实变函数重点题集.docx

3、下列说法不止确的是(B )

(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测

(0开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测

二.填空题(3分X5二15分)

1、(C A u C B) n (A - (A - B)) = 0 2 > 设 E 是［0,1］ ±有理点全体,则

E=［O,1］,E = 0,E = ［O,1］.

3、设E 是/?”中点集,如果对任一点集T 都有mT = m*(Tr>E) + m (T n CE),则称E 是 厶可测的

4、 /(力可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.

5、 设/⑴为上的有限函数，如果对T ［a,b ］的一切分划，使］*于(兀)-/(兀_|)|｝成 一有界数集，则称f(x)为［°问上的有界变差函数。

1、 设EuR',若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误 _

2、 若mE = 0 ,则E —定是可数集?错误例如：设E 是Cantor 集，则mE - 0 ,但E = c , 故其为不可数集

3、 若1/⑴I 是可测函数,则于(兀)必是可测函数。错误

二、2.下列说法不正确的是(C)

(A) 花的任一领域内都有E 中无穷多个点，则人是E 的聚点

(B) ￡)的任一领域内至少有一个E 屮异于￡)的点，则儿是E 的聚点

(C) 存在E 屮点列｛化｝,使POR),则人是E 的聚点

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言(B)是正确的。

(A)任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；

(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；

4. 下列断言中(C)是错误的。

(A)零测集是可测集； (B)可数个零测集的并是零测集；

(C)任意个零测集的并是零测集；(D)零测集的任意了集是可测集；

1、设 4严［丄,2—丄］‘ =1,2,…，则 limA z? = _____

n n n —>oo

答案:(0,2) 2, c ； 0 ； 0 3, < 4,设/?⑴是E 上必.有限的可测函数，贝恻 任意5〉0,存在闭子集u E ,使得/(兀)在爲上是连续函数，Km(E\￡y )<^o

5, 对任意e>Q,38 > 0,使对［a,b ］中互不相交的任意有限个开区间仏,勺)」=1,2,…”只 要 Z 2、 3

、 ___ , mP 、 O ___ , p = 00

设P 为Cantor 集,则P 设｛Sj ｝是一列可测集，则加uS ;. ______ 工mS i v =1 丿 z=l 5、 鲁津定理：

________________________________________________________ 设F(x)为［a,可上的有限函数，如果 ________ 则称F(x)为［a,h ］上的绝对连续函数。

仇-终)v “ 就有￡ I F(bJ一F(aJ l< e

1=1 /=1

1、由于［0,1］-(0,1) = {0,1},故不存在使(0,1)和［0,1］之间1-1对应的映射。错误

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确

3、必?收敛的函数列必依测度收敛。错误

4、连续函数一定是有界变差函数。错误

2.(6分)设￡>0,日开集G = E,使応(G —E)<￡,则E是可测集。

1 00

证明：对任何正整数〃，由条件存在开集G“=E,使”G-E)v丄令G = C\G n，则G是斤“=i 可测集，又因in (G-E)

M =G-E是一零测度集，所以也町测.由E = G-(G-E)矢口，E可测。

4.(8分)设函数列九⑴(n = l,2,^)在有界集E上“基本上”一致收敛于门兀)，证明: ￡(如?收敛于/(x)o

证明：因为九(兀)在E上“基本上”一致收敛于/(%),所以对于任意的心-,存在可

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测集EfE ,￡⑴在乞上一致收敛于/*(兀)，且m(E\E k)<-令E*=|J E,，则￡(兀)在k k=\

s 1

E*上处处收敛到/(x), m(E \ E \ = m(E\ \JEJ 5 m(E \EJ < - , k=l,2…

k=l k

所以7H(E\E*) =0...

1、设集合N uM ,则M-(M-N)=N_

= o

2、设P 为Cantor 集，贝I」P = =, mP =0, P = 0_o

3、设E是/?"中点集,如果对任一点集T都有mT = m(Tr>E) + m (T n CE),则称E是厶可测的

4、叶果洛夫定理：设/n(E)< ^,{/J是E上一列么匕收敛于一个Q.匕有限的函数/的可测函数，则对任意5〉0,存在子集uE ,使{.九}在￡$上一致收敛口加(￡\心)<5。

5、设/⑴在E上可测，则f(x)在E上可积的充要条件是")|在E上可积.

1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设Gn=(-一丄,_1 +丄),n=l,2，…，每个Gn为开集但Q C =［_M1不是开集. ""

"】

2、若证=0 ,则E—定是可数集。不成立；设E是Cantor集，贝lj mE = 0 ,但E = c, 故其为不可数集。

3、a e收敛的函数列必依测度收敛。不成立

4、连续函数一定是冇界变差函数。不成立

1、(6 分)试证(0,1)?［0,1］

证明：记(0,1)中有理数全体Q = {斤，◎…},令

0(0) = I ］

旅对二严⑴ 巳 蛾如是［0,1倒(0,1)上的1-1映射所以(0,1)?［0,1］

0

0(兀)=兀,x 为［0,1］屮无理数,

2、设几兀)是(-co,+oo)上的实值连续函数则对任意常数c, E = {x\/(x)>c}是一开集. 证明：0兀° w E,即/(兀°)〉c. 因 f (x)连续，故m 》>0,Vx e u(x 0,

即2(兀。)u E .所以观是E 的内点.由兀。的任意性,E 的每一个点都是内点，从而E 为开集.

1、设/⑴是(-oo,+oo)上的实值连续函数，贝IJ 对于任意常数a,E = {x\ f(x)>a ］是闭集。 证明：

Vx G E ：则存在E11的互异点列{兀使lim 兀”=兀;??? ￡丘E,a ;

??? /(x)在兀点连续，/(x) = lim/(xj>a \:.xeE\.\ E 是闭集.

川一>8

3、(6分)设/*(兀)是可测集E 的非负可积函数,g(x)是E 的可测函数,且l^(x)l

证明：???丨 g(x) 1< /(X ),

g +(x) < f(x),g'(x) < f(x)??? J[g+(x)]严 5 j[/W]/x< jf(x)dx ???/(兀)是可测

En " E n

E j/(x)dx < +oo g +(x)是 E ■上的可积函数. En n E

同理，g —(x)也是E 上的可积函数?.??g (兀)是E 上的可积函数。

1.设 P 为 Cantor 集，则(C)

(A) P= & (B) mP = 1 (C) P = P (D) P = P

5?设/(兀)为上的有界变差函数，则下面不成立的是(D )

(A) /(兀)在［d,切上厶可积(B) /⑴ 在［a,b ］_LR 可积

(C) f ⑴在［d,b ］上厶可积(D) /(兀)在⑺上］上绝对连续

2、设EuR,若E ，uE,则E 是闵集若EuE,则E 是旺集；若E = E 则E 是完备集?

5、设/(兀)为［。,列上的有限函数，如果对］' ［a,b ］的一切划分，使/(x /.)-/(x /_I )lj 成 一有界数集，则称/(力为［a,b ］上的有界变差函数。

1、 A 为可数集，B 步至多可数集，则AuB 是可数集；成立 _

2、 若mE = 0 ,则tnE=0；不成立;E 为［0,1］中的全体有理点集,则有证=0 ,而虑=1

3、^1/(x)l 是可测函数，则/⑴必是可测函数；不成立.设E 是［°问上的不可测集,

集E 的非负可积函数???

lim /1->CO

/Cv) =

E;

-x.x e [a问一

E;

则1/(兀)1是［诃上的可测函数, 但“0不是s问上的…

4.设/(兀)在可测集￡*上可积分，若VxeE,/(x)>0,则［/(x)>o ；不成立?见下页