(湖北专供)版高考数学二轮专题复习 3.1任意角的三角函数及三角恒等变换辅导与训练检测卷文

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高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解19---三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第19讲三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．考点一三角恒等变换核心提炼1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则() A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1答案 C解析由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析方法一因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 方法二因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪演练1 (1)(多选)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋3cos 2θ＝cos θ＋32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ等于( ) A.π3 B.π6 C.π12 D.π18答案 BD解析 sin θcos θ＋3cos 2θ ＝12sin 2θ＋3×1＋cos 2θ2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋32＝cos θ＋32，故cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝cos θ，所以2θ－π6＝θ＋2k π或2θ－π6＝－θ＋2k π(k ∈Z )，故θ＝π6＋2k π或θ＝π18＋2k π3(k ∈Z )．又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π6或π18. (2)已知函数f (x )＝sin x －2cos x ，设当x ＝θ时，f (x )取得最大值，则cos θ＝________.答案－255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255，则f (θ)＝5sin(θ－φ)＝5，因此θ－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＋2k π＝－sin φ＝－255. 考点二正弦定理、余弦定理核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2022·济南模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( ) A ．3 B.13 C.33D. 3 答案 D解析因为b sin 2A ＝a sin B ，所以2b sin A cos A ＝a sin B ，利用正弦定理可得2ab cos A ＝ab ，所以cos A ＝12，又c ＝2b ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4b 2－a 24b 2＝12，解得a b＝ 3.(2)(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )．①证明：2a 2＝b 2＋c 2；②若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长． ①证明方法一由sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，可得sin C sin A cos B －sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ，结合正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，可得ac cos B －bc cos A ＝bc cos A －ab cos C ，即ac cos B ＋ab cos C ＝2bc cos A (*)．由余弦定理可得ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22， ab cos C ＝a 2＋b 2－c 22，2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，将上述三式代入(*)式整理，得2a 2＝b 2＋c 2.方法二因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C sin(A －B )＝sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2A cos 2B －cos 2A sin 2B＝sin 2A (1－sin 2B )－(1－sin 2A )sin 2B＝sin 2A －sin 2B ，同理有sin B sin(C －A )＝sin(C ＋A )sin(C －A )＝sin 2C －sin 2A .又sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，所以sin 2A －sin 2B ＝sin 2C －sin 2A ，即2sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，故由正弦定理可得2a 2＝b 2＋c 2.②解由①及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得，a 2＝2bc cos A ，所以2bc ＝31.因为b 2＋c 2＝2a 2＝50，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝81，得b ＋c ＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.规律方法正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．跟踪演练2 (1)在△ABC 中，若cos C ＝79，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 外接圆的面积为() A.49π8 B.81π8 C.81π49 D.81π32答案 D解析根据正弦定理可知b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B＝2R sin(A ＋B )＝2，因为sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝1－cos 2C ＝429，所以R ＝928，所以△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝81π32.(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A tan B ＝2c －bb .①求角A 的大小；②若a ＝2，求△ABC 面积的最大值及此时边b ，c 的值．解 ①在△ABC 中，由正弦定理得，c ＝2R sin C ，b ＝2R sin B ，则tan A tan B ＝2c b －1＝2sin C sin B －1，tan A tan B ＋1＝2sin C sin B，化简得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A .即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos A ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. ②由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又A ＝π3，∴b 2＋c 2－bc ＝4，又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4，则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立， ∴△ABC 面积的最大值为3，此时b ＝2，c ＝2.考点三解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．例3 (1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12 m ，在它们的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 、滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)()A ．42 mB ．45 mC ．51 mD ．57 m答案 D解析由题意得，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin 15°，在△ACM 中，∠CAM ＝30°＋15°＝45°，∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM ＝30°，由正弦定理得AM sin ∠ACM ＝CM sin ∠CAM，所以CM ＝sin ∠CAM sin ∠ACM·AM ＝2AB sin 15°，又sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24，在Rt △CDM 中，CD ＝CM sin 60°＝6AB 2sin 15°＝1262×6－24＝36＋123≈57(m)． (2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ＝(R ＋h 1)2－R 2＋(R ＋h 2)2－R 2＝2Rh 1＋h 21＋2Rh 2＋h 22(如图)，其中h 1为雷达天线架设高度，h 2为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8 490 km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25 m，为保护航母的安全，须在直视距离412 km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据：2×8.49≈4.12)()A．6 400 m B．8 100 mC．9 100 m D．1 000 m答案 C解析根据题意可知L＝412 km，R＝8 490 km，h2＝0.025 km，因为L＝(R＋h1)2－R2＋(R＋h2)2－R2＝2Rh1＋h21＋2Rh2＋h22，即412＝(8 490＋h1)2－8 4902＋(8 490＋0.025)2－8 4902≈(8 490＋h1)2－8 4902＋20.6，解得h1≈9.02(km)≈9 100(m)．所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m.规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面P AD与地面垂直，在山顶P点测得点A ，C ，D 的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB ＝200 m ，CD ＝100 m ，现欲沿直线AD 开通穿山隧道，则隧道BC 的长为()A ．100(3＋1)mB ．200(3＋1)mC ．200 3 mD ．100 3 m答案 C解析由题意可知A ＝30°，D ＝45°，∠PCB ＝60°，所以∠PCD ＝120°，∠APC ＝90°，∠DPC ＝15°，因为sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24，所以在△PCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DPC ＝PC sin D，即1006－24＝PC 22，解得PC ＝100(3＋1)m ，所以在Rt △P AC 中，AC ＝2PC ＝200(3＋1)m ，所以BC ＝AC －AB ＝2003(m)．(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A ，B 测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝60 2 米，则OP 等于( )A．40米B．30米C．30 2 米D．30 3 米答案 C解析如图所示，设OP＝h，由题意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OB cos 60°，代入数据计算得到h＝302(米)．即OP＝302(米)．专题强化练一、单项选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC等于() A．1 B. 2 C. 5 D．3答案 D解析由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去)．2．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 cos 2π12－cos 25π12＝1＋cos π62－1＋cos 5π62＝1＋322－1－322＝32. 3．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 3答案 C解析因为cos A ＝14，所以sin A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝3154，所以bc ＝6，又b －c ＝1，可得b ＝3，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝10，即a ＝10.4．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 C解析 ∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos(β－α)＝1－sin 2(β－α)＝31010，又sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝31010×55－⎝⎛⎭⎫－1010×255＝22，又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π4. 5．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米答案 C解析如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，∠CAD ＝45°，CD ＝24米，所以∠CAD ＝45°，在△ACD 中，由正弦定理得CDsin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC ，即24sin 45°＝AC sin 30°，解得AC ＝122(米)，在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝AB AC ，即sin 15°＝AB122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×⎝⎛⎭⎫32×22－12×22 ＝122×6－24＝32(6－2)＝6(3－1)米．6．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为() A ．－35B.35C ．－45D.45答案 C解析由sin α－cos β＝3cos α－3sin β得，sin α－3cos α＝cos β－3sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－β－3cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，设f (x )＝sin x －3cos x ＝10⎝⎛⎭⎫110sin x －310cos x＝10sin(x －φ)，其中cos φ＝110，sin φ＝310，φ为锐角，已知条件即为f (α)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－β，所以π2－β＝2k π＋α，或π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，若π2－β＝2k π＋α，k ∈Z ，则α＋β＝－2k π＋π2，k ∈Z ，sin(α＋β)＝sin π2＝1与已知矛盾，所以π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，α－β＝2k π＋π2＋2φ，k ∈Z ，则sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2＋2φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝cos 2φ＝2cos 2φ－1＝－45.二、多项选择题7．(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形答案 ABD解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，因此不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于D ，由于B ＝π3，b 2＝ac ，由余弦定理可得 b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，则A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 必是等边三角形，正确．8．函数f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )－12，若f (x 0)＝3210，x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π3，下列结论正确的是( ) A ．f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．直线x ＝π4是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上的最小值为－22D ．cos 2x 0＝210答案 AD解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －12 ＝1－cos 2x2＋12sin 2x －12＝12(sin 2x －cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故A 正确；当x ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝22，∴x ＝π4不是f (x )的对称轴，故B 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无最小值，故C 错误；∵f (x 0)＝3210，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝35，又2x 0－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝45， ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＋π4 ＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4－sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝210，故D 正确．三、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________．答案 3解析由sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，可得sin α＝cos αcos π6－sin αsin π6 ＝32cos α－12sin α，则tan α＝33， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×331－⎝⎛⎭⎫332＝ 3. 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 答案－78解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α－π2 ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎝⎛⎭⎫1－18＝－78. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．答案 35 15解析由圆的内接四边形对角互补，得cos ∠BCD ＝cos(π－∠BAD )＝－cos ∠BAD＝45>0，又∠BCD 为锐角，所以sin ∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝35，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BD 35＝55，则BD ＝35(海里)．在△BCD 中，由余弦定理得 (35)2＝CD 2＋52－2×CD ×5×45，整理得CD 2－8CD －20＝0，解得CD ＝10(负根舍去)．所以S △BCD ＝12×10×5×35＝15(平方海里)． 12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案23解析由cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B 得，1－2sin 2C ＝1－2sin 2A ＋4sin 2B ，即sin 2A ＝sin 2C ＋2sin 2B ，由正弦定理得a 2＝c 2＋2b 2＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4，∴c 2＋2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝－b 2c<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－b 24c 2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12b 2c 2⎝⎛⎭⎫1－b 24c 2 ＝12b 2c 2－14b 4， ∵c 2＋2b 2＝4，∴c 2＝4－2b 2，∴S △ABC ＝12b 2(4－2b 2)－14b 4 ＝12－94b 4＋4b 2，则当b 2＝89时， ⎝⎛⎭⎫－94b 4＋4b 2max ＝－94×6481＋4×89＝169， ∴(S △ABC )max ＝12×43＝23. 四、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b . 解 (1)由S 1－S 2＋S 3＝32，得34(a 2－b 2＋c 2)＝32，即a 2－b 2＋c 2＝2，又a 2－b 2＋c 2＝2ac cos B ，所以ac cos B ＝1.由sin B ＝13，得cos B ＝223或cos B ＝－223(舍去)，所以ac ＝322＝324，则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×324×13＝28. (2)由sin A sin C ＝23，ac ＝324及正弦定理知 b 2sin 2B ＝ac sin A sin C ＝32423＝94，即b 2＝94×19＝14，得b ＝12. 14．(2022·抚顺模拟)在①(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b ；②cos 2A －C 2－cos A cos C ＝34；③3c b cos A＝tan A ＋tan B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b ＝23，________.(1)求角B ；(2)求2a －c 的取值范围．解 (1)选择①：∵(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b， ∴由正弦定理可得(2c －a )c ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴2c －a ＝2b cos A ，可得cos A ＝2c －a 2b， ∴由余弦定理可得cos A ＝2c －a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择②：∵cos 2A －C 2－cos A cos C ＝1＋cos (A －C )2－cos A cos C ＝1－cos A cos C ＋sin A sin C 2＝1－cos (A ＋C )2＝34， ∴cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择③：由正弦定理可得3c b cos A ＝3sin C sin B cos A，又tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B ＝sin Ccos A cos B ，由3cb cos A ＝tan A ＋tan B ，可得3sin Csin B cos A ＝sin Ccos A cos B ，∵sin C >0，∴tan B ＝3， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b ＝23，得b sin B ＝a sin A ＝c sin C ＝2332＝4，故a ＝4sin A ，c ＝4sin C ，2a －c ＝8sin A －4sin C＝8sin A －4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A＝8sin A －23cos A －2sin A ＝6sin A －23cos A＝43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，∵0<A <2π3，则－π6<A －π6<π2，－12<sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<1，－23<43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<43﹒∴2a －c 的取值范围为()－23，43.。

备战2023年高考数学二轮复习专题第二讲三角恒等变换与解三角形

二轮·数学
5
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练··全国卷Ⅰ)已知 α∈(0，π)，且 3cos 2α－8cos α＝5，则 sin α＝( A )
A．
5 3
C．13
B．23
D．
5 9
6
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
解析：由 3cos 2α－8cos α＝5，得 3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：2tan θ－tanθ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，解得 tan θ＝2.
8
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
5．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－14，则bc＝( A )
∴tan B＝－1. 又 B∈(0，π)，∴B＝34π.
答案：34π
11
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题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
[把脉考情] 1.三角函数的化简求值(给值求值，给角求值)．
考什么 2．利用正、余弦定理解三角形基本问题(求边、角、面积). 1.继续以选择、填空题形式考查三角恒等变换求值，注意与
A．－12
B．－2
C．12
D．13
13
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
解析：∵cos(3π－x)－3cosx＋π2＝0， ∴－cos x＋3sin x＝0， ∴tan x＝13.

(课程标准卷地区专用)高考数学二轮复习专题限时集训(六)三角恒等变换与三角函数配套作业理(解析版)

专题限时集训(六)[第6讲三角恒等变换与三角函数](时间：45分钟)1．sin225°的值是( ) A.22 B ．－22 C ．－32 D.322．已知sin α＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－255 B.255C ．－52 D.523．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )A ．－ 3 B. 3 C.33 D ．±334．要得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．沿x 轴向左平移π8个单位长度B ．沿x 轴向右平移π8个单位长度C ．沿x 轴向左平移π4个单位长度D ．沿x 轴向右平移π4个单位长度5．比较sin150°，tan240°，cos(－120°)三个三角函数值的大小，正确的是( ) A ．sin150°>tan240°>cos(－120°)B ．tan240°>sin150°>cos(－120°)C ．sin150°>cos(－120°)>tan240°D ．tan240°>cos(－120°)>sin150°6．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，||φ<π2在一个周期内的图象如图6－1所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝( )图6－1A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π37．已知x ＝π4是f (x )＝a sin x ＋b cos x 的一条对称轴，且最大值为22，则函数g (x )＝a sin x ＋b ( )A ．最大值是4，最小值为0B ．最大值是2，最小值为－2C ．最大值可能是0D ．最小值不可能是－48．函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图6－2所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且直线AB 的斜率为1，则该函数的一条对称轴为( )图6－2A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝29．平面直角坐标系中，圆O 方程为x 2＋y 2＝1，直线y ＝2x 与圆O 交于A ，B 两点，又知角α，β的始边是x 轴，终边分别为OA 和OB ，则cos(α＋β)＝________.10．设f (x )是定义在R 上最小正周期为5π3的函数，且在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2π3，π上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2π3，0，cos x ，x ∈[0，π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3的值为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图6－3所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的零点．图6－312．如图6－4，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 轴为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .(1)设α＝105°，β＝75°，求OA →·OB →；(2)试证明差角的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.图6－413．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．专题限时集训(六)【基础演练】1．B [解析] sin225°＝－sin45°＝－22. 2．A [解析] 由sin α＝－23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝53，所以tan α＝sin αcos α＝－255.3．B [解析] 根据已知得tan2α＝32－12＝－3，因为2α∈[0,2π)，所以α∈[0，π)，所以2α＝2π3，所以α＝π3，所以tan α＝ 3.4．A [解析] y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故选A. 【提升训练】5．B [解析] sin150°＝12，tan240°＝3，cos(－120°)＝－12，所以tan240°>sin150°>cos(－120°)．6．C [解析] 根据图象π3－π12＝14×2πω，解得ω＝2，又点M 、N 的坐标分别为π12，A ，7π12，－A ，所以OM →·ON →＝7π2122－A 2＝0，解得A ＝7π12.所以A ·ω＝7π6.7．C [解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝a sin π4＋b cos π4＝±a 2＋b 2，a 2＋b 2＝22，所以a ＋b ＝±4.故g (x )＝a sin x ＋b 的最大值是|a |＋b .若a ＋b ＝－4，则b ＝－a －4.所以|a |＋b ＝|a |－a －4，此时当a ＝－2时，|a |＋b ＝0，即g (x )＝a sin x ＋b 的最大值是0.故函数g (x )＝a sin x ＋b 的最大值可能是0.8．C [解析] 根据函数y ＝cos(ωx ＋φ)为奇函数可得φ＝π2，即y ＝－sin ωx ，根据直线AB 的斜率为1，可得A ，B 的横坐标之差等于纵坐标之差，为2，所以这个函数的最小正周期是4，即2πω＝4，所以ω＝π2，所以y ＝－sin π2x .当x ＝1时，函数有最小值，故直线x＝1是该函数图象的一条对称轴．9.35[解析] 由已知条件得β＝α＋2k π＋π，不妨设点A 在x 轴上方，则点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫55，255，所以cos α＝55.所以cos(α＋β)＝cos(α＋α＋2k π＋π)＝－cos2α＝1－2cos 2α＝35.10．－32 [解析] f －16π3＝f －16π3＋3×5π3＝f －π3＝sin －π3＝－32. 11．解：(1)由图知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又∵f π8＝2sin π4＋φ＝2，∴sin π4＋φ＝1，∴π4＋φ＝π2＋2k π，φ＝π4＋2k π(k ∈Z)． ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)由(1)知：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴fx ＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ＝0.令2x ＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，∴函数y ＝fx ＋π8的零点为x ＝k π2＋π4(k ∈Z)．12．解：(1)方法1：由已知，得OA →，OB →的夹角为30°， |OA →|＝|OB →|＝1，∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos30°＝32.方法2：由三角函数的定义，得点A (cos105°，sin105°)，B (cos75°，sin75°)，∴OA →·OB →＝cos105°cos75°＋sin105°sin75°＝cos(105°－75°)＝32.(2)设OA →，OB →的夹角为θ，因为|OA →|＝|OB →|＝1，所以，OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos θ＝cos θ，另一方面，由三角函数的定义，得A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)， ∴OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β，故cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β，由于α－β＝2k π±θ，k ∈Z ，∴cos(α－β)＝cos θ，所以，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 13．解：(1)因为角α终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴y ＝3cos π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x＝2sin2x －π6－1.∵0≤x ≤2π3，∴0≤2x ≤4π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6，∴－12≤sin2x －π6≤1，∴－2≤2sin2x －π6－1≤1，故函数y ＝3f π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

2021年高考数学二轮复习专题三三角函数3.2三角变换与解三角形课件文

a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
4.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注
意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现
增解等扩大范围的现象.
-22规律总结
拓展演练
4 3
,则 sin
5
2 3
2 3
A.B.
5
5
4
4
C.D.
因为 0°<θ<60°,
所以当且仅当 θ=30°时,sin(θ+60°)有最大值 1.
从而 f(θ)的最大值为 10.
-16命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
解三角形与三角变换的综合问题
【思考】在三角形中,对于含有边角关系的等式如何进展运算?
例4a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=
求a,b.
2.两边和这两边的夹角,如a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正
弦定理先求较短边所对的角,最后利用A+B+C=π,求另一角.
3.两边和其中一边的对角,如a,b和A,应先用正弦定理求B,由
A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种
情况.
4.三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出最大
=
1 2
1- -3
1 2
1+ -3
1
sin 1
θ=- ,∴
=- ,即
3
cos 3
4
5
= .故选 D.
3sin θ=-cos θ.
1-cos2
2
两边平方,得 9sin2θ=cos2θ,即 9×

2021届新高考数学二轮专题练习：热点(四) 三角函数与三角恒等变换 (含解析)

热点(四) 三角函数与三角恒等变换1．(三角恒等变换)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6等于( ) A ．－45 B ．－35C. 45D.352．(三角恒等变换＋三角函数性质)函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数3．(三角恒等变换＋三角函数性质)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx cos φ＋(2cos 2ωx －1)sinφ.ω≠0，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.若f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f (x )，f ⎝⎛⎭⎫π2ω＋f (π)＝0，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C. π4 D.π6 4．(三角函数图象与性质)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的部分图象如下图所示，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )为奇函数B ．函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) C ．函数g (x )为偶函数D ．函数g (x )的图象的对称轴为直线x ＝k π＋π6(k ∈Z )5．(多选题)[2020·山东济南模拟](三角函数图象性质)已知直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ<π2图象的一条对称轴，则( ) A ．φ＝－π6B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin 2x 的图象D ．f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到y ＝2sin 2x 的图象6．(多选题)[2020·山东烟台、菏泽联考](三角函数图象与性质)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A ．φ＝π3B ．函数f (x )的最小正周期为πC ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称D ．函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 7．(多选题)[2020·山东济南质量针对性检测](三角恒等变换＋三角函数图象与性质)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2x －2cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为πB ．函数g (x )的最小值为－1C ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数g (x )在⎣⎡⎦⎤2π3，π上单调递减 8．(多选题)[2020·山东淄博部分学校联考](三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝A cos(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列说法正确的是( )A ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋11π12(k ∈Z )9．[2020·山东青岛检测](三角恒等变换)若sin θ＋cos θ＝15(0≤θ≤π)，则tan θ＝________.10．[2020·山东名校联考](三角恒等变换＋对数函数性质)已知函数f (x )＝log a (x －1)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则cos 2α－sin 2α＝________.11．(三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上的值域是________． 12．(三角恒等变换＋三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．热点(四) 三角函数与三角恒等变换1．答案：D解析：通过观察题目可得：π3－x 与x ＋π6两角整体相加得π2，可由诱导公式得sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，故选D. 2．答案：B解析：∵f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin 2x ＋sin 2x ＝2sin 2x∴f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )是奇函数，且最小正周期是T ＝2π2＝π，故选B.3．答案：D解析：由题意知f (x )＝sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＝sin(2ωx ＋φ)，因为f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f (x )，所以x ＝π6为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，即π3ω＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以2πω＝3π＋6k π－6φ，k ∈Z ，① 又因为f ⎝⎛⎭⎫π2ω＋f (π)＝0，所以sin φ＝sin(2πω＋φ)② 由①②可得sin φ＝sin 5φ又0<φ<π2，∴0<5φ<5π2.∴φ＋5φ＝π或5φ＝φ＋2π或φ＋5φ＝3π，解得φ＝π6或π2(舍去)，故选D.4．答案：B解析：由图象可知f (x )的周期为π，过点⎝⎛⎭⎫5π12，3，最大值3，所以A ＝3，T ＝2πω＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝3， ∴φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，∴取k ＝0时，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度得g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，当－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，即x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )时，函数g (x )单调递增，B 正确；g (x )不是奇函数也不是偶函数，A 、C 错；对称性，由2x ＋π3＝π2＋k π得，x ＝π12＋k2π，(k ∈Z )，故D 错．5．答案：AD解析：由题意可得2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选项A 正确；函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，函数不具有单调性，故选项B 错误；f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故选项C 错误；f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－π6＝2sin 2x 的图象，故选项D 正确．故选AD. 6．答案：BD解析：由题可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为0<φ<π，所以－π2＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以－π2＋φ＝π6，φ＝2π3，故A 错误；f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，故C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，则D 正确．故选BD. 7．答案：AC解析：函数f (x )＝2×⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则函数g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，g (x )的最小值为－2；g (x )的图象的对称轴为直线2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即直线x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，直线x ＝π6为g (x )的图象的一条对称轴；令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，当k＝0时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减．故选AC.8．答案：AD解析：由图可知，A ＝2，14×2πω＝2π3－π6，得ω＝1，由f ⎝⎛⎭⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2以及|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π12.h (x )＝22cos （x ＋π12）＋2，令h (x )＝0，得cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝－22，易知该方程的实根之间差的绝对值的最小值为π2，选项A 正确；g (x )的最大值为22，选项B 不正确；g ′(x )＝－22sin （x ＋π12）＝－3无解，选项C 不正确；由x ＋π12＝π＋k π(k ∈Z )，得g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以选项D 正确．故选AD.9．答案：－43解析：解法一：因为0≤θ≤π，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tanθ＝－43.解法二：将sin θ＋cos θ＝15的两边平方可得sin θcos θ＝－1225<0，因为0≤θ≤π，所以sin θ>0，cos θ<0，所以π2<θ<π，又sin θ＋cos θ＝15，所以|sin θ|>|cos θ|，则|tan θ|>1，所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－1225，解得tan θ＝－43或tan θ＝－34(不合题意，舍去)．解法三：将sin θ＋cos θ＝15的两边平方可得sin θcos θ＝－1225，所以sin θ，cos θ是方程x 2－15x －1225＝0的两个根，因为0≤θ≤π，所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43. 10．答案：25解析：由题意可知点A 的坐标为(2，－1)，又点A 在角α的终边上，所以sin α＝－15，cos α＝25，故cos 2α－sin 2α＝(cos 2α－sin 2α)－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫45－15－15＝25. 11．答案：－π6(－1,2)解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数的最小正周期T ＝2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝2sin2x ＋⎝⎛⎭⎫2π3＋φ，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.设t ＝2x －π6，因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以t ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π2，故sin t ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上的值域为(－1,2)． 12．解析：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.。

高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形专题训练（含解析）一、选择题1．已知sin2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( )A ．－15B.15 C ．－75D.75解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴cos α>0>sin α且cos α>|sin α|，则sin α＋cos α＝1＋sin2α＝1－2425＝15. 答案 B2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α等于( ) A.429B ．－429C.79D ．－79解析据已知可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－79.答案 D3．(2014·河北衡水一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0， ∴32sin α＋32cos α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.答案 C4．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C5．(2014·江西七校联考)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A ·sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．答案 D6．(2014·东北三省二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故答案为C.答案 C 二、填空题7．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，又θ为第二象限角，得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105.答案－1058．(2014·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可．由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.答案－149．(2014·四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．根据已知的图形可得AB ＝46sin67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC ＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BC sin37°，所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m)．答案 60 三、解答题10．(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ.解 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝32，∴A ＝32·23＝ 3.(2)由(1)得：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＋3⎝⎛⎭⎪⎫sin －θcos π4＋cos －θsin π4＝23cos θsin π4＝6cos θ＝32∴cos θ＝64，又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝104.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝3×104＝304.11．(2014·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·223＝429.因a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327. B 级——能力提高组1．(2014·重庆卷)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，得sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [cos(π－(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝12ab sin C ，①S ＝12ac sin B ，② S ＝12bc sin A ，③因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.答案 A2．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴sin A ＝32.由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.答案33．(2014·河北唐山统考)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin 2B ＋C2－cos2A ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上高为1，求△ABC 面积的最小值．解 (1)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sinB ＋C2＝sin π－A 2＝cos A 2，所以由已知得4cos 2A 2－cos2A ＝72，变形得2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.因为A 是三角形的内角，所以A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×1sin C ×1sin B ×32＝34sin B sin C .设y ＝4sin B sin C ，则y ＝4sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝23sin B cos B ＋2sin 2B ＝3sin2B ＋1－cos2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为0<B <π2，0<2π3－B <π2，所以π6<B <π2，从而π6<2B －π6<5π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S 的最小值为33.。

高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题-含答案免费)[1]

三角函数知识点与常见习题类型解法1. 任意角的三角函数：（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3）同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =， aaa sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a（4）2.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a aaaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2aa -=（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos 12sinaa -±=，2cos 12cos a a +±= ，aa a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质）（1）函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2）函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T （3）五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

高考数学二轮复习：专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习：专题训练（七）三角恒等变换与解三角形高考数学二轮复习：专题训练（七）三角恒等变换与解三角形专项培训（七）三角恒等式变换与三角求解a级――基础巩固组一、多项选择题π24－，0?，然后sinα＋cosα＝1已知sin2α＝1，α∈?? 4.二百五十一a．－57c.－51b。

57d。

五π－，0?，∴cosα>0>sinα和cosα>sinα，然后sinα＋cosα＝1＋sin2α＝分析∵ α ∈?? 4.二百四十一1－＝.255答案bπ? 1π＋α＝，则cos?－2α?等于()2．若sin??4?3?2?4242a、 b.－9977c。

d、－99π?解析据已知可得cos??2－2α?＝sin2αππ7＋α?＝－? 1－2sin2？＋α??＝－.＝－ cos2？？4.4.9答复Dπ43π?α＋2π?等于α＋?＋sinα＝－3．(2021河北衡水一模)已知sin?，－四a．－543c。

d、 55π43πα＋?＋sinα＝分析∵ 罪？，－314sinα＋cosα＝－.225一3b、－52π2π2π134α＋?＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.∴cos?3??33225答案c4.（2022年江西卷）年△ ABC，内角a、B和C的对边分别是a、B和C。

如果C2=（a-b）2π+6，C=，然后是△ ABC是（）3九十三a．3b.233c。

d、 332分析∵ C2=（a-b）2+6，∵ C2=A2+b2-2ab+6①ππ∵c＝∴c2＝a2＋b2－2ABC＝a2＋b2－ab。

②33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.11333∴s△abc＝absinc＝×6×＝.2222答案c5．(2021江西七校联考)在△abc中，若sin(a－b)＝1＋2cos(b＋c)sin(a＋c)，则△abc的形状一定是()a、等边三角形B.不带60°C的等腰三角形D.直角三角形解析sin(a－b)＝1＋2cos(b＋c)sin(a＋c)＝1－2cosasinb，∴sinacosb－cosasinb ＝1－2cosasinb，∴sinacosb＋cosasinb＝1，即sin(a＋b)＝1，π则有a＋b＝，故三角形为直角三角形．2答案Dc－b6.（2022年第二次模拟考试）已知角度ABC、a、B和C的相对角度分别为a、B、C和=C Asina。

2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件

技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c，所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时，求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象．再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象．当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最大小值值为为3－，2，故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝称轴间的距离为π2.

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（湖北专供）2013版高考数学二轮专题复习 3.1任意角的三角函数及三角恒等
变换辅导与训练检测卷文
一、选择题
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
(A)45 (B)35 (C)35 (D)45

2.(2012·荆门模拟)已知tan θ=2，则22sinsincos2 cos的值为( )
(A)43 (B)54 (C)34 (D)45

3.已知
cos(2)22sin()4




，
则cos α+sin α等于( )

(A)72 (B)72 (C)12 (D)12
4.(2012·黄冈模拟)已知tan θ＞1，且sin θ+cos θ＜0,则cos θ的取值范围是( )
(A)2(0)2， (B)2(1)2， (C)
2(0)2， (D)2
(1)

2
，

5.已知3cos(x),63则cos x+cos (x)3=( )
(A)233 (B)233 (C)-1 (D)±1
6.已知角α的终边上有一点21P(t,t+)4 (t>0)，则tan α的最小值为( )
(A)12 (B)1 (C)2 (D)2
二、填空题
7.(2012·宜昌模拟)已知x+y=2sin(),4x-y=2sin (),4则22xy的值是 .
8.(2012·江苏高考)设α为锐角，若4cos()65，则sin(2)12的值为．
9.已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合,α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交
点的横坐标是1,3角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是4,5则cos α= .
三、解答题
10.(2012·广东高考)已知函数f(x)=Acosx(),46x∈R，且f()2.3
(1)求A的值；
(2)设α,β∈［0,2］,f(4α+43π)=3017,f(4β-23π)=85，求cos(α+β)的值.

11.(2012·襄阳模拟)设向量α=(3sin 2x,sin x+cos x),β=(1,sin x-cos x),其中x∈R，函数f(x)=
α·β.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(θ)=3，其中0＜θ＜2，求cos(θ+6)的值.

12.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-1，3).
(1)求sin 2α-tan α的值；
(2)若函数f(x)=cos(x+α)cos α+sin(x+α)sin α, 求函数g(x)=3f2(2x)2fx12在区间［0，
23
］上的取值范围.

答案解析
1.【解析】选B.设P(a,2a)是角θ终边上任意一点,由三角函数的定义知tan θ=2,∴cos θ=55,

∴2253cos 22cos 12()1,55故选B.
【方法技巧】巧用三角函数定义求值
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标，然后利用定义求解.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

2.【解析】选D.22sinsincos2cos
22
22
sinsincos2cossincos



2
2
tan tan24224.tan 1415




故选D.
3.【解析】选D.由cos(2)22sin()4可得
22
2cos 2sincos222(sincos)(sincos)22





2(sincos)，
故cos α+sin α=1.2

4.【解析】选A.依题意，结合三角函数线进行分析可知，532k2k,kZ42＜＜，因此22＜
cos θ＜0，故选A.
5.【解析】选C.313cos(x)cos xsin x6223，
13cos xcos(x)cos xcos xsin x322


31
3(cosxsinx)1.22

6.【解析】选B.由题意可知21t14tantt4t，
又t>0，∴t+14t≥112t214t2，
当且仅当t=12时等号成立.
7.【解析】∵xy2sin(),xy2sin()44，
∴2x2sin()2sin()44=(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2sin α，
∴x=sin α.
同理y=cos α,∴2222xysincos=1.
答案:1
8.【解题指导】首先观察角之间的联系，然后再从倍角公式和角的变换角度处理.
【解析】因为4cos()65，
∴3(0,),sin(),6265
所以sin(2)2sin()cos()366
=342425525，
2
7cos(2)2cos()1,3625


所以sin(2)sin(2)1234［］

=172sin(2)coscos(2)sin.343450
答案:17250
9.【解析】由题意可知cos β=-1,3sin(α+β)=4.5
∵α，β∈(0，π)，

∴sin β=22,3cos(α+β)=35.
∴cos α=cos ［(α+β)-β］
=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β

=31422823.535315

答案:82315
10.【解题指导】(1)将x=3代入函数f(x)的解析式，建立关于A的方程，解方程得解.
(2)解答本题的关键是根据f(4α+43π)=-3017和f(4β-23π)=85求出sin α，
cos β的值，然后再根据α,β的范围，求出cos α,sin β，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【解析】(1)∵f(3)=2,

∴Acos()2126，∴2A2.cos4
(2)∵430f(4),317
∴142cos(4)436［］
=2cos(α+2)=3017,
∴sin α=1517.
又∵f(4β-23π)=85,
∴2cos 12(4)436［］=2cos β=85,
∴cos β=45.
又∵α，β∈［0,2］,∴cos α=817,sin β=35.
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=8415313.17517585

11.【解析】(1)由题意得f(x)=3sin 2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)=
3
sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6)，故f(x)的最小正周期T=22=π.

(2)若f(θ)=3,则2sin(2θ-6)=3，

所以sin(2θ-6)=32.
又因为0＜θ＜2,所以θ=4或512.
当θ=4时，62cos()cos()6464；
当θ=512时，5562cos()cos()cos .6126124
12.【解析】(1)因为角α终边经过点P(-1，3),
∴sin α=32,cos α=-12,tan α=-3，

∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=33322.
(2)∵f(x)=cos(x+α)cos α+sin(x+α)sin α=cos x，x∈R，
∴2gx3cos(2x)2cosx12
=3sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6).
∵0≤x≤23，∴0≤2x≤43，∴-6≤2x-6≤76,
∴-12≤sin(2x-6)≤1,
∴-1≤2sin(2x-6)≤2.
故函数g(x)=3f(2-2x)-22f(x)+1在区间［0，23］上的取值范围是［-1，2］.

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