数列求和的基本方法归纳
数列求和的基本方法归纳
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、
等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n 3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n
5、
21
3)]1(21
[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1
log 23-=
x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x 由等比数列求和公式得
n n x x x x S +???+++=32
（利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝2
11)21
1(2
1--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(2
1+=n n S n ， )2)(1(2
1++=n n S n （利
用常用公式）
∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64
341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当 8
8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.（如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.） 在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式.
[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n
x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设
制错位）
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位
相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
[例4] 求数列??????,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和.
解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1}的通项之积
设n
n n
S 2226242232+
???+++
=…………………………………① 14322
226242221++???+++=n n n
S ………………………………② （设制错位）
①
－
②
得
14322
22222222222)211(+-+???++++=-n n n n
S （错位相减）
1
1
2
221
2+---
=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.（如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法）
[例5] 求证：n n
n n n
n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-
（反序）
又由m n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n
n n n n
n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）
∴ n n n S 2)1(?+=
[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②
（反序）
又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①
+
②
得
（反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.（若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．） 分组求和常见类型及方法
(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)an ＝a ·qn －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解； (3)an ＝bn ±，数列{bn}，{}是等比数列或等差数列，
[例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,
41,111
2-+???+++-n a a a n ，…
解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++
=-n a
a a S n n
（分组）
当
a
＝
1
时
，
2
)13(n n n S n -+
=＝
2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(111
1n
n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+---
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n
＝
k k k n
k n
k n
k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32
（分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++
＝
2
)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）
＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+
（3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 [例9] 求数列
???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
解
：设
n n n n a n -+=++=
11
1
（裂项）
则
1
13
212
11+++
???+++
+=
n n S n
（裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++
???++++=
n n
n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 2
11211n
n n n n a n =++???++++=
∴
)11
1(82
122+-=+?=
n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
1
1()4
13
1()3
12
1()2
11[(8+-
+???+-+-+-=n n
S n （裂项求和）
＝)1
11(8+-
n ＝ 18+n n
[例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
???++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）
∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
???++=
S （裂项求和）
＝
]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1
sin 1?＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵
)180cos(cos n n --=
（找特殊性质项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°
+ cos177°）+···
+（cos89°+
cos91°）+
cos90°
（合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特
殊性质项）
∴
S 2002
＝
2002321a a a a +???+++
（合并求和）
＝
)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+
＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若10
323136
5log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +???++= 由
等
比
数
列
的
性
质
q p n m a a a a q p n m =?+=+
（找特殊性质项）
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ； （2006年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ，
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加） （2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定 要讨论） （3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解） 例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=
当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消） 常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
数列求和7种方法(方法全-例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [例1]已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+= n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴当8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案： 二、错位相减法求和
高中数列求和的几种方法
高中数列求和的几种方法 包括累加法累乘法倒序相加法什么的,请告诉我所有的方法的内容及适用范围以及例题. 1.公式法： 等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式： Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 其他 1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2 2.错位相减法 适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=b1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______① =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) =a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q) 此外.①式可变形为 Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和. 此形式更理解也好记 3.倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如：an=2^n+n-1 5.裂项法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项. 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n
数列求和专题训练 方法归纳
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是
数列求和知识点总结.doc
数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n － ）（ n ＋ ） ＝ 2 n － － n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋ － n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一 分组转化法求和 例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．
【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从 而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理分解 转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝ ，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解． 【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三 裂项相消法求和 例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；
数列求和7种方法(方法全_例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
等差数列求和的几种方法
数列求和的几种情形 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法 例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求： （1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加
()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448 L 个 1()n n a a =+ 1()2 n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S
（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ??=- ??? ，求其n 项和n S 四、裂项相消 例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1） 变式练习4:（1） 1111132435(2) n n ++++????+L .
（2）求数列 , (1) 1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S }{() ()()()}{1111,,21152. n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项； 求数列的通项公式 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
(完整word版)数列求和的各种方法
数列求和的方法 教学目标 1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 教学内容 知识梳理 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝ ()21n a a n +＝na 1＋()d n n 2 1-. ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝() q q a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式 可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (5)错位相减法 这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 123+++……+n= (1)2 n n +2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333 123+++……+n =2 (1)2n n +??????
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
等比数列和等差数列公式
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1， 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 （更正：分母为1-q） 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则 证明： ∵ ∴
?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系： 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例： 证明： 设， 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕