【与名师对话】2021高考数学课时作业44 文（含解析）北师大版(1)
【与名师对话】2021高考数学课时作业19 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(十九)一、选择题1．(2021年南昌质检)假设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的极点在第四象限，那么其导数f ′(x )的图象大致是 解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 图象的极点在第四象限， ∴极点的横坐标－b 2>0，即b <0. 又∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(x )是单调递增函数，且与y 轴的交点在负半轴上，应选A.答案：A2．(2021年烟台模拟)函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1)，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1] 解析：函数的概念域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2x ＋1x －1x ，由f ′(x )≤0，解得0<x ≤1.答案：A3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减D ．在(0，π)上递减，在(π，2π)上递增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．答案：A4．(2021年南京二模)已知概念域为R 的函数f (x )知足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，那么不等式f (x )<3x －15的解集为 ( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：解法一：(数形结合法)：由题意知，f (x )过定点(4，－3)，且斜率k ＝f ′(x )<3.又y ＝3x －15过点(4，－3)，k ＝3，∴y ＝f ′(x )和y ＝3x －15在同一坐标系中的草图如图，∴f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)，应选D.解法二：记g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，可知g (x )在R 上为减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，∴f (x )<3x －15可化为f (x )－3x ＋15<0，即g (x )<g (4)，结合其函数单调递减，故得x >4.答案：D5．函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，那么( ) A ．a ＝－3，b ＝3B ．a ＝4，b ＝－11C ．a ＝－4，b ＝11D ．a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3解析：由 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依照已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3.经查验⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3不适合，舍去．答案：B6．假设函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，那么实数a的取值范围是( ) A．a<1 B．a≤1C ．0<a <1D ．0<a ≤1解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．假设a ≤0，显然有f ′(x )<0；假设a >0，由f ′(x )≤0得－1a ≤x ≤1a ，于是1a≥1，∴0<a ≤1，综上知a ≤1. 答案：B二、填空题7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递增区间是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，由f ′(x )>0解得x <0，或x >2.答案：(－∞，0)，(2，＋∞)8．设a ∈R ，假设函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，那么a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝e ax ＋3x ，可求得f ′(x )＝3＋a e ax ，假设函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时，显然有a <0， 现在x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x >0，解得a <－3， ∴a 的取值范围为(－∞，－3)．答案：(－∞，－3)9．假设函数 f (x )＝2x 2－ln x 在其概念域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是__________ .解析：求导，可求得 f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.函数 f (x )＝2x 2－ln x 在其概念域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32. 答案：1≤k <32三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)假设函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立． ∵f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)恒成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)恒成立，即a ≥x 2＋2xx ＋1＝x ＋12－1x ＋1＝x ＋1－1x ＋1对x ∈(－1,1)恒成立． 令y ＝x ＋1－1x ＋1，那么y ′＝1＋1x ＋12>0， ∴y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增．∴y <1＋1－11＋1＝32，∴a ≥32. 11．(2021年北京东城区调研)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判定函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋bx.∵f (x )在x ＝1处有极值12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝12，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其概念域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1x －1x .由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1.因此函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．12．(2021年开封二模)设函数f (x )＝(2x ＋1)ln (2x ＋1)．(1)求f (x )的极小值；(2)假设x ≥0时，有f (x )≥2ax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的概念域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， ∴f ′(x )＝2ln (2x ＋1)＋2，若f ′(x )>0，那么ln (2x ＋1)>－1，∴x >12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1， 若f ′(x )<0，那么ln (2x ＋1)<－1，∴－12<x <12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1， ∴当x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1时， ∴f (x )极小值＝－1e， (2)令g (x )＝(2x ＋1)ln (2x ＋1)－2ax ，则g ′(x )＝2(ln (2x ＋1)＋1－a )．令g ′(x )＝0，那么ln (2x ＋1)＝a －1，x ＝12(e a －1－1)， g ′(x )>0时，那么ln (2x ＋1)>a －1，x >12(e a －1－1)，g ′(x )<0时，那么ln (2x ＋1)<a －1，－12<x <12(e a －1－1)． ①当a ≤1时，a －1≤0，e a －1≤e 0＝1.∴12(e a －1－1)≤0.即当x ≥0时，有x ≥12(e a －1－1)，g ′(x )≥0恒成立． ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)＝0成立，即a ≤1时，对x ≥0，有f (x )≥2ax .②当a >1时，a －1>0，e a －1>e 0＝1，∴12(e a －1－1)>0， 当x ∈[0，12(e a －1－1))时，有g ′(x )<0恒成立，g (x )在[0，12(e a －1－1))上单调递减， 又g (0)＝0，∴当x ∈[0，12(e a －1))时，g (x )≤g (0)＝0成立． 即当a >1时，不是所有x ≥0，都有f (x )≥2ax ，综合①②知，当a ∈(－∞，1]时，f (x )≥2ax 恒成立．[热点预测]13．f (x )是概念在(－∞，＋∞)上的可导的奇函数，且知足xf ′(x )<0，f (1)＝0，那么不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，＋∞) 解析：由xf ′(x )<0，知当x >0时，f ′(x )<0，即函数在(0，＋∞)内单调递减，而f (1)＝0，故当x >0时，由f (x )<0，可得x >1，又因为函数为奇函数，故当x <0时，不等式f (x )<0的解集为－1<x <0，应选B.答案：B14．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3有极大值又有极小值，那么a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3，∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1.答案：a >2或a <－115．已知函数f (x )＝ln (ax ＋1)＋1－x 1＋x(x ≥0，a 为正实数)． (1)假设a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln (x ＋1)＋1－x 1＋x， 则f ′(x )＝1x ＋1＋－21＋x 2，因此f ′(1)＝0. 又f (1)＝ln 2，因此所求的切线方程为y ＝ln 2.(2)f ′(x )＝aax ＋1＋－21＋x 2＝ax 2＋a －2ax ＋11＋x 2.①当a －2≥0，即a ≥2时，因为x ≥0，因此f ′(x )>0，因此函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．②当a －2<0，即0<a <2时，令f ′(x )＝0，则ax 2＋a －2＝0(x ≥0)，因此x ＝ 2－a a .因此，当x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0， 2－a a 时，f ′(x )<0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－a a ，＋∞时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－a a ，＋∞， 函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0， 2－a a . 综上所述，当a ≥2时，f (x )的递增区间是[0，＋∞)；当0<a <2时，f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－a a ，＋∞，它的递减区间为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0， 2－a a .。
【与名师对话】2021高考数学课时作业9 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(九)一、选择题1．(2021年山西长治质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是( )A ．9 C ．－9D ．－19解析：f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19.答案：B 2．函数y ＝2x －1的概念域是(－∞，1)∪[2,5)，那么其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] ∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 答案：A3．已知a 为实数，那么以下函数中，概念域和值域都有可能是R 的是 ( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：当a ＝0时，f (x )＝x ＋1为一次函数． 答案：C4．(2021年南通模拟)假设函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，那么函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 答案：A5．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：令x <g (x )，即x 2－x －2>0， 解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，而x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[－94，0]∪(2，＋∞)．答案：D6．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.假设有f (a )＝g (b )，那么b 的取值范围为( ) A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1解得2－2<b<2＋ 2.答案：B二、填空题7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，那么f (x )＝________.解析：令2x ＋1＝t ，那么x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1.∴f (x )＝lg2x －1，x ∈(1，＋∞)．答案：lg2x －1，x ∈(1，＋∞)8．(2021年杭州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥0，－x ， x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，那么a 的值为________．解析：若a ≥0，那么a ＋1＝2，得a ＝1；假设a <0，那么－a ＋1＝2，得a ＝－1.答案：1或－19．(2021年盘锦一模)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观看：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2；f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4；f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8；f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16；…依照以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：经观看每一个函数都是分式，分子全为x ，分母是关于x 的一次式，一次项系数别离是1,3,7,15，…常数项是2,4,8,16，…显然函数f n (x )的分母的一次项系数是2n －1，函数f n (x )的分母的常数项是2n ，因此f n (x )＝x2n －1x ＋2n.答案：x2n －1x ＋2n三、解答题10．已知函数 f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－1， x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，－3，x ≥0，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，x ≥12，－1， x <12.11．假设函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)假设函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)假设函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32， ∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4，∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.[热点预测]13．设f (x )与g (x )是概念在同一区间[a ，b ]上的两个函数，假设对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，那么称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲热函数”，区间[a ，b ]称为“亲热区间”．假设f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲热函数”，那么其“亲热区间”能够是( )A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[－1,0]解析：在同一坐标系中作出函数f (x )及g (x )的图象，如下图．由题意作出与g (x )＝2x ＋1平行的直线y ＝2x ＋2的图象，由图并结合“亲热函数”的概念可知其“亲热区间”能够是[0,1]．答案：B14．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，那么函数f (3)＝________. 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：1115．假设函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的概念域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12.∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a 、b 的值别离为32、3.。
【与名师对话】2021高考数学课时作业57 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(五十七)一、选择题1．(2021年温州一模)假设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中存在常数项，那么正整数n 的最小值等于A ．8B ．6C ．3D ．2解析：二项展开式的通项公式是T r ＋1＝·(－1)r x －r ＝(－1)r C r n，令n －3r ＝0得r ＝n3，由于n 为正整数，r 为自然数，故n 的最小值为3.答案：C2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8，易患常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 6＝7. 答案：C3．(2020年陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是 ( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：T r ＋1＝C r 6(4x )r ·(－2－x )6－r ＝C r 6·(－1)6－r ·2(3r －6)x . 由3r －6＝0，得r ＝2，常数项为T 3＝C 26·(－1)4＝15.4．若是⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，那么展开式中1x 3的系数是 A ．7 B ．－7 C ．21D ．－21解析：由题意可知，2n ＝128，解得n ＝7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(3x )7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝(－1)r 37－r C r 7，令7－5r3＝－3，得r ＝6.其系数为(－1)637－6C 67＝21.答案：C16的二项展开式中，有理项共有( )A ．2项B ．3项C ．4项D ．5项解析：T r ＋1＝C r 16()x 16－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫24x r ＝C r162r，有理项即x 的指数为整数的项，也确实是r 能被4整除，故r ＝0,4,8,12,16，即有理项共有5项．答案：D6．假设(1－2x )2 011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 011x2 011(x ∈R )，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 01122 011的值为A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：观看所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01122 011＝0，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01122 011＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝－1.二、填空题7．(2021年福建)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，那么实数a＝________.解析：∵T r＋1＝C r4a r x4－r，∴当4－r＝3，即r＝1时，T2＝C14·a·x3＝4ax3＝8x3.故a＝2.8．(2021年湖南)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160. 答案：－1609．(2021年浙江)假设将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，那么a 3＝________.解析：由x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5可得，⎩⎪⎨⎪⎧x 5＝a 5·C 55x 5，0·x 4＝a 4C 44x 4＋a 5C 45x 4，0·x 3＝a 3C 33x 3＋a 4C 34x 3＋a 5C 35x 3，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，a 4＝－5，a 3＝10.答案：10 三、解答题10．假设⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，求∫a 0sin x d x 的值． 解：由题意得T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r (－1)r⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r C r 9x 18－3r1a r，令18－3r ＝9得r ＝3，因此－C 391a 3＝－212，解得a ＝2，因此∫20sin x d x ＝(－cos x )|20＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 11．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．12．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2，那么有C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r ·，令8－r 2－2r ＝32，那么r ＝1，故展开式中含的项为T 2＝－16.(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值别离为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1， 假设第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ，解得5≤r ≤6. 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第五项二项式系数最大，现在T 5＝1 120x －6. [热点预测]13．假设⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的所有二项式系数和为512，那么该展开式中的常数项为 A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：二项展开式的系数和为2n ＝512，因此n ＝9，二项展开式通项为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k (－x －1)k ＝C k 9x 18－2k ·(－1)k x －k ＝C k 9x 18－3k (－1)k ，令18－3k ＝0，得k ＝6，因此常数项为T 7＝C 69(－1)6＝84，选B. 答案：B14．二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －a x 26的展开式中的常数项为15，那么实数a 的值为________．解析：T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝(－1)r C r 626－r a r x 6－3r ，令6－3r ＝0得r ＝2，∴(－1)2C 2624a 2＝15，∴16a 2＝1，a ＝±14. 答案：±1415．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．解：∵二项展开式的前三项的系数别离是1，n 2，18n (n －1)，∴2·n 2＝1＋18n (n －1)，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，∴T k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝C k 82－k x 4－34k ，当4－34k ∈Z 时，T k ＋1为有理项，∵0≤k ≤8且k ∈Z ，∴k ＝0,4,8符合要求． 故有理项有3项，别离是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.∵n ＝8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T 5＝358x .。
新教材高中数学课时评价四十四第六章概率3-2离散型随机变量的方差作业课件北师大版选择性必修第一册
别为( )
A．0 1
B．p p2
C．p 1－p D．p (1－p)p 【解析】选 D.由题意知随机变量 X 满足两点分布，所以 EX＝p，DX＝(1－p)p.
2
1
2．(2021·太原高二检测)若 X 是离散型随机变量，P(X＝x1)＝3 ，P(X＝x2)＝3 ，
4 且 x1<x2.又已知 EX＝3
＋(3－2)2×13
＝1.
D(2X－3)＝4DX＝4.
答案：4
a 5．随机变量 X 的概率分布列为 P(X＝n)＝n2＋n (n＝1，2，3)，其中 a 是常数， 求 D(aX).
a 【解析】由题意得1×2
a ＋2×3
a ＋3×4
＝a1－12＋12－13＋13－14
3 ＝4
a＝1，
4 则 a＝3 ，
四十四 离散型随机变量的方差
1．已知随机变量 ξ 满足 P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则 Eξ 和 Dξ 的值分
别为( )
A．0.6 0.7
B．1.7 0.09
C．0.3 0.7
D．1.7 0.21
【解析】选 D.Eξ＝1×0.3＋2×0.7＝1.7， Dξ＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.
a
b
1 3
则随着 a 的增大，D(X＋Y)( )
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
2
2
2
1
【解析】选 C.由题意可得，a＋b＝3 ，则 b＝3 －a，0<a<3 ，所以 EX＝－1×3
11
11
＋0×a＋1×b＝b－3 ＝3 －a，EY＝－1×a＋0×b＋1×3 ＝3 －a，
【与名师对话】2021高考数学课时作业62 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(六十二)一、选择题1．已知ξ的散布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，那么η的期望是A ．－16D ．1解析：E (ξ)＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴E (η)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.答案：B2．(2021年黄山二模)已知随机变量X 的散布列为则E (6X ＋8)＝ ( )A ．B ．C ．D ．解析：由题意知E (X )＝1×＋2×＋3×＝， ∴E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×＋8＝. 答案：B3．设随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝，D (ξ)＝，那么 ( )A ．n ＝8，p ＝B ．n ＝4，p ＝C ．n ＝5，p ＝D ．n ＝7，p ＝解析：∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝，D (ξ)＝np (1－p )＝，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝.答案：A4．正态整体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率别离为m ，n 则 ( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确信解析：正态整体N (1,9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)与对称轴距离相等，故m ＝n .答案：C5．设随机变量ξ服从正态散布N (0,1)，假设P (ξ>1)＝p ，那么P (－1<ξ<0)＝ ( ) ＋p －p C ．1－2pD ．1－p解析：P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12[1－2P (ξ>1)]＝12－P (ξ>1) ＝12－p . 答案：B6．签盒中有编号为一、二、3、4、五、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码当中最大的一个，那么X 的数学期望为( )A ．5B ．C ．D ．解析：由题意可知，X 能够取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的概念可求得E (X )＝. 答案：B7．某教师从礼拜一到礼拜五收到的信件数别离是10,6,8,5,6，那么该组数据的方差s2解析：∵x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝10－72＋6－72＋8－72＋5－72＋6－725＝165. 答案：1658．(2020年浙江)某毕业生参加人材招聘会，别离向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生取得甲公司面试的概率为23，取得乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是不是让其面试是彼此独立的，记X 为该毕业生取得面试的公司个数．假设P (X ＝0)＝112，那么随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的散布列为： X 0 1 2 3P1121351216E (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3. 答案：539．(2021年韶关调研)某保险公司新开设了一项保险业务，假设在一年内事件E 发生，该公司要补偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________．解析：设保险公司要求顾客交x 元保险金，假设以ξ表示公司每一年的收益额，那么ξ是一个随机变量，其散布列为：－a)·p＝x－ap.为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E (ξ)＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，故可得x ＝＋p )a . 即顾客交的保险金为＋p )a 时，可使公司期望获益10%a . 答案：＋p )a 三、解答题10．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少取得1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记取得白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少取得一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，取得x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何散布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是X 的散布列为X 的数学期望E (X )＝12×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.11．(2021年陕西)某银行柜台设有一个效劳窗口，假设顾客办理业务所需的时刻相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时刻统计结果如下：(1)估量第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的散布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时刻，用频率估量概率，得Y的散布列如下：(1)A表示事件那么事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时刻为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时刻为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时刻为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时刻为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时刻均为2分钟．因此P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时刻超过2分钟，因此P(X＝0)＝P(Y>2)＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时刻均为1分钟，因此P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.因此X的散布列为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.12．(2021年济宁一模)某高中社团进行社会实验，对[25,55]岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是不是开通“微博”的调查．假设开通“微博”的为“时尚族”，不然称为“非时尚族”．通过调查取得各年龄段人数的频率散布直方图如下图，其中在[40,45)岁、[45,50)岁年龄段人数中，“时尚族”人数别离占本组人数的40%,30%.请完成以下问题：(1)求[40,45)岁与[45,50)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中，采纳分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其当选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的散布列和数学期望E (X )．解：(1)由频率散布直方图可知，[40,45)岁的频率为×5＝， 因此该组中“时尚族”人数为1 000××40%＝60； [45,50)岁的频率为×5＝，因此该组中“时尚族”人数为1 000××30%＝30.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”人数的比值为60∶30＝2∶1， 因此采纳分层抽样法抽取9人，[40,45)岁中有6人，[45,50)岁中有3人． 随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (X ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (X ＝3)＝C 36C 03C 39＝521.因此随机变量X 的散布列为E (X )＝0×184＋1×314＋2×28＋3×21＝2.[热点预测]13．已知随机变量X ＋η＝8，假设X ～B (10,，那么E (η)，D (η)别离是 ( ) A ．6和 B ．2和 C ．2和D ．6和解析：假设两个随机变量η，X 知足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，那么有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，因此有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10××＝.答案：B14．随机变量ξ的散布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．假设E (ξ)＝3，那么D (ξ)的值是________．解析：依照已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得b ＝13，a ＝16，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎪⎫－1－132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝59. 答案：5915．甲、乙、丙三人按下面的规那么进行乒乓球竞赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行竞赛，而前一局的失败者轮空，竞赛按这种规那么一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者输赢的概率均为12，且各局输赢彼此独立，求：(1)打满3局竞赛还未停止的概率；(2)竞赛停止时已打局数ξ的散布列与期望E (ξ)．解：令A k ，B k ，C k 别离表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局竞赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝122＋122＝12，P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝123＋123＝14，P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝124＋124＝18，P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.故ξ的散布列为从而E (ξ)＝2×12＋3×4＋4×8＋5×16＋6×16＝16(局)．。
【与名师对话】2021高考数学课时作业69 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(六十九)一、选择题1．不等式|x －2x |>x －2x 的解集是 ( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由|t |>t 知t <0，故x －2x <0，其解集为{x |0<x <2}．应选A.答案：A2．假设不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，那么实数a 等于 ( )A ．8B ．2C ．－4D ．－8解析：由|ax ＋2|<6，得－6<ax ＋2<6，即－8<ax <4，不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，易查验a ＝－4.答案：C3．设a >0，b >0且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，那么 ( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝a 2b ＋b 2a －a －b＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝a a 2－b 2－b a 2－b 2ab＝a －b a 2－b 2ab ＝a －b 2a ＋bab >0 ∴P >Q .答案：A4．假设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，那么a ＋b ＋c 的最大值为()A ．1D．2解析：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.故应选C.答案：C5．(2021年湖南)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为( )B ．[1，＋∞) 解析：关于不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0，分三种情形讨论：①当x <－12时，－2x －1－2(－x ＋1)>0，∴－3>0，故x 不存在；②当－12≤x ≤1时，2x ＋1－2(－x ＋1)>0，∴14<x ≤1；③当x >1时，2x ＋1－2(x －1)>0,3>0，∴x >1.综上可知，x >14. 答案：D6．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的解集为 ( ) A ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵|x ＋1||x ＋2|≥1， ∴|x ＋1|≥|x ＋2|(x ≠－2)．∴x 2＋2x ＋1≥x 2＋4x ＋4.∴2x ＋3≤0，∴x ≤－32且x ≠－2.故原不等式的解集为{x|x≤－32且x≠－2}．答案：D二、填空题7．假设关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，因此|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解， 即|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)8．假设不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|知|a －2|≥1.解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)9．(2020年江西)关于实数x ，y ，假设|x －1|≤1，|y －2|≤1，那么|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：∵对∀a ，b ∈R 都有|a －b |≤|a |＋|b |∴|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2×1＋2＝5. 答案：5三、解答题10．已知函数f (x )＝log 2(|2x ＋1|＋|x ＋2|－m )．(1)当m ＝4时，求函数f (x )的概念域；(2)假设关于x 的不等式f (x )≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－73或x >13. (2)m ≤|2x ＋1|＋|x ＋2|－2及g (x )＝|2x ＋1|＋|x ＋2|－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －5，x ≤－2，－x －1，－2<x <－12，3x ＋1，x ≥－12.可知g (x )≥－12，∴m ≤－12. 11．(2020年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)假设a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：(1)由|2x －1|<1得，－1<2x －1<1，解得0<x <1.因此M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1，因此(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .12．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.因此－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．[热点预测]13．不等式|x ＋1|－|x －2|>2的解集为________．解析：①当x ≤－1时，原不等式可化为－3>2，显然不成立；②当－1<x <2时，原不等式可化为2x －1>2，得x >32，故现在32<x <2； ③当x ≥2时，原不等式可化为3>2，显然恒成立，故现在x ≥2. 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 14．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为________．解析：要使|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x∈R恒成立，那么需a2－3a大于等于函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值．又y max＝4，故a2－3a≥4，得a≤－1或a≥4.答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)15．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)假设函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方，求m的取值范围．解：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0.当a＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>1时，不等式的解集为R；当a<1时，即|x－2|>1－a，即x－2<a－1或x－2>1－a，即x<a＋1或x>3－a，解集为(－∞，1＋a)∪(3－a，＋∞)．(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方，即|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x 恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m对任意实数x恒成立．由于|x－2|＋|x＋3|≥5，因此m的取值范围是(－∞，5)．。
【与名师对话】2021高考数学课时作业11 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(十一)一、选择题1．(2020年山东)关于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若f (x )是奇函数，那么对任意的x ∈R ，均有f (－x )＝－f (x )，即|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 因此y ＝|f (x )|是偶函数，即y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称．反过来，假设y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，那么不能得出y ＝f (x )必然是奇函数，比如y ＝|x 2|，显然，其图象关于y 轴对称，可是y ＝x 2是偶函数．故“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要而不充分条件．答案：B2．(2021年南昌六校联考)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 为奇函数，且在x ＝0处有概念，故f (0)＝0，即lg (2＋a )＝0，∴a ＝－1.故函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x .令f (x )<0得0<1＋x 1－x <1，即x ∈(－1,0)． 答案：A3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝ ( )A ．－12B ．－14解析：∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 答案：A4．(2021年福建)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，那么以下结论错误的选项是( ) A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数 解析：此函数只有两个函数值0和1，选项A 正确；所有的有理数和无理数都会关于原点对称，且它们对应的函数值相等，故该函数是偶函数，选项B 正确；该函数在概念域上不单调，也没有固定的单调区间，不是单调函数，选项D 正确，该函数的函数值是在不断的重复显现的，故该函数是周期函数，只是没有最小正周期，应选项C 是不正确的．答案：C5．(2021年山东)概念在R 上的函数f (x )知足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012解析：由f (x ＋6)＝f (x )得f (x )的周期为6，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝335[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (1)＋f (2)，而f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1，因此f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝338，应选B.答案：B6．函数f (x )的概念域为R ，假设f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，那么( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数 解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，即f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，故f (x ＋3)是奇函数．答案：D二、填空题7．假设函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，那么a 的值为______． 解析：(特例法)∵f (x )＝x 2x ＋1x －a 是奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)，∴－1－2＋1－1－a ＝－12＋11－a ，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 答案：128．(2021年琼海一模)已知概念在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )知足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，假设g (2)＝a ，那么f (2)的值为________．解析：由题意得：f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，求解得：g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x .故a ＝2，f (2)＝22－2－2＝4－14＝154. 答案：1549．(2021年济宁一模)已知概念域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，那么函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是______． 解析：由f (x )是概念域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，因此f (3)＝0.令x ＝－32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，因此f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，那么在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，在区间(3,6]上有4个零点，故在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9三、解答题10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg (2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是R 上的奇函数，可得f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg (2＋x )，∴－f (x )＝x lg (2＋x )，即f (x )＝－x lg (2＋x )(x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x lg 2－x ，x <0，－x lg 2＋x ，x ≥0.即f (x )＝－x lg (2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0)．(1)判定f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)假设f (1)＝2，试判定f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a ＝0时， f (x )＝x 2, f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时， f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1), f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)假设f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x . 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 因此f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 12．函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是概念在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确信函数f (x )的解析式；(2)用概念证明f (x )在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0. 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋02＝0，a 2＋b 1＋14＝25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明：任取－1<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 22>0. 又－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12. [热点预测]13．已知f (x )为R 上的奇函数，且f (x －1)＝f (x ＋1)，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值为( )A ．0B ．±1C ．1D ．－1 解析：因为f (x －1)＝f (x ＋1)，因此令x ＝12，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 答案：D14．函数f (x )＝(|x |－1)(x ＋a )为奇函数，那么f (x )的增区间为________．解析：因为函数f (x )＝(|x |－1)(x ＋a )为奇函数，因此f (0)＝0，即a ＝0.因此函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ，x ≥0，－x 2－x ，x <0，故可得函数的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)假设函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x<0，那么－x>0，因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，因此m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1， 因此1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业44 Word版含解析
课时作业44 立体几何中的向量方法(二)一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·天水模拟)已知二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3 B.π3 C.π2D.π6解析：∵m ⊥α，n ⊥β，∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π2]， ∴m ，n 所成的角为π3. 答案：B2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝14BC ，则GB 与EF 所成的角为( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．90° 解析：如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，由已知条件，得G (0,0，12)，B (1,1,0)，E (1,1，12)，F (34，1,0)，GB →＝(1,1，－12)，EF →＝(－14，0，－12)cos 〈GB →，EF →〉＝GB →·EF →|GB →||EF →|＝0，则GB →⊥EF →. 答案：D3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010 C.21510D.31010解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案：B4．(2021·山东，4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图，设P 0为底面ABC 的中心，连结PP 0，由题意知|PP 0|为直三棱柱的高，∠P AP 0为P A 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×(3)2·sin60°＝334.∵三棱柱的体积V ＝94，∴334·|PP 0|＝94，∴|PP 0|＝ 3.又P 0为底面ABC 的中心，则|AP 0|等于正△ABC 高的23，又易知△ABC 的高为32， ∴|AP 0|＝23×32＝1.在Rt △P AP 0中，tan ∠P AP 0＝|PP 0||AP 0|＝31＝3，∴∠P AP 0＝π3，故选B.答案：B5．(2022·陕西，5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)， ∵|BC 1→|＝5，|AB 1→|＝3，BC 1→·AB 1→＝4－1＝3， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝35×3＝55，故选A. 答案：A6．(2022·南昌月考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1。
【与名师对话】2021高考数学课时作业59 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(五十九)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是A ．1解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，那么所求概率P ＝2－－15－－5＝310. 答案：C2．(2021年福州一模)甲、乙两人各写一张拜年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，那么甲、乙将拜年卡送给同一人的概率是( )解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情形，其中甲、乙将拜年卡送给同一人的情形有两种，因此P ＝24＝12.答案：A3．如下图，边长为2的正方形中有一封锁曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，那么阴影区域的面积为( )D ．无法计算解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83.答案：B4．(2021年北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点．那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )解析：题目中⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域如图正方形所示，而动点D 能够存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部份，因此P ＝2×2－14π·222×2 ＝4－π4.答案：D5．从20名男同窗，10名女同窗中任选3名参加体能测试，那么选到的3名同窗中既有男同窗又有女同窗的概率为( )解析：从30名同窗当选3人的选法有C 330，其中满是男同窗的选法有C 320，满是女同窗的选法有C 310，故所求的概率P ＝1－C 320＋C 310C 330＝2029.答案：D6．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部份)，随机往圆O 内投一个点A ，那么点A 落在区域M 内的概率是( )解析：依题意得，区域M 的面积等于2∫π0sin x d x ＝－2cos x |π0＝4，圆O 的面积等于π×π2＝π3，因此点A 落在区域M 内的概率是4π3，选B. 答案：B二、填空题7．(2021年江苏)现有10个数，它们能组成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，假设从这10个数中随机的抽取一个数，那么它小于8的概率是________．解析：由题意可知这10个数别离是1，－3,9，－27，…， (－3)9，这10个数中比8小的有5个负数和正数1，由古典概型的概率公式得：P ＝610＝35. 答案：358．(2021年长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，那么点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O 的距离大于1为事件A ，那么P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案：1－π129．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，那么关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b .∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部份所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：12三、解答题10．在3件产品中，有2件正品，记为a 1，a 2，有1件次品，记为b 1，从中任取2件，每次取1件产品．(1)假设每次掏出后不放回，求掏出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)假设每次掏出后再放回，求两次掏出的产品中恰有一次取次品的概率．解：(1)取后不放回， 所有可能结果组成的大体事件为：(a 1，a 2，)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，掏出的两件中，恰有一件次品的事件包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，因此P (A )＝46＝23.(2)每次取后放回，所有可能结果为：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(a 1，a 1)，(a 2，a 2)，(b 1，b 1)，两件中恰好只有一件是次品的事件B 包括：(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，因此P (B )＝49.11．(2021年黄冈二模)把一颗骰子抛掷两次，观看显现的点数，并记第一次显现的点数为a ，第二次显现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，ax ＋by ＝3解答以下问题：(1)在显现点数有2的情形下，求方程组只有一个解的概率； (2)求方程只有正数解的概率．解：(1)方程组无解⇔a ＝2b ，同时，该方程组可不能显现无数组解的情形． 又因为显现点数有2的情形共有11种，而当a ＝2，b ＝1；a ＝4，b ＝2时，方程组无解，因此显现点数有2的情形下，方程组只有一个解的概率为P 1＝1－211＝911.(2)要使方程组只有正数解，只需直线ax ＋by ＝3， 即x 3a ＋y3b＝1与直线2x ＋y ＝2交点在第一象限， 如下图．因此⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，3b <2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <1，3b >2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，b >32或⎩⎪⎨⎪⎧a >3，b <32.当a ＝1,2时，b ＝2,3,4,5,6；当b ＝1时，a ＝4,5,6， 因此方程组只有正数解的概率为P 2＝3＋2×56×6＝1336.12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)假设a ，b 是一枚骰子前后抛掷两次所取得的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)假设a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)大体事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，那么事件A 所包括的大体事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)实验的全数结果组成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，那么组成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.[热点预测]13．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )B ．1－π4D ．1－π8解析：如图，要使图中点到O 的距离大于1，那么该点需取在图中阴影部份，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案：B14．在一袋子中装有别离标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机掏出2个小球，那么掏出的小球标注的数字之和为6的概率是________．解析：从袋中5个球中任取2个球共有10种取法为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．而掏出的小球标注的数字之和为6的有(1,5)和(2,4)两种取法，故其概率为：210＝15.答案：1515．某校高一年级开设研究性学习课程，(1)班和(2)班报名参加的人数别离是18和27.现用分层抽样的方式，从中抽取假设干名学生组成研究性学习小组，已知从(2)班抽取了3名同窗．(1)求研究性学习小组的人数；(2)计划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同窗发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．解：(1)设从(1)班抽取的人数为m ， 依题意，得m 18＝327，因此m ＝2.研究性学习小组的人数为m ＋3＝5.(2)设研究性学习小组中(1)班的2人为a 1，a 2，(2)班的3人为b 1，b 2，b 3. 2次交流活动中，每次随机抽取1名同窗发言的大体事件为： (a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)， (a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)， (b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)， (b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25种． 2次发言的学生恰好来自不同班级的大体事件为： (a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)， (a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共12种． 因此2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P ＝1225.。
【与名师对话】2021高考数学课时作业35 文（含解析）北师大版(1)
课时作业(三十五)一、选择题1．假设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，那么数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2 解析：S n ＝21－2n 1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2. 答案：C2．(2020年天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，那么S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 解析：设等差数列{a n }的首项为a ，公差d ＝－2.则a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12；a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4；a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16. ∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴a 27＝a 3·a 9，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，∴a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝110. 答案：D3．(2021年昆明模拟)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，假设前n 项和为10，那么项数n 为 A ．11B ．99C ．120D ．121 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．(2021年茂名期末)椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右核心为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，那么n 的最大值是( ) A ．2 000B ．2 001C ．2 003D ．2 005解析：a 1＝a －c ＝1，a n ＝a ＋c ＝3，那么3＝1＋(n －1)d ⇒n ＝2d＋1<2 001. 答案：A5．(2021年徐州诊断)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012，那么公比q ＝( )A ．4B ．1或4C ．2D ．1或2 解析：由a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012相减得a 2 011－a 2 010＝3a 2 010，那么a 2 011＝4a 2 010，即q ＝4.答案：A6．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2别离作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么A ．x 1，x 32，x 2成等差数列 B ．x 1，x 32，x 2成等比数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列 解析：依题意得，点B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1、B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，且B 1A 3→＝⎝⎛⎭⎪⎫x 3－x 1，－1x 1，B 2A 3→＝⎝⎛⎭⎪⎫x 3－x 2，－1x 2，B 1A 3∥B 2A 3→， 因此－1x 2(x 3－x 1)＋1x 1(x 3－x 2)＝0，因此－x 1(x 3－x 1)＋x 2(x 3－x 2)＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2－x3)＝0；又x 1－x 2≠0，因此有x 1＋x 2－x 3＝0，即x 1＋x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3，因此x 1，x 32，x 2成等差数列，选A.答案：A二、填空题7．已知f (x )＝4x4x ＋2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________. 解析：因为f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＝…＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611＝1. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝5. 答案：58．已知数列{a n }知足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，那么该数列前26项的和为________． 解析：由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n， 因此a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…， 因此{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10. 答案：－109．对正整数n ，假设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，那么数列{a nn ＋1}的前n 项和为________．解析：∵y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，∴y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，当x ＝2时，切线的斜率k＝－(n＋2)2n－1，∴在x＝2处的切线方程y＋2n＝－(n＋2)2n－1(x－2)，令x＝0可得y＝(n＋1)2n，即a n＝(n＋1)2n，∴a nn＋1＝2n，即数列{a nn＋1}为等比数列，其前n项和S n＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.答案：2n ＋1－2三、解答题10．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，那么d 为正数， a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)． 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 因此1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.11．设数列{a n}知足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由已知，当n≥1时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]． 12．(2021年衡阳质检)已知数列{a n }知足a 1＝3，a n a n －1＝2a n －1－1.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列{1a n －1}是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (3)假设b n ＝(2n －1)2n a n ，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)a 2＝53，a 3＝75，a 4＝97. (2)证明：由题设可知a n ≠0且a n ≠1，n ∈N *， ∵a n a n －1＝2a n －1－1，∴(a n －1－1)－(a n －1)＝(a n －1－1)(a n －1)， ∴1a n －1－1a n －1－1＝1， ∴{1a n －1}是以12为首项，公差为1的等差数列， 故1a n －1＝12＋n －1＝n －12， ∴a n ＝22n －1＋1＝2n ＋12n －1(n ∈N *)． (3)由b n ＝(2n －1)2n a n ，∴b n ＝(2n ＋1)2n ， ∴T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)×2n ，∴2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n＋(2n＋1)×2n＋1，两式相减得－T n＝2＋2(2＋22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)×2n＋1，∴－T n ＝2＋2×21－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋1， ∴T n ＝(2n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．[热点预测]13．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5＝4，那么数列{log 2a n }的前7项和等于A ．7B ．8C ．27D ．28 解析：在各项均为正数的等比数列{a n }中，由a 3a 5＝4，得a 24＝4，a 4＝2. 设b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }是等差数列，且b 4＝log 2a 4＝1.因此{b n }的前7项和S 7＝7b 1＋b 72＝7b 4＝7. 答案：A14．假设数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，那么a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，因此a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，因此a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝2n 2＋6n . 答案：2n 2＋6n15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且知足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 解：(1)∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n·S n－1，得1S n－1S n－1＝2(n≥2)，∴数列{1S n}是以1S1＝1a1＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n . 将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12， n ＝1，12n －2n 2， n ≥2.(2)证明：∵S 2n ＝14n 2<14n n －1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝12－14n； 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .。
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课时作业(四十四)一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线为x －2y ＋c ＝0， 将(1,0)代入得c ＝－1. 答案：A2．(2021年济南二模)直线l 1：kx ＋(1－k )－3＝0和l 2：(k －1)α＋(2k ＋3)－2＝0相互垂直，那么k ＝ A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1D ．－1或3解析：l 1⊥l 2⇔k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0⇔(1－k )(k ＋3)＝0⇔k ＝1或k ＝－3. 答案：C3．(2021年广州二模)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝4}，知足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵直线2x ＋y ＝6与3x ＋2y ＝4的斜率不等，∴两直线相交，∴集合A ∩B 中只有一个元素，∴A ∩B 共有两个子集．故正确选项为B.答案：B4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，因此k k －1<0，2k －1k －1>0，因此交点在第二象限．答案：B5．(2021年广州模拟)已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为( )B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.答案：A6．(2021年德州模拟)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，那么直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 解析：设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：D二、填空题7．(2021年长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，那么直线l 1的方程是________________．解析：∵l 1∥l 2，∴可设直线l 1：3x ＋4y ＋b ＝0.∵l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，∴|b －4|5＝1，∴b ＝9或b ＝－1，∴l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0. 答案：3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝08．(2021年临沂模拟)已知A (3,1)、B (－1,2)，假设∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，那么AC 所在直线方程是________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，得C (－3，－2)．∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝09．(2021年青岛质检)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，那么P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析：如图，平移直线y ＝x －2，使之与曲线相切，并设切点为(x 0，y 0)．∵y ′＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1(舍去x 0＝－12)，∴y 0＝x 20－ln x 0＝1，∴切线的方程为y＝x.∵两平行线间的距离为22＝2，∴曲线上点到直线y＝x－2的距离的最小值为 2.答案：2三、解答题10．(2021年合肥一中月考)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求知足以下条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．图甲解：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，现在的P 知足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1， 即b －4a·3＝－1.∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，现在的Q 知足|QA |＋|QC |的值最小．设C ′的坐标为(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－3·3＝－1，3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35，y ′＝245.∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.由两点式得直线AC ′的方程为y －1245－1＝x －435－4，即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.[热点预测]13．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：由k －32k －3＝4－k －2≠13或k －3＝0，得k ＝3或k ＝5.答案：C14．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，那么反射光线所在的直线方程为________．解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，因此直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，因此反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知反射光线所在的直线方程为y －23－2＝x －0－2－0，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝015．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)假设OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)假设△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率． 解：(1)依题意，直线l 的斜率存在，那么可设直线l 的斜率为k . 因为直线l 过点M (－2,0)，可设直线l ：y ＝k (x ＋2)． 因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，因此|OP →|＝|OQ →|＝1.又因为OP →·OQ →＝－12， 因此OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos ∠POQ ＝－12.因此∠POQ ＝120°，因此O 到直线l 的距离等于12， 因此|2k |k 2＋1＝12，得k ＝±1515. 因此直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，因此MQ →＝2MP →，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因此MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)． 因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.(*) 因为P ，Q 两点在圆上，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.把(*)代入得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1. 因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159，即k ＝±159.。