2010年天津市普通高中学业水平考试数学试题(含答案)
2010年天津市普通高中学业水平考试
数学试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时90分钟。
参考公式：
·主体体积公式 ｓｈ柱体=V ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱高.
·椎体体积公式 sh 31V =
椎体 其中S 表示锥体的底面积，h 表示椎体的高. ·球的体积公式 3R 3
4V π=球，其中R 表示球的半径 第I 卷
一．选择题：本题共20题，共45分。
其中（1）～（15）题每小题2分；第（16）～（20）题每小题3分，在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7}，则A ∪B 等于
A.{4，5}
B.{1，2，3，4，5，6，7}
C.{1，2，3}
D.{6，7}
2.函数)63sin(2π
+=x y （x ∈R ）的最大值是
A.-2
B.1
C.2
D.3
3.若向量a=（2，m ），b=（6，9），且a ∥b ，则m 的值是 A. 3
4- B.-3 C. 34 D.3 4.若向量a ，b 满足|a|=2，|b|=5，a·b=35，则a 与b 的夹角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.150
5.计算i
i +2（其中i 为虚数单位）等于 A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i
6.椭圆19
162
2=+y x 的离心率等于 A.
43 B. 47 C. 54 D. 7
74
7.双曲线19
252
2=-y x 的渐近线方程是 A. x y 925±= B. x y 259±= C. x y 35±= D. x y 5
3±= 8.若抛物线y 2=2px 焦点的坐标为（2，0），则p 的值等于
A.8
B.4
C.2
D.1
9.在等比数列{a n }中，若211=
a ，a 4=4，则公比q 的值等于 A. 2
1 B.
2 C.2 D.4 10.直线l 1：32
1+=x y 与直线l 2：y=kx-5互相垂直的充要条件是 A.21=k B.2
1-=k C.k=2 D.k=-2 11.下列函数中，在R 上单调递减的是
A.y=-x
B.2
1x y = C.y=x -1 D.y=x 2
12.在下边的程序框图表示的算法中，输出的S 值是
A.31
B.15
C.14
D.7
13.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥-.062;03;02y x y x y x ，则目标函数z=x+2y 的最大值是
A.3
B.4
C.8
D.10
14.如图，某几何体的正视图和侧视图都是边长为2cm 的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的体积等于
A.2πcm 3
B.4πcm 3
C.8πcm 3
D.3
2πcm 3 15.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1B 所在的直线与底面ABCD 所成角的余弦值等于 A.
33 B.22 C.36 D.2
3
16. 如图，在矩形ABCD 中，AD=1，AB=2，以A 为圆心，AD 为半径在矩形内部作扇形A ED ，若向矩形ABCD 内部随机投一点，则所投点落在该扇形中的概率是
A.
4π B.8
π C.31 D.52 17.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，出现“一次正面向上，两次反面向上”的概率是 A.81 B.61 C.31 D.8
3 18.要得到函数)43cos(π+
=x y （x ∈R ）的图象，只需将函数y=cos3x （x ∈R ）图象上所有
的点 A.向右平行移动
4π个单位长度 B.向左平行移动4
π个单位长度 C.向右平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动12π个单位长度 19.若a=ln3，b=log 3e ，c=log 9e ，其中e 为自然对数的底，则a ，b ，c 三者的大小关系是
A.c ＜a ＜b
B.b ＜c ＜a
C.c ＜b ＜a
D.a ＜b ＜c
20.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若m ⊥α，β⊂n ，则下列命题为真命题的是
A.若m ∥n ，则α⊥β
B.若m ⊥n ，则α∥β
C.若α⊥β，则m ⊥n
D.若α⊥β，则m ∥n
第Ⅱ卷（非选择题，共55分）
注意事项：
1、 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2、 本卷共9小题，共55分。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15 分。
21.某学校高三年级有男生300人，女生360人，为调查他们对某项活动的满意程度，拟采用分层抽样的方法，从高三全体学生中抽出一个容量为55的样本，其中应抽取的女生人数为 。
22.在△ABC 中，已知A=30°，B=45°，b=6，则a 的值为 。
23.已知x>-3，那么3
1++x x 的最小值是 。
24.若函数f （x ）=2x -m 的零点在区间（1，2）内，则m 的取值范围是 。
25.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，211=a ，*)(2
121N n S S n n n ∈+=+根据上述条件可归纳出这个数列的通项公式为a n = 。
三、解答题：本大题共4小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.已知等差数列{a n }中，a 2+a 3=5，a 4=7。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n }前15项的和S 15的值。
27.已知52cos -=α，),2
(ππα∈。
（Ⅰ）求cos2α的值； （Ⅱ）求)6sin(π
α+的值。
28. 已知圆C 的方程为（x-3）2+（y-2）2=4。
（Ⅰ）若直线l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为4
3π，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线y=x+1与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长。
29.已知函数f （x ）=3x 2-6x-5。
（Ⅰ）求不等式f （x ）>4的解集；
（Ⅱ）设g （x ）=f （x ）-2x 2+mx ，其中m ∈R ，求g （x ）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅲ）若对于任意的a ∈[1，2]，关于x 的不等式f （x ）≤x 2-（2a+6）x+a+b 在[1，3]上恒成立，求实数b 的取值范围。
2010年天津市普通高中学业水平考试
数学解答及评分参考
一.选择题：本大题共20个小题，第（1）～（15）题每小题2分，第（16）～（20）题每小题3分，共45分.
（1）B （2）C （3）D （4）A （5）A
（6）B （7）D （8）B （9）C （10）D
（11）A （12）B （13）C （14）A （15）C
（16）B （17）D （18）D （19）C （20）A
二.填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
（21）30 （22）23 （23）-1
（24）（2,4） （25）n n 2
2- 三.解答题：本大题共4个小题，共40分.
26、解：（Ⅰ）根据题意得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=+=+3273532111d a d a d a ∴a n =3n-5； （Ⅱ）28532
1415)2(1515=⨯⨯+-⨯=S 。
27、解：（Ⅰ）25
171)52
(21cos 22cos 22-=--⨯=-=αα； （Ⅱ）∵5
21cos 1sin 2=-=αα， ∴10
27321)52(23521)6sin(-=⨯-+⨯=+π
α。
28、解：（Ⅰ）圆心C （3，2），
∴直线l 的方程为y-2= -（x-3），即y=-x+5；
（Ⅱ）圆心C （3，2）到直线y=x+1的距离22|
123|=+-=d 。
29、解：（Ⅰ）f （x ）>4，即3x 2-6x-9>0x 2-2x- 3>0（x-3）（x+1）>0⇒x ＜-1或x>3； （Ⅱ）g （x ）=f （x ）-2x 2+mx ⇒g （x ）=x 2+（m-6）x-5， 当
12
6≤-m ，即 m≥4时，g （x ）min = g （1）=m-10； 当326≥-m ，即m≤0时，g （x ）min =g （3）=3m-14： 当)3,1(26∈-m ，即0＜m ＜4时，g （x ）min =4
5612)26(2-+-=-m m m g ； （Ⅲ）设h （x ）=x 2-（2a+6）x+a+b ，
h （x ）min =-a 2-5a+b-9，而a ∈[1，2]，
∴当a=2时，h（x）取最小值，
∴当a=2时，有f（x）≤x2-（2a+6）x+a+b，则b≥2x2+4x-7=2（x+1）2-9=h@*@（x），又∵x∈[1，3]，
∴b≥h@*@（3）=23。
2020年6月普通高中学业水平合格性考试数学试题 Word版含答案
2020年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题(考试时间:90分钟;满分:100分)参考公式：样本数据x1，x2，…，x 。
的标准差s =√1n [(x 1−x ̅)2+(x 2−x ̅)2+⋯+(x n −x ̅)2] ,其中x ̅为样本平均数 锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积公式S=4πR 2,球的体积公式V=43πR 3,其中R 为球的半径 柱体体积公式V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式V =13(S ′+√S ′S +S)h ，其中S ＇，S 分别为上、下底面面积，h 为高 第Ⅰ卷 (选择题45)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合A=｛3｝，B=｛1，2，3｝，则A ∩B=A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D. φ2.右图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是A.1B.2C.3D. √103.若三个数1，3，a 成等比数列，则实数a=A.1B.3C.5D.94.一组数据3，4，4，4，5，6的众数为A.3B.4C.5D.65.如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A. 14B. 12C. 34 D.1 6.函数y=cosx 的最小正周期为A. π2B. πC. 3π2D. 2π 7.函数y= 1X−2的定义域为A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-∞，2)U(2，+∞)D. R8.不等式2x+y-4≤0表示的平面区域是9.已知直线l 1:y =x-2，l 2:y=kx ，若l 1∥l 2，则实数k=A.-2B.-1C.0D.110.化简MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗10.不等式(x+2)(x-3)＜0的解集是A.｛x | x ＜-2，或x ＞3｝B. {x |-2<x<3｝C.｛−12 < x < 13｝D. ｛x|x <−12，或x ＞1312.化简tan(π+α)=A. sinαB.cos αC. –sinαD.tanα13.下列函数中，在(0，+∞)上单调递减的是A. y=x-3B.y= 2xC.y=x 2D.y=2x14.已知a=40.5，b=42，c=log 40.5，则a ，b ，c 的大小关系是Aa < b<c B .c<b<a Cc<a < b D a<c< b15.函数y={1, |x|＜2，log2|x|,|x|≥2的图象大致为第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)16.已知向量a=(0，2)，则2a= 。
2025年安徽高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)
2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.43.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥4.函数()1xf x x =+-的定义域是（）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞5.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.67.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-8.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥ B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β10.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．2711.若一个圆台的高为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.3B.3C. D.12.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >13.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为4的矩形C.面积为D.面积为324的菱形14.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)15.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）A.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -16.要得到函数()1sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 43a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.18.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0ax b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．19.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.20.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率________．21.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．24.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（参考答案）二、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.25.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【解析】C 依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .26.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【解析】D 因为21>，所以()24f =.27.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【解析】C命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<.28.函数()1xf x x =+-）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞【解析】D 由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.29.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A 因为关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根，所以240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，因为{}3mm >∣是集合{2m m ≤-∣或}2m ≥的真子集，所以“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的充分不必要条件.30.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【解析】B 由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====.31.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-【解析】B 因为向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，且a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.32.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<【解析】D 由x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <可得01a b a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故02ax b x +≥-可变形为102x x +≤-，不等式102x x +≤-等价于()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得12x -≤<.33.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β【解析】A 对A ：根据线面垂直的性质：两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，故选项A 正确；对B ：若m ⊥n ，n //α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项B 错误；对C ：若m //β，β⊥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项C 错误；对D ：若m //n ，m //β，则n //β或n β⊂，故选项D 错误.34.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．27【解析】C 由题意知[4.7，0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.35.，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.73π3B.53π3C. D.【解析】A 设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=，又因为圆台的高h 1r r '-==，故有12r r '==，，圆台的体积()()221173πππ124333V h r r r r ''=++=++=圆台．36.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >【解析】A 若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，则141x y+=，144()224444y y y x x x x y x y +=++=+++ ，当且仅当48x y ==时取得等号，不等式234y x m m +>-恒成立，等价为23()4min ym m x -<+，则234m m -<，解得14-<<m ．37.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为324的矩形C.面积为D.面积为4的菱形【解析】C 451D O A O C C D '∠''''''=== ，，所以O D ''=故在原图中，OD =1CD C D ''==3OC ===，所以四边形OABC 为菱形(如图所示)，3OA =，则原图形面积为S OA OD =⨯=38.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】C 因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内.39.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）B.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -【解析】B 在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC = ，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+ .40.要得到函数()13sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【解析】A ()13πsin 2cos 2sin 2223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把函数()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足要求，A 正确，其他选项均不合要求.41.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,sin 43a A B π===，则b =（）A.3B.C.D.【解析】A因为3,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin ab A B =，23=，解得3b =.42.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0a x b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9【解析】C 当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg0a x b x +-⋅≤恒成立，得当10x b +-≥时，2lg a x ≤恒成立，且当10x b +-≤时，2lg 0a x ≥恒成立，即当1x b ≥-时，2x a ≥恒成立，且当1x b ≤-时，02x a <≤恒成立，因此21a b ≤-且21a b ≥-，则21a b =-，即21a b +=，于是12124(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时取等号，所以12a b +的最小值为8.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．43.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.【解析】已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()23f -=，所以()()()230f f f -==．44.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率__________．【解析】记事件A ：“李明成绩不低于90分”，事件B ：“李明成绩不低于60分且低于90分”，事件C ：“李明成绩低于60分”，则()0.1P A =，()0.6P B =，A 与B 互斥，所以()()110.10.60.3P C A B P A B =+=-+=--=.45.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【解析】2a b += ，46.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．【解析】如下图所示，连接1AD 、AE 、DE ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，因为11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，所以，异面直线1BC 和1D E 所成角为1AD E ∠或其补角，因为AE ===，同理可得1AD =，DE =，由勾股定理可得13D E ===，由余弦定理可得222111112cos 22AD D E AE AD E AD D E +-∠==⋅，所以，145AD E ∠=，故异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为45 .三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．47.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【解析】（1）在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，12EF AD =，又由（1）可得BC ∥AD ，且12BC AD =，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB．48.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.【解析】（1）由诱导公式得，原式sin sin 32tan cos 2αααα--===--.（2）原式tan 11tan 211αα+==--.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【解析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x xx x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(1),1,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(1)24006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.。
2005--2011年天津市中考数学试卷及答案(7套)
2006年潍坊市初中学业水平考试（WAT ）数学试题注意事项：1． 本试题分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷4页，为选择题，36分；第II 卷8页，为非选择题，84分；共120分．考试时间为120分钟．2． 答第I 卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．3． 第I 卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第I 卷 选择题（共36分）一、选择题（本题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1．下列运算正确的是（ ） A ．933x x x ÷=B ．4312()x x -=-C ．248x x x =D ．232456()x x x x x +=++2．国家统计局统计资料显示：一季度，全国规模以上工业企业（全部国有企业和年产品销售收入500万元以上的非国有企业）完成增加值17 822亿元，这个增加值用科学记数法（保留三位有效数字）表示为（ ） A ．121.78210⨯元B ．111.7810⨯元C ．121.7810⨯元D ．121.7910⨯元3．计算tan 602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ） A ．2B ．3C ．2D ．14．用AB C ，，分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25︒，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35︒，则ACB ∠等于（ ） A ．35︒ B ．55︒ C ．60︒ D ．65︒ 5．函数112x y x -+=-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x -≥B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x -≥且2x ≠ 6．如图，等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，AC BC ⊥， 点E 是AB 的中点，EC AD ∥，则ABC ∠等于（ ） A ．75︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．30︒7．如图，直线PA PB ，是O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为（ ）A ．53厘米B ．5厘米C ．103厘米D ．532厘米EA BCDABP O8．如图，在矩形ABCD 中，68AB BC ==，，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为（ ） A ．152 B ．154C ．5D ．6 9．某学校举行理科（含数学、物理、化学、生物四科）综合能力比赛，四科的满分都为100分．甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：学科 数学 物理 化学 生物 甲 95 85 85 60 乙 80809080丙70 90 80 95综合成绩按照数学、物理、化学、生物四科测试成绩的1.2:1:1:0.8的比例计分，则综合成绩的第一名是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定 10．某厂投入200 000元购置生产某新型工艺品的专用设备和模具，共生产这种工艺品x 件，又知生产每件工艺品还需投入350元，每件工艺品以销售价550元全部售出，生产这x 件工艺品的销售利润=销售总收入－总投入，则下列说法错误的是（ ）A ．若产量1000x <，则销售利润为负值; B ．若产量1000x =，则销售利润为零; C ．若产量1000x =，则销售利润为200 000元; D ．若产量1000x >，则销售利润随着产量x 的增大而增加 11．已知a b >，且000a b a b ≠≠+≠，，，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）12．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．12B ．33C ．313-D ．314-AB CDEF O x y A ． O x y B ． O xy C ．OxyD ． ABCDB 'D 'C '2006年潍坊市初中学业水平考试（WAT ）数 学 试 题第II 卷 非选择题（共84分）注意事项：1． 第II 卷共8页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．其中，第14、15两小题为选做题，只须做（A ）、（B ）题中的一个即可，若两题都做，只以（A ）题计分．） 13．方程121x x x x-+=+的解是 ． 14．（A 题）小明与小亮玩掷骰子游戏，有两个均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个数．如果掷出的两个骰子的两个数的和为奇数则小明赢，如果掷出的两个骰子的两个数的和为偶数则小亮赢，则小明赢的概率是 ．（B 题）2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强．本次足球赛的小组赛共进行 场比赛．15．（A 题）已知01a a b x ≠≠=，，是方程2100ax bx +-=的一个解，则2222a b a b--的值是． （B 题）不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解是02x <<，那么a b +的值等于 ．16．1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为 ．17．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为 1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为 米．三、解答题（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）18．（本小题满分8分）根据潍坊市2006年第一季度劳动力市场职业供求状况分析，其中10个职业（职业小类）的需求人数（百人）和求职人数（百人）的数据表格如下：职业纺织工车工电子元器件制造工电焊工 保险业务人员 行政办公人员 财会人员文秘、打字员 卫生职业技术人员 计算机操作员 需求人数（百人） 163 12387 51 33 12 19 11 4 5 求职人数（百人）71532922204952371514（1）写出求职人数（百人）的中位数；（2）仿照右图中需求人数折线图，画出求职人数的折线图；（3）观察图表，比较需求人数与求职人数，你得到什么结论．（只需写出2至3项即可）19．（本小题满分8分．本题为选做题，只须做（A ）、（B ）两题中的一题即可，若两题都做，按（A ）题计分．）（A 题）小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）．它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD ，已知3AB =米，6BC =米，45BCD =︒∠，AB BC ⊥，D 到BC 的距离DE 为1米．矩形棚顶ADD A ''及矩形DCC D ''由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）（下列数据可供参考2 1.413 1.735 2.24 5.39 5.83=====，，，29，34）A BCD E C 'D 'A '图1ABCDE图2（B 题）如图，河边有一条笔直的公路l ，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求： （1）列出你测量所使用的测量工具；（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（3）用字母表示测得的数据，求出B 点到公路的距离．20．（本小题满分9分）据《潍坊日报》报道，潍坊市物价局下发了《关于调整潍坊市城市供水价格的通知》，本通知规定自今年5月1日起执行现行水价标准（见下表）．用水类别基本水价 （元/吨） 代收污水处理费（元/吨）代收水资源费（元/吨）综合水价 （元/吨） 居民生活、行政事业用水 基数内 1.80 0.90 0.50 3.20 基数外一档 2.70 0.90 0.50 4.10 基数外二档3.70 0.90 0.50 5.10 工业生产用水……………（1）由上表可以看出：基数内用水的基本水价为1.80元/吨；基数外一档［即超基数50%（含）以内的部分］的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收 元；基数外二档（即超基数50％以外的部分）的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收 元；（2）若李明家基数内用水为每月6吨，5月份他家用水12吨，那么李明家5月份应交水费（按综合水价计算）多少元？若李明家计划6月份水费不超过30元，那么李明家6月份最多用水多少吨？（精确到0.01）公路lB21．（本小题满分10分）如图，在ABC △的外接圆O 中，D 是 BC的中点，AD 交BC 于点E ，连结BD ． （1）列出图中所有相似三角形；（2）连结DC ，若在 BAC上任取一点K （点A B C ，，除外），连结CK DK DK ，，交BC 于点F ，2DC DF DK = 是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．22．（本小题满分11分）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车．下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表： 行驶速度（千米／时） 40 60 80 …停止距离（米）16 30 48 … （1）设汽车刹车后的停止距离y （米）是关于汽车行驶速度x （千米／时）的函数，给出以下三个函数：①y ax b =+；②()0ky k x=≠；③2y ax bx =+，请选择恰当的函数来描述停止距离y （米）与汽车行驶速度x （千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．AB C DEO23．（本小题满分11分）已知平行四边形ABCD ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段BC 上一点（端点B C ，除外），连结AF AC ，，连结DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连结CE ． （1）当F 为BC 的中点时，求证EFC △与ABF △的面积相等；（2）当F 为BC 上任意一点时，EFC △与ABF △的面积还相等吗？说明理由．24．（本小题满分12分）已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ABCDEFyxO l2006年潍坊市初中学业水平考试（WAT ）数学试题（A ）参考答案及评分标准一、选择题（本题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ＢＣＣＢＤＣＡＡＡＣＢＣ二、填空题（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．其中14，15小题为选做题，只须做（Ａ），（Ｂ）题中的一个即可，如果两题都做，按（Ａ）题计分）． 13．12-14．（Ａ）12（Ｂ）48 15．（Ａ）5 （Ｂ）116．823⎛⎫⎪⎝⎭（或0.039）17．6.6三、解答题（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 18．（本小题满分8分） （1）33； ······························································································· 2分 （2）见右图； ························································································· 6分（3）由图表可以看出：纺织工、车工、电子元器件制造工、电焊工等需求人数大于求职人数；行政办公人员、财会人员、文秘打字员等求职人数远大于需求人数． ···· 8分 （只要写出合理的2条即可得2分）19．（本小题满分8分）（Ａ）解：过D 作DF AB ⊥于F ， A B B C ⊥ ，DF BC ∴∥，又DE BC ⊥ ，DE AB ∴∥， ∴四边形BEDF 为矩形，1D E B F∴==，DF BE =， 又45BCD ∠=，12CE CD ∴==，， ·················································· 2分 又6BC =，5DF BE ∴==，在Rt AFD △中，25AF DF ==，，425295.39AD ∴=+==， ································································ 4分 ∴2928150.9A D DA S ''=⨯≈四边形，22839.5DC CD S ''=⨯≈四边形， ····································································· 6分 ∴总造价为(150.939.5)120925032098+⨯+≈（元）． ································ 8分 ［或用计算器计算得(2829282)120925032096+⨯+≈（元）．］（Ｂ）（1）测角器、尺子； ······································································· 2分 （2）测量示意图见右图； ·········································································· 4分测量步骤：①在公路上取两点C D ，，使BCD BDC ∠∠，为锐角；②用测角器测出BCD BDC αβ∠=∠=，；③用尺子测得CD 的长，记为m 米； ④计算求值．··························································································· 6分 （3）解：设B 到CD 的距离为x 米，作BA CD ⊥于点A ，在CAB △中，tan x CA α=， 在DAB △中，tan x AD β=，tan tan x x CA AD αβ∴==，，AF BEDCCA AD m += ，tan tan x x m αβ∴+=， tan tan tan tan x m αβαβ∴=+··． ··········································································· 8分（其它正确测法参照本解法得分） 20．（本小题满分9分） （1）0.9；1.9； ······················································································· 2分 （2）解：由题意知，李明家5月份基数内6吨水费为3.2619.2⨯=（元）； 基数外一档3吨水费为4.1312.3⨯=（元）； 基数外二档3吨水费为5.1315.3⨯=（元），所以，李明家5月份应交水费为19.212.315.346.8++=（元）． ····················· 6分 设李明家6月份计划用水x 吨， 19.23019.212.3<<+ ， ∴69x <<，依题意得19.2(6) 4.130x +-⨯≤， ···························································· 8分 解得8.63x ≤，∴李明家6月份最多用水8.63吨． ······························································ 9分 21．（本小题满分10分）（1）BDE CAE △∽△，DBE DAB △∽△，ABD AEC △∽△． ················ 3分（2）2DC DF DK =·成立． ······································································ 4分证明：D 是 BC的中点， DBC DCB ∴∠=∠， ··············································································· 5分又DBC DKC ∠=∠ ， DCB DKC ∴∠=∠， 又KDC CDF ∠=∠， KDC CDF ∴△∽△， ············································································· 8分 KD DC DC DF∴=，2DC DF KD ∴=·． ························································· 10分 ABEFD CＫO22．（本小题满分11分）解：（1）若选择y ax b =+，把4016x y ==，与6030x y ==，分别代入得 16403060a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.712a b =⎧⎨=-⎩， 而把80x =代入0.712y x =-得4448y =<，所以选择y ax b =+不恰当； ······································································ 2分 若选择(0)k y k x =≠，由x y ，对应值表看出y 随x 的增大而增大， 而(0)k y k x=≠在第一象限y 随x 的增大而减小，所以不恰当；························ 4分 若选择2y ax bx =+，把4016x y ==，与6030x y ==，分别代入得1616004030360060a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.0050.2a b =⎧⎨=⎩， 而把80x =代入20.0050.2y x x =+得48y =成立，所以选择2y ax bx =+恰当，解析式为20.0050.2y x x =+． ···························· 7分（2）把70y =代入20.0050.2y x x =+得2700.0050.2x x =+， 即240140000x x +-=，解得100x =或140x =-（舍去），所以，当停止距离为70米，汽车行驶速度为100千米／时． ··························· 11分23．（本小题满分11分）（1）证明： 点F 为BC 的中点，122a BF CF BC ∴===， 又BF AD ∥，BE AB b ∴==，A E ∴，两点到BC 的距离相等，为sin b α， ················································ 3分 则11sin sin 224ABF aS b ab αα==△··， 11sin sin 224EFC a S b ab αα==△·， ABF EFC S S ∴=△△． ·················································································· 5分 （2）解：法一：当F 为BC 上任意一点时，设BF x =，则FC a x =-，四边形ABCD 是平行四边形，BF BE x BE AD BE AB a BE b∴=∴=++，， bx BE a x∴=-， ······················································································· 7分 在EFC △中，FC 边上的高1sin h BE α=·，1s i n bx h a xα∴=-， 111s i n 1()s i n 222EFC bx S FC h a x bx a x αα∴==-=-△··， ··································· 9分 又在ABF △中，BF 边上的高2sin h b α=，1sin 2ABF S bx α∴=△， EFC ABF S S ∴=△△． ················································································ 11分 法二：ABCD 为平行四边形，1sin 2ABC CDE S S ab α∴==△△， 又AFC CDF S S = △△，ABC AFC CDE CDF S S S S ∴-=-△△△△，即ABF EFC S S =△△． ················································································ 11分24．（本小题满分12分）解：（1）把(44)A -，代入1y kx =+得34k =-， ∴一次函数的解析式为314y x =-+； ·························································· 1分 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y 轴，∴设二次函数解析式为2y ax =，把(44)A -，代入2y ax =得14a =， ∴二次函数解析式为214y x =． 3分（2）由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 114B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，， ··························································································· 5分 过A B ，点分别作直线l 的垂线，垂足为A B ''，， 则15415144AA BB ''=+==+=，， ∴直角梯形AA B B ''的中位线长为5525428+=， ············································· 6分 过B 作BH 垂直于直线AA '于点H ，则5BH A B ''==，115444AH =-=， 221525544AB ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭， ····································································· 7分 ∴AB 的长等于AB 中点到直线l 的距离的2倍，∴以AB 为直径的圆与直线l 相切． ····························································· 8分 （3）平移后二次函数解析式为2(2)y x t =--，令0y =，得2(2)0x t --=，12x t =-，22x t =+， 过F M N ，，三点的圆的圆心一定在直线2x =上，点F 为定点，∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F 到直线2x =的距离，此时，半径为2，面积为4π， ··································································· 10分 设圆心为C MN ，中点为E ，连CE CM ，，则1CE =，在三角形CEM 中，2213ME =-=，23MN ∴=，而212MN x x t =-=，3t ∴=，∴当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π． ············· 12分 说明：本答案解答题中解法只给出了1种或2种，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应分数．。
2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学含答案
2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至3页，第II卷4至6页。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名与考生本人考生号、姓名是否一致。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{1，2}B．{0，1}C．{3，4}D．{2，3}2．已知函数f(x)=lgx，则f(10)=A．1B．0C．10D．23．sin(2π+α)=A．cosαB．sinαC．－cosαD．－sinα4．已知函数y=f(x)在[－1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为A．[0，1]B．[－1，0]C．[1，2]D．[－1，2]5．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为A．π3B．π4C．πD．π26．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为A．13B．17C．47D．377．函数f(x)=√x−1的定义域为A．{x|x≥－1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤1}8．已知平面α、β，α//β是α与β无公共点的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件，则cosα为9．已知α是第一象限角，sinα=45A．34B．35C．43D．4510．不等式(x－1)(x－2)<0的解集为A．{x|－2<x<－1}B．{x|1<x<2}C．{x|x≤－1}D．{x|x>2或x<1}11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，B1D1所成角的大小为A．45∘B．30∘C．90∘D．60∘12．已知向量a=(1，2)，b=(m，－1)，若a⊥b，则m的值为A．－12B．－2C．2D．12。
2025年广东省高中数学学业水平合格性考试卷试题(含答案解析)
2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合},1,0,1{},1,0{-==B A 则B A =（）A.}1,0{ B.}0,1{- C.}1{- D.}1,0,1{-2.函数f(x)=ln(x-3)的定义域为()A.{x|x>-3}B.{x|x>0}C.{x|x>3}D.{x|x≥3}3.已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A.2B.12- C.2- D.124.命题“∀x >0，log 2x <2x ＋3”的否定为（）A ．∀x >0，log 2x ≥2x ＋3B ．∃x 0>0，log 2x 0≥2x 0＋3C ．∃x 0>0，log 2x 0<2x 0＋3D ．∀x >0，log 2x >2x ＋35.2log 的值为()A．C．12-D．126.不等式(21)(2)0x x -+>的解集是（）A ．{2xx <-∣，或12x ⎫>⎬⎭B ．12∣⎧⎫>⎨⎬⎩⎭xx C ．122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣D ．{2}xx <-∣7.要得到6sin(π+=x y 的图象，只需将x y sin =的图象（）A ．向上平移6π个单位B ．向下平移6π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位8.已知,0x y >且xy ＝36，则x y +的最小值为（）A．B ．4C ．6D ．129.下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A ．y ＝x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2xD ．y ＝lg x10.已知平面向量a ＝（－2，4），b ＝（n ，6），且a ∥b ，则n ＝（）A.－3B ．2C ．1D ．－111.如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.若复数z=5+2i ，则复数=z .14.已知21sin =α，23cos -=α，则=+)30sin( α.15.函数)42sin(π+=x y 的最小正周期为.16.已知0>x ，则x x x f 2)(+=的最小值为．17.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，，则＝___________.18.某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.则这组数据的70百分位数是______________.图17)(2-=x x f )4(f三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）19.已知ABC 中，3a =，2b =，60A =︒．(1)求sin B ；(2)求c ；(3)求ABC 的面积．20.食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =8，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和.21.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）22.如图2，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.（1）求证:EF∥平面PAB;（2）已知AB＝AC＝4，PA＝6，求三棱锥F－AEC的体积图2一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合},1,0,1{},1,0{-==B A 则B A =（）A.}1,0{B.}0,1{-C.}1{-D.}1,0,1{-答案：A.2.函数f(x)=ln(x-3)的定义域为()A.{x|x>-3} B.{x|x>0}C.{x|x>3}D.{x|x≥3}答案：C .3.已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A.2B.12- C.2- D.12答案：C4.命题“∀x >0，log 2x <2x ＋3”的否定为（）A ．∀x >0，log 2x ≥2x ＋3B ．∃x 0>0，log 2x 0≥2x 0＋3C ．∃x 0>0，log 2x 0<2x 0＋3D ．∀x >0，log 2x >2x ＋3答案：B 解析：该命题含有量词“∀”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故命题的否定为：∃x 0>0，log 2x 0≥2x 0＋3．5.2log 的值为()A．C．12-D．12答案：D6.不等式(21)(2)0x x -+>的解集是（）A ．{2xx <-∣，或12x ⎫>⎬⎭B ．12∣⎧⎫>⎨⎬⎩⎭xx C ．122xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣D ．{2}xx <-∣【答案】A7.要得到6sin(π+=x y 的图象，只需将x y sin =的图象（）A ．向上平移6π个单位B ．向下平移6π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】C8.已知,0x y >且xy ＝36，则x y +的最小值为（）A．B ．4C ．6D ．12【答案】D9.下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A ．y ＝x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2xD ．y ＝lg x【答案】B10.已知平面向量a ＝（－2，4），b ＝（n ，6），且a ∥b ，则n ＝（）A.－3B ．2C ．1D ．－1【答案】A.11.如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B12.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.若复数z=5+2i ，则复数=z .答案：5-2i .图114.已知21sin =α，23cos -=α，则=+)30sin( α.【答案】0.15.函数)42sin(π+=x y 的最小正周期为.【答案】π.16.已知0>x ，则xx x f 2)(+=的最小值为．【答案】2217.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，，则＝___________.【答案】918.某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.则这组数据的70百分位数是______________.答案：13.三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）20.食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿7)(2-=x x f )4(f的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =8，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和.【答案】39（万元）【解析】【分析】分别代入数据计算P 、Q ，然后求和即得【详解】P =824+=,Q =()120812154⨯-+=,P +Q =24+15=39（万元）.这两个大棚的年利润总和为39（万元）.(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）【答案】(1)众数为75分，中位数为76.7(2)76.2【分析】（1）（2）根据频率分布直方图中众数、中位数、平均数计算规则计算可得；【详解】（1）解：由众数的概念及频率分布直方图可知，分.因为数学竞赛成绩在[40,70)的频率为(0.0040.006++数学竞赛成绩在[70,80)的频率为0.030100.3⨯=，所以中位数为0.50.3701076.70.3-+⨯≈.（2）解：这50名学生的平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.02010)⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯75(0.03010)85(0.02410)95(0.01610)76.2+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=22.如图2，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证:EF ∥平面PAB ;（2）已知AB ＝AC ＝4，PA ＝6，求三棱锥F －AEC 的体积解：（1）证明：连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故EF ∥PB ，∵EF ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ∴EF ∥平面PAB ；（2）解：过F 作//FG PA 交AC 于G ，如右图示：∵PA ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点，图2∴由PA =6，则32PAFG ==，又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，∴44424ABC AEC S S ⨯=== ，∴即三棱锥F -AEC 的体积为.143AEC V FG S =⋅⋅=。
2025年广东省高中数学学业水平合格考试卷试题(含答案解析)
12025年广东省普通高中学业水平合格性考试
数学模拟试卷满分150分，考试用时90分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
220Axxx，2log11Bxx
，则AB（）
A．0,2B．0,3C．,2D．
1,2
2．已知Rx，条件
2:pxx
，条件
1:1q
x，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间
0,上单调递减的是（）
A．lnyxB．
1y
xC．yxD
．
1yx
4．函数5yx的定义域为（）
A．2,B．3,C．4,D．
5,
5．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入R（单位：万
元）关于年产量x（单位：台）满足函数：21100,0100,25000,100.xxxRx则当该公司所获年利润最大时，年产量x为（）A．50B．80C．100D．1202
6．ABCV的内角A，B，C所对的边分别为
a
，b，c，若
π
6A，3a，1sin3B，则b（）
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。