一次函数应用题及答案

一次函数应用题（讲义）
一、知识点睛
1.理解题意，结合图象依次分析___轴、点、线__________的实际意义，把函
数图象与_实际场景____________对应起来；
2.利用__函数图象__________解决问题，关注k、b以及特殊点坐标；
3.结合实际场景解释所求结果．
二、精讲精练
1.一辆快车和一辆慢车分别从A，B两站同时出发，相向而行．快车到达B站
后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图
表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请
结合图象信息，解答下列问题：
（1）直接写出快、慢两车的速度及A，B两站间的距离；
（2）求快车从B站返回A站时，y与x之间的函数关系式；
（3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．
2.某加油站九月份某种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间的
函数图象如图中折线所示，该加油站截止至13日调价时的
万元（销售利润=（售价-成本价）×销售量），九月份的销售
记录如下：
)
)
请你根据图象及加油站九月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x 为
多少时，销售利润为4万元；
（2）求出线段BC 所对应的函数关系式．
3. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块（圆
柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的
纵
坐
标
表
示
的
实
际
意
义
是 ．
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
元/件)
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． （4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计）
，求甲槽底面积（直接写结果）．
甲槽
4. 2012年夏，北京发生特大暴雨灾害，受其影响，某药品的需求量急增．如图
所示，平常对某种药品的需求量y 1（万件）、供应量y 2（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=-x +70，y 2=2x -38，需求量为0时，即停止供应．当y 1=y 2量称为稳定需求量．
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？ （3）由于灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格 稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．
图1
图2
5.教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机
前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：
（1）求饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）
（x≥2）的函数关系式．
（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？
（3）按（2）的放法，在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？
)
三、回顾与思考
______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】
一、知识点睛
1．轴、点、线；实际场景
2．函数图象
二、精讲精练
1．（1）快车速度为120km/h，慢车速度为80km/h ，
A，B两站间的距离为1200km；
（2）PQ：y=-40x+1320 （11≤x≤15）；
QH：y=-120x+2520（15＜x≤21）；
（3）x=5，7，58
3
时，两车相距200千米．
2．（1）x=4；
（2）y=1.1x（5≤x≤10）．
3．（1）乙，甲，圆柱形铁块的高度为14厘米；（2）AB：y=3x+2
DE：y=-2x+12
联立
32
212 y x
y x
=+
⎧
⎨
=-+⎩
解得：
2
8 x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴注水时间为2分钟时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同．
（3）84立方厘米； （4）60平方厘米．
4．（1）该药品的稳定价格为36（元/件），
稳定需求量为34（万件）；
（2）当药品每件价格在大于36小于70时，
该药品的需求量低于供应量；
（3）政府部门对该药品每件应补贴9元，才能使供给量等于需求量．
5．（1）994188
21059
y x x =-
+≤≤（）； （2）前22个同学接水结束共需要7分钟； （3）最多有32个同学能及时接完水．
§2-4. 一次函数性质与图像
1. 一次函数的性质与图像
1）一次函数的概念：函数 叫做一次函数，它的定义域为R ，值域为 。

2)一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ，简写为 ，其中k 叫做该直线的 。

b 叫做该直线在y 轴上的 。

一次函数又叫做 。

3）一次函数的性质
（1）变化率：函数值的改变量 与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于常数 。

（k 与两点在直线上的位置无关）
（2）增减性：当k >0时，一次函数是增函数；当k <0时，一次函数是 。

（3）奇偶性：当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 时，它既不是奇函数也不是偶函数。

（4）直线y kx b =+与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

问：直线1y kx b =+与直线2y kx b =+的位置关系如何？
注意：① k ≠0，否则就不是一次函数，而是常数函数；
② 由于一次函数的图象是直线，所以一次函数又称为线形函数，一次函数y=kx+b （k ≠0）也可以说成是直线y=kx+b ；
③ 直线y=kx+b （k ≠0）在y 轴上的截距是b ，它不是距离，因此截距可为正，可为负，也可以为零；
说明：① 正比例函数y=kx 是一次函数的特例，即b=0的情况；
② k 、b 的符号对函数性质的影响：函数的增减性取决于k 的符号；奇偶性取决于b 是否为零.
2. 典例示范
例1 例：画出函数21y x =+的图像，利用图像完成下述问题：
（1） 求方程210x +=的根； （2） 求不等式210x +≥的解集； （3） 当0y ≤时，求x 的取值范围； （4） 当33x -≤≤时，求x 的取值范围； （5） 求图像与坐标轴的两个交点的距离； （6） 求图像与坐标轴围成的三角形的面积。

例2 设函数，2713
(2)4m m y m x
m -+=-+-
（1） 当m 为何值时，它是一次函数；（2）当m 为何值时，它是正比例函数 解：（1）m=3或m=4；（2）m=4；
例3 已知一次函数 (3)(4)y m x n =-+-，当m ，n 为何值时，
（1）是增函数；（2）函数图象与y 轴的交点在x 轴下方；（3）函数的图象经过原点？ 解：（1）m>3；（2）m ≠3，n>4；（3）m ≠3，n=4。

例4 .某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足。

某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费。

月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的关系
如图所示。

（1）(填空)月用电量为100度时，
200
100
60
y
应交电费________________元；（2）当时x≥100时，
求y与x之间的函数关系式；（3）月用电量为260度时，
应交电费多少元。

解：（1）60；（2）
1
10
2
y x
=+（3）140
例5.已知函数y=(2n－1)x+1－3n，n为何值时，
（1）这个函数为正比例函数；
（2）这个函数是一次函数；
（3）这个函数是减函数；
（4）这个函数的图象与直线y=x+1的交点在x轴上。

解：（1）
1
3
n=；（2）
1
2
n≠；（3）
1
2
n<；（4）
2
5
n=
例6对每个实数x，设f(x)取y=4x+1，y=x+2，y=－2x+4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值。

解：
1
41,
3
12 ()2,
33
2
-24,
3
x x
f x x x
x x
⎧
+<
⎪
⎪
⎪
=+≤≤
⎨
⎪
⎪
+>
⎪
⎩
f(x)的最大值是8 3。