高三数学--立体几何专题
侧(左)视图
正(主)视图 俯视图
高三数学(理)一轮复习资料-- 立体几何
一、选择题
1 、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )
2、已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的表面积为( )
A 、
22 B 、3+22 C 、3
2 D 、3+32
3、已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a ⊥α,b ⊥β,则下列命题中为假命题的是( )
A 、若a ∥b ,则α∥β
B 、若α⊥β,则a ⊥b
C 、若a ,b 相交,则α,β相交
D 、若α,β相交,则a ,b 相交
4、设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥” 是“a b ⊥”的( )
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、即不充分不必要条件
5、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )
A 、12
B 、
3 C 、
56
3
D 、4
6、某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )
A 、28+65
B 、 30+65
C 、 56+ 125
D 、 60+125
7、下列命题正确的是( )
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
8、已知直二面角l αβ--,点,A A C l α∈⊥,C 为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D 到平面ABC 的距离等于( )
A
、
3 B
、3 C
、3
D 、 1 9、已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为4、4、7,若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积是( )
A 、81π
B 、36π
C 、81π
4
D 、144π
10 、如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1, 则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 ( )
A 、64
B 、34
C 、62
D 、72
二、填空题
11、已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于 ___________cm 3
.
12、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
13、设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).
则该几何体的体积为 m 3.
N
A 1
14、母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4
3π,则该圆锥的体积为________.
15、如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中正确的是______________
① BD ∥平面CB 1D 1; ② AC 1⊥平面CB 1D 1; ③ AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2; ④ CB 1与BD 为异面直线;
三、解答体
16、如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=
,60PAB ∠=
,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC 。(Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的正切值;(Ⅱ)求二面角B AP C --的正切值。
17 、已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1+3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使DE ⊥EC .
(1)求证:BC ⊥平面CDE ;(2)求证:FG ∥平面BCD ;(3)求四棱锥D -ABCE 的体积.
18、如图,四棱锥S ABCD -中,//AB CD ,BC CD ⊥,侧面S A B 为等边三角形,
2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
19 、所以AB与平如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证:A1C⊥平面BCDE;(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由
20 、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,
PA=M,N分别为PB,PD的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.
21、如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
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高三数学(理)一轮复习资料-- 立体几何参考答案
一、选择题
1 (2012湖南
).某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( D )
2 .已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的表面积为( D )
A.
22 B.3+22 C.3
2 D.3+32
3 已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a ⊥α,b ⊥β,则下列命题中为假命题的是 ( D )
A .若a ∥b ,则α∥β
B .若α⊥β,则a ⊥b
C .若a ,b 相交,则α,β相交
D .若α,β相交,则a ,b 相交
4 (2012安徽)设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的( A )
()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件
5 (2012安师大附中三模).一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( D )
A . 12
B .
3 C .
56
3
D . 4
6 (2012
北京) 某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( B )
A. 28+65
B. 30+65
C. 56+ 125
D. 60+125
7(2012全国) 下列命题正确的是( C )
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
8 (2012全国)已知直二面角l αβ--,点,A AC l α∈⊥,C 为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D 到平面ABC 的距离等于( C )
(A)
3
(B)3
(C)3
(D) 1 9.已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为4、4、7,若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积是( A)
A .81π
B .36π C.81π
4
D .144π
10 .如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 ( A ) A.64 B.34 C.62 D.72
二、填空题
11.(2012浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三
棱锥的体积等于___________cm 3.
12 (2012四川)、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M
与DN 所成角的大小是________90
____。
13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).
则该几何体的体积为 4
m 3.
N
A 1
14.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π,则该圆锥的体积为___45
18π_____.
15 .如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中正确的是______________
① BD ∥平面CB 1D 1; ② AC 1⊥平面CB 1D 1; ③ AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2; ④
CB 1与BD 为异面直线;
三、解答体
16 (2012四川)如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠= ,60PAB ∠=
,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC 。(Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小。
解法一:
(I )设AB 的中点为D ,AD 的中点为O ,连接PO CO CD 、、,
由已知,PAD 为等边三角形, 所以PO AD ⊥
又平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ?平面ABC AD =, 所以PO ⊥平面ABC
所以OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角
不妨设4AB
=
,则2,1,PD CD OD PO ==== 在Rt
OCD
中,CO ==所以,在Rt POC
中,tan PO OCP CO ∠=
== 故直线PC 与平面
ABC 所成的角的大小为arctan 13
………………………….6分 (II )过D 作DE AP ⊥于E ,连接CE
由已知可得,CD ⊥平面PAB
根据三垂线定理知,CD PA ⊥,所以CED ∠为二面角B AP C --的平面角 由(
I )知,DE =Rt CDE
中,tan 2CD CED DE ∠=
== 故二面角B AP C --的大小为arctan 2……………………12分
解法二:
(I )设AB 的中点为D ,作PO AB ⊥于点O ,连结CD
因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ?平面ABC =AD , 所以PO ⊥平面ABC 所以PO CD ⊥
由AB BC CA ==,知CD AB ⊥
设E 为AC 中点,则//EO CD ,从而,OE PO OE AB ⊥⊥
如图,以O 为坐标原点,OB OE OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系O xyz -,不妨设2PA =
,由已知可得,4,1,AB OA OD OP CD =====
所以(0,0,0),(1,0,0),O A C P -
所以(1,CP =--
,而OP =
为平面ABC 的一个法向量
设a 为直线PC 与平面ABC 所成的角,
则sin ||4CP OP a CP OP ?===?
故直线PC 与平面ABC
所成的角的大小为…………………….6分 (II )由(I
)有,AP AC ==
设平面APC 的一个法向量为111(,,)n x y z =,则
111111(,,)000(,,)0x y z n AP n AP n AC n AC x y z ????=⊥?=???
???
??⊥?=?=??????
从而1111020
x z x y ?+=??+=??
取1x =111,1y z ==
,所以(n = 设二面角B AP C --的平面角为β,易知β为锐角 而面ABP 的一个法向量为(0,1,0)m =,则
cos |
|||||||5n m n m β?===?;故二面角B AP C --
的大小为arccos 5
17、 已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1+3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使DE ⊥EC
.
(1)求证:BC ⊥平面CDE ;(2)求证:FG ∥平面BCD ;(3)求四棱锥D -ABCE 的体积. 解:(1)证明:由已知得:DE ⊥AE ,DE ⊥EC ,∴DE ⊥平面ABCE . ∴DE ⊥BC .又BC ⊥CE ,CE ∩DE =E , ∴BC ⊥平面DCE
.
(2)证明:取AB 中点H ,连结GH ,FH , ∴GH ∥BD ,FH ∥BC ,
∴GH ∥平面BCD ,FH ∥平面BCD . 又GH ∩FH =H ,
∴平面FHG ∥平面BCD ; ∴FG ∥平面BCD (由线线平行证明亦可). (3)V =13×1×2×3=23
3.
18 (2012全国)如图,四棱锥S ABCD -中,//AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,
2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
解:(1)计算
SD=1,2AD SA ==,于是222
SA SD AD +=,
利用勾股定理,可知SD SA ⊥,同理,可证SD SB ⊥ 又SA SB S = ,因此,SD SAB ⊥平面.
(II )过D 做Dz ABCD ⊥平面,如图建立空间直角坐标系D-xyz ,
A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),1
(2S 可计算平面SBC
的一个法向量是2),(0,2,0)n AB ==
|||cos ,|7||||AB n AB n AB n ?<>===?
.
19 (2012北京)所以AB 与平如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE ∥BC ,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证:A 1C ⊥平面BCDE ;(II)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小; (III)线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由
解:(1) CD DE ⊥,1A E DE ⊥
∴DE ⊥平面1A CD ,
又 1AC ?平面1A CD , ∴1
AC ⊥DE 又1
AC CD ⊥, ∴1
AC ⊥平面BCDE 。 (2)如图建系C xyz -,则()200D -,,
,(00A ,,,()030B ,,,()220E -,,
∴(103A B =-
,,,()1210A E =-- ,,
设平面1A BE 法向量为()n x y z =
,,
则1100
A B n A E n ??=???=??
∴3020y x y ?-=??--=??
∴2
z y y x ?=????=-??
∴(12n =-
,
又∵(10M -,
∴(10CM =-
,
∴cos ||||CM n CM n θ?====? ,
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。
(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ,,,则[]03a ∈,
则(10A P a =-
,,,()20DP a = ,,
设平面1A DP 法向量为()
1111n x y z =
,,,
y C
则1111020ay x ay ?-=??+=??
∴111112
z x ay
?=????=-??
∴()
136n a =-
,。
假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直, 则10n n ?=
,∴31230a a ++=,612a =-,2a =-,
∵03a <<,∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。 面SBC
所成角为arcsin
7
20 (2012浙江)如图,在四棱锥P —ABCD
中,底面是边长为的菱形,且∠BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA
=M ,N 分别为PB ,PD 的中点.(Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD ;(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.
本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接BD .
∵M ,N 分别为PB ,PD 的中点, ∴在?PBD 中,MN ∥BD .
又MN ?平面ABCD ,∴MN ∥平面ABCD ; (Ⅱ)如图建系:
A (0,0,0),P (0,0
,,M
(,3
2
,0), N
0,0),C
,3,0).
设Q (x ,y ,z )
,则(3)(3CQ x y z CP =-=-
,,.
∵(3)CQ CP λλ==-
,
,∴33)Q λ-,.
由0OQ CP
OQ CP ⊥??=
,得:1
3
λ=.
即:2Q .
对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =
,,.
∵3
(0)00)2
AM AN = ,,,,.
则3
0012
30
00a AM n b b AN n c ?=
??
???=+=??
???
=??
?=??
?==???
.
∴1
0)3n = ,.
同理对于平面AMN
得其法向量为1v =-
. 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ,
则cos n v n v
θ?==?
.
∴所求二面角A —MN —Q
21 (2012湖南)如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是CD 的中点.
(Ⅰ)证明:CD ⊥平面PAE ;
(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积
.
解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC ,由AB=4,3BC =,90 5.ABC AC ∠==
,得
5,AD =又E是CD的中点,所以.CD AE ⊥
,,PA ABCD CD ABCD ⊥? 平面平面所以.PA CD ⊥
而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接
由(Ⅰ)CD ⊥平面PAE 知,BG⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线PB与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥. 由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.
4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意,知,PBA BPF ∠=∠
因为sin ,sin ,PA BF
PBA BPF PB PB
∠=
∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=
知,又所以四边形BCDG 是平行四边形,故
3.GD BC ==于是 2.AG =
在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以
25
AB BG BF BG ===
==
于是PA BF ==
又梯形ABCD 的面积为1
(53)416,2
S =
?+?=所以四棱锥P ABCD -的体积为
111633V S PA =
??=?=
解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
设,PA h =则相关的各点坐标为:(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h
(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==
因为 8800,0,CD AE CD AP ?=-++=?=
所以,.CD AE CD AP ⊥⊥
而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面
(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP
分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与
PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以
cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB ??<>=<>=??
,即
由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =-
故
=
解得h =
. 又梯形ABCD 的面积为1
(53)4162
S =
?+?=,所以四棱锥P ABCD -的体积为
115
1633V S PA =
??=?=
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值