2011年考研数学三真题及答案解析
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2011年考研数学三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x时，3sin sin3f x x x 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4(C) k=3,c =4(D ) k=3,c =4【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，sin x x在本题中，3sin sin 3limkxx xcx3sin sin cos 2cos sin 2limk xxx xx xcx2si n 3c o s 22c o sl i mkxxx x cx213c o s 22c o sl i mk xx x cx22132cos 12cos limk xx xcx221144cos 4sin limlimk k xxx x cxcx34l i m 14,3kx c kcx，故选择(C).(2) 已知函数f x 在x=0处可导，且0f =0，则2332limxx f xf xx = ( )(A) 2f (B)f (C) 0f (D) 0.【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义0000()()lim()xf x x f x f x x在本题中，2322333020220limlim x x x f xf xx f xx f f xf x x3300lim20200xf x f f xf f f f xx故应选(B)(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A)若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(B) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(D) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质若级数1n n u 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数2121()nn n u u 是级数1n n u 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u 收敛时，2121()nn n u u 也收敛，故（A ）正确.(4) 设40ln sin Ix dx ，40ln cot Jx dx ，40ln cos K xdx ，则,,I J K 的大小关系是( )(A) IJ K(B) I KJ(C) JIK(D) KJ I【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ，则()()b b aaf x dxg x dx ()ab 在本题中，如图所示：因为04x，所以0sin cos 1cot x x x又因ln x 在(0,)是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x xx(0,)4x4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx即I KJ .选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A = ( )(A)12P P (B)112P P (C)21P P (D)121P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.π/4在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,1A B 即111,AP B ABP 故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故10000101B E即2,P BE 故122,BP P 因此，1112121,A P P P P 故选(D)(6) 设A 为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax的通解为()(A) 23121()2k (B)23121()2k (C)23121231()()2k k (D)23121231()()2k k 【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1，2是Ax b 的两个解，则12是0Ax 的解；（2）如n 元线性方程组Axb 有解，设12,,,t是相应齐次方程组0Ax的基础解系，是Ax b 的某个已知解，则11220ttk k k 是Axb 的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,是Ax的3个线性无关的解，那么21，31是0Ax的2个线性无关的解.从而()2n r A ，即3()2()1r A r A 显然()1r A ，因此()1r A 由()312n r A ，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222AAA，故231()2是方程组Ax的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是()(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C)1()f x 2()F x (D)1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx 在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx .在四个选项中，只有（D ）选项满足1221()()()()f x F x f x F x dx2112()()()()F x dF x F x dF x 121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x 1故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)的泊松分布，12,,,(2)n X X X n为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111ni i T X n和121111n in i T X X n n，有()(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C)1ET <2ET ,1DT >2DT (D)1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布()X P 数学期望EX ，方差DX（2）()E cX cEX ，()E X Y EXEY ，2()D cX c DX ，()D XY DXDY （X 与Y 相互独立）在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0iiEX DX ，1,2,,i n ，从而111111()()nni i i i E T E X E X n E Xnnn，112111111()()11n n ini n ii E T EX X E X E X n nn n11(1)()()1i n n E X E X n n111E XE X nn故12E T E T 又1121((11))ni i D T D n D X D Xn nX nn，12221111()(1)1(1)n in i D T D X X n n nn n12()1D T n nn，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设0lim 13xtt f x x t，则f x.【答案】313xex【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式1l i m (1)xxxe在本题中，3130lim 13lim13x t x tttttf x x tx t 3xx e所以有313xf x ex .(10) 设函数1xyx z y，则1,1dz.【答案】12ln 2dx dy【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x zyy，故11[ln(1)]z x x z xyyxy，21[ln(1)]z x x x z yyyxy令1x ，1y ，得(1,1)2ln 21z x ，(1,1)(2ln 21)z y，从而(1,1)12ln 2dz dx dy(11) 曲线tan 4yxye 在点0,0处的切线方程为.【答案】2yx【详解】方程变形为arctan()4y x ye ，方程两边对x 求导得211y yeyy e，在点(0,0)处(0)2y ，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2yx .(12) 曲线21yx，直线2x及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为.y21y x【答案】43【详解】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线()yf x ()axb ，则曲线()yf x 与直线x a ，x b 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2()b xaV f x dx在本题中，222223111141().33Vy dxxdxx x (13) 设二次型123,,Tf x x x x Ax 的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy 下的标准形为.【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点：任给二次型,1()nij i j ijji i j fa x x a a ，总有正交变换xPy ，使f 化为标准形2221122nnfyyy ，其中12,,,n是f 的矩阵()ij A a 的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a 所以3是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10是A 的2重特征值.因此，正交变换下标准形为：213y.(14) 设二维随机变量,X Y 服从正态分布22,;,;0N，则2E X Y= .【答案】22()【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY在本题中，由于,X Y 服从正态分布22,;,;0N，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY ，又EX，2222()EYDYEY ，所以222()()E XY 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限012sin 1limln 1xx x x x【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，ln(1)x x在本题中，012sin 1limln 1xx x x x212sin 1lim x xx x2cos 1cos 12sin cos 12sin 212sin lim lim lim 22212sin x x x xx xx x x xxx xcos sin cos 112sin lim lim .22212sin x x x x x xx(16) (本题满分10分)已知函数,f u v 具有连续的二阶偏导数，1,12f 是,f u v 的极值，(,,)z f x y f x y .求21,1zx y【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件设(,)zf x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y .在本题中，(,(,))z f xy f x y 121(,(,))(,(,))(,)z f xy f x y f xy f x y f x y x2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f xy f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y 1,12f 为,f u v 的极值121,11,1f f211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y (17) (本题满分10分)求不定积分arcsin ln xxdxx【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）()x t ，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ；（2）udvuvvdu ；（3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx . 在本题中，令t x,2xt ,2dxtdt arcsin ln xxdxx2arcsin ln 2tttdt t 22arcsin ln t t dt22222arcsin 22ln 21tt t tdt t tt dttt222(1)2arcsin 2ln 41d t t t t tt t222arcsin 2ln 214t t t ttt C2arcsin 2ln 214x x x x x x C ，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 303xx恰有两个实根.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ），那么在开区间(,)a b 内至少有一点，使()0f （2）函数单调性的判定法设函数()yf x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.①如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y f x 在[,]a b 上单调增加；②如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()yf x 在[,]a b 上单调减少. 在本题中，令4()4arctan 33f x xx，'24()11f x x当3x 时，'()0f x ，()f x 单调递减；当3x时，'()0f x ，()f x 单调递增.4(3)4a r c t a n (3)(3)303f .当3x 时，()f x 单调递减,,3x,()0f x ；当33x时，()f x 单调递增, 3,3x,()f x 3x是函数()f x 在(,3)上唯一的零点.又因为48(3)4arctan33323033f 且4lim lim 4arctan 3.3xxfxx x由零点定理可知，03,x ，使0f x ,方程44arctan 303xx恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间0,1具有连续导数，(0)1f ，且满足'()()ttD D f xy dxdyf t dxdy , (,)0,0(01)tD x y yt x xt t，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx 的通解()()(())P x dxP x dxyeQ x edx C .在本题中，因为()()t tt xD f xy dxdydxf xy dy ，令x y u ，则()()()()t x t x f x y dyf u duf t f x 0()(()())()()tt t D f xy dxdyf t f x dxtf t f x dx21()()()()2tt D tf t f x dxf t dxdyt f t . 两边对t 求导，得2()()02f t f t t ,解齐次方程得212()(2)dt t C f t Cet 由(0)1f ，得4C . 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x .(20) (本题满分11分)设向量组11,0,1T，20,1,1T，31,3,5T不能由向量组11,1,1T,21,2,3T,33,4,Ta线性表出.(I)求a 的值；(II)将1，2，3用1，2，3线性表出.【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b (I)因为123101,,01310115，所以123,,线性无关.那么123,,不能由123,,线性表示123,,线性相关，即123113113,,124011501323aaa，所以5a (II)如果方程组112233(1,2,3)jx x x j 都有解，即123,,可由123,,线性表示.对123123,,,,,（）作初等行变换，有123123,,,,,（）=10111301312411513510111301312401422101113013124011021002150104210001102故112324，2122，31235102(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且11110001111A (I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）(0)A为矩阵A 的特征值，为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I ）因()2r A 知0A ，所以0是A 的特征值.又111000111A，110011A ，所以按定义1是A 的特征值，1(1,0,1)T是A 属于1的特征向量；1是A 的特征值，2(1,0,1)T是A 属于1的特征向量.设3123(,,)Tx x x 是A 属于特征值0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T T x x x x 解出3(0,1,0)T故矩阵A 的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k ，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ，有1112123110110001(,,0)(,,)000001000111101A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 01P 1/32/3Y 10 1P1/31/31/3且22()1P XY .(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(II) 求ZXY 的概率分布；(III) 求X 与Y 的相关系数XY.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差cov ,X Y E XY E X E Y（2）相关系数c o v ,()()XYX Y D X D Y (I)设(,)X Y 的概率分布为YX-110 11p 12p 13p 1/3 121p 22p 23p 2/31/31/31/3根据已知条件221P XY，即0,01,11,11P X Y P X YP XY ，可知12211p pp ，从而11130p pp ，12212313p p p ，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY 的所有可能取值为-1，0，1 .111,13P Z P X Y 111,13P Z P XY101113P ZP Z P ZZ XY 的概率分布为(3) 23EX，0EY ，0EXY ，故(,)0Cov X Y EXY EX EY ，从而0XY.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y 与0y 所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy ，()(,)Y f y f x y dx ；（2）在Y y 的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y ；（3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度Z -1 0 1 p1/31/31/3X Y -1 0 1 0 1/3 0 10 1/31/31,(,),(,)0,x y G f x y A 其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G 当01x 时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x ；当12x时，20()(,)12x X f x f x y dydyx ；当0x或2x时，()0X f x .所以, 01,()2, 12,0,X x x f x x x其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y 当01y时，2()122y Y yf y dx y ；当0y 或1y时，()0Y f y .所以|1,2,01,22(|)0,X Y yxy yy f x y 其他.。
2011年考研数学三真题及答案解析
2011年考研數學（三）真題及答案詳解一．選擇題1.已知當错误！未找到引用源。
0x →時，函數()3sin sin3f x x x =-错误！未找到引用源。
與kcx 是等價無窮小，則（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-（C ） 错误！未找到引用源。
（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =處可導，且()00f =，則()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．設{}n u 是數列，則下列命題正確の是 （A ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=+∑收斂（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂（C ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=-∑收斂（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂4．設4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，則,,I J K の大小關係是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．設A 為3階矩陣，將A の第二列加到第一列得矩陣B ，再交換B の第二行與第一行得單位矩陣.記1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,則A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．設A 為43⨯矩陣，123,,ηηη是非齊次線性方程組Ax β=の3個線性無關の解，12,k k 為任意常數，則Ax β=の通解為 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．設()()12,F x F x 為兩個分佈函數，其相應の概率密度()()12,f x f x 是連續函數，則必為概率密度の是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．設總體X 服從參數為λ()0λ>の泊松分佈，()12,,,2n X X X n ≥ 為來自總體の簡單隨機樣本，則對應の統計量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空題9．設0()lim (13)xtt f x x t →=+，則()f x '=10．設函數(1)xy xz y=+，則(1,0)dz =11．曲線tan()4y x y e π++=在點(0,0)處の切線方程為12．曲線y =2x =及x 軸所圍成の平面圖形繞x 軸旋轉所成の旋轉體の體積為13．設二次型123(,,)T f x x x x Ax =の秩為1，A 中行元素之和為3，則f 在正交變換下x Qy =の標準為14．設二維隨機變數(,)X Y 服從22(,;,;0)N μμσσ，則2()E XY =三、解答題15．求極限0x →16.已知函數(,)f u v 具有連續の二階偏導數，(1,1)2f =是(,)f u v の極值，[](),(,)z f x y f x y =+。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2011数三考研真题
2011数三考研真题2011年的数学三科考研真题涉及了多个知识点和题型，包括线性代数、概率统计、微分方程、实变函数等。
本文将按照真题的顺序，逐一进行分析和解答。
1.线性代数题目1：已知n阶方阵A满足A²+A+E=O，则下列哪个判断必为真？选项：A. A为满秩方阵B. det(A)≠0C. 0为A的特征值D. A可对角化解答：根据已知条件，我们可以对方程A²+A+E=O进行求解。
首先，根据矩阵乘法的定义，我们可以得到A²+A=E-A。
然后，我们将方程两边同时加上E，得到A²+A+E=E。
再进一步移项，可得A(A+I)=O。
由于方阵A与单位矩阵I可互相抵消，所以有A(A+I)=O可以推出A+I=O。
因此，A的行列式det(A)=(-1)^n det(A+I)=0。
由行列式为0可知A不是满秩方阵，所以选项A错误。
又因为矩阵A的行列式为0，所以选项B正确。
由推导过程可知0不是A的特征值，所以选项C错误。
最后，由于A不是满秩方阵，所以A不可对角化，所以选项D错误。
综上所述，选项B是正确答案。
2. 概率统计题目2：设X1，X2，…，Xn为来自总体X—泊松分布，参数λ（λ＞0），X1，X2，…，Xn相互独立。
已知X1+X2+…+Xn=k(k为正整数)，则X1，X2，…，Xn的最大似然估计为选项：A. kλ/nB. nλ/kC. k/nD. λ/n解答：根据题目所给条件，我们可以确定样本X1，X2，…，Xn来自泊松分布。
而泊松分布的概率密度函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!。
根据最大似然估计的原理，我们需要找到能使得样本观测值出现概率最大的参数值。
对于泊松分布来说，参数λ即为泊松分布的均值和方差。
所以，我们需要找到使λ最大的值。
而已知样本X1，X2，…，Xn的总和为k，因此λ=k/n。
所以最大似然估计为λ/n，即选项D为正确答案。
3. 微分方程题目3：已知微分方程dy/dx+x(1+y²)=0的特解y=y(x)满足y(0)=0，若x(x≠0)时，y(x)的表达式为选项：A. x/(1+x²)B. 1/(1+x²)C. 1/xD. x解答：根据已知的微分方程，我们可以使用分离变量的方法进行求解。
2011考研数学真题和答案详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程 考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵 考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布 分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解
【详解一】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − x − 1 = lim x →0 x ln(1 + x) x2
cos x − 1 + 2sin x cos x − 1 + 2sin x = lim x →0 x →0 2x 2 x 1 + 2sin x 1 cos x 1 )=− = lim(− sin x − 2 x →0 2 1 + 2sin x = lim
(B)
+ k2 (η 2 − η1 ) ; 2 η − η3 (D) 2 + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η 2 − η1 ) . 2
η 2 − η3
η3 − η1，η 2 − η1 为 AX = 0 的基础解系.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为 1 是非
齐次线性方程组解，从而
η 2 + η3
2 2 2
.
【答案】 μ ( μ + σ )
2 2
【详解】 由题知 X 与 Y 的相关系数 ρ XY = 0 ， 即 X 与 Y 不相关.在二维正态分布条件下，X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立等价，所以 X 与 Y 独立，则有
EX = EY = μ , DX = DY = σ 2 EY 2 = DY + ( EY ) = μ 2 + σ 2
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【详解二】 lim
x →0
1 + 2sin x − x − 1 1 + 2sin x − ( x + 1) 2 = lim x →0 2 x ln(1 + x) x 1 + 2sin x − x − 1
2011-2013考研数学_三_真题及答案详解
X1 − X 2 的分布 | X3 + X4 − 2 |
(A) N（0,1） (B) t(1)
二、填空题：9 ∼ 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． (9) lim ( tan x ) cos x −sin x =
x→ 1
π
4
(10)设函数 f ( x ) = ⎨
x →0
1 + 2sin x − x − 1 x ln(1 + x)
16. 已 知 函 数 f (u , v) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， f (1,1) = 2 是 f (u , v) 的 极 值 ，
z = f [ ( x + y ), f ( x, y ) ] 。求
∂2 z ∂x∂y (1,1)
4 0 0
π
π
（A） I < J < K （B） I < K < J （C） J < I < K （D） K < J < I 5．设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第一行得单位矩阵.
⎡1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ 1 0 ⎥ , P = ⎢ 0 0 1 ⎥ ,则 A = 记P 1 = ⎢1 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 0 1 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( λ > 0 ) 的泊松分布，X 1 , X 2 ,
, X n ( n ≥ 2 ) 为来自总体的简单随机样本，
1 n 1 n −1 1 X ， T = Xi + Xn ∑ ∑ i 2 n i =1 n − 1 i =1 n
（A） ET1 > ET2 , DT1 > DT2 （B） ET1 > ET2 , DT1 < DT2 （C） ET1 < ET2 , DT1 > DT2 （D） ET1 < ET2 , DT1 < DT2
2011年全国考研数学三真题
2
k1( 2
1)
(B)
2
3
2
k1( 2
1)
(C)
3
22
k1( 2
1) k2 ( 3
1)
(D)
3
22
k1( 2
1) k2 ( 3
1)
(7) 设 F1(x) , F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x) 与 f2(x) 是连续
函数，则必为概率密度的是 (
)
(A) Hale Waihona Puke 1(x) f2 (x)1 n
n i1
Xi
和 T2
1 n
1
n i
1 1
Xi
1 n
X
n
，有
(
)
(A) ET1 > ET2 , DT1 > DT2 (C) ET1 < ET2 , DT1 > DT2
(B) ET > ET , DT < DT
1
2
1
2
(D) ET < ET , DT < DT
1
2
1
2
二、填空题：9~14小题，每小题 4 分，共 24分，请将答案写在答题纸指 定位置上.
)
(A)若 un 收敛，则 (u2n 1 u2n ) 收敛
n1
n1
(B) 若 (u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛
n1
n1
(C) 若 un 收敛，则 (u2n 1 u2n ) 收敛
n1
n1
(D) 若 (u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛
n1
n1
(4) 设 I
4 ln sin xdx ， J
2011年考研数学三真题及答案
20XX年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当x→0时，f x=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。
【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx =lim x→03cosx−3cos3xck x(洛必达法则)=3lim x→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c (lim x→0−sinx2x+lim x→03sin3x2x) (k=3) =1−1+9=1由此得c=4。
【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x33!+o(x3)sin3x=3x−3x33!+o(x3)则f x=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+3x33!+o(x3)=4x3+o x3~4x3 (x→0) 故k=3,c=4。
【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1climx→03sinx−xx k+limx→03x−sin3xx k=1climx→03∙(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k=1−1+9(k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f0=0,则lim x→0x 2f x−2f(x3)x3=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0x2f x−x2f0−2f x3+2f(0)x3=limx→0f x−f0−2f x3−f(0)3=f′0−2f′0=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0f xx−2limx→0f x3x3由于f0=0，由导数定义知lim x→0f xx=f′0, limx→0f x3x3=f′(0)所以lim x→0x 2f x−2f(x3)x=f′0−2f′0=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f x=x,则lim x→0x2f x−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f x=x.f′0=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f x=f0+f′0x+o x=f′0x+o(x)f x3=f′0x3+o(x3)lim x→0x2f x−2f(x3)3=limx→0x2[f′0x+o(x)]−2[f′0x3+o(x3)]x3=f′0−2f′0=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。