2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试题(解析版)
【点睛】
本题考查球的截面圆性质，球心与截面圆圆心连线与截面圆垂直．
8．设直线 过点 ，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线 的条数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】分类讨论，考虑截距为0和不为0两类，分别求解．
【详解】
若截距为0，则斜率 ，直线方程为 ，
若截距不为0，设直线在 轴上截距为 ，直线方程为 或 ，
2．在 中，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算 即可得 角．
【详解】
∵ ，由正弦定理得 ，
设 ，
则 ，又 是三角形内角，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题．
3．使式子 有意义的 的取值范围是（）
A．函数 在区间 上单调递减， 上单调递增
B．函数 的最小值为 ，没有最大值
【点睛】
本题考查交集元素的个数，关键在于计算 ，考查计算能力，注意集合的元素为点，属基础题.
6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“一一”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）
【详解】
，∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，A正确；
由前面推导可知 ，即 ，当且仅当 时等号成立，B正确；
由已知 ， ， 时， 取得最小值 ，C正确；
， ， ，
，没有最小值．D错误．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查用二次函数的性质求最值．对于有前提条件的二元二次式的最值问题用代入法化为一元二次函数，然后由二次函数知识求得最值，是一种快速求解的方法，消元后注意剩下的元的取值范围．
∴内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，二面角，直线与平面垂直的判定与性质，考查正方体的外接球与内切球等问题，实质考查学生对正方体中线面平行垂直关系的认识与掌握程度．考查了空间想象能力、运算求解能力．属于中档题．
12．某同学在研究函数 的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 ，则下列结论正确的是（）
∵直线过 ，则 或 ，解得 或 ，
∴直线方程为 或 ，即 或 ，
共有3条．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出错．
二、多选题
9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】随机产生阳爻和阴爻的概率都是 ，从上到下排列的前3个爻均为阴爻，则后3个爻必有2个阳爻，即可得结果.
【详解】
由题意得，随机产生阳爻和阴爻的概率都是 ，则后3个爻中随机产生2个阳爻的概率 .
故选：B.
【点睛】
本题以数学文化为背景考查排列组合知识，较为新颖，考查学生处理数据能力和应用意识，属基础题.
A．中位数为3B．众数为3，6，8
C．平均数为5D．方差为4.8
【答案】BC
【解析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.
【详解】
对数据2，6，8，3，3，4，6，8，
按照从小到大排序即为 ，中间两个数字为： ，
故其中位数是 ，故 错误；
显然数据 均出现 次，故众数为 ，则 正确；
又其平均数为 ，故 正确；
则其方差为： ，故 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.
10．设 ， 均为正数，且 ，则下列结论正确的是（）
A． 有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值 D． 有最小值
【答案】ABC
【解析】利用基本不等式求A、B中的最大值，用二次函数的性质判断C，D．
【详解】
连接 ，易知 ，又正方体中 平面 ，
从而有 ， 平面 ，
从而得 ，异面直线 与 所成的角大小为 ，A正确；
正方体中 平面 ，则 ，
同理 ，
∴四面体 的四个面都是直角三角形，B正确；
由 ,知 二面角 的平面角是，
为 ，即二面角 为 ，C错误；
易知 的中点是正方体外接球和内切球的球心，
又外接球半径为 ．内切球半径这 ，
11．在棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（）
A．异面直线 与 所成的角大小为
B．四面体 的每个面都是直角三角形
C．二面角 的大小为
D．正方体 的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为
【答案】ABD
【解析】根据异面直线所成的角，正方体中线面垂直的关系，二面角的概念，正方体的外接球与内切球对各个选项进行判断．
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知 ， 是单位向量，且 ，则 （）
A． B．0C．1D．
【答案】A
【解析】由数量积的运算律及向量垂直与数量积关系计算．
【详解】
是单位向量，则
∵ ，∴ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算律，考查向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据对数式的定义求解．
【详解】
要使式子 有意义，则 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查对数式的概念，掌握对数式的定义是解题关键，在对数式 中有 ， 且 ．
4．已知角 的终边为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 终上取一点，由正弦函数定义计算出 ，由诱导公式化简后得结论．
7．已知球 的表面积为 ，球心 到球内一点 的距离为 ，则过点 的截面的面积的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用垂直求出最小的截面圆半径即可得面积．
【详解】
由球的性质知当球心与 点连线与截面圆垂直时，截面圆最小，球半径为 ，截面圆半径为 ， ， ，∴最小的半径为 ，圆面积为 ．
【详解】
∵角 的终边为 ，∴在其终边上取一点 ， ， ，∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．
5．设集合， ， ，则 中的元素个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】联立 ，看所得解的个数，可得结果.
【详解】
由题可知： 或 或
故
所以 中的元素个数为3
故选：D.
椭圆的几何性质(解析版)
第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．36．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.810．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有条．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】由已知结合向量的数量积的性质即可求解．解：∵，是单位向量，且⊥，∴＝0，•（﹣）＝＝﹣1．故选：A．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用正弦定理把已知比例中的角的正弦化成边，分别设出三边的长，利用余弦定理求得答案．解：由正弦定理知＝2R，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵sin A：sin B：sin C＝3：5：7，∴a：b：c＝3：5：7，设a＝3t，b＝5t，c＝7t，∴cos C＝＝＝﹣，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]【分析】由题意可得，，解不等式即可求解．解：由题意可得，，解可得2＜x＜3．故选：B．4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵角α的终边落在射线y＝x（x≥0）上，∴tanα＝，可得cosα＝，又∵sin2α+cos2α＝sin2α+（）2＝1，解得sinα＝，则＝﹣sinα＝﹣．故选：D．5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】列方程组，求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．解：∵集合，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（﹣1，0），（0，1），（1，0）}．∴A∩B中的元素个数为3．故选：D．6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，由此能求出该重卦恰含2个阳爻的概率．解：每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，后3个爻随机产生，基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，则该重卦恰含2个阳爻的概率为P＝．故选：B．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】由题意可得当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，先球的表面积求出球的帮忙，再由r2＝R2﹣OP2求出截面的半径r2，进而求出截面的最小面积．解：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2﹣OP2所以当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由题意可得4πR2＝16，所以R2＝4，由r2＝R2﹣OP2＝4﹣1＝3，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝3π，故选：A．8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分两种情况考虑：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，可求．解：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，因为直线过P（2，1），则1＝2k即k＝，此时直线方程为y＝，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，解可得，a＝b＝3或b＝1，a＝﹣1，综上可得，满足条件的直线有3条．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．10．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值【分析】由已知结合基本不等式及二次函数的性质分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，由基本不等式可得1＝a+2b，解可得，ab，当且仅当a＝2b＝即a＝，b＝时取等号，故A正确；∵（）2＝×2＝1+2≤2，∴，即最大值，故B正确；∵，∴，结合二次函数的性质可知，a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，故C正确；因为，结合二次函数的性质可得，a2﹣b2＝（1﹣2b）2﹣b2＝3b2﹣4b+1＞，故D错误．故选：ABC．11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断B；求出二面角D1﹣BC﹣B1的大小判断C；分别求出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球与外接球的半径，作差判断D．解：如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥B1C，又B1C⊥BC1，D1C1∩BC1＝C1，∴B1C⊥平面BC1D1，则B1C⊥BD1，即异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°，故A正确；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥DB，DD1⊥DC，再由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥DC，BC⊥D1C，得四面体D1DBC的每个面都是直角三角形，故B正确；由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥D1C，BC⊥CC1，即∠D1CC1为二面角D1﹣BC﹣B1的平面角，大小为45°，故C错误；正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化判断A；求出最小值，分析无最大值判断B；由对称性的定义判断C；由单调性与函数值的关系判断D．解：f（x））＝可理解为动点P（x，0）到两个定定点A（0，1），B（1，0）的距离和．如图：当x＜0时，随着x的增大，P越靠近原点O，PA越小，PB越小，则PA+PB越小，即f（x）越小，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，当x＞1时，随着x的增大，P越远离点B，PA越大，PB越大，则PA+PB越大，即f （x）越大，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，故A正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，P越向左远离O或向右远离B，PA+PB越大，无最大值，即函数f（x）的最小值为，没有最大值，故B正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，若函数f（x）有对称轴，则对称轴方程为x＝1，而f（0）＝2，f（2）＝，f（0）≠f（2），则x＝1不是对称轴，∴存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x ＝t对称错误，故C错误；∵当P与O重合时，f（x）＝2，当x＜0时，f（x）＞2，当0＜x＜1时，f（x）∈（，2），当x＞1时，f（x）＞．由f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴有一个x0＞，使得f（x）＝2，则方程f（x）＝2的实根个数为2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是②．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β【分析】对于①，α与β相交或平行；对于②，由面面平行的判定定理得α∥β；对于③，α与β相交或平行．解：由直线l，两个不同的平面α，β，知：对于①，l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故①错误；对于②，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；对于③，l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故③错误．故答案为：②．14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有4条．【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系分析可得两圆相离，据此分析可得答案．解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝4，圆心C1（0，1），半径为2，圆C2：（x﹣3）2+y2＝4，圆心C2（3，0），半径为1，两圆的圆心距为＞2+1＝3，正好大于两圆的半径之和，故两圆相离，故两圆的公切线有4条，故答案为：4．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为2．【分析】由题意利用点到直线的距离公式、基本不等式，求得结果．解：设函数的图象上一点A（a，a﹣），则A到坐标原点的距离的平方的为a2+＝2a2+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当a2＝时，取等号，故答案为：2﹣2．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为12a3，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为a2．【分析】由正六边形的边长求出下部长方体的底面边长及高，再求出上面正方形的对角线长，得到正方形的边长，然后利用长方体体积公式及正方形与三角形的面积公式求解．解：如图，由正六边形边长为a，可得AD＝，则AC＝，OB＝a．由题意，下部长方体的底面为边长是a的正方形，高为4a，∴下部长方体的体积为；最上面正方形的对角线长为，则正方形边长为．∴每一个小三角形是等腰三角形，底边长为，腰长为a，则一个小三角形的面积为＝．∴垃圾桶的顶部面积为＝．故答案为：12a3；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；选②③，由余弦定理可得cos C＝﹣，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+a ﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：选①②由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为c＝，cos B＝＝＝，解可得，b＝1或b＝5，此时三角形的解不唯一，选①③由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，联立此时a，b不存在，选②③，在△ABC中，由余弦定理可得cos C＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，①所以cos C＝﹣，又0＜C＜π，可得C＝，因为sin2B+cos2B＝1，cos B＝，由于0＜B＜π，所以sin B＝，在△ABC中，由正弦定理，可得b＝＝＝1，又c＝，代入①中，可得a2+a﹣4＝0，解得a＝（负值舍去），于是△ABC存在且唯一，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．【分析】（1）利用分层抽样能估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为22人，样本总数为50，由此能求出样本中阅读时间在60分钟以上的频率．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，利用列举法能求出至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．解：（1）∵以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，∴该校高二年级选修物理的人数约为：（6+9+9+3+2+1）×10＝300（人），∴该校高二年级选修历史的人数约为：500﹣300＝200（人）．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：（3+2+1）+（9+6+1）＝22（人），∵样本总数为：10%×500＝50，∴样本中阅读时间在60分钟以上的频率为：．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记事件A为：“至少有1人阅读时间在75～90之间”，则事件为：“2人阅读都在60～75之间”，且包含3个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），∴至少有1人阅读时间在75～90之间的概率为：P＝1﹣P（）＝1﹣．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．【分析】（1）根据题意画出散点图，计算、，求出回归系数、，写出回归方程；（2）计算x＝36.6时的值，即可预测这天小卖部卖出的冷饮数量．解：（1）根据题意画出散点图，如图所示；根据销量与气温对照表知，＝×（27+29+30+32+33+35）＝31，＝×（12+15+20+27+28+36）＝23；所以＝＝＝＝，＝﹣＝23﹣×31＝﹣；所以y关于x的线性回归方程是＝x﹣，（2）计算x＝36.6时，＝×36.6﹣＝40.2≈40，所以当气温为36.6℃时，可预测这天小卖部卖出的冷饮数量为40．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．【分析】（1）推导出BC∥MD，BC＝MD，四边形BCDM是平行四边形，从而BM∥CD，由此能证明BM∥平面PCD．（2）连结PM，推导出PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD ＝．（3）取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．解：（1）证明：∵AD∥BC，BC＝1，AD＝2，点M为AD的中点，∴BC∥MD，BC＝MD，∴四边形BCDM是平行四边形，∴BM∥CD，∵BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．（2）解：连结PM，∵PA＝PD，M为AD的中点，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，∴PM⊥平面ABCD，∴直线PB与平面ABCD所成角为∠PBM，且tan∠PBM＝＝，∵∠BAD＝90°，AB＝AM＝1，∴BM＝，PM＝1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V P﹣ABCD＝＝．（3）解：取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．【分析】（1）设圆C的标准方程，可得圆心坐标，由题意可得a，b的关系，再求出在x轴的弦长，由题意可得a，b，r的关系，再由点M在圆上，可得a，b，r的关系，由a为整数可得a，b，r的值，进而求出圆C的方程；（2）由题意可得直线l的方程，将直线l与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线OA，OB的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，可得直线OA，OB关于x轴对称．解：（1）设圆C的的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则圆心（a，b）在直线y＝x，且圆心的横坐标为整数，所以b＝a，①在方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2中，令y＝0，则x＝a±，则圆C被x轴截得的弦长为2＝4，即r2﹣b2＝16 ②又M在圆C上，所以（7﹣a）2+（7﹣b）2＝r2，③由①②③可得2a2﹣49a+164＝0，所以a＝4或a＝（舍），所以b＝3，r2＝25，所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）因为直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），所以直线l的方程为：y＝x+t，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线l与圆的方程，整理可得：x2+（﹣16）x+t2﹣6t＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，从而k OA+k OB＝+＝＝＝＝+＝+t•＝0，所以∠AOx＝∠BOx，即直线OA，OB关于x轴对称．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．【分析】（1）由已知分段函数求得f（0）＝1，再对a分类利用f（f（0））＝1求a的值；（2）函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x∈R，f（x）＞0成立，分x＜与x≥求解函数的最小值，由最小值大于0求解a的范围．解：（1）∵a＞0，∴＞0，从而f（0）＝1．当＞1，即0＜a＜2时，f（f（0））＝f（1）＝1﹣a+1＝1，解得a＝1符合；当≤1，即a≥2时，f（f（0））＝f（1）＝1+a﹣3＝1，解得a＝3符合．∴a的值为1或3；（2）∵函数f（x）的图象在x轴的上方，∴对任意x∈R，f（x）＞0成立．①当x＜时，x2﹣ax+1＞0恒成立，其中a＞0．若＜，即0＜a＜2，则＞0，解得0＜a＜2；若≥，即a≥2，则，解得0＜a≤2，∴a＝2．∴0＜a≤2；②当x≥时，x2+ax﹣3＞0恒成立，其中a＞0．则＞0，解得0＜a＜2．综上，0＜a＜2，∴a的取值范围为（0，2）．。
2019-2020学年江苏省南通市通州、海安高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市通州、海安高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．集合{0,6,8}A =的非空．．子集的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】根据含有n 个元素的集合有21n -个非空子集，计算可得． 【详解】解：集合{0,6,8}A =含有3个元素，含有3个元素的集合的非空子集个数为3217-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的非空子集，属于基础题．2．下列各图中，一定不是函数的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义直接判断即可． 【详解】解：由函数的定义可知，一个x 的值只能对应一个y 的值，而选项B 中一个x 的值可能对应两个y 的值，故不是函数图象， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数定义及其表示，属于基础题． 3．函数ln 1y x x+-的定义域为（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】根据使函数有意义列出不等式组，解得即可; 【详解】解：函数ln y x =的定义域应满足，10x x ->⎧⎨>⎩，解得01x <<．即()0,1x ∈ 故选：A ． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，属于基础题． 4．已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且(),0,αβπ∈，则αβ+=（ ） A ．23πB ．34π C ．56π D ．74π 【答案】B【解析】根据已知条件确定出αβ+的取值范围，又根据两角和与差的正切公式求出tan()1αβ+=-，得出答案．【详解】解：αQ ，(0,)βπ∈，1tan 07α=>，4tan 03β=-<， 故(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，故3(,)22ππαβ+∈，又14tan tan 73tan()1141tan tan 173αβαβαβ-++===--⋅+⨯， 所以34αβπ+=， 故选：B ． 【点睛】考查两角和与差的正切公式，角的范围的确定，属于中档题．5．智能主动降噪耳机工作的原理 ：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线()sin y A ωx φ=+（0A ＞，0ω＞，02πϕ≤≤）的振幅为1 ，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】C【解析】由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于x 轴对称，可求出． 【详解】解：由某噪音的声波曲线sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，0)2πϕ<…的振幅为1，周期为2π，初相为0， 知声波曲线：sin y x =，通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为sin y x =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．6．设1e r ，2e r是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（ ） A ．1e r +2e r 和1e r -2e rB ．1e r 和1e r +2e rC ．1e r +23e r 和13e r +2e rD ．13e r -22e r 和16e -r +24e r【答案】D【解析】结合平面向量基本定理及基底的条件即可判断． 【详解】解：Q 1e u r ，2e u u r是平面内的一组基底，∴1e u r ，2e u u r不共线，而2112462(32)e e e e -=--u u r u r u r u u r ，则根据向量共线定理可得，()()211246//32e e e e --u u r u r u r u u r ，根据基底的条件，选项D 不符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题． 7．下列大小关系正确的是（ ） A ．45cos cos 78ππ＜B ．0.20.32233--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ C．1122--＜D．1123log log 【答案】B【解析】分别根据对应的函数的单调性，判断即可． 【详解】 解：对于A ，4325350756856πππππ<=<=<，函数cos y x =在[]0,π上单调递减，故45coscos 78ππ>，故A 错， 对于B ，23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，0.20.3->-，故0.20.32233--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜成立，B 正确，对于C ，12y x-=，在0x >时单调递减，<Q1122--∴>，所以C 错，对于D，2312log log =-=D 错， 故选：B ． 【点睛】考查不等式比较大小，同时考查了函数的单调性，属于中档题．8．已知方程ln 112x x =-的实数解为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可． 【详解】解：112lnx x =-Q ，令()g x lnx =，()112h x x =-在同一坐标系画出图象可得 由图可知01x >，令()211f x lnx x =+-，()()129(27)0f f ln =-->Q ，()()23(27)(35)0f f ln ln =-->， ()()34(35)(43)0f f ln ln =-->， ()()45(43)(51)0f f ln ln =--<， ()04,5x ∴∈ 4k ∴=，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法，图象法和零点判定定理．将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，属于基础题． 9．函数421y x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断函数的单调性，即可得解. 【详解】解：()421y f x x x ==--Q ，定义域为R且()()()()424211f x x x x x f x -=----=--=，所以函数是偶函数，图象关于y 轴对称，故,B C 排除；令()2t x x =，则()2215124f t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为()2t x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()21524f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增由复合函数的单调性可知函数()421y f x x x ==--在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确，D 错误； 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题. 10．已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．31326t <≤ B ．32t >C ．31326t <≤或52t > D ．52t > 【答案】C【解析】根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数有最小值也有最大值 则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.二、多选题11．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ）A ．φB ．()1,a -C ．(),1a -D ．()(),1,a -∞-⋃+∞【答案】ABCD【解析】根据函数()(1)y a x a x =-+的图象和性质，对a 进行讨论，解不等式即可． 【详解】解：对于一元二次不等式()(1)0a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-， 故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞U ； 当0a <时，函数()(1)y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -， 若1a <-，不等式的解集为(,1)a -， 综上，ABCD 都成立， 故选：ABCD ． 【点睛】考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ＞，使得函数()y f x =的图象向右．．平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ）A ．()2f x x =，()221g x x x =-+B ．()sin f x x =，()cos g x x =C ．()ln f x x =，()ln 2xg x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()123xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】根据所给定义，即函数的平移规则计算可得. 【详解】解：由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，将()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确；由3 ()sin,()cos sin2 f x x gx x xπ⎛⎫===-⎪⎝⎭知，将()f x向右移动32π个单位可得到()g x，故选项B正确；由(),()22xf x lnxg x ln lnx ln===-知，将()f x向下移动2ln个单位可得到()g x，故选项C不正确；由3132121111133(),()21333123x xx x x loglogf xg x-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭知，将()f x向右移动3log2个单位可得到()g x，故选项D正确；故选：ABD．【点睛】本题考查函数图象的变换，同时也涉及了三角函数的恒等变换以及指对数的运算，属于中档题．13．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OAu u u r（以图中的格点O 为起点，格点A为终点），则（）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OAu u u r是相反向量的共有11个B．满足10OA OB-u u u r u u u rB共有3个C．存在格点B，C，使得OA OB OC=+u u u r u u u r u u u rD．满足1OA OB⋅=u u u r u u u r的格点B共有4个【答案】BCD【解析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OAu u u r是相反向量的共有18个，故A 错，以O为原点建立平面直角坐标系，()1,2A，设(,)B m n ，若10OA OB -=u u u r u u u r，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -剟，22n -剟，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r，故C 正确．若1OA OB ⋅=u u u r u u u r，则21m n +=，(33m -剟，22n -剟，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．三、填空题14．已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C =，则()A B C =I U _________. 【答案】{}0,1,3【解析】根据交集的定义求出A B I ，再求根据并集的定义求出()A B C I U 即可； 【详解】解：{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C ={}0,1A B ∴⋂=(){}0,1,3A B C ∴=I U 故答案为：{}0,1,3． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE =u u u r ________.（用a r ，b r表示）【答案】1126b a +r r【解析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解． 【详解】解：由题意可得，23DE DC =u u u r u u u r，∴1223OE OD DE BD DC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()121111232626AD AB AB AD AB b a =-+=+=+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r r r ， 故答案为：1126b a +r r．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．16．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.【答案】704【解析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．17．请先阅读下面的材料：对于等式b a c =（0a ＞，且1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么2y x =，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么xy a =，是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log ay x =，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x =_______，若将y 表示为x 的函数，则y =_________（0x ＞，且1x ≠）.【答案】e1lnx． 【解析】根据定义及指数和对数的关系计算可得； 【详解】解：对于等式(0,1)b a c a a =>≠，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，若将y 表示为x 的函数，则ln 1log ln x e y e x lnx===，(0,1)x x >≠． 故答案为：e ；1lnx． 【点睛】本题考查函数的求法，考查函数的定义等基础知识，对数和指数的互化，考查运算求解能力，属于基础题．四、解答题18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量()2,3a =r ，()2,4b =-r ，()1,1c =-r.（1）求证：a b -r r与a c -r r 垂直；（2）若a λb +r r 与c r是共线向量，求实数λ的值.【答案】（1）a b -r r 与a c -r r 垂直；（2）52λ=-【解析】（1）利用平面向量坐标运算法则求出(4,1)a b -=-r r ，(1,4)a c -=r r ，再由()()0a b a c -⋅-=r r r r ，能证明a b -r r与a c -r r 垂直．（2）利用平面向量坐标运算法则求出(22,34)a b λλλ+=-+r r ，再由a λb +r r 与c r是共线向量，根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，即可求出实数λ的值． 【详解】解：（1）证明：Q 平面向量()2,3a =r ，()2,4b =-r ，()1,1c =-r∴(4,1)a b -=-r r ，(1,4)a c -=r r，()()41(1)40a b a c ∴-⋅-=⨯+-⨯=r r r r，∴a b -r r与a c -r r 垂直．（2）解：Q (2,3)a =r ，(2,4)b =-r，∴(22,34)a b λλλ+=-+r r，Q a λb +r r 与c r是共线向量，()1,1c =-r．(22)(1)(34)10λλ∴-⨯--+⨯=，解得52λ=-． 【点睛】本题考查向量垂直的证明，考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量与向量垂直、向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 19．已知函数()sin f x x =，x ∈R .现有如下两种图象变换方案：方案1：将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位长度； 方案2：将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数()g x 的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数()g x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数()g x 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.【答案】（1）()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象见解析；（2）见解析. 【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可知无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， （1）作出函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象： （2）利用正弦函数的图象和性质即可得出结论． 【详解】解：方案1：将函数()sin f x x =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方案2：将函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， （1）如图，是函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象：（2）函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭定义域：R ；值域：[]1,1-；周期：22T ππ==； 奇偶性：因为()30sin 03g π==≠，±1，所以()g x 不具有奇偶性． 单调性：令222232k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得51212k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，即函数在5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递增；同理可得函数的单调递减区间为：12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律以及正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．20．已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求U A ð和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|3U A x x =-„ð或5}x …，B =∅；（2）5⎡-⎣【解析】（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<Q ， {|3U A x x ∴=-„ð或5}x …，若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅， （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， ①当B =∅时，221a a =-，解1a =， ②当B ≠∅时，即1a ≠时，221a a >-Q2{|21}B x a x a ∴=-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩…„，解得1a -剟1a ≠，综上所求，实数a的取值范围为：⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题． 21．已知2sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5β=-，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭和2sin cos sin cos ββββ+-的值；（2）比较α与2πβ-的大小，并说明理由. 【答案】（1）sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2sin cos 11sin cos ββββ+=-；（2）2απβ>- 【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，再根据两角和的正弦公式计算sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，由cos β可求sin β，tan β的值，进而将弦化切，代入求值即可．（2）由已知可求范围35,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由（1）利用两角和是正弦函数公式可求sin()0αβ+=>，进而可求52,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可得解．【详解】 解：（1）2sin 3α=Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos α∴=，2sin sin cos cos sin 4443πππααα⎛⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭3cos 5β=-Q ，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4sin 5β∴=-，4sin 45tan 3cos 35βββ-∴===-4212sin cos 2tan 13114sin cos tan 113ββββββ⨯+++∴===---（2）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 35,22ππαβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，Q 由（1）可得：234sin()sin cos cos sin 0355αβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 52,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2αβπ∴+>，即2απβ>-．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．22．用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用x 单位量的清水漂洗一次．．．．后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数()f x ，其中0x ＞. （1）试规定()0f 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数()353x f x x +=+.现有c （0c ＞）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由. 【答案】（1）(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >．（3）将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好．【解析】（1）有题意知，(0)1f =，所以表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）由题意可找出满足条件的函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为2236256532c c c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥= ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再用作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）规定(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1； （2）函数()f x 应该满足的条件：(0)1f =，且()112f =； 函数()f x 应该具有的性质：()f x 为(0,)+∞上单调减函数，且当x 无限大时，()f x 无限趋于0；满足假定的一个指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >． （3）设(0)c c >单位量的清水漂洗一次后，剩余洗衣液的质量为1353c f c +=+； 将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为22236256532c c f c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥== ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22122364(518)05356(53)(56)c c c c f f c c c c +++⎛⎫-=-=> ⎪++++⎝⎭， 所以12f f >．答：将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好． 【点睛】本题考查了指数函数的应用，利用函数模型解决实际问题，属于中档题．23．设a R ∈，函数()22x x af x a+=-.（1）若1a =，求证：函数()f x 为奇函数； （2）若0a <，判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若0a ≠，函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，求ka的范围. 【答案】（1）见解析；（2）函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增，证明见解析；（3）当0a <时，(0,3k a ∈-；当0a >时，1ka=-．【解析】（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，根据函数奇偶性得2112()()2112x xx xf x f x --++-===---，进而得出结论． （2）当0a <时，函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ，通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论．（3）因为m n <，22m n k k <，所以k 0<，分0a >，0a <两种情况讨论函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，进而得出结论．【详解】解：（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，因为210x -≠，所以0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞从而对任意的0x ≠，2112()()2112x xx xf x f x --++-===---， 所以21()(0)21x xf x x +=≠-为奇函数． （2）当0a <时，因为20x >，所以20x a ->，所以函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ．结论：函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增函数． 证明：设对任意的1x ，2x R ∈，且12x x <， 则12121222()()22x x x x a af x f x a a++-=--- 122112(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x a a a a a a +--+-=--21122(22)(2)(2)x x x x a a a -=--， 因为12x x <，所以2122x x >，即21220x x ->， 又因为120x a ->，220x a ->，0a <，所以21122(22)0(2)(2)x x x x a a a -<--， 于是12()()f x f x <，即函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增．（3）因为m n <，所以22m n <，从而1122m n>， 由,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知22m n k k <，所以k 0<，因为0a ≠，所以0a <或0a >．1︒ 当0a <时，由（2）知，函数2()2x xaf x a+=-为R 上单调递增函数． 因为函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈所以()2()2m nk f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m m n n na k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，从而关于x 的方程222x xx a ka +=- 有两个互异实数根． 令2x t =，则0t >，所以方程2()0t a k t ak +-+=，(,0)a k <有两个互异实数根202()400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎩，从而03k a<<-2︒ 当0a >时，函数2()12x af x a=+-在区间2(,log )a -∞，()2log ,a +∞上均单调递减．若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，则()1f x >，于是02mk>，这与k 0<矛盾，故舍去．若[]()2,,log m n a ⊆-∞，则()1f x <，于是()2()2n m k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m n n n ma k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩①②，所以2(2)(2)2(2)(2)n m m m n na k a a k a ⎧+=-⎨+=-⎩，两式相减整理得，()(22)0n m a k --=， 又22m n <，故220n m ->，从而0a k -=，因为0a >，所以1ka=-． 综上可得，当0a <时，(0,3ka∈-当0a >时，1ka=-． 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的证明，函数单调性的应用，分类讨论思想的应用，属于难题.。
江苏省南通市如皋中学2019_2020学年高一数学下学期6月阶段考试试题创新班含解析
【答案】B
【解析】
【分析】
求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，结合样本容量为 可求得该学校学生的总数.
【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为 ，
所以,在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为 ，
所以，从该学校中抽取一个容量为 的样本时，则该学校学生的总数为 。
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有的基本事件,并确定事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。
【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 ，共 种，
其中，事件“取出的两个球的编号之和小于 ”所包含的基本事件有： 、 ，共 种,
当a＝0时，e2x﹣alnx a即为e2x≥0显然成立；
当a＞0时，f（x）＝e2x﹣alnx的导数为 ＝2e2x ，
由于y＝2e2x 在(0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数），
设 ＝0的根为m，即有a＝2me2m， .
当0＜x＜m时， ＜0，f（x)单调递减；当x＞m时， ＞0,f(x)单调递增，
因此,所求事件的概率为 .
故答案为: 。
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力,属于基础题.
14.如表是某厂2020年1～4月份用水量(单位:百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
2.5
3
4
4。5
由散点图可知,用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是 ,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨.
北京市通州区2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题(含参考答案)
北京市通州区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.1.复数2 + f的共筑复数是A.2 + iB. -2 + /C. 2-iD. -2-i2.在下列各组向量中，互相垂直的是A.6二(一1,2),彩=(2/)B.弓=(01)，4 =。
，-2)1 3C. q =(3,5), q =(6,1。
)D.弓=(2,-3),牲=(万，-/3.在中，B = 60°,/?2 = ac ,则cosA=AO B.J C.孝口.当4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是A.-B. -C. -D.-6 3 2 35.将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0. 4,则该组的频数是A. 4B.40C.250D.4006.若样本数据%,勺，…，再。
标准差为8,则数据2再一1,2超一1,…,2%-1的标准差为A.8B.16C.32D.647.用6根火柴最多可以组成4 2个等边三角形B.3等边三角形C.4个等边三角形D.5个等边三角形8.已知直线K平而明直线七平而明则“直线m_L。
”是且〃_16”的A.充分而不必要条件6 .必要而不充分条件C.充分必要条件〃.既不充分也不必要条件9,关于两个互相垂直的平而，给出下面四个命题：①一个平而内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线：②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线：③一个平而内的已知直线必垂直于另一平面；④在一个平面内过任意一点作两平而交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 310.如图，在正方体A8CO — A蜴G。
中，点后尸分别是棱GA，AA上的动点.给出下面四个命题①若直线"■与直线团共面，则直线游与直线四相交；②若直线"■与直线团相交，则交点一定在直线加上：③若直线"■与直线空相交，则直线如与平面月绥所成角的正切值最大为走：2④直线月尸与直线纺所成角的最大值是三.3其中，所有正确命题的序号是A.®@B.®®C.®@@D.®®®第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若空间中两直线a与6没有公共点，则a与6的位置关系是 _________12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__________13.已知23名男生的平均身高是170. 6 cm, 27名女生的平均身高是160. 6cm,则这50名学生的平均身高为14.样本容量为10的一组样本数据依次为：3, 9, 0, 4, 1, 6, 6, 8, 2, 7,该组数据的第50百分位数是____________ ,第75百分位数是_________15.为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）已知a =（2,0）,161=1.（I ）若a与6同向，求8；（H）若a与6的夹角为120°,求a+6.17.（本小题14分）在锐角△上中，角A, B,。
2019-2020学年北京市通州区高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市通州区高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.复数z =21−i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A. 1−iB. 1+iC. 3−iD. 3+i2.在四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，则该四边形的面积为( ) A. 3√5B. 2√5C. 5D. 153.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=sinC c，b 2+c 2−a 2=65bc ，则tanB =( )A. 4B. 14C. 65D. 564.在贵阳市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为( )A.；B.；C.；D.．5.某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有A ，B ，C ，D ，E 五种，抽样调查的统计结果如图，那么下列说法不正确的是( )A. 选择A 型养老的频率是130 B. 选择养老模式E 的人数最多C. 估计当地30000个老年人中有8000人选择C 型养老D. 样本容量是15006.已知一组数据a 、b 、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|a −b|=( )A. 2B. 4C. 8D. 127.已知小明需从几门课程中选择一门作为自己的特长课程来学习，小明选完课后，同寝室的其他3位同学根据小明的兴趣爱好对小明选择的课程猜测如下：甲说：“小明选的不是篮球，选的是排球”；乙说：“小明选的不是排球，选的是书法”；丙说：“小明选的不是排球，选的也不是现代舞”．已知3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测小明选择的()A. 可能是书法B. 可能是现代舞C. 一定是排球D. 可能是篮球8.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立9.给出下列命题：①函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心为(−5π12,0)；②函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称；③命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是“∃x≤0，x2+2x−3≤0”；④若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ，其中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.设x为实数，命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题p的否定是()A. ￢p：∀x∈R，x2≤0B. ￢p：∃x0∈R，x02≤0C. ￢p：∀x∈R，x2<0D. ￢p：∃x0∈R，x02<0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，给出下列四个结论：①PR与BQ是异面直线；②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR//平面D1AC；④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为√2的等边三角形．以上结论中正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)12.若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于__________．13.下列四个命题①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方法应先剔除8人，则每个个体被抽到的概率均为1；20③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pc；m+n+p④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是007．其中真命题的个数是_________．14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则x的值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是(1)；众数是(2)．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 已知平面向量a⃗=(3,4),b⃗ =(9,x),c⃗=(4,y)且a⃗//b⃗ , b⃗ ⊥c⃗，求向量b⃗ 与c⃗．17. 锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cosA,sinB)平行．(1)求角A；(2)若a=√2，求△ABC周长的取值范围．18. 中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．(1)填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；(2)试估计该年段成绩在段的有多少人；(3)请你估算该年级的平均分．19. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；(Ⅱ)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；(Ⅲ)若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．(只需写出结论)(注：方差s 2=1n [(x 1−x .)2+(x 2−x .)2+⋯+(x n −x .)2]，其中x .为x 1，x 2，…，x n 的平均数)20. 如图，长方体中，，点为的中点．(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面； (3)求与平面所成的角大小．21. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，PA =3，AD =2，AB =4，∠ABC =60°． (1)求证：AD ⊥PC ；(2)E 是侧棱PB 上一点，记PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，是否存在实数λ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：z =21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i ，则z 的共轭复数z =1−i ， 故选：A根据复数的有关概念，即可得到结论． 本题主要考查复数的基本概念，比较基础．2.答案：D解析：解：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−6)+4×3=0，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC ⊥BD ． ∴该四边形的面积S =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√22+42×√(−6)2+32=15． 故选：D ．由于AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .进而得出该四边形的面积S =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、对角线相互垂直的平行四边形的面积计算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．3.答案：A解析：解：在△ABC 中，由cosA a+cosB b=sinC c，利用正弦定理可得：cosA sinA+cosB sinB =sinBcosA+cosBsinAsinAsinB=1，∴tanB +tanA =tanAtanB ．由b 2+c 2−a 2=65bc ，∴2bccosA =65bc ，化为cosA =35，∴sinA =45，tanA =43． 代入可得：tanB +43=43tanB ，则tanB =4． 故选：A ． 由cosA a +cosB b=sinC c，利用正弦定理可得：cosA sinA +cosBsinB=1，可得tanB +tanA =tanAtanB.由b 2+c 2−a 2=65bc ，利用余弦定理可得cosA =35，tan A ，进而得出tan B 的值．本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：试题分析：总体平均数为，设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果，事件A 包含的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果，所以所求的概率为．考点：平均数；古典概型．5.答案：C解析：解析：解：A 、选择A 型养老的频率是501500=130，此选项说法正确；B 、选择养老模式E 的人数最多，此选项说法正确；C.可以估计当地30000个老年人中选择C 型养老的人数为30000×2001500=4000人，此选项说法错误；D 、样本容量是1500，此选项说法正确；故选：C ．根据频率定义、样本估计总体、样本容量和总体的概念逐一判断可得．本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．6.答案：B解析：本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a 、b 的值．根据题意，可得a +b =20，①以及(a −10)2+(b −10)2=8，②；解可得a 、b 的值，计算可得|a −b|的值，即可得答案． 解：一组数据a 、b 、9、10、11的平均数为10，方差为2， 则有a +b +9+10+11=50，即a +b =20，①15[(a −10)2+(b −10)2+(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2]=2， 即(a −10)2+(b −10)2=8，② 联立①、②可得：{a =12b =8或{a =8b =12，则|a −b|=4； 故选：B ．根据题意，可得a +b =20，①以及(a −10)2+(b −10)2=8，②；解可得a 、b 的值，计算可得|a −b|的值，即可得答案．7.答案：D解析：解：若小明选择的是书法，则甲说对一半，乙说的全对，丙说的全对，不合题意，A 错误；若小明选的是现代舞，则甲说的对一半，乙说的对一半，丙说的对一半，不合题意，故B错误；若小明选的是排球，则甲说的全对，乙说的全不对，丙说的对一半，符合题意；若小明选的是篮球，则甲说的全不对，乙说的对一半，丙说的全对，符合题意；故小明选择的可能是排球或者篮球，故C错误，D正确．故选：D．由题意依次假设小明的选择，然后逐一验证．本题考查了推理案例，考查了逻辑推理能力，有条理的逐一验证是解题关键，属于基础题．8.答案：C解析：故答案为C．9.答案：D解析：解：①∵y=cosx的对称中心为：(kπ+π2,0)(k∈z)∴2x+π3=kπ+π2得：x=kπ2+π12(k∈z)当k=−1时，x=−5π12∴函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心(−5π12,0)，故正确．②函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称，正确；③命题“∀x>0，x2+2x−3>0”的否定是“∃x≤0，x2+2x−3≤0”，根据命题的否定的写法，可知正确；④若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα<sinβ.显然不正确如α=390°，β=30°，显然α>β，但是sinα=sinβ故选：D．①利用y=cosx的对称中心为：(kπ+π2,0)(k∈z)，可得函数f(x)=4cos(2x+π3)+1的一个对称中心为(−5π12,0)；②利用图象变换，可得函数y=f(1−x)与y=f(x−1)的图象关于x=0对称；③根据命题的否定的写法，可知正确；④如α=390°，β=30°，显然α>β，但是sinα=sinβ．本题考查余弦函数的对称性，以及余弦函数的图象、命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，本题为中档题．10.答案：D解析：解：全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题p的否定是：￢p：∃x0∈R，x02<0．故选：D．通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．11.答案：③④解析：画出正方体，找出各线面，然后充分利用正方体的性质解答．本题考查了正方体的性质以及直线与直线，线与面的关系；关键是正确利用正方体的性质以及有关的线面关系解答．解：如图①PR与BQ是异面直线错误；因为点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，所以在△A1BC1中，P，R分别是A1B，A1C1的中点，所以PR//BQ；②RQ⊥平面BCC1B1错误；与①同理可得RQ//AC，所以RQ与平面BCC1B1所成的角是∠ACB为45°；③平面PQR//平面D1AC正确；因为与①同理得到RQ//AC，PR//AD1；所以③正确；④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为√2的等边三角形．正确；因为正方体的棱长为1，所以AC=√2，又点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心，所过P、Q、R的截面即为面A1C1B，故④正确．故答案为③④．12.答案：2解析：在△ABC中，由面积公式得S=BC·CA·sin C=×2·AC·sin60°=AC=，∴AC= 2.再由余弦定理，得AB 2=BC 2+AC 2−2·AC·BC·cos C=22+22−2×2×2×=4.∴AB= 2．13.答案：3解析：本题考查分层抽样，系统抽样，属于基础题型，逐项判断即可；解：对于①，由于样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，故①正确；对于②，根据系统抽样为等概率抽样可得每个个体被抽到的概率均为1002008=25502，故②错误；对于③，从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pcm+n+p，故③正确；对于④，某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50=16，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503.设在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是x，则有503=16×31+x，解得x=7，所以在第1小组中抽到的学生编号是007，故④正确．综上①③④为真命题．14.答案：7解析：本题主要考查茎叶图，平均数的概念，属于基础题．根据茎叶图中的数据，利用平均数的公式进行计算即可．解：∵甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，∴15×(9+16+10+x+19+26)=15×(9+16+16+17+29)，解得：x=7，故答案为：7．15.答案：2323解析：先由茎叶图找出数据从小到大排，中间两个数，求出它们的平均值即为中位数；找出出现次数最多的数即为众数．从茎叶图中写数据时，茎上的数是数据的最高位上的数，叶上的数是数据个位上的数；中位数是将数据从小到大排中间的数或中间两个数的平均值．解：将比赛中的得分按照从小到大的顺序排，中间两个数为23，23，所以这组数据的中位数是23，所有的数据中出现次数最多的数是23故答案为23；2316.答案：解：∵a⃗=(3,4),b⃗ =(9,x),c⃗=(4,y)，∴由a⃗//b⃗ ，得3x−36=0，即x=12，由b⃗ ⊥c⃗，得36+xy=0，即y=−3．∴b⃗ =(9,12),c⃗=(4,−3)．解析：由已知向量的坐标直接利用向量平行与垂直的坐标运算得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线与垂直的坐标运算，是基础题．17.答案：解：(1)因为：m⃗⃗⃗ //n⃗，所以：asinB−√3bcosA=0，由正弦定理，得：sinAsinB−√3sinBcosA=0，又因为：sinB≠0，从而可得：tanA=√3，由于：0<A<π，所以：A=π3．(2)因为：由正弦定理知b sinB=c sinC=a sinA=√2√32=2√63，可得：三角形周长l=a+b+c=√2+2√63(sinB+sinC)，又因为：C=2π3−B，所以：sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=√3sin(B+π6)，因为：△ABC为锐角三角形，所以：π6<B<π2，B+π6∈(π3,2π3)，sinB+sinC∈(32,√3],所以：△ABC周长l∈(√6+√2,3√2]．解析：本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示，正弦定理，三角函数辅助角公式和以及正弦型函数的值域，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．(1)利用平面向量共线(平行)的坐标表示可得asinB−√3bcosA=0，又sinB≠0，结合正弦定理可得：tanA=√3，再结合范围0<A<π，即可求得A的值．(2)由正弦定理将三角形周长表示为：l=a+b+c=√2+2√63(sinB+sinC)，结合C=2π3−B，可求sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=√3sin(B+π6)，根据范围π6<B<π2，可求sinB+sinC∈(32,√3]，从而得解周长的求值范围．18.答案：(1)频数一列应为：1650频率一列为：0.20.32纵轴数据为：0.0040.0160.0200.0280.032(2)312(3)81.4解析：试题分析：(1)频数一列应为：1650频率一列为：0.20.32纵轴数据为：0.0040.0160.0200.0280.032(2)在50人中，在的频率为由此可以估计年级段在的人数有(3)设所求平均数为，由频率分布直方图可得：所以该年级段的平均分数约为81.4分考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数．点评：频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．19.答案：解：(Ⅰ)由茎叶图可得甲组数据的平均数为110(10+10+14+18+22+25+27+30+ 41+43)=24，∴在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5；(Ⅱ)记事件A为“a>b”，由于乙组数据的平均数为26.7，∴1[10+18+20+22+23+31+32+(30+a)+(30+b)+43]=26.7，解得a+b=8，10而a和b的取值为：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)，共9种情况，其中满足a>b的为：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)，共4种情况∴所求概率P=4；9(Ⅲ)由题意可知当b=0时，s2达到最小值．解析：(Ⅰ)由茎叶图和平均数的定义可得，可得符合“星级卖场”的个数；(Ⅱ)记事件A为“a>b”，由题意和平均数可得a+b=8，列举可得a和b的取值共9种情况，其中满足a>b的共4种情况，由概率公式可得；(Ⅲ)当b=0时，s2达到最小值．本题考查简单的概率统计，涉及数字特征和列举法求古典概型，属基础题．20.答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)．解析：试题分析：(1)记，先作辅助线，这几乎是用几何法证明线面平行、线面垂直的必经之路了，对些考生要有意识，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；(2)要证明平面平面，只须证平面，然后又只须证明平面的两条相交直线、与垂直；从而实现平面平面；(3)由(2)可知，只须求出，在直角三角形进行求解即可．试题解析：证明：(1)设和交于点，连由分别是，的中点，故∵平面，平面所以直线平面(2)长方体中，，底面是正方形，则，又面，则，∵平面，平面，∴面∵平面∴平面平面(3)由(2)已证：面∴在平面内的射影为∴是与平面所成的角依题意得，在中，，∴∴与平面所成的角为．考点：1.线面平行的证明；2.面面垂直证明；3.线面角的计算．21.答案：(1)连接AC，AC=√AB2+BC2−2AB⋅BCcos60°=√16+4−2×4×2×12=2√3，∴PC=√AC2+PA2=√12+9=√21，∵PB=√AB2+PA2=√16+9=5，∴PC2+BC2=PB2，∴PC⊥BC，∵BC//AD，∴AD⊥PC．(2)存在，作DF⊥PC与F，作FE//BC，交PB于E，连接AE，∵AD⊥PC，DF⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，AD∩DF=D，∴PC⊥平面ADE，PD=√PA2+AD2=√13，PC=√21，CD=AB=4，∴在△PDC中，cos∠PDC=13+16−212×√13×4=√1313，∴sin∠PDC=√1−113=√3√13，∴S△PDC=12PD⋅DC⋅sin∠PDC=12√13×4×√3√13=4√3，∴DF=2S△PDCPC =√3√21=8√77，∴PF=√PD2−DF2=√13−647=3√217，∴PFPC =√217×√21=37，∵EF//BC，∴PEPB =PFPC=37．∴λ=37．解析：(1)连接AC，分别求得AC，PC，PB，利用勾股定理证明出PC⊥BC，继而根据BC//AD，证明出AD⊥PC．(2)作DF⊥PC与F，作FE//BC，交PB于E，连接AE，根据线面垂直的判定定理可证明出PC⊥平面ADE，求得PD，利用余弦定理求得cos∠PDC的值，则sin∠PDC可得，利用三角形面积公式求得三角形PDC的面积进而求得其高DF，利用勾股定理求得PF，最后于PB相比，即可求得PE；PB的值，则λ可得．本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用．考查了学生空间观察的能力和逻辑思维能力．。
2023-2024学年高一数学真题汇编((人教A版2019必修第二册)概率(解析版)
专题06概率概率的基本性质1．（19-20高一下·安徽蚌埠·期末）从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事件A，“3件产品都不是次品”为事件B，“3件产品不都是次品”为事件C，则下列说法正确的是（）A．任意两个事件均互斥B．任意两个事件均不互斥C．事件A与事件C对立（多选）2．（20-21高一下·广东广州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件A =取出的两球同色，B =取出的2球中至少有一个黄球，C =取出的2球中至少有一个白球，D =取出两个球不同色，E =取出的2球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（）A ．事件A 与D 为对立事件B ．事件B 与C 是互斥事件C ．事件C 与E 为对立事件D ．事件()1P C E = 【答案】AD【详解】设Ω是样本空间，A 选项，由于,A D A D ⋃=Ω⋂=∅，所以A 与D 是对立事件，A 选项正确.B 选项，由于BC ⋂=“取出的2球中，一个黄球一个白球”，所以B 与C 不是互斥事件，B 选项错误.C 选项，由于C E ⋂=“取出的2球中，恰好有1个白球”，所以C 与E 不是对立事件，C 选项错误.D 选项，由于CE ⋃=Ω，所以()1P C E = ，所以D 选项正确.故选：AD（多选）3．（22-23高一下·甘肃·期末）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A 表示“”，事件B 表示“甲获得一等奖”，事件C 表示“甲中奖”，则（）A ．事件A 和事件B 是对立事件B ．事件A 和事件C 是对立事件C ．()()P B C P C +=D ．()()P BC P C =【答案】BC【详解】因为A B ⋃表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A 和事件B 不是对立事件，A 错误，事件A 表示“甲没有中奖”，事件C 表示“甲中奖”，则事件A 和事件C 是互斥且和事件为全集，事件A 和事件C 是对立事件，B 正确．又因为B C ⊆，所以()()P B C P C +=，C 选项正确；()()P BC P B =，D 选项错误；故选：BC ．（多选）4．（22-23高一下·广西·期末）下列说法正确的是（）A ．抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定C ．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5D ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式【答案】BC【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，众数为5，故C 正确；对于D ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故D 错误．故选：BC.（多选）5．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）下列说法正确的是（）A ．若A ，B 为两个事件，则“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的充分不必要条件B ．若A ，B 为两个互斥事件，则()()()P A B P A P B =+C ．若事件A 与B 相互对立，则()()1P A P B +=D ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=古典概型（多选）1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（）A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜（多选）2．（23-24高一上·河南南阳·期末）下列情境适合用古典概型来描述的是（）A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况C ．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌D ．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶【答案】BC【详解】对于A ，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B ，实验结果有限且等可能，故正确，对于C ，实验结果有限且等可能，故正确，对于D ，显然实验并非等可能，故错误.故选：BC3．（21-22高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：32819522001874720129387958692436846039909533798026928280075384258935388278905987据此估计四天中恰有三天下雨的概率为.4．（23-24高一上·河南漯河·期末）掷一枚骰子，记事件A ：掷出的点数为偶数；事件B ：掷出的点数大于2．下面说法正确的是．（1）()()P A P B >（2）()()P AB P AB >（3）()()P AB P AB >AB 5．（22-23高一下·山西大同·期末）某校高二年级共有800名学生参加2021年全国高中数学联赛初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩(单位:分)，并列出频数分布表如下:分组[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)频数5713105(1)试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；(2)成绩在区间[]120150,上的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中随机选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生和一名女生的概率.6．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O 为原点，点A 对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B ，C （点B 对应的实数小于点C 对应的实数）．(1)记事件E 为：线段OB 的长小于等于2，写出事件E 的所有样本点；(2)记事件F 为：线段OB ，BC ，CA 能围成一个三角形，求事件F 发生的概率．互斥事件与对立事件1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A．“至少有1件正品”与“都是次品”B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D．“都是正品”与“都是次品”2．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球【答案】D【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.故选：D.3．（22-23高一上·山东潍坊·期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（）A．至少有1名男生与全是男生；B．至少有1名男生与全是女生；C．恰有1名男生与恰有2名男生；D．至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】C【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.故选：C.（多选）4．（22-23高一下·河北承德·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A=“点数为4”，事件B=“点数为奇数”，事件C=“点数小于4”，事件D=“点数大于3”，则（）A．A与B互斥B．A与C互斥C．B与D对立D．C与D对立【答案】ABD【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，A正确.事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以A与C互斥，B正确.事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误.事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与D对立，D正确.故选：ABD.事件的相互独立性1．（23-24高一上·河南南阳·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A．14B．724C．1124D．17242．（21-22高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件M=“第一次摸得偶数”，N=“第二次摸得2”，Q=“两次摸得数字之和大于8”，R=“两次摸得数字之和是6”，则（）A．M与Q相互独立B．N与R相互独立C．N与Q相互独立D．Q与R相互独立（多选）3．（22-23高一下·湖南长沙·期末）下列说法中正确的是（）A ．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．B ．若A B 、为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥．C ．设样本数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅的平均数和方差分别为2和8，若()211,2,3,,9,10i i y x i =+=⋅⋅⋅，则123910,,,,,y y y y y ⋅⋅⋅的平均数和方差分别为5和32D ．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分（多选）4．（23-24高一下·辽宁·期末）同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件{A =第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件{B =第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件{C =两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数}，则（）A ．()12P A =B ．()13PC =C ．()14P AB =D ．()18P ABC =5．（21-22高一下·全国·期末）某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为34，12，13，14，且每道题目是否答对相互独立.(1)求小明4道题目至少答错1道题的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.频率与概率1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A ．213石B ．152石C ．169石D ．196石2．（23-24高一上·河南·期末）下列说法中，正确的是（）A ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖B ．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是37C ．若事件,,A B C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=D ．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是133．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（）①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率．A．0B．1C．2D．34．（22-23高一下·新疆喀什·期末）给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51 100；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是9 50 .其中正确命题有（）A．①B．②C．③D．④【答案】D【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误；次试验出现正面朝上的频率为（多选）5．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：班级（1）（2）（3）优秀率80%85%75%则下列说法一定正确的是（）A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高B．（3）班的学生人数不一定最少C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数独立事件的乘法公式1．（23-24高一上·江西南昌·期末）给出下列说法，其中不正确的是（）A ．若事件A 的对立事件为B ，则A 与B 为互斥事件B ．若事件A 和B 的概率都不为0，且()()()P A B P A P B ⋂=，则事件A 与B 相互独立C ．若将一组数据的每个数都加上同一个正数，则平均数和方差都会发生改变D ．若一组数据的方差2s 为0，则这组数据的众数唯一2．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是3，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.3．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用,,A B C 三个不同的元件连接成一个系统N ．当元件C 正常工作且元件,A B 至少有一个正常工作时，系统N 正常工作．已知元件,,A B C 正常工作的概率依次为0.8,0.7,0.9，则系统N 能正常工作的概率为．4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A ，B ，C ，D 四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为14，出现平局的概率为12，每场比赛相互独立.(1)求A 组在参加两场比赛后得分为3分的概率；(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.5．（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为3 5，25，p，且三人答题互不影响.(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求p的值.6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是1 4 .(1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率.互斥事件的概率加法公式1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A ，B 是互斥事件，()16P A =，()23P B =，则()P A B =（）A ．118B ．49C ．12D ．232．（22-23高一下·福建宁德·期末）设,A B 为两个互斥事件，且()0P A >，()0P B >，则下列各式一定正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．()()()⋃=+P A B P A P BC ．()()()P AB P A P B =+D ．()()()P A B P A P B = 【答案】B【详解】因为,A B 为两个互斥事件，()0P A >，()0P B >，所以A B ⋂=∅，即()0P AB =，且()()()⋃=+P A B P A P B .故选：B ．3．（18-19高一下·辽宁沈阳·期末）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是A ．0.3B ．0.55C ．0.7D ．0.75【答案】D【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是1(0.450.25)0.3-+=，因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率0.30.450.75P =+=，故选D.4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，则甲以13:11获胜的概率为.5．（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．【答案】(1)0.84(2)0.93【详解】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．则小明的成绩不低于70分的概率是()()()()0.180.510.150.84P B C D P B P C P D ⋃⋃=++=++=.（2）解法一：小明数学考试及格的概率是()()()()()0.180.510.150.090.93P B C D E P B P C P D P E ⋃⋃⋃=+++=+++=.解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是10.070.93-=.6．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“312++”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．频率分布直方图1．（17-18高一下·河南商丘·期末）某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为20010000.2n ==；因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3⨯因为第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为602．（21-22高一下·湖北鄂州·期末）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组[)20,25，第二组[)25,30，第三组[)30,35，第四组[)35,40，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄；现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．(2)若有甲（年龄38)，乙（年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差．【答案】(1)31.753．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.(1)求n 和乙样本直方图中a 的值；(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[)60,70和[)70,80的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[)70,80中的概率.人和4．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；(2)从样本成绩优秀的[)90,95，[]95,100两组学生中任意选取2人，记为{},i j a b ，[)90,95中的学生为()1,2i a i = ，[]95,100中的学生为()1,2j b j = ，求这2人来自同一组的概率；(3)从成绩在[)80,85的学生中任取3名学生记为A 组，从成绩在[)85,90的学生它任取3名学生记为B 组，这两组学生的得分记录如下：A 组:82,83,a ；B 组:85,86,87.写出a 为何值时，A 、B 两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.【答案】(1)0.35．（23-24高一上·河南驻马店·期末）2024年入冬以来，为了减少甲流对师生身体健康的影响，某学1000位师生一周的口罩使用数量统计如下表所示，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人．口罩使用数量[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12频率0.2m 0.3n 0.1(1)求,m n 的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）；(2)根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）；(3)按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，记第一组抽取的2人为12,a a ．第二组抽取的1人为b ，第三组抽取的3人为123,,c c c ，从这6人中随机抽取两人检查其健康状况记为事件M ，请列出事件M 的样本空间，并求这两人恰好来自同一组的概率．（2）由（1）知0.20.10.30.60.75++=<，又因为口罩使用数量在0.60.30.90.75+=>，所以假设75%分位数为x ，则0.750.68290.3x -=+⨯=，由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：30.250.170.390.3110.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故估计所求75%分位数为9个，平均数估计为（3）可知样本空间：()()()()()({121111213,,,,,,,,,,M a a a b a c a c a c a =()()()()()()(231231213,,,,,,,,,,,,a c b c b c b c c c c c c 共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的．记“这两个人来自同一组”为事件，则({D a =。
2019-2020学年江苏省人教版一年级(下)期末数学试卷(附详细解题答案思路))
2019-2020学年江苏省南通市海安县一年级（下）期末数学试卷试题数：24，总分：1001.（问答题，20分）直接写得数．57+6= 25-9= 4+38= 7+16-8= 84+5=76-60= 8+26= 18-8+50= 8+59= 40+38=5+49= ___ +6=68 31-8= 71-6= 93-8=49-___ =42 5+47= 82-7= 60-9= 28-9=___ +42.（问答题，18分）用竖式计算．85-29= 5+68= 46+47=56+39= 72-38= 60-16=3.（问答题，3分）看图写数．4.（填空题，2分）十位上是4，个位上是9的数是___ ，去掉2个十后是___ ．5.（填空题，3分）在65、56、45、6和60这些数中，十位上是6的数有___ 个，个位上是6的数有___ 个，最大的数是___ ．6.（填空题，2分）60比___ 大1，比___ 小1．7.（填空题，3分）找规律填一填．（1）___ ，38，40，42，___ ．（2）90，85，80，75，___ ，___ ．（3）△〇，△△〇，△___ ，___ ．8.（问答题，6分）在〇里填上＞，＜或=．4+7〇7+4 68+3〇6+38 69分〇9角6分72-8〇27+8 90-25〇90-52 77-8〇七十多9.（问答题，3分）按百数表的顺序，在□里填数．10.（填空题，1分）兔妈妈拔了18个萝卜，两只兔宝宝各吃了4个，还剩___ 个萝卜．11.（填空题，2分）光明电影院里，左边的座位都是单号，右边的座位都是双号．亮亮的座位可能是___ 排___ 座，也可能是___ 排___ 座．12.（问答题，1分）小明家里有一个人，他今年是三十多岁，这个人可能是谁？13.（问答题，1分）☆表示的数字都相同，得数最大的算式是哪一个？14.（问答题，1分）正方形对折一次后，不可能折出下面哪个图形？（对的打“√”）15.（问答题，1分）妈妈买了一束花插在2个花瓶里，正好使每个花瓶里的花同样多．这束花可能是___ 朵．（对的画“√”）16.（问答题，1分）在1-100中，十位与个位上的数字相同的两位数有几个？17.（问答题，1分）亮亮买一个62元的书包，付的全是20元的人民币，他最少要付几张20元？18.（问答题，3分）用5个珠子在计数器上表示不同的两位数，先画一画，再写一写．想一想：用5个珠子能拨出的最大两位数是___ ，最小两位数是___ ．19.（问答题，3分）先在方格纸上画一个长方形和一个正方形，再把长方形分成两个三角形．20.（问答题，4分）看图写算式．（1）（2）21.（问答题，3分）妈妈买了多少个苹果？22.（问答题，6分）公共汽车里原有45人，第一次下车18人，第二次下车人数和第一次同样多．（1）一共下车多少人？（2）车上还剩多少人？23.（问答题，6分）一班有22个皮球，二班有9个皮球．（1）二班再买几个皮球就和一班同样多？（2）把两个班的球全部放进下边的纸箱，能装下吗？24.（问答题，6分）（1）明明买了一把，付了___ 张5元和2张1元．（2）东东买了一个付了50元，应找回多少元？（3）商店促销，满50元送一个水杯．华华获得了一个水杯，他买的是上面哪两个玩具？请你圈出来．2019-2020学年江苏省一年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：24，总分：1001.【解答】：解：57+6=63 25-9=16 4+38=42 7+16-8=15 84+5=8976-60=16 8+26=34 18-8+50=60 8+59=67 40+38=785+49=54 62+6=68 31-8=23 71-6=65 93-8=8549-7=42 5+47=52 82-7=75 60-9=51 28-9=15+42.【点评】：笔算整数加减法的方法：（1）相同数位对齐；（2）从个位加起或减起；（3）哪一位相加满十向上一位进一；（4）哪一位不够减从上一位借一当十，加上原来的数再减．3.【点评】：做这题的关键点是学生会数数及正确的计算整数加法．4.故答案为：49；29．5. 【正确答案】：[1]2; [2]2; [3]656.【正确答案】：[1]59; [2]617. 【正确答案】：[1]36; [2]44; [3]70; [4]65; [5]△△〇; [6]△△△△〇8.【点评】：解决本题注意观察数据的特点，根据数据的不同选择合适的方法进行比较．9.【点评】：本题考查整数的认识，解决本题的关键是能够按照百数表中的规律正确的数．10. 【正确答案】：[1]1011.【正确答案】：[1]13; [2]22; [3]13; [4]24；12.【点评】：解决本题要注意结合实际情况，感知三十多岁属于谁的年龄．13.【点评】：解决本题运用赋值法，求出各个算式的结果，从而解决问题．14.【解析】：一个正方形沿对边中点连线对折一次后，可得到2个长为原正方形边长，宽为原正方形边长一半的长方形；把一个正形沿对角线对折一次，可得到2个两直角边为原正方形边长的等腰直角三角形；把一个正方形不论怎么对折一次，都不可能得到正方形．15.【正确答案】：1216.【点评】：此题主要考查自然数的认识．17.【解析】：因为付的全是20元的人民币，20元+20元+20元=60元，因为要付62元，再付一张20元的，所以最少要付4张20元的．18.【正确答案】：50; 1419.【点评】：此题考查的目的是理解掌握长方形、正方形的特征及应用．20.【点评】：考查了运用加减法的意义来解决实际问题的能力．21.【点评】：本题考查了加法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系．22.【解析】：（1）第一次下车18人，第二次下车人数和第一次同样多，也是18人，把这两次下车的人数相加，就是一共下车的人数；【点评】：考查了整数加减法意义的灵活运用．23.【点评】：本题主要考查图文应用题，关键是根据所给图示，找到解决问题的条件，解决问题．24.故答案为：2．【点评】：本题主要考查图文应用题，关键根据图示找到解决问题的条件，解决问题．。
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一数学下学期期末考试数学试题含解析
故选：B
〖点 睛〗本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数的零点，属于中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
，满足 ，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在 上递增，所以C选项错误.
值域为 ，所以D选项正确.
故选：AD
〖点 睛〗本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
10.某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数是8
3.已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
用 减去没有白球的概率，求得所求概率.
〖详 解〗依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 .
故选：D
〖点 睛〗本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
〖答 案〗AC
〖解 析〗
〖分析〗
利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐显然与x＋y＝0垂直，所以正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知 ，
解得 或 ，所以不正确；
对于C项，当 时，有 ，所以直线过定点 ，所以正确；
故选：C
〖点 睛〗本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.
2.已知向量 ，且 ，则x＝（ ）