，即可得出AH HEHG ，设1AHHG，则2AG =，即可得到正方形EFGH 的面积为1，正方形ABCD 的面积为8，进而得出结论． 【详解】四边形EFGH 是正方形，AEH ∆是等腰直角三角形， AHHEHG ，设1AH HG，则2AG =，正方形EFGH 的面积为1，ADG 是等腰直角三角形， 222ADAG，∴正方形ABCD 的面积为8，∴正方形EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为18，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．18.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．【答案】2或12．【解析】 【分析】若等腰三角形的三个内角α∠、β∠，β∠，利用2180和2αβ∠=∠得45β=︒，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角α∠、α∠，β∠，利用2180和2αβ∠=∠得36β=︒，如图，72B C ，36A ∠=︒，作ABC ∠的平分线BD ，则36ABD CBD ∠=∠=︒，易得DADBCB ，再证明BDC ACB ∽，利用相似比得到::BC AC CD BC ，等量代换得到:():BC ACACBC BC ，然后解关于AC 的方程220AC AC BCBC 得AC 与BC的比值即可．【详解】解：若等腰三角形的三个内角α∠、β∠，β∠，2180，2αβ∠=∠，4180，解得45β=︒，∴此“倍角三角形”为等腰直角三角形，∴腰长与底边长的比值为2；若等腰三角形的三个内角α∠、α∠，β∠，2180，2αβ∠=∠， 5180，解得36β=︒，如图，72B C，36A ∠=︒，作ABC ∠的平分线BD ，则36ABD CBD ∠=∠=︒，DA DB ∴=，72BDCAABD，BDC C ∴∠=∠，BD BC ∴=，即DADBCB ，CBDA ，BCD ACB ∠=∠，BDC ACB ∽， ::BC ACCD BC ， 即:():BC AC ACBC BC ，整理得220AC AC BCBC ，解得152ACBC ，即51AC BC +=， 此时腰长与底边长的比值为512+， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为22或512+．故答案为22或51+．【点睛】本题考查了三角形的相似判定和性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题：19.22126(31)(3)．． 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，再利用绝对值和完全平方公式计算，然后合并即可．【详解】原式=11﹣3=1﹣1﹣3=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．20.解方程：22161242xx x x【答案】5x =- 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】()22162x x +-=-23100x x +-=解得15x =-，22x =经检验：2x =不符合题意. 原方程的解为： 5.x =-【点睛】考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题的步骤是解题的关键.注意检验. 21.如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A 、B 、C 、D 均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB 与线段CD 相交于点E ．设图中每个小正方形的边长均为1． （1）求证：AB ⊥CD ； （2）求sin ∠BCD 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35sin BCD ∠=． 【解析】 【分析】 （1）证明()BAGCDF SAS ，可得BAGCDF ，根据同角的余角相等可得结论；（2）根据勾股定理先计算CD 和BC 的长，根据面积法可得BE 的长，最后由三角函数定义可得结论．【详解】（1）证明：如图，1AG DF ，90G CFD ，3BG CF ，()BAGCDF SAS ，BAG CDF ， 又90BAG ABG ， 90CDF ABG ，180()90BEDCDF ABG ，AB CD ∴⊥；（2）解：在Rt CFD ∆中，1DF =，3CF =，∴21310CD =+=同理，BC=1123322BCDS BD CF，1102BCDS CD BEBE，∴32BE=，解得BE=∴3sin5BEBCDBC．【点睛】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，解题的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题．22.已知汽车燃油箱中的y(单位：升)与该汽车行驶里程数x(单位：千米)是一次函数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地旅游(出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油)．行驶了200千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为40升；又行驶了100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升．（1）求y关于x的函数关系式(不要求写函数的定义域)；（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．【答案】（1）16010=-+y x；（2）不能，理由见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）把8y=代入（1）的结论解答即可．【详解】（1）设y关于x的函数关系式为y kx b=+，由题意，得4020030300k bk b，解得11060kb，y∴关于x的函数关系式为16010=-+y x；（2）当8y =时，186010x =-+，解得520x =． 520600，∴在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．【点睛】本题考查了一次函数的应用，已知函数值求自变量的值，读懂题目信息，理解剩余油量的表示是解题的关键．23.已知：△ABC ，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上(点E 不与点A 、B 重合)，点F 在边AC 上，联结DE 、DF ． （1）如图1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；（2）如图2，当∠EDF =45°时，求证：22DE BE DF CF=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AD ，证△BDE ≌△ADF （ASA ），即可得出结论； （2）证明△BDE ∽△CFD ．得出BE BD DE CD CF DF ==，得出2()BE BD DE CD CF DF⋅=，由BD ＝CD ，即可得出结论．【详解】（1）连接AD ，如图1所示：在Rt △ABC 中， ∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°． ∵点D 是边BC 的中点， ∴AD 12=BC =BD ，AD ⊥BC ，∠BAD =∠CAD =45°， ∴∠B =∠CAD ． ∵∠EDF =90°， ∴∠ADF +∠ADE =90° ∵∠BDE +∠ADE =90°， ∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，B CADBD AD BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△ADF (ASA)， ∴BE =AF ；（2）∵∠BDF =∠BDE +∠EDF ，∠BDF =∠C +∠CFD ， ∴∠BDE +∠EDF =∠C +∠CFD ． 又∵∠C =∠EDF =45°， ∴∠BDE =∠CFD ， ∴△BDE ∽△CFD ，∴BE BD DECD CF DF ==， ∴2()BE BD DE CD CF DF⋅=， 又∵BD =CD ，∴22DE BE DF CF=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知经过点A （﹣3，0）的抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点． （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．【答案】（1）对称轴为x＝﹣1，点B、C、D的坐标依次为（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由题意可知该抛物线的对称轴为直线x＝22aa-＝﹣1，而点A（-3，0），求出点B的坐标，进而求解；（2）根据题意将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和，即可求解；（3）根据题意设点E（x，x2+2x-3），则点F（x，-x-1），求出EF、FH长度的表达式，即可求解．【详解】解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝22aa-＝﹣1，而点A（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0），∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，∴1124422ADMSAM DM =⋅=⨯⨯=， ∴M 117(OC DM)O (34)1222OCDM S =+⋅=+⨯=梯形，∴OBC 113S OB OC 13222∆=⋅=⨯⨯=，∴ 734922ADM OBC ABCD OCDM S S S S ∆=++=++=四边形梯形；（3）设直线AC 的表达式为：y ＝kx+b ，则330b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=-⎩，故直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣3，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：9a ﹣6a ﹣3＝0，解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3，设点E （x ，x 2+2x ﹣3），则点F （x ，﹣x ﹣1），则EF ＝（﹣x ﹣1）﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ，FH ＝x+3， ∵EF ＝2FH ，∴﹣x 2﹣3x ＝2（x+3），解得：x ＝﹣2或﹣3（舍去﹣3）， 故m ＝﹣2.故点E 的坐标为：（﹣2，﹣3）．【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，cos B 45=．动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动．已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒．联结BD ． （1）当AD =AB 时，求tan ∠ABD 的值；（2）以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B．讨论⊙A与⊙B 的位置关系，并写出相对应的t的值．（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．【答案】（1）2；（2）①当两圆外离时，53t＜＜；②当两圆外切时，53t=；③当两圆相交时，553t＜＜；④当两圆内切时，t=5；⑤当两圆内含时，t＞5；（3）tan∠CBD的值是726或211或12或43．【解析】【分析】（1）先根据三角函数定义可得BC＝4，由勾股定理计算AC＝3，最后证明∠ABD＝∠D，计算∠D的正切即可；（2）分情况讨论，根据两圆外离，外切，相交，内切，内含的定义可得结论；（3）当△BDE为直角三角形时，分D在线段AC上和射线AC上两种情况，再分∠BDE ＝90°和∠DBE＝90°分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题．【详解】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，45 cosB=，∴45 BCAB=，∴BC=AB•cos∠ABC=545⨯=4，∴2222543 AC AB BC=-=-=，当AD=AB=5时，∠ABD=∠D，∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2，在Rt△BCD中，422BCtan DCD∠===，∴tan∠ABD=tan∠D=2；（2）如图2，⊙A经过点E，两圆外切，由题意得：AD=t，BE=2t，∴t+2t=5，解得：t5 3 =，①当两圆外离时，由题意得5＞3t，解得：5 03t＜＜；②当两圆外切时，如图2，53t=；③当两圆相交时，由题意得t＜5＜3t，解得：55 3t＜＜；④当两圆内切时，如图3，由题意得2t﹣t=5，解得：t=5；⑤当两圆内含时，由题意得0≤5＜t，解得：t＞5；（3）①当D在线段AC上，且∠BED=90°时，如图4，∵cos AAC AEAB AD==，即3525tt-=，解得：2513t=，∴CD=325141313 -=，∴726 tan CBD∠=；②当D在线段AC上，且∠BDE=90°，如图5，过E作EF∥BC，交AC于F，∴AE=5﹣2t．∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AE AF EFAB AC BC==，即52534t AF EF-==，∴AF=365-t，EF=485-t．∵AD=t，∴CD=3﹣t，DF=AD﹣AF=t﹣(365-t)115=t﹣3．∵∠BDE=∠EDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°，∴∠EDF=∠CBD．∵∠EFD=∠C=90°，∴△EFD∽△DCB，∴EF FDDC CB=，即811435534t tt--=-，∴4(485-t)=(3﹣t)(115t﹣3)，解得：t1=5(舍)，225 11t=，∴tan∠CBD253211411 CDBC-===；③当D在线段AC的延长线上，且∠BDE=90°时，如图6，过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AE AF EFAB AC BC==，即25534t AF EF-==，∴AF65=t﹣3，EF85=t﹣4．∵AD=t，∴CD=t﹣3，DF=AD+AF=t+(65t﹣3)115=t﹣3，同理得△EFD∽△DCB，∴EF FDDC CB=，即811435534t tt--=-，∴4(85t﹣4)=(t﹣3)(115t﹣3)，解得：t1=5，22511t=(舍)，∴tan∠CBD53142CDCB-===；④当D在线段AC的延长线上，且∠DBE=90°时，如图7，∵∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠CDB，∴∠ABC=∠CDB，∴tan∠ABC=tan∠CDBAC BCBC CD==，即3443t=-，解得：253t=，∴tan∠CBD43 CDBC==；综上，tan∠CBD的值是726或211或12或43．【点睛】此题是圆和三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，两圆的位置关系，解直角三角形，动点运动问题，是中考压轴题，难度偏大，正确利用相似三角形的判定进行解答是解题关键．。
2020年上海宝山初三数学一模试卷及答案
2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含四个大题，共 25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤.一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答 题纸的相应位置上.】 1 .符号sin A 表示A . Z A 的正弦；B . Z A 的余弦；C . Z A 的正切；D . Z A 的余切.6. 如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积 ......... （）A .3 B .3 C . 2 2 3 D . 2 - 32.如果 2a 3b ,那么 a _ b =3. 2 ；C . 5;3.二次函数y 2x 2 的图像的开口方向A .向左;向右;C .向上;D .向下.4.直角梯形 ABCD 处看高处 A .俯角 C .仰角 如图放置，AB 、CD 为水平线, C 处，那么点C 在点A 的 ............67方向; 67方向;B .俯角 D .仰角 -- r5.已知a 、b 为非零向量，如果br r r 5a ,那么向量a 与b 的上卢. ----------------.4第4题图方向关系是 ..................... ....... ( )C . a 和b 方向互相垂直;D . a 和b 之间夹角的正切值为 5 .从低处A B . a // b ，并且a 和b 方向相反;23。
方向;23方向. BC (AB ,如果/ BCA=67° ) A . a // b ，并且a 和b 方向一致;第6题图4.填空题： (本大题共12题，每题4分，满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 已知 1:2=3 : X ，那么 X =_ &如果两个相似三角形的周长比为1 : 2，那么它们某一对对应边上的高之比为9 .如图，△ ABC 中/ C=90 °如果 CD AB 于D ,那么AC 是AD 和—▲—的比例中项.uuu uuu uuu10.在△ ABC 中，AB BC CA = __________ ▲ _______ .CD(用 X 表示).13•如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE •如果BE=9, BC=12，那么 cosC= _14•若抛物线y (x m)2 (m 1)的顶点在第二象限，则 m 的取值范围为 —▲ ____________________ 15. 二次函数 y x 2 J2x J3的图像与y 轴的交点坐标是 —▲16. 如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A 、B 、C 、D 都在O O 上，如果P 是A B 的中点,PEPD 与AB 交于E 点，那么 =▲ .DE17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果 AC<BC ，分别以AC 、BC 为边在线△BCE ,联结DE ，当△CDE 的面积为3 3时，线段AC 的3x 上，如果把抛物线 y x 2沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为11.点A 和点B 在同一平面上,C=90 ° / A=30 ° BD 是/ ABC 的平分线.如果 AC X ，那么段AB 的同侧作等边△ACD 、 18.如图，点A 在直线yA , A 在B 的方向.▲B第12题图如果从 A 观察B , B 在A 的北偏东长度是 ▲第16题图第17题图第18题图三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19. （本题满分10分）晶2计算：22tan 60 2 cos 4520. （本题满分10分，每小题各5分）2x m与y轴交于点C（0,-2），点D和点C关于抛物线对称轴对称.已知：抛物线y x2（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如果点M是抛物线的对称轴与X轴的交点，求△ MCD的周长.第20题图21. (本题满分10分，每小题各5分)某仓储中心有一个坡度为i 1:2的斜坡AB,顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图.(1 )求该斜坡的坡面AB的长度；(2)现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE=2.5米，高EF=2米该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF=3.5米时，点D离BC 所在水平面的高度DH .第21题图22. (本题满分10分，每小题各5分)如图，直线l:y J3x，点A坐标为(1, 0),过点A1作x轴的垂线交直线I于点B1,以原点0为圆心，O B1为半径画弧交x轴于点A2 ;再过点A?作x的垂线交直线I于点B2,以原点0为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A,…，按此做法进行下去.求：(1 )点B j的坐标和/人0耳的度数;(2) 弦砂3的弦心距的长度.23. (本题满分12分，每小题各6分)如图，△ ABC 中，AB=AC , AM 为BC 边的中线，点 D 在边AC 上，联结 BD 交AM 于 点F ,延长BD 至点E ,使得BD -AD ，联结CE . DE DC 求证：(1)Z ECD=2 / BAM ;(2) BF 是DF 和EF 的比例中项.第23题图24. (本题共12分，每小题各4分)和点 B (- 1，— a ).(1) 求直线AB 与y 轴的交点坐标；(2) 要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是的条件以及x 的取值范围; (3)设二次函数的图像的顶点为 Q ,当Q 在以AB 为直径的圆上时，求 a 的值.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数2y a(x x 1)的图像交于点 A (1, a )y 随着x 的增大而增大，求a 应满足25. （本题共14分，其中第（1 ）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，0C是厶ABC中AB边的中线，/ ABC=36°，点D为0C上一点，如果0D = k OC, 过D作DE II CA交于BA点E,点M是DE的中点.将△ ODE绕点0顺时针旋转度（其（1）如果△ ABC的面积为26,求厶ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究/ ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式;（3）写出当△ ONB为等腰三角形时，旋转角的度数.2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)1. A ；2. B;3. D ;4. D;5. B;6. C ;二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)r 1^2 7. 6; 8. 1:2; 9. AB ; 10. 0 ; 11.南偏西14 °12. —X ; 13.—；3 32 114. 1 m 0 ; 15. ( 0,后)；16.-——；17. 2; 18. y (x 4)2 3 .2三、简答题(本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分.第25题14 分；满分78分)19. 解：原式.6 ( 3 .2)(“32)( . 3 . 2)=18 12 、2 2.2 2.3220. (1)v点C(0,-2)在抛物线y x 2x m 上,2，此抛物线的解析式为y x22x 2 ............................................••• y x2 2x 2= y (x 1)23，二对称轴为直线x 1 , ......................................... 1 分和点C关于抛物线对称轴对称的点D的坐标为：D (2, -2) . ............. 2分(2)根据题意点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，••• M (1,0) .............. 2分••• MC=MD= . 12 225, CD=2 ................................. 2 分△ MCD的周长为2 = 5 2 . ...................................... 1分21. 解：(1)根据题意斜坡高AC为4m, i 1:2，•水平宽度BC=8;坡面AB= ..AC2 BC2 4.5(2)过D作DH丄BC于H交AB于点M•••/ DMG=/ BAC• △ DGM BCA矩形DEFG 中长DE=2.5m,高EF=2m BF=3.5m• GM=1 ,DM= 5 , FM=1.5 , BM=5 , MH= 5 .................... 3 分点D 离BC 所在水平面的高度为 25米。
2020届上海市杨浦区初三一模数学试卷+详解答案
杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）；C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot αα= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP F H第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ． （填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分） ∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分）在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC ∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分）∴x=20+. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分） ∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH =∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH ==，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-==，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH ==，. ∴在Rt PCH ∆中，142CH x PC =-， ............ （1分） 设PC 与对角线BD 交于点G .∵AB//CD ，∴4BP PG BG xCD GC GD ===.∴BG CG ==. ···················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴PB BG CQ CG =，∴x y . ···················································· （1分）∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1302ABC ∠=︒.∵△PBG ∽△QCG ，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=︒， 又∠PBQ =∠PCQ 30=︒，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=︒. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=︒. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=︒，∠PCQ 30=︒，∴ 75PCB QCE ∠=∠=︒. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ∆中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ∆中，PN CN ==∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC上时，同理可得2BP = . ...... （3分）。
〖汇总3套试卷〗上海市嘉定区2020年中考二模数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（）A．1＜m＜32B．1≤m＜32C．1＜m≤32D．1≤m≤32【答案】B【解析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；【详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，∴230 10 mm＜-⎧⎨-+≥⎩，解得1≤m＜32．故选：B．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．10033100x yx y+=⎧⎨+=⎩B．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故选C．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．3．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°【答案】C【解析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．4．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边相等【答案】C【解析】试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，故选C．5．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是（）A．22B2C．32D．42【答案】A【解析】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22AB BG-=2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=1442822⨯⨯=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE【答案】B【解析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误,故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键. 7．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝1．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③【答案】A【解析】解：∵乙出发时甲行了2秒，相距8m，∴甲的速度为8/2＝4m/ s．∵100秒时乙开始休息．∴乙的速度是500/100＝5m/ s．∵a 秒后甲乙相遇，∴a ＝8/(5－4)＝8秒．因此①正确．∵100秒时乙到达终点，甲走了4×(100＋2)＝408 m ，∴b ＝500－408＝92 m ． 因此②正确． ∵甲走到终点一共需耗时500/4＝125 s ，，∴c ＝125－2＝1 s ． 因此③正确．终上所述，①②③结论皆正确．故选A ．8．一元二次方程x 2+kx ﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）A ．3B ．﹣1C ．﹣3D ．﹣2 【答案】C【解析】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．设m 、n 是方程x 2+kx ﹣3=0的两个实数根，且m=x=1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；故选C ．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )．A ．3229x x -=+B ．3(2)29x x -=+C ．2932x x +=- D ．3(2)2(9)x x -=+ 【答案】B【解析】根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.故选B.【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.10．一、单选题如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.二、填空题（本题包括8个小题）11．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为2s________2s乙．（填“>”或“<”）甲【答案】>【解析】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；波动越小越稳定.【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S2甲＞S2乙．故答案为：＞．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是____．【答案】π﹣1．【解析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=12AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=2．则扇形FDE的面积是：2902360π⨯=π．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵DMG DNHGDM HDNDM DN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=1．则阴影部分的面积是：π﹣1．故答案为π﹣1．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．13．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m，两侧离地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞的高度为_______m.（精确到0.1m）【答案】9.1【解析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标【详解】如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系由题意可知各点坐标为A（-4,0）B（4,0）D（-3,4）设抛物线解析式为y=ax2+c（a≠0）把B、D两点带入解析式可得解析式为2464y 77x =-+，则C （0，647） 所以门洞高度为647m≈9.1m【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键14．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD=6，DE=5，则CD 的长等于 ．【答案】1．【解析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．【详解】∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE=5，∴DE=12AC=5， ∴AC=2．在直角△ACD 中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得22221068CD AC AD =-=-=．故答案是：1．15．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______dm .【答案】2【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度． ∵圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，∴AB=2dm ，BC=BC′=2dm ，∴AC 2=22+22=8，∴AC=22dm ．∴这圈金属丝的周长最小为2AC=42dm ．故答案为：42dm【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．16．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ．【答案】1【解析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2m n +﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．17．如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF,则CF 的长度为_____【答案】185【解析】分析题意,如图所示,连接BF,由翻折变换可知,BF ⊥AE,BE=EF,由点E 是BC 的中点可知BE=3,根据勾股定理即可求得AE ；根据三角形的面积公式1122AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯可求得BH,进而可得到BF 的长度;结合题意可知FE=BE=EC,进而可得∠BFC=90°,至此,在Rt △BFC 中,利用勾股定理求出CF 的长度即可【详解】如图,连接BF.∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的, ∴BF⊥AE,BE=EF.∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE2=AB2+BE2代入数据求得AE=5根据三角形的面积公式1122AB BE AE BH ⨯⨯=⨯⨯得BH=12 5即可得BF=24 5由FE=BE=EC,可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC2-BF2=CF2代入数据求得CF=18 5故答案为18 5【点睛】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质18．地球上的海洋面积约为361000000km1，则科学记数法可表示为_______km1．【答案】3.61×2【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将361 000 000用科学记数法表示为3.61×2．故答案为3.61×2．三、解答题（本题包括8个小题）19．有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【答案】（1）P（抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P=13；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．20．某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；补全条形统计图；如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？【答案】（1）2400，60；（2）见解析；（3）500【解析】整体分析：（1）由C品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A品牌占总数的百分比乘以360°即可；（2）计算出B品牌的数量；（3）用B品牌与总数的比乘以1500.解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个，A品牌所占的圆心角：4002400×360°=60°；故答案为2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，补全统计图如图：（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：8002400×1500=500个．21．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2，3).求抛物线的解析式和直线AD的解析式；过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或47【解析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F （a-3，-3），代入抛物线解析式，即可得出结果．【详解】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：930 423b cb c-++=⎧⎨-++=⎩解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；当y=0时，-x2+2x+3=0，解得：x=3，或x=-1，∵B（3，0），∴A（-1，0）；设直线AD 的解析式为y=kx+a ，把A 和D 的坐标代入得：023k a k a -+=⎧⎨+=⎩解得：k=1，a=1，∴直线AD 的解析式为y=x+1；（2）分两种情况：①当a ＜-1时，DF ∥AE 且DF=AE ，则F 点即为（0，3），∵AE=-1-a=2，∴a=-3；②当a ＞-1时，显然F 应在x 轴下方，EF ∥AD 且EF=AD ，设F （a-3，-3），由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，解得：a=47±；综上所述，满足条件的a 的值为-3或47±．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定，综合性较强．22．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A 品牌的足球和3个B 品牌的足球共需380元；购买4个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球共需360元． 求A ，B 两种品牌的足球的单价．求该校购买20个A 品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用．【答案】（1）一个A 品牌的足球需90元，则一个B 品牌的足球需100元；（2）1．【解析】（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需y 元，根据“购买2个A 品牌的足球和3个B 品牌的足球共需380元；购买4个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；（2）把（1）中的数据代入求值即可．【详解】（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需y 元，依题意得：23380{42360x y x y +=+=，解得：40{100x y ==．答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需100元；（2）依题意得：20×40+2×100=1（元）．答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1元．考点：二元一次方程组的应用．23．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【答案】原计划每天种树40棵．【解析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【详解】设原计划每天种树x棵,实际每天植树(1+25%)x棵，由题意，得1000 x −1000+%x （125）=5，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解.答：原计划每天种树40棵.24．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【解析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.25．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．【答案】（1）、（2）证明见解析（3）28【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；试题解析：（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CF ⊥AD 的延长线于点F ．则四边形ABCF 是正方形．AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x ，则AD=12-x ，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x ，在直角△ADE 中，AE 2+AD 2=DE 2，则82+（12-x ）2=（4+x ）2，解得：x=1．则DE=4+1=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．26．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？【答案】（1）201800y x =-+；（2）2203000108000w x x =-+-；（3）最多获利4480元.【解析】（1）销售量y 为200件加增加的件数（80﹣x ）×20；（2）利润w 等于单件利润×销售量y 件，即W=（x ﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x 2+3000x ﹣108000的对称轴为x=75，而﹣20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W 随x 的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．【详解】（1）根据题意得，y=200+（80﹣x ）×20=﹣20x+1800，所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800（60≤x≤80）；（2）W=（x ﹣60）y=（x ﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x 2+3000x ﹣108000，所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式为：W=﹣20x 2+3000x ﹣108000；（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，w=﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x=﹣30002(20)⨯-=75，∵a=﹣20＜0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x=76时，W有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【点睛】二次函数的应用．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D 、E ，F 分别是CD ，AD 上的点，且CE ＝AF.如果∠AED ＝62°，那么∠DBF 的度数为( )A ．62°B ．38°C ．28°D ．26°【答案】C 【解析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF ≌△ADE ．详解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD ．又∵CE=AF ，∴DF=DE ，∴Rt △BDF ≌Rt △ADE （SAS ），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C ．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．2．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x = 【答案】D【解析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．3．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）A ．110B ．19C ．16D ．15【答案】A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是110.故选A.4．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A．2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2114322x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩D．264327x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．【详解】图2所示的算筹图我们可以表述为：211 4327x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．5．如图，二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=1，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣1a；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x1，y1），若x1＜1＜x1，且x1+x1＞4，则y1＞y1．其中正确的结论有（）A．1个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：2ba-＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确； 令x=3，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ∵OA=OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确； ∵对称轴为直线x=1，∴﹣2ba=1，∴b=﹣4a ． ∵OA=OC=﹣c ，∴当x=﹣c 时，y=0，∴ac 1﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=41a a+-，∴设关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为x ，∴x ﹣c=4，∴x=c+4=1a-，故④正确； ∵x 1＜1＜x 1，∴P 、Q 两点分布在对称轴的两侧， ∵1﹣x 1﹣（x 1﹣1）=1﹣x 1﹣x 1+1=4﹣（x 1+x 1）＜0，即x 1到对称轴的距离小于x 1到对称轴的距离，∴y 1＞y 1，故⑤正确． 故选D ． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 1+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型．6．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|-|a-2b|-|c+2b|的结果是（ ）A ．4b+2cB ．0C ．2cD ．2a+2c【答案】A【解析】由数轴上点的位置得：b<a<0<c ，且|b|>|c|>|a|， ∴a+c>0，a−2b>0，c+2b<0， 则原式=a+c−a+2b+c+2b=4b +2c. 故选：B.点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.7．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+m 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(1，0)，则线段AB 的长为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，求出m 的值，将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ，得到x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，即可解答【详解】将点A(1，0)代入y ＝x 2﹣4x+m ， 得到m ＝3，所以y ＝x 2﹣4x+3，与x 轴交于两点， 设A(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)∴x 2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根， ∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝3，∴AB ＝|x 1﹣x 2|＝21212)4x x x x ++（ ＝2； 故选B ． 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入. 8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B ．9．如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论． 【详解】由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线， 则AD=DC ，故∠C=∠DAC ， ∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．10．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2【答案】C【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．二、填空题（本题包括8个小题）11．Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若, 则ABBC．【答案】1 2【解析】利用直角三角形的性质，判定三角形相似，进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题．【详解】如图，∵∠CAB=90°，且AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠CAB=∠ADB，且∠B=∠B，∴△CAB∽△ADB，∴（AB：BC）1=△ADB：△CAB，又∵S△ABC=4S△ABD，则S△ABD：S△ABC=1：4，。
2020届上海市嘉定区初三二模数学试卷含答案
嘉定区2019学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（2020.5）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1. 下列四个选项，其中的数不是分数的选项是 ·················································· （▲）（A ）214-； （B ）722； （C ）2π； （D ）%50.2. 当0≠x 时，下列运算正确的是 ··································································· （▲） （A ）523x x x =+； （B ）623x x x =⋅； （C ）923)(x x =； （D ）x x x =÷23．3. 下列关于二次函数32-=x y 的图像与性质的描述，不正确的是 ························· （▲） （A ）该函数图像的开口向上； （B ）函数值y 随着自变量x 的值的增大而增大； （C ）该函数图像关于y 轴对称； （D ）该函数图像可由函数2x y =的图像平移得到.4. 一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，那么会发生变化的统计量是 ····· （▲） （A ）平均数； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差．5. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ········································· （▲） （A ）线段； （B ）矩形； （C ）等腰梯形； （D ）圆.6. 下列四个命题中，真命题是 ······································································ （▲） （A ）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （B ）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （C ）一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； （D ）一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 计算：x x 32+= ▲ ．8. 函数321+=x y 的定义域是 ▲ ．9. 分解因式：1442+-x x = ▲ ． 10.方程32-=x 的根是 ▲ ．11.如果反比例函数xk y =（0≠k ）的图像经过点P （1，3），那么当0<x 时，函数值y 随自变量x 的值的增大而 ▲ （从“增大”或“减小”中选择）．12.一个不透明的布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋中随机取出1个球恰好是红球的概率为： ▲ .13.半径长为2的半圆的弧长为 ▲ （计算结果保留π）．14.为了调查A 学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间t （单位：时），一个数学课外活动小组随机调查了A 学校120名学生该周阅读课外书籍的时间t （单位：时），并绘制成如图1所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定）.请根据以上信息，估计A 学校该周阅读课外书籍的时间位于108<≤t 之间的学生人数大约为 ▲ 人．15.如图2，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =u u u r r ，b AF ρ=，那么向量AD 用向量,a b r r 表示为 ▲ ．16.如图3，点A 、B 、C 在⊙O 上，其中点C 是劣弧AB 的中点.请添加一个条件，使得四边形AOBC 是菱形，所添加的这个条件可以是 ▲ （使用数学符号语言表达）． 17.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图4中的正方形ABCD 就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH 的面积与正方形ABCD 的面积的比值为 ▲ ．18.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足βα∠=∠2，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ▲ .图4图3F EDAC B 图2三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：22)3()13(6213-++⋅--． 20．（本题满分10分） 解方程：21416222+=---+x x x x ． 21.（本题满分10分，每小题5分）图5所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的.点A 、B 、C 、D 均在方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB 与线段CD 相交于点E .设图中每个小正方形的边长均为1，（1）求证：CD AB ⊥；（2）求BCD ∠sin 的值.22.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知汽车燃油箱中的剩余油量．．．．y （单位：升）与该汽车行驶里程数．．．．．x （单位：千米）是一次函数关系.贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）.行驶了200千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为40升；又行驶了．．．．100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升.（1）求y 关于x 的函数关系式（不要求写函数的定义域）；（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来.在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明.23.（本题满分12分，每小题6分）已知：△ABC ，AC AB =，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点E 不与点A 、B 重合），点F 在边AC 上，联结DE 、DF .（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；（2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CF BEDFDE =22图6-1图6-2图524．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知经过点)0,3(-A 的抛物线322-+=ax ax y 与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点. （1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC .如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线， 垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F .当FH EF 2=时，求点E 的坐标25.（满分14分，第（1）5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分如图8，在△ABC 中，︒=∠90C ,AB =5cm ，54cos =B .动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动.已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒. 联结BD. （1）当AB AD =时，求ABD ∠tan 的值；（2）以A 为圆心，AD 为半径画⊙A ；以点B 为圆心、BE 为半径画⊙B .讨论⊙A 与⊙B 的位置关系，并写出相对应的t 的值.（3）当△BDE 为直角三角形时，直接写出CBD ∠tan 的值.图8备用图嘉定区2019学年度九年级第二次调研测试数学试卷参考答案简案（考试时间100分钟，总分150分）（2020.5）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C ；2. D ；3. B ；4. D ；5. C ；6.A .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.x 5；8.23-≠x ；9.2)12(-x ；10.11=x ；11.减小；12.31；13.π2；14.600；15.b a ρρ22+；16. AC=AO ，AO ∥CB ，∠OAC=60°，BA 平分∠OAC 等等（不一一列举）；17.81；18.22或215+.三、解答题（本大题共7题，满分58分）19.（本题满分10分）解：22)3()13(6213-++⋅--=313233213-+++-- ························································· 8分 =3. ················································································ 2分 20.（本小题满分10分）解：方程两边同时乘以)2)(2(-+x x ，得 216)2(2-=-+x x . ···························· 3分 整理，得 01032=-+x x . ············································································· 1分 解这个整式方程，得 21=x ，52-=x . ····························································· 4分 检验：当2=x 时，0)2)(2(=-+x x ；2=x 是增根，舍去. ································ 1分 所以，原方程的根是 5-=x . ·········································································· 1分 21.（本题满分10分，每小题5分） 解：（1）证明：如图5-1，由题意，得DF AG =,︒=∠=∠90CFD G ,CF BG =, ····················································· 1分∴△ABG ≌△DCF . ···················································································· 1分 ∴CDF BAG ∠=∠. ···················································································· 1分 又∵ ︒=∠+∠90ABG BAG ，∴.︒=∠+∠90ABG CDF . ······································ 1分 ∴︒=∠+∠-︒=∠90)(180ABG CDF BED .∴CD AB ⊥. ······································ 1分 （2）在Rt △CFD 中，∵ 1=DF ，3=CF ，∴10312=+=CD .同理，10=BC . ························································ 1分图5-1∵3322121=⨯⨯=⋅=CF BD S BCD △，BE BE CD S BCD 21021=⋅=△， ····················· 1分 ∴3210=BE .解得1053=BE . ································································ 1+1分 ∴53sin ==∠BC BE BCD . ················································································ 1分 22.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）设y 关于x 的函数关系式为b kx y += ···················································· 1分 由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 3003020040. ····································································· 1+1分解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=60101b k .······················································································ 1+1分 ∴y 关于x 的函数关系式为60101+-=x y . ······················································ 1分 （2）当8=y 时，601018+-=x ， ······························································· 1分 解得520=x . ··························································································· 1分 ∵600520<， ························································································ 1分 ∴在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地 ·························· 1分 23.（本题满分12分，每小题6分）证明：（1）联结AD （如图6-1）.在Rt △ABC 中，∵︒=∠90BAC ，CD BD =，∴AD BD =,BC AD ⊥，︒=∠=∠45CAD BAD . ······································· 1分在△ABC 中，∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ··················································· 1分 ∵︒=∠90BAC ，∴︒=∠+∠90C B .∴︒=∠=∠45C B . 又∵︒=∠45CAD ，∴CAD B ∠=∠. ···························································· 1分 ∵︒=∠+∠90ADE BDE ，︒=∠+∠90ADE ADF ，∴ADF BDE ∠=∠. ·············· 1分在△BDE 和△ADF 中，∵CAD B ∠=∠,AD BD =,ADF BDE ∠=∠, ∴△BDE ≌△ADF . ············································································· 1分 ∴AF BE =. ························································································ 1分（2）∵EDF BDE BDF ∠+∠=∠，CFD C BDF ∠+∠=∠，∴=∠+∠EDF BDE CFD C ∠+∠.又∵︒=∠=∠45EDF C ，∴=∠BDE CFD ∠. ···· 1分图6-1图6-2又∵C B ∠=∠，∴△BDE ∽△CFD . ····························································· 1分 ∴DF DECF BD CD BE ==. ················································································· 2分 ∴2)(DFDE CF BD CD BE =⋅. ··············································································· 1分 又∵CD BD =，∴.22CFBE DF DE = ··································································· 1分 方法2. 如图6-2，联结AD ，过点D 作AB DG ⊥，AC DH ⊥，垂足分别为G 、H . 证出△BDE ∽△CFD ，累计得到 ·································································· 2分 ∴.S S DF DE CFDBDE△△=22 ····················································································· 1分 写出DH CF DG BE DH CF DGBE S S CFDBDE ⋅⋅=⋅⋅=2121△△. ··························································· 1分 证出DH DG =， ····················································································· 1分∴.22CF BE DF DE = ························································································· 1分 24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）该抛物线的对称轴为直线1-=x ························································ 1分 点B 的坐标为（1，0）. ·································································· 1分 点C 的坐标为（0，-3）. ································································· 1分 点D 的坐标为（-1，-4）. ································································ 1分（2）过点D 作AB DM ⊥，垂足为M ，易得：1=OM ，4=DM ，2=AM ，1=OB .4422121=⨯⨯=⋅=DM AM S ADM △， ······················································ 1分 271432121=⨯+=⋅+=）（（梯形OM )DM OC S OCDM ， ···································· 1分 23312121=⨯⨯=⋅=OC OB S OBC △， ························································· 1分 所以923274=++=++=OBC OCDM ADM ABCD S S S S △梯形△四边形 ························· 1分（3）设直线AC 的表达式为b kx y +=，∵)0,3(-A ，)3,0(-C 在直线b kx y +=上，∴⎩⎨⎧-=+-=330b b k .解得⎩⎨⎧-=-=31b k ，故直线AC 的表达式为3--=x y . ······················· 1分方法1.∵点F 在直线3--=x y 上，所以可设)3,(--x x F .∵AB EH ⊥，点F 在线段EH 上，且HF EF 2=，可得)93,(--x x E . ························ 1分 ∵)93,(--x x E 在抛物线322-+=x x y 上，∴32932-+=--x x x . ·························· 1分 整理，得 0652=++x x .解得 21-=x ，32-=x (不符合题意，应舍去).所以，2-=x .当2-=x 时，3-=y ，即点E 的坐标为（2-，3-）. ························ 1分 25.（满分14分，第（1）5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）方法1.在△ABC 中，∵︒=∠90C ,AB =5cm ，54cos =B ， ∴4cos =∠⋅=ABC AB BC ，3452222=-=-=BC AB AC . ·························· 1分 当AB AD =时，D ABD ∠=∠.∴235=-=-=AC AD CD . ···························· 1+1分在Rt △BCD 中，224tan ===∠CD BC D . ························································· 1分 ∴2tan tan =∠=∠D ABD . ·········································································· 1分（2）①当两圆外离时，由题意得 5>3t ，解得 350<<t ； ······································ 1分②当两圆外切时，由题意得 3t =5，解得 35=t ； ··········································· 1分 ③当两圆相交时，由题意得 t <5<3t ，解得535<<t ； ···································· 1分 ④当两圆内切时，由题意得2t-t =5，解得5=t ； ············································ 1分 ⑤当两圆内含时，由题意得 0≤5<t ，解得5>t . ············································ 1分 （3）①当D 在线段AC 上，且∠BED =90°时，1325=t ，267tan =∠CBD ； ················ 1分 ②当D 在线段AC 上，且∠BDE =90°，51=t (舍)，11252=t ，112tan =∠CBD ； ··· 1分 ③当D 在线段AC 的延长线上，且∠BDE =90°时，5=t ,21tan =∠CBD ； ·········· 1分 ④当D 在线段AC 的延长线上，且∠DBE =90°时，325=t ，34tan =∠CBD . ········ 1分t4(2t-5)。