2020年北京市东城区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，0，1，，那么A. B. C. 0，1， D.2.函数的定义域为A. B.C. ，D. ，3.已知，则A. 1B. 0C.D.4.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则b的值为A. 1B.C.D. 25.如图所示，某三棱锥的正主视图、俯视图、侧左视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为A. 4B. 6C. 8D. 126.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是A. B. C. D.8.已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设O为坐标原点，点，动点P在抛物线上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为A. B. C. D.10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：A. 若在，时刻满足：，则B. 如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量，，，若与共线，则实数______．12.在的展开式中常数项为______．13.圆心在x轴上，且与直线：和：都相切的圆的方程为______．14.是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且，，则______，______．15.设函数给出下列四个结论：对，，使得无解；对，，使得有两解；当时，，使得有解；当时，，使得有三解．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥中，面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，，．Ⅰ求证：平面PBC；Ⅱ求二面角的余弦值的大小．17.已知函数，且满足_______．Ⅰ求函数的解析式及最小正周期；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数m的取值范围．从的最大值为1，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“”表示北斗二代定位模块的误差的值，“”表示北斗三代定位模块的误差的值．单位：米Ⅰ从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；Ⅱ从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；Ⅲ试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．结论不要求证明19.已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为2．Ⅰ求椭圆E的标准方程；Ⅱ设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20.已知函数．Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；Ⅱ若有两个极值点，求实数a的取值范围；Ⅲ若，求在区间上的最小值．21.数列A：，，，，，，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为．Ⅰ若数列A：，写出集合；Ⅱ如果均为相同的单元素集合，求证：数列，，，，为等差数列；Ⅲ如果为单元素集合，那么数列，，，，还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，0，1，，．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：函数，令，得，解得，所以的定义域为．故选：B．根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3.答案：A解析：解：，，，即．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4.答案：D解析：解：双曲线的一条渐近线与直线平行，可得．故选：D．利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：A解析：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是，，三棱锥的体积是故选：A．几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6.答案：D解析：解：，，，又，，，．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．根据，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是故选：C．根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8.答案：B解析：解：三角形ABC，那么“”，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形为锐角．三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．三角形ABC，那么“”，可得A为锐角．进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：设，，所以PA的中点，所以，因为，所以，所以，故选：C．设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10.答案：C解析：解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，，，此时二者总和，由图象可知存在点，，，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．根据图象数形结合，逐一进行分析即可本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．11.答案：3解析：解：向量，，，，与共线，，解得实数．故答案为：3．先求出，再由与共线，列方程能求出实数m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：160解析：解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故答案为：160．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.答案：解析：解：设所求圆的方程为，因为圆与直线：和：都相切，则，解得，，所以圆的方程为．故答案为：．设所求圆的方程为，利用圆与直线：和：都相切，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：2解析：解：如图所示，等边中，，所以；又，所以，即，解得，所以；由，即，解得．故答案为：2，．根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：对于，可取，则，当时，；当时，，当且仅当时，取得等号，故时，的值域为R，，都有解，故错误；对于可取时，，可得在R上单调递增，对，至多一解，故错误；对于，当时，时，递减，可得；又时，，即有，可得，则的值域为，，都有解，故正确；对于，当时，时，递增，可得；当时，，当且仅当时，取得等号，由图象可得，当时，有三解，故正确．故答案为：．可取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得的值域，即可判断；取，判断的单调性，即可判断；考虑时，求得的值域，即可判断；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及的图象，即可判断．本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：底面ABCD为平行四边形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC；Ⅱ解：过D作平行于AC的直线Dx，，，又面ABCD，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则1，，0，，2，，1，，，设平面PCB的一个法向量为，由，取，得；取平面PCD的一个法向量．则．由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为．解析：Ⅰ由底面ABCD为平行四边形，得，再由直线与平面平行的判定可得平面PBC；Ⅱ过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ函数，若满足的最大值为1，则，解得，所以；的最小正周期为；Ⅱ令，得，解得，；即，；若关于x的方程在区间上有两个不同解，则或；所以实数m的取值范围是若满足的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，且的最小正周期为，所以，解得；以下解法均相同．若满足的图象过点，则，解得；以下解法均相同．解析：Ⅰ利用二倍角公式和诱导公式化简函数，若满足，利用最大值求出a的值，写出的解析式，求出最小正周期；Ⅱ令求得方程的解，根据方程在区间上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足，利用的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为；Ⅱ由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为X 0 1 2P所以X的期望为；Ⅲ北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．解析：Ⅰ通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；Ⅱ通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；Ⅲ通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ因为四边形为正方形，且面积为2，所以，且，解得，，所以椭圆的标准方程：；Ⅱ设的方程为，，，设的方程为，，，联立可得，由可得，化简可得，，，，同理可得，因为四边形CDMN为菱形，所以，所以，又因为，所以，所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，，，因为四边形CDMN为菱形，可得，即，即，即，可得，化简可得，设菱形CDMN的周长为l，则，当且仅当，即时等号成立，此时，满足，所以菱形CDMN的周长的最大值为．解析：Ⅰ由题意可得，，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ设的方程为，，，设的方程为，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形CDMN的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20.答案：解：，．Ⅰ当时，，，曲线在点处的切线方程为，即；Ⅱ若有两个极值点，有两个不等的正根，即两个不等的正根．令，，，令，当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；且，故，解得：Ⅲ，，，，，令，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，故，在上单调递减，故在上的最小值为解析：Ⅰ先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；Ⅱ先把有两个极值点转化为方程有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；Ⅲ先利用导函数的符号判断在区间上的单调性，进而解决其最小值．本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21.答案：解：Ⅰ由于A：，为满足不等式的构成的集合，，当时，上式可化为，，当时，上式可化为，为．Ⅱ证明：对于数列A：，，，，，，若中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当时，有，，当时，有，两式对任意大于1的整数均成立，成立，数列，，，，为等差数列．Ⅲ对于数列A：，，，，，不妨设，，，，由，知，由，知：，即，，．设，则，这说明，则，对于数列A：，，，，，中均只有一个元素，首先考察时的情况，不妨设，，又为单元素集，，再证，证明如下：由，证明如下：由的定义可知：，，，由的定义可知，，，，，则存在正整数，使得，，这与矛盾，，同理可证，数列，，，，还是等差数列．解析：Ⅰ推导出，当时，上式可化为，，当时，上式可化为，由此能求出为．Ⅱ，中均只有同一个元素，不妨设为当时，有，，当时，有，由此能证明数列，，，，为等差数列．Ⅲ设，，，，由，知，由，知：，即，从而，设，则，，则，推导出，由此能证明数列，，，，还是等差数列．本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020东城高三一模数学试题答案
东城区2019-2020学年度第二学期教学统一检测高三化学参考答案及评分标准2020.5注：学生答案与本答案不符时，合理答案给分。
选择题（共42分）题号1234567答案B D A A C A D 题号891011121314答案ADDBDCB综合题（共58分）15.（11分）（1）铁比铜活泼（2）①O 2＋4e －＋2H 2O =4OH－4Fe(OH)2＋O 2=4FeOOH ＋2H 2O②6：2：1③铁质文物在潮湿环境中表面生成疏松的FeOOH ，水、氧气能通过孔隙使铁继续发生吸氧锈蚀；在干燥空气中形成致密的Fe 2O 3，隔绝了铁与水和氧气的接触，阻碍锈蚀（3）①Fe 2O 3＋6NaCl ＋3H 2O =6NaOH ＋2FeCl 3（Fe 2O 3+H 2O ====2FeOOH ）②氯、溴、碘同主族，形成的阴离子随电子层数增加半径增大（或体积增大），穿透能力减弱（4）HNO 3和AgNO 3（5）16.（13分）（1）羰基羟基（2）（3）（4）保护—CH 2OHCl —（5）（6）（7）水解反应、消去反应17.（10分）（1）CO 32-＋H 2OOH -+HCO 3-（2）Cu 2(OH)2CO 3＋4CH 3COOH =2(CH 3COO)2Cu ＋3H 2O ＋CO 2↑（3）醋酸铜的溶解度随温度变化较大，温度越高溶解度越大，温度降低溶解度减小（4）2Cu 2+＋4I -=2CuI↓＋I 2（5）因为CuSCN 不吸附I 2，通过反应CuI(s)＋SCN-CuSCN(s)＋Cl -，使CuI 吸附的I 2释放出来与Na 2S 2O 3反应。
（6）6.4bv/a %18.（11分）（1）氧化（2）（3）H 2（4）Cu ＋NO 3-=NO 2—＋CuO 或H 2＋NO 3-======NO 2—＋H 2O（5）①Pd 表面单位面积吸附的2NO -数目减小②增大2NO 2—＋6H =N 2＋4H 2O ＋2OH -（6）先调节溶液的pH 到12，待NO 3—几乎完全转化为NO 2—后，调节pH 到419.（13分）（1）Ag +＋223S O -=Ag 2S 2O 3↓（2）H +、24SO -Pd-Cu/TiO 2得到的24SO -是氧化产物，必然要生成其他还原产物（3）22322S O + 2H S + SO + H O-+↓ （4）过量Ag +与223S O -结合，使c (223S O -)降低，Ag 2S 2O 3＋3S 2O 32-2[Ag(S 2O 3)2]3-逆向移动，析出沉淀（5）逐滴滴加AgNO 3时，Ag 2S 2O 3的溶解速率大于分解速率；迅速混合时部分Ag 2S 2O 3来不及溶解即发生分解，分解产物不能再溶于Na 2S 2O 3（6）Na 2S 2O 3和AgNO 3物质的量之比大于2:1，在不断搅拌下将AgNO 3溶液缓缓加入到Na 2S 2O 3溶液中。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)
1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷-解析版
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为()A. 1.52125×105B. 1.52125×104C. 0.152125×105D. 0.152125×1062.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 长方体B. 正方体C. 球D. 圆柱3.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A. 48°B. 78°C. 92°D. 102°4.把2a2−8分解因式，结果正确的是()A. 2(a2−4)B. 2(a−2)2C. 2(a+2)(a−2)D. 2(a+2)25.点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为()A. −(a+1)B. −(a−1)C. a+1D. a−16.已知锐角∠AOB，如图，⏜，交射线OB于点D，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；(3)作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. CP//OBB. CP=2QCC. ∠AOP=∠BOPD. CD⊥OP7.将4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积S2，则a，b满足()之和为S2.若S1=53A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b8.党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量(单位：万人)及分布情况绘制的统计图表的一部分．年份201720182019人数地区东部30014747中部1112181西部1634916323(以上数据来源于国家统计局)根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是()A. 2018年中部地区农村贫困人口为597万人B. 2017−2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C. 2016−2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D. 2017−2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果√2x−1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是______．10.随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b>4的概率是______．11.若x2+x−3=0，则代数式2(x−2)(x+2)−x(x−1)的值是______．12.如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为______．13.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为______．14.如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=______．15.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：①乙队率先到达终点；②甲队比乙队多走了126米；③在47.8秒时，两队所走路程相等；④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．所有正确判断的序号是______．16.从−1，0，2，3四个数中任取两个不同的数(记作a k，b k)构成一个数对M k={a k,b k)(其中k=1，2，…，s，且将{a k,b k}与{b k,a k}视为同一个数对)，若满足：对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，则s 的最大值是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：|−√3|−(3−π)0+2cos60°+(12)−1．18.解不等式组：{2x−6<3xx+25−x−14≥0．19.观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．解分式方程：1−x−32x+2=3xx+1．解：去分母，得2x+2−(x−3)=3x，…步骤1 去括号，得2x+2−x−3=3x，…步骤2移项，得2x−x−3x=2−3，…步骤3合并同类项，得−2x=−1，…步骤4解得x=12.…步骤5所以，原分式方程的解为x=12.…步骤620.已知关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．21.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．(1)求证：BF=DE；(2)分别延长BE和AD，交于点G，若∠A=45°，求DGAD的值．22.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E.已知A(1,4)，CDCE =14．(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．23.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5.C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若tan∠ACB=1，求线段BP的长．224.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．25.如图，P是线段AB上的一点，AB=6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ.小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度(单位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PQ 4.00 2.310.84 1.43 3.07 4.77 6.49 AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当AQ=PQ时，线段AP的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y=ax与抛物线y=ax2−2ax−1(a≠0)围成的封闭区域(不包含边界)为W．(1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示)；(2)当a=1时，写出区域W内的所有整点坐标；2(3)若区域W内有3个整点，求a的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，AB=3，M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．(1)依题意补全图1；(2)若DM=1，求线段EF的长；(3)当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．28.在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果CD⏜上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称CD⏜为△ABC的中线弧．(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，D是AB的中点．①如图1，若∠A=45°，画出△ABC的一条中线弧CD⏜，直接写出△ABC的中线弧CD⏜所在圆的半径r的最小值；②如图2，若∠A=60°，求出△ABC的最长的中线弧CD⏜的弧长l．(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,2)，B(4,0)，C(0,0)，在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：15212.5用科学记数法表示应为1.52125×104，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】D【解析】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．3.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质及邻补角，正确得出∠3的度数是解题关键．4.【答案】C【解析】解：原式=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)，故选：C．原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解答】解：∵O为原点，AC=1，OA=OB，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a−1，∴点B表示的数为：−(a−1)，故选：B．6.【答案】A【解析】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图(1)(2)可知：OC=OD，CP=DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图(2)可知：CD=CP=PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP=2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP=∠BOP，当OC=CP时，∠AOP=∠CPO，∴∠CPO=∠BOP，∴CP//OB，故A错误，符合题意；故选：A．由作图知OC=OD，CD=CP=DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．本题考查作图−基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：由题意得：S2=1ab×4=2ab，2S1=(a+b)2−2ab=a2+b2，S2，∵S1=53∴3S1=5S2∴3a2+3b2=5×2ab，∴3a2−10ab+3b2=0，∴(3a−b)(a−3b)=0，∴3a=b(舍)，或a=3b．故选：C．S2得到关于a、b的等式，整先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1=53理即可．本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、2018年中部地区农村贫困人口为：1660−147−916=597(万人).故A的说法正确；B、由统计表可知B选项说法正确；C、∵4335−3046=1289，3046−1660=1386，1660−551=1109，∴1109<1289<1386，故C不正确，D、∵300−47300≈0.843，1112−1811112≈0.837，1634−3231634≈0.802，∴0.802<0.837<0.843，∴D说法正确．∴只有C推断不正确．故选：C．分别对照统计表和统计图分析或计算即可．本题考查了条形统计图及统计表，明确相关统计基础知识并会根据图表进行分析是解题的关键．9.【答案】x≥12【解析】解：由题意得：2x−1≥0，解得：x≥12，故答案为：x≥12．根据二次根式有意义的条件可得2x−1≥0，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．10.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b>4的有8种结果，∴a+b>4的概率是812=23，故答案为：23．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a+b>4的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．11.【答案】−5【解析】解：原式=2(x 2−4)−x 2+x=2x 2−8−x 2+x=x 2+x −8，∵x 2+x −3=0，∴x 2+x =3，则原式=3−8=−5，故答案为：−5．先根据整式的混合运算法则化简原式，再将x 2+x =3代入计算可得．本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及整体代入思想的运用．12.【答案】5【解析】解：由题意得，(n−1)×180°n =108°，解得，n =5，故答案为：5．根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．13.【答案】{x +y =250x +10y =30【解析】解：依题意得：{x +y =250x +10y =30， 故答案是：{x +y =250x +10y =30． 设买美酒x 斗，买普通酒y 斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．14.【答案】√35【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OBC =∠OBA =12∠ABC =30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan∠OCB 的值．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30°，∴tan∠OBC=ODBD，∴BD=ODtan30=√3√33=3，∴CD=BC−BD=8−3=5，∴tan∠OCB=ODCD =√35．故答案为√35．15.【答案】③④【解析】解：由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故①错误；由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故②错误；由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，故③正确；由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故④正确．∴正确判断的有：③④．故答案为：③④．根据函数图象所给的信息，逐一判断．本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16.【答案】5【解析】解：∵−1+1=0，−1+2=1，−1+3=2，0+2=2，0+3=3，2+3=5，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，∴s的最大值是5．故答案为：5．找出a i+b i的值，结合对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，即可得出s的最大值．本题是一道考查数字的变化类的题型，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．17.【答案】解：原式=√3−1+2×12+2=√3−1+1+2=√3+2．【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：不等式组可以转化为：{x>−6x≤13，在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为−6<x≤13．【解析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交集，则不等式组无解．求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19.【答案】解：出错的步骤：步骤1：去分母时，方程两边同时乘2(x+1)，等号右边应该是6x；步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边−3改成+3；步骤3：移项要变号，等号右边是3−2；步骤6：分式方程的根要检验．正确结果：1−x−32x+2=3xx+1．2x+2−(x−3)=6x2x+2−x+3=6x2x−x−6x=−2−3−5x=−5x=1检验：把x=1代入2(x+1)≠0，所以原分式方程的解是x=1．【解析】根据解分式方程的步骤来分析，记得验根．本题主要考查了解分式方程的步骤，尤其是最后的检验步骤，一定不能忘记，这也是分式方程根整式方程的不同之处．20.【答案】解：(1)∵关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根，∴△>0，且a≠0，即22−4a⋅(−3)>0，且a≠0，∴a>−13且a≠0；(2)将x=1代入方程ax2+2x−3=0，解得：a=1，把a=1代入ax2+2x−3=0，得x2+2x−3=0，解方程得，x1=1，x2=−3，∴a的值为1，方程的另一个实数根为−3．【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2−4ac>0即可进行解答；(2)解方程即可得到结论．本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△<0时，方程没有实数根．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB =CD ，∵BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠BEC =∠DFC =90°，∵∠C =∠C ，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴EC =FC ，∴BF =DE ；(2)解：∵∠A =45°，四边形ABCD 是菱形，∴∠C =∠A =45°，AG//BC ，∴∠CBG =∠G =45°，∴△DEG 与△BEC 是等腰直角三角形，设BE =CE =a ， ∴BC =AD =√2a ， ∵∠A =∠G =45°，∴AB =BC ，∠ABG =90°，∴AG =2a ，∴DG =(2−√2)a ，∴DG AD =√2√2=√2−1．【解析】(1)根据菱形的性质得到CB =CD ，根据全等三角形的性质健康得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠C =∠A =45°，AG//BC ，推出△DEG 与△BEC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y =mx 得m =1×4=4，∴反比例函数解析式为y =4x ；∵BD ⊥y 轴，AD ⊥y 轴，∴AD//BE ，∴△CDA∽△CEB ，∴CD CE =AD BE ，即1BE =14，∴BE =4，当x =4时，y =4x =44=1，∴B(4,1)，把A(1,4)，B(4,1)代入y =kx +b 得{k +b =44k +b =1，解得{k =−1b =5， ∴一次函数解析式为y =−x +5；(2)∵点A 与点B 关于直线y =x 对称，反比例函数y =−4x 关于y =x 对称，∴当OM的解析式为y=x时，MN的长度最大，解方程组{y=4xy=x得{x=2y=2或{x=−2y=−2，∴此时M点的坐标为(2,2)．【解析】(1)先把A点坐标代入y=mx 中求出m得到反比例函数解析式为y=4x；再证明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE=4，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)利用点A与点B关于直线y=x对称，反比例函数y=−4x关于y=x对称可判断当OM的解析式为y=x时，MN的长度最大，然后解方程组{y=4xy=x得此时M点的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质．23.【答案】证明：(1)连接OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CPA=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；(2)如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan∠ACB=APAC =12，∴设AP=x，AC=2x，∴AB=2x，OP=OB=5−x，∵AO2=OB2+AB2，∴25=(5−x)2+4x2，∴x=2，∴AP=2，AC=4∴OB=OP=3，∴CP=√AC2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP=∠ODP=90°，∠APC=∠OPD，∴△ACP∽△DOP，∴PDPA =OPCP=ODCA，∴PD=OP⋅PACP =35√5，∵OB=OP，OD⊥BP，∴BP=2PD=6√55．【解析】(1)连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，∠OBP=∠OPB=∠CPA，由余角的性质可求∠ABO=90°，可得结论；(2)过点O作OD⊥BP于D，设AP=x，AC=2x，由勾股定理可求AP=2，AC=4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键．24.【答案】6 2 3.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．(3)①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．故答案为①②．(1)观察统计图结合已知条件即可判断．(2)观察散点图可得结论．(3)根据题意①②说法都是合理的．本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25.【答案】AP PQ AQ 3.07(答案不唯一)【解析】解：(1)根据变量的定义，AP 是自变量，PQ 、AQ 是因变量，即PQ 、AQ 是AP 的函数，故答案为：AP 、PQ 、AQ ；(2)依据表格中的数据描点、连线即可得；(3)当AQ =PQ 时，即为两个函数图象的交点，从图上看，交点的横坐标大约为3.07cm ，故答案为：3.07(答案不唯一)．(1)根据变量的定义即可求解；(2)依据表格中的数据描点、连线即可得；(3)两函数图象交点的横坐标即为所求．本题是动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)y =ax 2−2ax −1=a(x −1)2−a −1，故顶点的坐标为：(1,−a −1)；(2)a =12时，概略画出直线y =12x 和抛物线y =12x 2−x −1的图象如下：从图中看，W 区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：(1,0)、(2,0)、(3,1)、(1,−1)；(3)①当a >0时，由(2)知，当a =12时，区域W 内的所有整点数有4个； 参考(2)可得：当a >12时，区域W 内的所有整点数多于3个；当13<a <12时，区域W 内的所有整点数有4个；同理当a =13时，区域W 内的所有整点数有3个；当0<a <13时，区域W 内的所有整点数多于3个；②当a <0时，当−1≤a <0时，区域W 内的所有整点数为0个；当a <−32时，区域W 内的所有整点数多于3个；∴区域W 内有3个整点时，a 的取值范围为：−32≤a <−1，综上，区域W 内有3个整点，a 的取值范围为：a =13或−32≤a <−1．【解析】(1)将抛物线化成顶点式表达式即可求解；(2)概略画出直线y =12x 和抛物线y =12x 2−x −1的图象，通过观察图象即可求解；(3)分a >0、a <0两种情况，结合(2)的结论，逐次探究即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．27.【答案】解：(1)根据题意作图如下：(2)连接BM ，如图2，∵点D 与点E 关于AM 所在直线对称，∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°，∵BM=BF，∴△ADM≌△ABF(SAS)，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，∴∠FAB=∠NAE，∴∠FAE=∠MAB，∴△FAE≌△MAB(SAS)，∴EF=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3，∵DM=1，∴CM=2，∴BM=√BC2+CM2=√13，∴EF=√13；(3)设DM=x(x>0)，则CM=3−x，∴EF=BM=√CM2+BC2=√x2−6x+18，∵AE=AD=3，AF=AM=√DM2+AD2=√x2+9，∴AF>AE，∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF，或AF=EF，①当AE=EF时，有√x2−6x+18=3，解得x=3∴tan∠DAM=DMDA =33=1；②当AF=EF时，√x2−6x+18=√x2+9，解得，x=32，∴tan∠DAM=DMDA =323=12，综上，tan∠DAM的值为1或12．故答案为：tan∠DAM的值为1或12．【解析】(1)根据题意作出图形便可，(2)连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；(3)设DM=x(x>0)，求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF 或AF=EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果．本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．28.【答案】解：(1)①如图1中，当直线弧CD⏜的圆心是AC或BC的中点时，CD⏜所在圆的半径r的最小，此时r=12AC=12，∴△ABC的中线弧CD⏜所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD⏜所在的圆与AC，AB都相切时，CD⏜的弧长最大，此时，CD⏜的圆心在BC上，∵ND⊥BD，∴∠NDB=90°，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，∴BN=2DN=2CN，∴3CN=BC=√3，∴CN=√33，∴半径为√33．∴CD⏜的长为．(2)如图3中，若中线弧CD⏜在线段CD的下方时，∵△ABC的中线弧CD⏜所在的圆的圆心在线段CD使得垂直平分线上，当中线弧CD⏜所在圆与BC相切时，可得P(0,5)，观察图象可知中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t≥5．如图4中，若中线弧CD⏜在线段CD的上方时，当中线弧CD⏜所在圆与AC相切时，可得P(52,−52)，观察图象可知中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t≤−52．综上所述，.中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t≥5或t≤−52．【解析】(1)①如图1中，当直线弧CD⏜的圆心是AC或BC的中点时，CD⏜所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD⏜所在的圆与AC，AB都相切时，CD⏜的弧长最大．(2)分两种情形：如图3中，若中线弧CD⏜在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD⏜在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，△ABC的中线弧的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2020年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．。
北京市东城区2020届高三数学一模试卷文含解析
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合2{3}A x x x =∈<R ，{12}B x x =-<<，则AB =（A ）{10}x x -<< （B ）{13}x x -<< （C ）{02}x x << （D ）{03}x x << 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为，所以，故答案为：B 【答案】B（2）已知直线310ax y +-=与直线3+2=0x y -互相垂直，则a = （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C 【答案】C（3）已知4log 6a =，4log 0.2b =，2log 3c =，则三个数的大小关系是（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）b c a >> 【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，故答案为：A 【答案】A（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为（A ）3 （B ）52 （C ）2（D ）32【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A 【答案】A（5）已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则11S =（A ）21-（B ）19-（C ）19（D ）21【知识点】数列的求和 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D（6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充分必要条件 故答案为：C 【答案】C （7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（A ）0,3 （B ）0,4 （C ）2,3 （D ）2,4 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为输出。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共7小题，共14.0分）1.如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是()A. m+nB. m−nC. n−mD. |m+n|2. 6.数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|>|c|，b⋅c<0，则原点的位置()A. 点A的左侧B. 点A点B之间C. 点B点C之间D. 点C的右侧3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于()A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π4.如图，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x,y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A. (−x,y−2)B. (−x+2,y+2)C. (−x+2,−y)D. (−x,y+2)5.甲、乙两个工程队进行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等，求甲、乙两个工程队每天分别整修污水管道多少km？设甲每天整修xkm，则可列方程为()A. 6x−3=8xB. 6x=8x+3C. 6x+3=8xD. 6x=8x−36.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有正方体、圆锥、圆柱和球四个图案，现把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是柱体的概率是()A. 1B. 12C. 14D. 347.如图1为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A−F−G−J为高架，以O为圆心的圆盘B−C−D−E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB=CH=DI=EJ，AF=GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，有甲、乙、丙、丁四车均以10m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出，若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交后的时间x(s)的对应关系如图2所示，则下列说法错误的是()A. 甲车在立交桥上共行驶10sB. 从I口出立交的车比从H口出立交的车多行驶30mC. 丙、丁两车均从J口出立交D. 从J口出立交的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）8.若式子√2x−5在实数范围内有意义，则x的取值为______．9.因式分解：2a2−8a+8=______．10. 一个多边形的边数是10，则这个多边形的内角和是______°. 11. 计算：1xy ÷(1y −1x )=______．12. 如图△ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AB 上两点，DE//AC ，BD =2，CD =1，∠BED =30°，则AE 的长为______．13. 将一次函数y =3x −1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为___________．14. 甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7；乙：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4经过计算，两人射击环数的平均数均为7，S 甲2=1.2，S 乙2=______，因为S 甲2______S 乙2，所以______的成绩更稳定．15. 已知⊙O 的半径是4，则该圆的内接正方形的边长是______ ． 三、计算题（本大题共3小题，共17.0分）16. 计算：4sin60°−|3−√12|+(12)−1−(2018−π)017. 解不等式组{3(x −1)≤5x +12x <9−x 4并写出它的所有整数解．18.已知抛物线y=mx2+(3−2m)x+m−2(m≠0)与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标．四、解答题（本大题共9小题，共51.0分）19.22.如图1，已知ΔABC中，点D在AB边上，DE//BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC．(1)求证：DB=DC；(2)如图2，在BC边上取点F，使∠DFC=60∘，若BC=7，BF=2，求DF的长。
2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数
2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数YQ （19）（本小题14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当.∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分 （Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分（1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(x f ……………9分法1：2)1()(aaf x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[a x ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，a x 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，10≤<∴a所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分 用趋近说：0)(,→+∞→∴x f x 时，论述不严谨，扣1（2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='ax a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递增，）上单调递减，在（在（+∞--∴,,0)(a a x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<，0)(,→+∞→∴x f x ；（论述不严谨，扣1分）即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.XC 19.（本小题满分14分）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为4π，求a 的值； （Ⅱ）已知导函数()f x 在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2()f x e ＞-SJS 20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．解：（Ⅰ）令2(=()()ln (0)h x f x g x x a x x -=->）…………1分 所以222()=2a x a h x x x x-'-=令222()=0x a h x x-'=，解得x = …………3分当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：…………5分所以在(0,)+∞的最小值为ln 2222a a a a h a =-=- ……6分 令 0h > 解得02a e <<. 所以当02a e <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. ………7分 （Ⅱ）可作出2条切线. …………8分 理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点11（，）的直线l 与()ln g x x =相切于点00(,)P x y ， …………9分则0001()1y g x x -'=- 即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+= …………10分 令()ln 21m x x x x =-+，则()m x 在(0,)+∞上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10m x x '=-=解得x e = . …………11分当x 变化时，(),()m x m x '的变化情况如下表：所以 ()m x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增.且2222211124()ln 110m e e e e e =⨯-+=-+> ()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<2222()ln 2110m e e e e =⨯-+=> …………13分所以 ()m x 在21(,)e e和2(,)e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以 过点11（，）可作出ln y x =的2条切线. …………14分PG 19.(本小题15分)已知函数2()(),xx ax a f x e +-=其中a ∈R . (I)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))的切线方程; (II)求证:f(x)的极大值恒大于0.MY 19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数． 19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1x f x ax =+，x ∈R ， 所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当时，()f x 与'()f x 在上的变化情况如下：所以()f x 的单调减区间是()a -∞，-1-，单调增区间是(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：所以()f x 的单调增区间是()a-∞，-1-，单调减区间是(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=. （1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点． 故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点．（3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<，并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减， 所以()f x 在区间1(1,)a --+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.MTG 20.（本小题满分15分）已知函数()sin ln 1f x x x =+-。
北京东城区高三一模数学试题答案(文)
第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A（5）C （6）D （7）A （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1i -+ （10）84 2 （11）2，2（12）14（13）①②③ （14）89a 第45行的第77列 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，因为在△ABC 中，sin 0A ≠，所以tan B =又0B <<π， 所以3B π=. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，因为3B π=，b =， 所以2212a c ac =+-.因为222a c ac +≥，所以12ac ≤.当且仅当a c ==ac 取得最大值12.（16）（共14分）证明：（Ⅰ）取BE 的中点G ，连结GF ，GD .因为F 是BC 的中点，则GF 为△BCE 的中位线．所以//GF EC ，12GF CE =．因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，所以////GF EC AD ． 又因为12AD CE =， 所以GF AD =．所以四边形GFAD 为平行四边形．所以//AF DG ．因为DG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以//AF 平面BDE ．（Ⅱ）因为AB AC =，F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥．因为//EC GF ，EC ⊥平面ABC ，所以GF ⊥平面ABC ．又AF ⊂平面ABC ，所以GF AF ⊥．因为GF BC F =，所以AF ⊥平面BCE ．因为//AF DG ，所以DG ⊥平面BCE ．又DG ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面BCE ．（17）（共13分）解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：2000(380373370377)500x y +=-+++=．因为80500202000⨯=， 故在优秀等级的学生中应抽取20份．（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A ．因为500x y +=，245x ≥，245y ≥，且x ，y 为正整数，所以数组(,)x y 的可能取值为：(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个．其中满足x y >的数组(,)x y 的所有可能取值为：(255,245)，(254,246)，(253,247)，(252,248)，(251,249)共5个，即事件A A B C D EF G包含的基本事件数为5． 所以5()11P A =． 故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511． （18）（共14分）解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+． 22()1x f x x x+'=+=． 所以(1)3f '=．又(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-，即320x y --=．（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)()1m m x m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤时，由0x >知()10m f x m x '=+-<恒成立， 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减．当m ≥1时，由0x >知()10m f x m x'=+->恒成立， 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <-，由()0f x '<，得1m x m>-， 此时()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1m m +∞-内单调递减． （III ）由（Ⅱ）知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0m ≤或m ≥1时，()f x 在区间(0,)+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1m m+∞-内单调递减， 所以当01m <<时函数()f x 有最大值． 最大值()ln 11m m M f m m m m==---．因为0M >，所以有ln01m m m m ->-，解之得e 1e m >+． 所以m 的取值范围是e (,1)1e+． （19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知2c e a ==， 所以222222112b ac e a a -==-=. 所以222a b =. 所以C ：222212x y b b+=，即22222x y b +=. 因为椭圆C过点，得24b =， 28a =. 所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F .根据题意， 可设直线MN 的方程为(2)y k x =+，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为1(2)y x k=--. 设11(,)M x y ，22(,)N x y . 由方程组22(2),184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得 2222(21)8880k x k x k +++-=.则 21228,21k x x k -+=+21228821k x x k -=+. 所以MN=22)21k k ++.同理可得PQ =22)2k k ++.所以11||||MN PQ +2=228==. （20）（共13分）解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可以只计算(,))3C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，得 a b ≤+≤当且仅当0c =，且a b =b a +，于是(,)()33C A S a b =+=．②当0不是S 中的“元”时，计算(,)()3C A S a b c =++的最大值， 由于1222=++c b a ，所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．3)(3222=++≤c b a ，当且仅当c b a ==时，等号成立．即当33===c b a 时，c b a ++(,))13C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．。
2024年北京市东城区中考数学一模试卷及答案解析
2024年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）A．B．C．D．2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107 3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：锻炼时间x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有____人．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为°．15．（2分）阅读材料：如图，已知直线l及直线l外一点P．按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；③作直线PQ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的；（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：名称图形顶点数（V）面数（F）棱数（E）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．（1）求证：四边形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次 1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为____米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是cm．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当，CD＝4时，求BF的长．25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m01234飞行高度y/m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC 于点G．（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，①补全图形；②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为；（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为；（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．2024年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．【解答】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；C、三棱锥俯视图是三角形（三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接），故此选项不合题意；D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1330000＝1.33×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴顶点D的坐标为（3，2），故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．4．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，∴|a|＞|b|，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，∴a+1＜b+1，∴选项B符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，∴a2＞b2，∴选项C不符合题意；∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵﹣2＜a＜﹣1，∴a＜﹣b，∴选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy（k≠0），依次判断各个选项即可．【解答】解：根据题意得，k＝xy＝1×2＝2，∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k＝6的点在反比例函数的图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是运用xy＝k解决问题．6．【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合题意，D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，∴两次摸出的小球标号相同的概率为．故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据正五边形的性质可得∠AOB＝72°，△AOB的面积＝m2，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，从而设OF＝x m，再在Rt△OAF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，设OF＝x m，在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），∴AB＝2AF＝1.4x（m），∴AB•OF＝，•1.4x•x＝，解得：x≈3.71，∴AB＝1.4x≈5.2（m），∴该正五边形的边长大约是5.2m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据被开方数不小于零的条件【解答】解：由题可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．10．【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．故答案为：2x（y+3）（y﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是关键．11．【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，3x﹣2x＝9，x＝9，检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以分式方程的解是x＝9．故答案为：x＝9．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．【解答】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14．【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后证明Rt△EBD≌Rt△ABD，推导出∠DBE＝∠DBA，或根据角平分线的性质证明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到问题的答案．【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵DE⊥BC于点E，∴∠BED＝90°，在Rt△EBD和Rt△ABD中，，∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵∠A＝90°，∴DA⊥BA，∵DE⊥BC，且DE＝DA，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明∠DBE＝∠DBA是解题的关键．15．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC 的垂直平分线．（2）由题意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可证明△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．故答案为：垂直平分线．（2）由作图过程可知，AP＝CP，∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CQ＝BQ，∴，∵∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴S1：S2＝＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．16．【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，则由上面的规律数可以看出，棱数E＝5x，而顶点数V＝×5x，有欧拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的边数等于所有黑皮的边数；组成方程组解决问题．【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，由题意得，解得所以正五边形为12块，正三边形为20块．所以需要准备正三角形和正五边形的材料共32个．故答案为：32．【点评】本题考查等边三角形的性质，欧拉公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2＝4﹣+1﹣2＝3﹣1．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥﹣2，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，∴2x﹣y＝9，∴＝＝，当2x﹣y＝9时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的值，关键是求出2x﹣y＝9．20．【分析】（1）先证明四边形BDEF为平行四边形，再由菱形的性质得AB＝AD，则BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性质得∠ADB＝60°，AB ＝AD，进而证明△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝2，则DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的长即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四边形BDEF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四边形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四边形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF＝＝＝2，即BF的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）由同一时刻测量，可得＝，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于x、y的方程；（2）已经求得y＝10，将y＝10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度．【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，第一次测量：，化简得，y＝0.6x﹣15.8，第二次测量：＝，化简得，y＝0.7x﹣20.1，故答案为：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）对于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，得，0.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴钟楼AB＝43米，故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到＝是本题的关键．22．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A （3，2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，解得x＝﹣3，∴B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，∴﹣3+m≥0，解得m≥3，∴m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题．23．【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；（2）根据方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；故答案为：175、176．（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）设2班第六位选手的身高为x厘米，则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，x≥169，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC∥AD，∵CDAD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：∵，∴，设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，∴OF＝＝x，∵OC∥AD，∴△AFD∽△OFC，∴，∴，∴x＝2，∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，故击球点的高度为1.1m；（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，过点（4，1.9），∴1.9＝a（4﹣3）2+2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，∵+1＜+1.5，∴d1＜d2，故答案为：＜【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．26．【分析】（1）点（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，进一步即可求得t＝1；（2）根据二次函数的性质即可得到x1的取值范围．【解答】解：（1）∵点（2，1）在该抛物线∴4a+2b+1＝1，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝1；（2）∵t≤0时，x2＞2，∴N（x2，y2）的对称点的横坐标x3＜﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）开口向上，y1＜y2，∴﹣2≤x1≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）运用等腰三角形性质可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再证明A、E、F 在同一条直线上，即可得出答案；（2）①按照题意作图即可；②过点A作AH⊥BC于点H，可证得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可证得结论；（3）将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，可证得∠DBG′＝90°，运用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再证得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．【解答】解：（1）当点D与点B重合时，∠DAF＝∠BAC，理由如下：如图1，∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE＝BC，∴E是BC的中点，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一条直线上，∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；（2）①补全图形如图2所示：②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHD＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠AHD＝∠DEF，∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠FDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BC，∵DE＝BC，∴AH＝DE，∴△ADH≌△DFE（AAS），∴AD＝DF，∵∠ADF＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAC；（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，则BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACG＝45°，∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，∴BD2+BG′2＝DG′2，由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，∴∠BAD+∠CAG＝45°，∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，∴∠DAG′＝∠DAG，在△ADG′和△ADG中，，∴△ADG′≌△ADG（SAS），∴DG′＝DG，∴BD2+CG2＝DG2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据定义得出点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，进而得出结果；（2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA＝＝，进而得出结果；（3）设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果；当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，∴线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为：1+2＝3，故答案为：3；（2）如图1，延长NQ，MP交于点A，∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，∴∠ANO＝∠AMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴四边形ANOM是矩形，∴∠NAM＝90°，MN＝AO，∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动，∴∠AQP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），∴OA＝＝，∴当m＝1时，OA＝2，最小∴MN的最小值为：2，故答案为：2；（3）如图2，1设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，∴∠CDO＝∠OCD＝30°，∵QN⊥l2，PM⊥x轴，∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，∴当点B越往上，MN越大，∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小，如图3，当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，∴AP⊥BM，∴AB＝2AP＝2，∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，∴AE＝，∵∠FOE＝∠FEO＝60°，∴∠OFE＝60°，∴∠OAF＝∠AOF＝30°，∴AF＝OF＝EF＝2，∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2，BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3，∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）2+＝21，∴MN＝，如图4，当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM＝，∴MN＝，∴．【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意。
北京市东城区达标名校2020年高考一月适应性考试数学试题含解析
北京市东城区达标名校2020年高考一月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．632．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2CD3．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．84．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M满足x y +≥ ）A ．935B ．635C ．537D ．7375．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-6．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y xy =+=，则A B 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤9．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3010．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A．122π-B．21π-C．22π-D．24π-11．已知x，y满足条件0020x yy xx y k≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k为常数），若目标函数3z x y=+的最大值为9，则k=（）A．16-B．6-C．274-D．27412．在三角形ABC中，1a=，sin sin sin sinb c a bA AB C++=+-，求sinb A=（）A．32B．23C．12D．62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。