(完整版)数列知识点归纳

数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a m a m a m a m --++,…（注意；公差为2m ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}12n n a b λλ+都为等差数列，其中12,R λλ∈ (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k (k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和当项数为偶数n 2时，则 21()n n n S n a a +=+ S S nd -=奇偶 1n n S a S a +=奇偶 当项数为奇数21n -时，则 21(21)(1)1n n nn n S S S n a S na S n S S a S n a S n -⎧⎧=+=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==--⎪⎪⎩⎩偶奇奇偶奇奇偶偶 （其中n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项）．（8）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n S 、n T ，则2121(21)(21)n n n n n n a n a S b n b T ---==-.（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+,,n m a m a n ==则0n m a +=(10) 求n S 的最值法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+01n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．二、等比数列性质总结1、等比数列的定义: *n N ∀∈，+10n na q a =≠ 注意：（1）．公比q 一定是由后项比前项（相邻的两项）所得，而不能用前项比后项来求； （2）．由公比0≠q 知，等比数列{n a }中的每一项都不为零； （3）. 在等比数列{}n a 中， ○1 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；○2 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ○3 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；○4 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列；○5 当1q =时，数列{}na 是常数列； ○6 当0q <时，数列{}na 是摆动数列. （4）若一个数列{}n a 既为等差数列又为等比数列⇔{}n a 为非零常数列. （5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项的符号相同.2、等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 推广为：n mn m a a q-=⋅(, )m n N *∈ 注意：(1)等比数列的计算问题中，首项1a 和公比q 是基本量； (2) 有以下几种方法可以计算公比q ① 1 (2, )n n a q n n N a *-=≥∈ ② 11n n a q a -= ③ n m n maq a -= 其中，若公式②③中的指数1n -，n m -为偶数，开方求公比，要根据题意选取正确的符号。

3、等比中项：若a ,G ,b 是等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项. 由等比数列的定义可知:ab G =2.注意：（1）,a b 同号；G -也是,a b 的等比中项；,,a G b ±均为非零常数；（2）任意两数的等比中项不一定存在且不唯一；所以，ab G =2是a ,G ,b 成等比数列的必要非充分条件；4、等比数列的性质：(1) 下标和性质：下标和相等，则对应项的积相等； 使用条件：等式两边项的个数相同，且项数之和相同. 在等比数列{}n a ，① 若, , , , m n p q t N *∈且2m n p q t +=+=，则2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=；反之是否成立？No ！ 若* m n p N m n p ∈+=、、且,则m n p a a a ⋅=成立吗? NO!若* m n p q s t N m n s p q t ∈++=++、、、、、且,则m n s p q t a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅成立吗? YES!② 从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项组成的新数列仍是等比数列，如：25811,,,,a a a a ⋅⋅⋅； (2) ①若{}n a 是以q 为公比的等比数列，则数列{}||n a ，{}(0)n ca c ≠，{}k n a 等也为等比数列，公比分别为||, , k q q q ，但{}1n n a a ++不一定是等比数列.② 若数列{}n a 、{}n b 为项数相同的等比数列，则{}(, )s tn n a b s t R ⋅∈也是等比数列.5、等比数列的判定方法：(1) 定义法：对于任意n N *∈，验证1n na a +为同一常数； (2) 等比中项法：验证2+120 () ()n n n n a a a a n N *+≠=⋅∈且成立；(3) 通项公式法：验证nn a cq =，其中, c q 都为非零常数, n N *∈.6、等比数列设元技巧： （1）三数成等比：设三数为, , aa aq q； （2）四个同符号的数成等比：设四数为33, , , a a am am m m7、等比数列前n 项和公式：111(1), (1) 11 , (1) n n n a a qa q q S q qna q ⎧--=≠⎪=--⎨⎪=⎩ 注意：（1） 等比数列前n 项和公式要注意分1q =和1q ≠两种情况；（2） 等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及5个量1a ，q ，n ，n a ，n S ，知道其中任意3个量就可求出另外2个量，注意前提条件是0q ≠；8、等比数列前n 项和的的性质：公比不为－1的等比数列的依次m 项之和构成的新数列仍为等比数列，如：m S ，2m m S S -，32m m S S -，43 ,m m S S - ()m N *∈.9、等比数列前n 项和的函数特性：当1≠q 时，等比数列{}n a 的前n 项和公式111(1)111n n n n a q a a q S B Bq q q q -==-=----，其中11a B q=-；数列{}n a 为非常值等比数列的充要条件是 (0,1, 0)nn S B Bq B q B =-≠≠为常数,.10、等差数列与等比数列间的联系（1）若{}n b 是各项为正的等比数列，则{}log a n b 是等差数列（0 1a a >≠且）； （2）若{}n c 是等差数列，则{}n c a 是等比数列（0a >）11类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。