26.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2图象和性质.
3 … … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 1 2
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 1 -2 y ( x 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
2
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
1、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
1 y ( x 1) 2 2
什么关系? 1 2 x 可以发现,抛物线 y 向左平移1个单位,就得到抛物 2 1 ; 2 线 y ( x 1)
1 1 2 y ( x 1) 2 抛物线 y ( x 1) 与抛物线 2 2
1 y 有2 x 2
-5 -6 -7 -8 -9 -10
二次函数y=a(x－h)2图象和性质
峰口中心学校 白崇福
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是 轴,顶点是
(2)当a>0时,抛物线的开口向 上 ,顶点是 低 抛物线的最 点; 当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点是 下 高 抛物线的最 点; |a|越大,抛物线的开口越 ;小 |a|越小,抛物线的开口越 大 ; (3) a>0时, 在y轴左侧,y随x的增大而减 小,在y轴右侧,y随x增大而增大; a<0时, 在y轴左侧,y随x的增大而增 大,在y轴右侧,y随x增大而减少;
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
c>0
开口 对称性 顶点 增减性
c<0
c>0
c<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像 经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
7.如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 4
3 y ( xh>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
可以看出,抛物线的开口向下,
1 y ( x 1) 2 顶点是(－1,0); 对称轴是经过 2
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 抛物线
1 y 呢? 1) 2 (x 2
x=－1
2 把抛物线 y 1 x 2 向右平移1个单位,就得到抛物 y 1 1 y ( x 1) 2 . 2 线 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 即: -2 1 1 2 向左平移 1 2 y 1 xx 1) 2 (2 y -3 y x y ( x 1) 22 -4 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
如果反过 来,如何表述?
3.函数y=-4x2+4x-1的图象可以由抛物线 y=-4x2 平移得到吗?应怎样平移?
y=-4x2+4x-1=-4(x-0.5)2
4.若抛物线y=2(x-m)
m2 4m 3
的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( A)
A.m=5
C.m=5或m=-1
B.m=-1
D.m=-5
5、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
6、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0） 求该抛物线线的解析式。
二次函数左右平移 的口决
左加右减
例如： 向 左 平 移 1 个 单 位 向 右 平 移 1 个 单 位
y=
2(x+1)2
y=
2x2
y = 2(x－1)2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
对称轴是 直线x=3，顶点坐标
是 （3，0） ，抛物线是最 低 点，
当x= 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
点坐标 （0，36）。
1 2 2.对于二次函数 y (x 6) 请回答下列问题: 2 1 2 (1)把函数 y 的图象作怎样的平移变换得 x 2 1 到函数 的图象. 2 y (x 6) 2
1 2 y (x 6) (2).说出函数 的图象的顶点坐标和对 2
称轴.并
说明x取何值时，函数取最大值？
1 2 向右平移 1 y x y (x 6)2 6个单位 2 2 1 y (x 6)2 顶点是(6,0),对称轴是直线x=6. 抛物线 2
当x=6时,函数y有最大值,y最大=0 .
原点
y
a>0
o
x
a<0
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
y 1 2 x 2
1 x 2 2 2
4
3
2
1
1 2 y x 2
-6
-4
向右平移 y 1 ( x 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4
-2 B
2
4
6
向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(－2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=－2 2个单位 即直线: x=0 2个单位
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
y 1 x 2 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
1 y ( x 2) 2 向左平移 2 2个单位
-8
y
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
画出二次函数 虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 描点
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 y ( x 、 y ( x 的图像,并考 1) 2 1) 2 2 2
1 2 y x 3 2
3 y ( x 5) 2 4
1 2 y (x 6) 2
8.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说 出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
二次函数y=ax2+c的性质
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 1 -2 y ( x 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
2
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
1、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
1 y ( x 1) 2 2
什么关系? 1 2 x 可以发现,抛物线 y 向左平移1个单位,就得到抛物 2 1 ; 2 线 y ( x 1)
1 1 2 y ( x 1) 2 抛物线 y ( x 1) 与抛物线 2 2
1 y 有2 x 2
-5 -6 -7 -8 -9 -10
二次函数y=a(x－h)2图象和性质
峰口中心学校 白崇福
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是 轴,顶点是
(2)当a>0时,抛物线的开口向 上 ,顶点是 低 抛物线的最 点; 当a<0时,抛物线的开口向 ,顶点是 下 高 抛物线的最 点; |a|越大,抛物线的开口越 ;小 |a|越小,抛物线的开口越 大 ; (3) a>0时, 在y轴左侧,y随x的增大而减 小,在y轴右侧,y随x增大而增大; a<0时, 在y轴左侧,y随x的增大而增 大,在y轴右侧,y随x增大而减少;
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
c>0
开口 对称性 顶点 增减性
c<0
c>0
c<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像 经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。
7.如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 4
3 y ( xh>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
可以看出,抛物线的开口向下,
1 y ( x 1) 2 顶点是(－1,0); 对称轴是经过 2
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 抛物线
1 y 呢? 1) 2 (x 2
x=－1
2 把抛物线 y 1 x 2 向右平移1个单位,就得到抛物 y 1 1 y ( x 1) 2 . 2 线 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 即: -2 1 1 2 向左平移 1 2 y 1 xx 1) 2 (2 y -3 y x y ( x 1) 22 -4 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
如果反过 来,如何表述?
3.函数y=-4x2+4x-1的图象可以由抛物线 y=-4x2 平移得到吗?应怎样平移?
y=-4x2+4x-1=-4(x-0.5)2
4.若抛物线y=2(x-m)
m2 4m 3
的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( A)
A.m=5
C.m=5或m=-1
B.m=-1
D.m=-5
5、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
6、按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0） 求该抛物线线的解析式。
二次函数左右平移 的口决
左加右减
例如： 向 左 平 移 1 个 单 位 向 右 平 移 1 个 单 位
y=
2(x+1)2
y=
2x2
y = 2(x－1)2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
对称轴是 直线x=3，顶点坐标
是 （3，0） ，抛物线是最 低 点，
当x= 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
点坐标 （0，36）。
1 2 2.对于二次函数 y (x 6) 请回答下列问题: 2 1 2 (1)把函数 y 的图象作怎样的平移变换得 x 2 1 到函数 的图象. 2 y (x 6) 2
1 2 y (x 6) (2).说出函数 的图象的顶点坐标和对 2
称轴.并
说明x取何值时，函数取最大值？
1 2 向右平移 1 y x y (x 6)2 6个单位 2 2 1 y (x 6)2 顶点是(6,0),对称轴是直线x=6. 抛物线 2
当x=6时,函数y有最大值,y最大=0 .
原点
y
a>0
o
x
a<0
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
抛物线y=x2 把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
y 1 2 x 2
1 x 2 2 2
4
3
2
1
1 2 y x 2
-6
-4
向右平移 y 1 ( x 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4
-2 B
2
4
6
向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(－2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=－2 2个单位 即直线: x=0 2个单位
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
y 1 x 2 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
1 y ( x 2) 2 向左平移 2 2个单位
-8
y
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
画出二次函数 虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 描点
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 y ( x 、 y ( x 的图像,并考 1) 2 1) 2 2 2
1 2 y x 3 2
3 y ( x 5) 2 4
1 2 y (x 6) 2
8.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说 出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
二次函数y=ax2+c的性质
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高中数学二次函数y=a(x—h)2的图象与性质的教学设计
26.1.3 二次函数y ＝a(x —h)2的图象与性质的教学设计教材分析本课时的内容是在学生已经掌握了特殊的二次函数y=ax 2和y=ax 2+k 的图象的画法、性质以及研究方法等内容的基础上提出的。
既是二次函数特殊式y=ax 2(a=0,c=0)和y=ax 2+k （b=0）的延续，又是研究顶点式y=a(x-h)2+k 和一般式y=ax 2+bx+c 的关键，具有承上启下的作用。
二．教学目的1、 使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2、 使学生了解抛物线y=a(x-h)2的对称轴与顶点；3、 了解抛物线y=a(x-h)2同y=ax 2的位置关系 三。
教学重点：画出形如y=a(x-h)2的二次函数图象，能指出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标。
难点：恰当地选值列表，正确地画出形如y=a(x-h)2的函数图象，探索抛物线y=a(x-h)2同y=ax 2的位置关系。
四．教学方法为了调动学生的学习积极性，充分体现课堂教学的主体，我采用问题教学、探究、启发、引导教学法。
五．教学过程课前准备：学生准备好一张坐标纸（一）.复习导入，问题1：y=ax 2+k 图象与性质是什么？2. y=ax 2+k 图象与 与 y==ax 2图象位置之间有什么关系？设计意图：类比旧知识，为探究二次函数y ＝a(x —h)2的图象与性质起铺垫作用。
二．探索新知：问题2：二次函数y ＝a （x -h ）2的图象和性质是什么？1.画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点坐标．①先列表：②描点并画图122.师生互动：由学生动手画出图象，体会y ＝－12 (x ＋1)2， y ＝－12 (x －1)2图象与 y=ax 2一样仍是抛物线，并引导学生根据图象指出开口方向，顶点坐标与对称轴，在操作、观察、发现中自主建构出知识。
设计意图：由学生自己类比旧知识中通过自己努力形成新知。
22.1.3.2二次函数y=a(x-h)2的图像和性质.1.3.2二次函数y=a(x-h)2的图像和性质-----
板书设计：
教学反思：
重点：
难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
课题
22.1.3.1二次函数y=a（x-h）2
的图像和性质
课时
第四课时
主备教师
成员
教学目标
1．使 学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。
2．让学生经 历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函 数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－ (x＋2)2图象与函数y＝－ x 2的图象有何关系?
问题8：你能说出函数y＝－ (x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
问题9：你能得到函数y＝ (x＋2)2的性质吗?
四、课堂练习：P35练习。
五、小结：．谈谈本节课的收获和体会。
二次备课建议：
六、作业设置：同步学习32页4,5题
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2x2
y＝2(x－1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的 图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝数y＝2(x－1)2的性质吗?
教学反思：
重点：
难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
课题
22.1.3.1二次函数y=a（x-h）2
的图像和性质
课时
第四课时
主备教师
成员
教学目标
1．使 学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。
2．让学生经 历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函 数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－ (x＋2)2图象与函数y＝－ x 2的图象有何关系?
问题8：你能说出函数y＝－ (x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
问题9：你能得到函数y＝ (x＋2)2的性质吗?
四、课堂练习：P35练习。
五、小结：．谈谈本节课的收获和体会。
二次备课建议：
六、作业设置：同步学习32页4,5题
1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2x2
y＝2(x－1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的 图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝数y＝2(x－1)2的性质吗?
初中数学《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质》讲解教学课件
复习
y=ax2+k
课堂小结 图象的画法 描点法
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
平移法
y=ax2
图象的特征
平移规律：
开口方向 及增减性
顶点坐标（h,0）
a>0,开口向上 对称轴
a<0,开口向下 直线x=h a的符号决定
增减性
括号内：左加右减；括号外不变.
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例 画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1
y 1 x 12 ··· －2
y
21 x 12
2
···
y
1 2
9 2
0 －2
01
1 12212
－2 0
2 3 ···
9
21 2
1 2
－2
··· ···
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
初中数学讲解教学课件
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
对称轴 直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
想一想
抛物线
y
1 2
x
12
，y
1 2
x
12
的图象与抛物线
y
1 2
x2
的图象有什么关系？
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
y=ax2+k
课堂小结 图象的画法 描点法
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
平移法
y=ax2
图象的特征
平移规律：
开口方向 及增减性
顶点坐标（h,0）
a>0,开口向上 对称轴
a<0,开口向下 直线x=h a的符号决定
增减性
括号内：左加右减；括号外不变.
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例 画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1
y 1 x 12 ··· －2
y
21 x 12
2
···
y
1 2
9 2
0 －2
01
1 12212
－2 0
2 3 ···
9
21 2
1 2
－2
··· ···
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
初中数学讲解教学课件
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
对称轴 直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
想一想
抛物线
y
1 2
x
12
，y
1 2
x
12
的图象与抛物线
y
1 2
x2
的图象有什么关系？
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
二次函数y=a(x-h)2的图像与性质
的图象，在右向
平3 移
个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.
8图.函象数向y左=平（移3x5+个6单）位2的得图到象的是，由其函图数y2象=开9（口x向－3上）
的 ，对
称时轴，y是随直2x的线增x=大－而增大，，顶当点－x坐2=标（是－2，时0，）小y有，＞最当－x2 0值
是
.
基础练习：
9、顶点(－2,0)，开口方向、形状与 函数y=2x2的图象相同的抛物线所对 应的函数是______
当h>0时，图象向右平移了，括号内是“—”号形式，
当h<0时，图象向左平移了，括号内是“+”号形式，
（-h是正数）
y
-8 -6 -4 y 1(x1)2
2
10 -2
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 4 6 8x
y 1 x2 2
y 1(x1)2 2
二次函数左右平移 的口决
左加右减
向 左 平
类似的，抛物线y=2(x+1)2有哪些性质？
在同一平面直角坐标系中，画出了二次函数 y 和 y 1(x1)2 的图象，它们可以看作是抛物线
2
1(x1)2
y
2
1
x
2
2
向
向左 或 向右 平移 1 个单位得到的。它们的对称轴分
别是什么？顶点坐标呢？
y
1
●
●
x
（3）它们的位置由什么决定的？
它们的位置是由h决定的：
y =a(x+h)2 移
h 个 单 位
向 右 平
y = ax2 移
h 个 单 位
y = a(x－
h)2
自学检测
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2的图象.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.阅读教材第33至35页，自学“探究”与两个“思考”，掌握y=a(x-h)2与y=ax 2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.自学反馈 学生独立完成后集体订正①抛物线y=ax 2()()h −−−−−−−→向左平移个单位y=a(x+h)2(h>0)， 抛物线y=ax 2()()h −−−−−−−→向右平移个单位y=a(x-h)2(h>0). ②画函数y=-12x 2、y=-12(x+1)2和y=-12(x-1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y=-12x 2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？解：略观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.③二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线x=h.④抛物线y=ax 2向左平移h 个单位，即为抛物线y=a(x+h)2(h>0)；抛物线y=ax 2向右平移h 个单位，即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).注意y=a(x-h)2中h 是非负数.⑤抛物线y=-12(x-1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线x=1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y=-12x 2.活动1 小组讨论例1 在直角坐标系中画出函数y=12(x+3)2的图象. ①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；②根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？③怎样平移函数y=12x 2的图象得到函数y=12(x+3)2的图象？解:①对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3,0);②当x<-3时，y 随x 的增大而减小；当x>-3时，y 随x 的的增大而增大；当x=-3时，y 有最小值.③将函数y=12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y=12(x+3)2的图象.二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.不画图象，回答下列问题.①函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x 2的图象作怎样的平移得到的?②说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.③函数y=2(x+1)2有哪些性质？④若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象?性质从增减性、最值来说.解：1.①向左平移1个单位②开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标(-1，0) ③当x>-1时，y随x的增大而增大；当x<-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y有最小值0 ④y=2(x+4)2.2.与抛物线y=2(x+1)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=-2(x+1)2.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
22
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
返回
17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
返回
17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
26.1.3二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y轴 （0，c） 最大值
a＞0 a＜0
向上 直线 x=h 直线 向下 x=h
（h，0） 最小值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而减小 大而增大 （h，0） 最大值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而增大 大而减小
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口向上 ，对称轴是 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 直线x= -5 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和 y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x1)2和y=-3(x+1)2在x 轴的下方(除顶点外), 它的开口向下,并且 向下无限伸展. y
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
Y轴 （0，c） 最大值
a＞0 a＜0
向上 直线 x=h 直线 向下 x=h
（h，0） 最小值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而减小 大而增大 （h，0） 最大值 Y随x的增 Y随x的增 是0 大而增大 大而减小
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开 口向上 ，对称轴是 ，当x= -5 时，y有最 小 值， 直线x= -5 是 0 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 4 是直线x= ，当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和 y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x1)2和y=-3(x+1)2在x 轴的下方(除顶点外), 它的开口向下,并且 向下无限伸展. y
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数
二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
6
(x
2)2
25
观察三条抛物线的 y 1 x 22
4
相互关系,并分别指 2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
y＝a(x-ｈ)2(a≠0)
a>0
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
4、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x2 3 B、5、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
顶点 坐标
最值
增减性
在对称 在对称 轴右侧 轴左侧
y=ax2
y=ax2+k
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
向上 y轴
向下 y轴 向上 y轴 向下 y轴
（0，0） （0,0）
（0,k） （0,k）
当x=0时， Y随x的增 Y随x的增 y最小值=0 大而减小 大而增大
九年级数学二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
二 二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系
想一想
抛物线 y 1 x 12，y 1 x 12 的图象与抛物线
2
2
y 1 x2 的图象有什么关系？
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
24
y 1 x 12
2
y 1 x 12
a,c的符号
a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
向上
对称轴 顶点坐标
y轴（直线x=0） （0,c）
函数的增减性 最值
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大.
x=0时，y最小值=c
向下 y轴（直线x=0）
（0,c）
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
当堂练习
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么 平移后抛物线的解析式是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 . 2顶.二点次坐函标数是y_=_2(_(32_x,_-0_) 23__).2图象的对称轴是直线___x__32__，
解析：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝ 3＞0，∴x＜－ 2时，y随x的增大而减小；x＞－ 2 时， y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 2，y1)，∴点 A在抛物线上的对称点A′的坐标为(3 2 ，y1)．∵－ 2＜ 1＜0＜3 2，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.