2020年四川省成都市青羊区树德中学中考数学二诊试卷(有答案解析)
第1页，共21页 2020年四川省成都市青羊区树德中学中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各数中，比小的数是 A. 3 B. 1 C. D. 2. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是
A. B. C. D.
3. 据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为米．将数用科学记数法表示为 A. B. C. D. 4. 将向右平移5个单位，再向下平移2个单位，平移后点的坐标是 A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是
A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是
A. B.
C. D. 7. 方程的解是 A. B. C. D. 8. 成都市某小区5月1日至5日每天用水量单位：吨分别是：30，32，36，28，34，则这组数据的中位数是 A. 32吨 B. 36吨 C. 34吨 D. 30吨
9. 如图，正方形ABCD四个顶点都在上，点P是在弧AB上的一点，则的度数是 第2页，共21页
A. B. C. D. 10. 对于二次函数，下列说法正确的是 A. 图象开口向下 B. 当时，y随x的增大而减小
C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11. 已知，则______． 12. 若一次函数，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 13. 如图，在等边中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使，的平分线交的高BF于点O，则______．
14. 如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：、 分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N； 作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE， 若，则______．
15. 已知m是方程的一个根，则的值是______． 16. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上落点记为，相应地，点C的对应点的坐标为______．
17. 如图，是边长为4cm的等边三角形，点D在AB边上不与点A、重合，将绕点C逆时针方向旋转得到，连结DE，则周长的最小值是______cm． 18. 如图，内接于，，CO的延长线交AB于点D，若
，，则______，______． 第3页，共21页
19. 如图，在中，，，，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把翻折到的位置，交AB于点若为直角三角形，则AE的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84.0分） 20. 计算：
计算：
解不等式组：
21. 先化简，再求值：，其中，． 22. “树德之声”结束后，王老师和李老师整理了所有参赛选手的比赛成绩单位：分，绘制成如图频数直方图和扇形统计图： 第4页，共21页
求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图； 求扇形统计图中扇形D的圆心角度数； 成绩在D区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机抽取两人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
23. 如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线整个过程中风筝线近似地看作直线与水平线构成角，线段表示小花身高米，当她从点A跑动米到达点B处时，风筝线与水平线构成角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度D.
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、C两点，交x轴于点B，且．
求双曲线的解析式； 连接OC，求的面积．
25. 如图，以的边AB为直径的与边AC相交于点D，BC是的切线，E为BC的中点，连接BD、DE． 第5页，共21页
求DE是的切线； 设的面积为，四边形ABED的面积为，若，求的值； 在的条件下，连接AE，若的半径为2，求AE的长．
26. 铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示： 求y与x之间的函数关系式； 商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
27. 如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点F． 证明：四边形CEGF是正方形； 探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
拓展与运用： 正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图3所示，当B，E，F三点在一第6页，共21页
条直线上时，延长CG交AD于点H，若，，求BC的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点，抛物线：，动直线与抛物线交于点N，与抛物线交于点M． 求抛物线的表达式； 当是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值； 在的条件下，设抛物线与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当且时，请直接写出点Q的坐标． 第7页，共21页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：D
解析：解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知． 故选：D． 先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除A、B，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比小的数是． 本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：负数正数；两个负数，绝对值大的反而小． 2.答案：C
解析：解：从上边看一层三个小正方形， 故选：C． 根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 3.答案：D
解析：解：将数用科学记数法表示为， 故选：D． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.答案：B
解析：解：点向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后点的坐标为． 故选：B． 根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求解即可． 本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5.答案：C
解析：解：如图， 第8页，共21页
、， ， 则， 故选：C． 先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 6.答案：D
解析：解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确； 故选：D． 根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可． 本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键． 7.答案：B
解析：解：去分母得：， 解得：，
经检验是分式方程的解， 故选：B． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 8.答案：A
解析：解：把这些数从小到大排列为：28，30，32，34，36，最中间的数是32吨， 则这5天用水量的中位数是32吨； 故选：A． 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案． 此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 9.答案：C
解析：解：连接AC，如图， 四边形ABCD为正方形， ， 又， ． 第9页，共21页
故选：C． 连AC，由四边形ABCD为正方形，得到，由． 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质． 10.答案：D
解析：解：二次函数可化为的形式， 此二次函数中， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 故选：D． 先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的性质进行解答． 本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键． 11.答案：
解析：解：依题意得：，， ，． ． 故答案为：． 根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入原式中即可． 本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目． 12.答案：
解析：解：一次函数，y随x的增大而减小， ， 解得，． 故答案是：． 一次函数，当时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可． 本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 13.答案：
解析：解：平分， ， 在和中
， ≌， ，
(完整版)成都市青羊区树德中学七年级(下)数学试卷(含答案)
立德中学七年级（下）数学试卷(时间 120 分钟满分 150 分 ) 命题人 宣以好A 卷（ 100 分）一、选择题 (每题 3 分 ,共 36 分 ).1．以下图案是几种名车的标记，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）雪佛兰 三菱 雪铁龙 丰田A.4 个 个 个 个2.在代数式1a bac ，3b， ， 3x 2 4x 2 ， x y ， ab ， 0， b中，25 xya 以下结论正确 的是 （ ）．．A ．有 4 个单项式， 2 个多项式B ．有 4 个单项式， 3 个多项式C ．有 7 个整式D ．有 3 个单项式， 2 个多项式3.以下四个算式： （ 1） a 2a3a ；（ 2） x 3 x 3x 6 ；（ 3） m 3 ( m)5 ( m) 5m 3 ；（ 4） (4x 22x) 2x2x ，此中错误 的个数为（）．．A ． 1B ．2C ．3D ． 44.．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20o ，则顶角的度数为（）A ． 70oB. 55oC. 110oD. 70o 或 110o5.．如图 1，若∠ AOB ＝ 180o ，∠ 1 是锐角，则∠ 1 的余角是（）A ． 1∠2－∠1B. 1（∠ 2－∠ 1）22C.1∠2－3∠1D. 1（∠ 2＋∠ 1）2 236．同时投掷两枚质地平均的正方体，正方体的六个面上分别刻有1 到 6 的整数，以下事件是不行能 事件的是（．．．）A. 点数之和为 13B .点数之和小于 3 C. 点数之和大于 4且小于 8 D. 点数之和为 127．等腰三角形的三边均为整数，且周长为11，则底边是（ ）A ．1或3B ．3或5C ．1或3或 5D ．1或3或5或 78．王老师骑车上班，最先以某一速度匀速行进，半途因为自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了准时到校，王老师加速了速度， 仍保持匀速行进， 结果准时抵达学校。
在下边的表示图中， 能正确地表示自行车行进行程s （千米）与行进时间 t （小时）的表示图的是（ ）9．以下说法中，正确的是（）．．A.近似数 5 百与 500 的精准度是同样的 .B ．近似数 5.05 是精准到0.01 的数，它有 3 个有效数字C. .近似数 55.0 与 55 是同样的 .D. 近似数 5.05 是精准到百分位的数，它的有效数字是 5 和 0.10.如图2，PD⊥ AB于D，PE⊥ AC于E，且PD=PE，则△ APD与△ APE全等的原因是（）A．SSS B．ASA C．SSA D．HL11．在以下结论中：（ 1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形。
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷(word版含答案)
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10 B．a10÷a9＝a C．（ab4）4＝ab16 D．a6•a4＝a24 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为
（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13 4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据
表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．关于x的方程的解为x＝1，则a＝（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 6．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件
数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ） A．10（1+x）2＝33.1 B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1 7．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（ ）
2020年四川省成都中考数学试卷-答案解析
答案解析
1.【答案】C
【解析】解： 的绝对值是2．
故选：C．
【考点】绝对值
2.【答案】D
【解析】从主视图的左边往右边看得到的视图为：
故选：D.
【考点】左视图的识别
3.【答案】B
【解析】解： ．
故选：B．
【考点】用科学记数法表示较大的数
4.【答案】A
【解析】解：将点 向下平移2个单位长度所得到的点坐标为 ，即 ，
，
由折叠 性质可知 ， ，
，
，
（2）由题意可得 ，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
；
（3）过点 作 于点 ．
又
．
．
，即
，
又 平分 ， ， ，
，
，
整理得： ．
【考点】矩形的折叠和相似三角形的综合题
28.【答案】（1）
（2）
（3）存在， 或
【解析】（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
，
，
抛物线的函数表达式为 ；
11.【答案】
【解析】 .
12.【答案】
【解析】解：因为一次函数 的值随 值的增大而增大，
所以 ．
解得 .
故答案为： ．
【考点】一次函数的性质
13.【答案】
【解析】解： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【考点】圆的基本性质，圆周角定理
14.【答案】
【解析】设1头牛值金 两，1只羊值金 两，由题意可得，
．
所以这组数据的众数为5，中位数为7.
故选：A．
【考点】众数、中位数
树德中学初2020级10月诊断性考试数学试题 (修订中)3
树德中学初2020级10月诊断性考试数学试题时间：120分钟满分：150分出题人：冯平娜审题人：蒋琴A卷（100分）一、单选题(每题4分，共32分)1.下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣3＝2x B．x2﹣2＝0C．x2﹣2y＝0D．2.下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形3.已知，则下列结论一定成立的是（）A．x＝6，y＝7B ．C．y﹣x＝1D．4.若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（）A．23B．32C．1D．26.根据下面的表格，估计方程（x+8）2﹣826＝0的一个正数解x的大致范围为（）x20.520.620.720.820.9（x+8）2﹣826﹣13.75﹣8.04﹣2.31 3.449.21A．20.5＜x＜20.6B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8D．20.8＜x＜20.97.一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（）A．4B．5C．6D．78.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动（不与点A，B重合）；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动（不与点C、D重合），经过t秒，∠DPQ=90°,则t的值为（）A.516s B.56s或2s C.2s或516s D.56s二、填空题(每题4分，共20分)9.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为．10.若＝＝＝（b+d+f≠0），则＝11.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12.如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路（小路的宽都小于2m），且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为m．13.已知：∠MON，如图，小静进行了如下作图，①在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；②分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC，BC，AB，OC．若OC＝2，S四边形OACB＝4，则AB的长为________三、解答题(共48分)14.（12分）用适当方法解下列方程：（1）（6x﹣1）2＝25；（2）4（x﹣3）2＝（x﹣3）；（3）5x2﹣18＝9x；（4）（x+2）（x﹣3）＝4．15.（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．16.（8分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；(2)补全条形统计图；(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．17.（8分）建设美丽城市，改造老旧小区．成都市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求成都市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个100万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？18.（12分）已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP=OQ ；（2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．①当R 为DC 中点时，求AO:OR:RS 的值；②若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，分别求AS 和OR 的长.B 卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）19.若m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣2022＝0的两个实数根，则2m +2n ﹣mn 的值为20.有9张卡片，分别写有0-8这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为m,能使关于x 的分式方程213=--x mx 的解为正数的概率为__________．21.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ．折叠该纸片，使点A 落在AE 的点G 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上．若DE=5，则GE 的长为_____________22.将两个关于x 的一元二次方程整理成a （x +h ）2+k ＝0（a ≠0，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）与方程02)1(2=--x 是“同源二次方程”，且方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个根为x 1、x 2，则b+2c ＝，22211222x a x ax x a +-的最小值是．23.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，点E 为OA 的中点，点F 为BC 上一点，且BF ＝3CF ，点P 为BD 上一动点，连接PE 、PF ，则|PF ﹣PE |的最大值为三、解答题（共30分）24.（8分）成都某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（x≤30，且x 为正整数），当50≤<x 时，实际进价为_______万元/辆；当305≤<x 时，实际进价为____________________万元/辆.（可用含x 的式子表示）（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）.25.（10分）直线l 1：y ＝﹣33x +23与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 是l 1上一点，且横坐标为3，将l 1绕C 点顺时针旋转90°到l 2，l 2与x 轴、y 轴分别交D 、E 两点．（1）求C 点坐标和直线l 2的解析式；（2）如图1，在线段AC 上，有一动点P ，过P 点作PQ ∥y 轴，交l 2于点Q ，连接AQ ，当 APQ 面积为334时，求P 点的坐标；（3）如图2，连接AE ，将线段AE 沿直线AB 方向平移，记AE 平移后的线段为A 1E 1，直线A 1E 1在平移过程中与x 轴交于点M ，坐标平面内是否存在一点N ，当OMNA 1为菱形时，求点N 的坐标．26.（12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、AB 上，且EF ⊥FC,AE=BF.（1）求证：AB=AE+BC ；（2）若AE=3,BC=5，点M 是线段AF 上一动点，连接EM ，作EM ⊥MN ，交直线FC 于点N ；①当点M 与A ，F 两点不重合时，求MNEM的值；②当点M 从A 点运动到AB 的中点时，求线段EN 的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）.。
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷(word版含答案)
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式计算正确的是（）A．x5+x5＝x10B．a10÷a9＝aC．（ab4）4＝ab16D．a6•a4＝a243．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．134．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差 3.6 3.67.48.1 A．甲B．乙C．丙D．丁5．关于x的方程的解为x＝1，则a＝（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（）A．10（1+x）2＝33.1B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1C．10+10（1+x）2＝33.1D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.17．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（）A．AC＝OD B．BC＝BD C．∠AOD＝∠CBD D．∠ABC＝∠ODB 8．如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞nC．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为．10．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是．11．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．12．化简：÷（﹣）＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝12，则线段CD的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（1）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|（2）解不等式组：15．根据“五项管理”文件精神，成都某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人；（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（3）全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有多少人？（4）学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．16．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为3m，BC边上露出部分BD的长为1.8m，求铁板BC 边被掩埋部分CD的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）17．如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值．18．如图1，一次函数y＝﹣3x+12的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B 两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．（1）当k＝9时，求A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以点B 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AO并延长交反比例函数y＝（k＞0）图象的另一支于点C，连接BC交y轴于点G．若＝2，求反比例函数的表达式．B卷一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）19．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是．20．已知点A（m，y1），B（m+2，y2）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是．21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．若OG＝2，OE＝4，则BD的长．22．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝15cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为cm．23．如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝BA，∠CAB＝90°，点M是AB上一点，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM＝1，BM＝3，△CPD 的面积的最小值为．二、解答题（共30分）24．2022年6月26日至7月7日，第31届世界大学生夏季运动会在成都举行．某公司要印制大运会宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1600元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费．（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图象：（3）根据图象回答下列问题：①印制600份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？②该公司拟拿出5000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第二象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AC于点Q．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥AC，垂足为N，请用含t的代数式表示线段PN的长，并求出当t 为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连接OP，PC，PA，将线段OP绕点O顺势针旋转90°，P的对应点为P′，连接CP'和BP′，若△CP′B面积与△PAC面积比为3：2，求点P坐标．26．在R△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，M是BC边上一点，连接AM．（1）如图1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN；（2）如图2，过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q，求证：CP•BQ＝BM•PQ；（3）如图3，将（1）中的△BCN以点B为中心逆时针旋转得△BC′N′，C，N对应点分别是C'，N'，E为C'N′上任意一点，D为BM的中点，连接DE，若∠BCN＝30°，BC＝4，DE最大值为m，最小值为n，求的值．青羊区初2022届诊断性测试九年级数学参考答案A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）9．6⨯10．（3，2）．11．红球12．13．87.7-10三解答题（本大题共5个小题，共48分）14．(本小题满分12分，每小题6分)（1）计算：解：原式=21234++⨯32----------------------------（4分，每步计算1分） =232132++-=3 -------------------------------------------------(6分)（2）解不等式组：2(1)571023x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩①② 解：解①得7522->+x x 得3<x --------------------------解②得x x 610>+得2<x --------------------------（4分） 原不等式组解集为2<x --------------------------（6分）15. （本小题满分8分）（1）接受问卷调查的学生共有 40 人；------------------（1分）（2）D 等级扇形圆心角：72408360=⨯-------------------------- B 等级人数：10816640=---（人）（3）估计“A （4分） （4）画树状图得：--------------------------（7分）共有12种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有种8情况，恰好抽到1个男生1.8m3m54°36°CBAD和1个女生的概率为32128==P . -----------------------------（8分） 16. （本小题满分8分）解：连接CD ，AC ，在△ABC 中，︒︒︒=+=∠+∠903654B A ，∴在△ABC 中，︒︒︒︒=+-=∠90)3654(180C 得△ABC 为直角三角形，-----------ABBCA =∠sin ，--------------------------（4分） ∴sin 3sin 5430.81 2.43BC AB A ︒=⨯∠=⨯≈⨯=.--------------------------（6分） ∴ 2.43 1.80.630.6CD BC BD m =-=-=≈. --------------------------（7分）答：CD 长约为0.6m ．--------------------------（8分）17. （本小题满分10分）（1）证明：连接OC ，如图所示： ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAD +∠ABC ＝90°.----------------------------（1分） ∵CE ＝CB ，∴∠CAE ＝∠CAB . ∵∠BCD ＝∠CAE ，∴∠CAB ＝∠BCD .-------------------------- ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB . ∴∠OCB +∠BCD ＝90°. ∴∠OCD ＝90°.∴CD 是⊙O 的切线.--------------------------图1F EAO BC（2）∵∠BCD ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠CDB ， ∴△DCB ∽△DAC .-------------------------（4分） ∴CD ADBD CD =. ∴424AD =. ∴AD ＝8.--------------------------（5分）∴AB ＝AD ﹣BD ＝8﹣2＝6．--------------------------（6分） （3）过F 作FH ⊥AB 交AB 于H 由（2）知△DCB ∽△DAC ∴2142===CD BD AC BC ． 设x AC x BC 2,==则，在Rt △ ACB 中，222AB AC BC =+，即2226)2(=+x x 解得556==x BC ．--------------------------（7分）由（1）知∠CAE =∠CAB ，且∠ACB =∠ACF=90°，可得△ACB ≌△ACF (SAS ) ． ∴55122==BC BF ． 在Rt △ ACB 中，55265562sin =⨯==∠ABACABC ， 556556cos ===∠AB BC ABC ，--------------------------（8分）在Rt △ BHF 中, 5245525512sin =⨯=∠⨯=ABC BF FH ， 512555512cos =⨯=∠⨯=ABC BF BH ，--------------------- 53512216=-⨯=-=BH OB OH ． 在Rt △ OHF 中， 853524tan ===∠OHFHBOF .----------------- 18. （本小题满分10分）解：（1）当9=k 时，反比例函数为xy 9=图2HF EAOBC图2xy MH G CA B EFO 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==1239x y x y --------------------------（1分） 得⎩⎨⎧==9111y x ，⎩⎨⎧==3322y x ∴A (1，9) ，B (3，3) --------------------------(2) 过B 作BP ⊥AB 交x 轴于点M 于点N ，直线x x y 与123+-=交点E （4,0由B (3，3)，得 N (3，0)， ∴BN =3，NE =1．由直角三角形射影定理得BN =2∴M 坐标（-6,0）．由B (3，3)和M (-6，0)可得直线31=x --------------------------（5分）联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==2319x y xy 得P (-9，-1) -------------------------（6分）(3) 分别过B ，C 作y 轴垂线，垂足分别是H ，M ， 则△BHG ∽△CMG , ∴2==CGBGCM BH ． ∴2BH CM =． --------------------------（7分） 设A （a ，-3a+12）,B (b ，-3b+12) 则C 坐标为（-a ，3a-12）． ∴CM=a ， BH=b ．∴b =2a ． --------------------------（8分） ∵A ，B 都在反比例函数)0(>=k xky 上，∴)123()123(+-⋅=+-⋅b b a a ．把b =2a 代入上式，得a a a a 241212322+-=+-． 解的34(021==a a 舍），． -------------------------- ∴ A 坐标为)8,34(． 将A 代入反比例函数，得332834=⨯=k ， ∴xy 332=．-------------------------- B 卷（共50分）一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19． 12≤k 20．20m -<< 21．16 22．20cm 或cm 3340 23．6 二、解答题（共30分） 24.（本小题满分8分） 解：（1）甲印刷厂：1600+=x y乙印刷厂：x y 3=--------------------------（2）（如右图）--------------------------（5分）（3）由图象可知：当印刷数量少于800刷费用低，当所以当印制600份宣传材料时，选择乙厂合算． --------------------------（7分） 当印制费用超过2400元时，甲厂印刷的宣传材料数量多于乙厂数量，所以用5000元印制宣传材料时，选择甲厂印制的宣传材料较多．--------------------------（8分）25. （本小题满分10分）解（1）抛物线y =ax 2+bx +4交x 轴于A （－4，0），B （3，0）两点 ∴a ax ax x x a y 12)3)(4(2-+=-+=． --------------------------（1分） 由412=-a 得31-=a ， --------------------------∴431312+--=x x y ． --------------------------（2）由431312+--=x x y 可得抛物线与y 轴交点C (0，4)由A (-4，0)及C （0，4）可得直线AC 解析式为4+=x y 且△AOC 为等腰直角三角形由P 点横坐标为t ，可得)4,(),43131,(2++--t t Q t t t P ．∴t t t t t PQ 3431)4(4313122--=+-+--=．--------------------------（4分） 由PM 垂直x 轴，得轴y PM //． ∴∠PQC =∠A CO=45°．∵PN ⊥AC ，∴△PQN 为等腰直角三角形． ∴32262)3431(222222tt t t PQ PN --=--==． --------------------------（5分） 当2)62(23222-=-⨯--=-=a b t 时，PN 有最大值322 ．--------------------------（6分） （3）由（2）知t t PQ 34312--=．214)3431(2⨯⨯--=t t S PAC △． ---------------（7分）点)43131,(2+--t t t P 绕原点顺时针旋转90°后可得P`),43131(2t t t -+--．-------------------（8分）由B (3,0)及C (0,4)可得直线BC :434+-=x y ．过P '作P D '//x 轴交BC 于点D ，可得P '点纵坐标为-t ．将y=-t 代入直线BC 的表达式，可得D 点横坐标为343+t ． ∴P D '=1121331)343(4313122+--=+-+--t t t t t ．21131(1)43122P BC S t t '=--+⨯⨯△．--------------------------图2xy QP'MBACOP 图1xy QM NBA CO P∴221131(1)4331221412()4332P BC PACt t S S t t '--+⨯⨯==--⨯⨯△△． 解得舍）-(4,2321-==t t ．∴ P 坐标为）-（415,23，P '坐标为），（23415．--------------------------26.（本小题满分12分）（1）证明：∵CN ⊥AM ，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°． ∴∠BCN ＝∠MAB ，--------------------------（1分） 在△ABM 和△CBN 中，∴△ABM ≌△CBN （ASA ）.--------------------------（2分 ∴BM ＝BN .--------------------------（2）证明：如图，作CH ∥AB 交BP 的延长线于H ，--------------------------（4分） ∵BP ⊥AM ，∴∠BPM ＝∠ABM ＝90°.∵∠BAM +∠AMB ＝90°，∠CBH +∠BMP ＝90°， ∴∠BAM ＝∠CBH .--------------------------（4分） ∵CH ∥AB ，∴∠HCB +∠ABC ＝180°. ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABM ＝∠BCH ＝90°. ∵AB ＝BC ，∴△ABM ≌△BCH （ASA ）.--------------------------（6分） ∴BM ＝CH . ∵CH ∥BQ ，C MGD E FHN '(C ')BA∴CP ·BQ ＝BM ·PQ . --------------------------（7分）(3) 如图，△BC N ''绕点B 逆时针旋转，以△BC N ''参照物（作静止状态），点D 绕点B 顺时针旋转，问题转化为在以B 为圆心，BM 21为半径的圆上动点D 与线段C N ''上动点E 距离最值问题.由（1）知△ABM ≌△CBN ，得∠BAM=∠BC N ''=30°. ∴ 430tan 34tan =⨯=∠⨯=︒BAM AB BM . ∴ 221==BM BD . 过B 作BH ⊥C N ''于H ，交⊙B 于点F ,32342121=⨯==BC BH . 当E 与H 重合，D 与F 重合时，DE 最小值232-=n . -------------------------- 延长C B '交⊙B 于点G ，当D 与G 重合，E 与C '重合时，DE 最大值234+=m .--------------------------∴2337232234+=-+=n m . --------------------------（12分）。
四川省成都市树德中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)
四川省成都市树德中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（4分）把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为（ ）A．x＜1B．x≥1C．x＞1D．x≤13．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．﹣15x4y＝﹣3x4•5y B．m（mn﹣1）＝m2n﹣mC．am+an＝a（m+n）D．y2﹣5y﹣1＝y（y﹣5）﹣14．（4分）下列各式中是分式为（ ）A．B．C．D．5．（4分）已知a＞b，则下列变形正确的是（ ）A．ac＜bc B．﹣a＜﹣b C．a﹣2＜b﹣2D．6．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）A．﹣1B．0C．3D．0或37．（4分）如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝9，DO＝4，平移距离为5，则阴影部分面积为（ ）A．40B．45C．35D．308．（4分）下列命题是真命题的个数为（ ）①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；②在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；③在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）因式分解：x3﹣x＝ ．10．（4分）如果分式的值为0，那么x的值是 ．11．（4分）若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 ．12．（4分）如图，已知△ABC的周长为20，AC＝8，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△BAD的周长为 ．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的对应点B′的坐标是 ．三、解答题（本大题共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．15．（8分）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）△ABC的面积为 ；（2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．17．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED 交BC的延长线于点F．（1）求证：AD＝DF；（2）若CF＝6，EF＝18，求DE的长．18．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边的中点，点M为线段BC上一动点（不与点C，D重合），将线段AM绕点M顺时针旋转90°，点A的对应点为E，连接EC，AE．（1）如图1，若点M在线段BD上，则∠ACE的度数是 ；（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC，CE，之间的数量关系，请写出结论并证明；（3）若，则点M在线段BC上运动的过程中，当∠EAC＝30°时，请直接写出线段CM的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知，则代数式（x+1）2﹣6（x+1）+9的值为 ．20．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx≤mx+n的解集是 ．21．（4分）关于x的不等式组无解，且一次函数y＝（a﹣6）+a﹣2的图象不经过第三象限，则符合题意的整数a的值为 ．22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为 ．23．（4分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，则∠BNC＝ ，＝ ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．（8分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．25．（10分）当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点为“完美点”．（1）若点E为“完美点”，且横坐标为2，则点E的纵坐标为 ；若点F为“完美点”，且横坐标为3，则点F的纵坐标为 ；（2）“完美点”P在直线 （填直线解析式）上；（3）如图，已知AD分别与y轴和x轴交于点A（0，5）、D（5，0），点B，C是“完美点”，且点B在直线AD上．若△BDC的面积等于10，求“完美点”C的坐标．26．（12分）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE，将线段AC，AB，BD之间的数量关系转化为CE与BD的数量关系；点点同学从∠ABC＝2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，将∠ABC＝2∠C转化为∠C与∠E之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．如图2，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°，求证：；（3）【学以致用】如图3，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，DC＝2，∠CAD＝2∠ABC，CE平分∠ACB交AB于点E．求BE的长．参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．（4分）把一个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式的解集为（ ）A．x＜1B．x≥1C．x＞1D．x≤1【解答】解：根据数轴得：x＜1，故选：A．3．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．﹣15x4y＝﹣3x4•5y B．m（mn﹣1）＝m2n﹣mC．am+an＝a（m+n）D．y2﹣5y﹣1＝y（y﹣5）﹣1【解答】解：A．﹣15x4y＝﹣3x4•5y，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，不符合题意；B．m（mn﹣1）＝m2n﹣m，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；C．am+an＝a（m+n），是因式分解，符合题意；D．y2﹣5y﹣1＝y（y﹣5）﹣1，不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；故选：C．4．（4分）下列各式中是分式为（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、B、D中的式子是整式，不是分式，故A、B、D不符合题意；C、式子是分式，故C符合题意．故选：C．5．（4分）已知a＞b，则下列变形正确的是（ ）A．ac＜bc B．﹣a＜﹣b C．a﹣2＜b﹣2D．【解答】解：A．a＞b，当c＞0时，ac＞bc，故选项A不符合题意；B．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故选项B符合题意；C．∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故选项C不符合题意；D．∵a＞b，∴，故选项D不符合题意．故选：B．6．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）A．﹣1B．0C．3D．0或3【解答】解：∵分式方程有增根，∴x＝3，原方程去分母可得：2﹣x﹣m＝2x﹣6，把x＝3代入可得：2﹣3﹣m＝6﹣6，解得：m＝﹣1．故选：A．7．（4分）如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝9，DO＝4，平移距离为5，则阴影部分面积为（ ）A．40B．45C．35D．30【解答】解：由平移的性质知，BE＝5，DE＝AB＝9，∴OE＝DE﹣DO＝9﹣4＝5，∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝×（9+5）×5＝35．故选：C．8．（4分）下列命题是真命题的个数为（ ）①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；②在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；③在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故①错误；②在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，当两边为直角边时，则第三边长为5，当4为斜边时，根据勾股定理，第三边长为，故②错误；③在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故③正确；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形，如果是一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边相等，则这两个三角形不全等，故④错误；故选D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）因式分解：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）10．（4分）如果分式的值为0，那么x的值是 3 ．【解答】解：由题意得：，解得x＝3．故答案为：3．11．（4分）若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 a＜3 ．【解答】解：不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，∴a﹣3＜0，解得a＜3．故答案为：a＜3．12．（4分）如图，已知△ABC的周长为20，AC＝8，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△BAD的周长为 12 ．【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD．∵△ABC的周长为20，AC＝8，∴AB+BC＝12．∴△BAD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12．故答案为：12．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的对应点B′的坐标是 （﹣3，8） ．【解答】解：分别过点B和点B′作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，∠B′OB＝90°，OB′＝OB，∴∠B′ON+∠BOM＝∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．在△B′ON和△OBM中，，∴△B′ON≌△OBM（AAS），∴B′N＝OM，ON＝BM．又∵点B坐标为（8，3），∴B′N＝OM＝3，ON＝BM＝8，∴点B′的坐标为（﹣3，8）．故答案为：（﹣3，8）．三、解答题（本大题共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）方程两边同时乘（3﹣x）（x+1）得：2（x+1）+3（3﹣x）＝0，整理得，得2x+2+9﹣3x＝0，解得：x＝11，检验：当x＝11时，（3﹣x）（x+1）≠0，故原方程的解为x＝11；（2），解①，得x＜3，解②，得x≥﹣8，故不等式组的解集为﹣8≤x＜3．15．（8分）先化简，再求值：（）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【解答】解：原式＝•＝2x+8，分母不能为0，则x≠±2，除数不能为0，则x≠0，当x＝1时，原式＝2+8＝10．16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）△ABC的面积为 4 ；（2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．【解答】解：（1）△ABC的面积为＝﹣2﹣＝4．故答案为：4．（2）如图，△A1B1C1即为所求．（3）如图，△A2B2C2即为所求．17．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED 交BC的延长线于点F．（1）求证：AD＝DF；（2）若CF＝6，EF＝18，求DE的长．【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC，∠FCD＝∠DEA．在△DAE和△DFC中，，∴△DAE≌△DFC（ASA），∴AD＝DF．（2）解：∵△DAE≌△DFC，∴AE＝CF＝6，AD＝DF．又∵EF＝18，∴AD+DE＝18，即AD＝18﹣DE．在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2，∴DE2+62＝（18﹣DE）2，解得DE＝8，∴DE的长为8．18．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边的中点，点M为线段BC上一动点（不与点C，D重合），将线段AM绕点M顺时针旋转90°，点A的对应点为E，连接EC，AE．（1）如图1，若点M在线段BD上，则∠ACE的度数是 90° ；（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC，CE，之间的数量关系，请写出结论并证明；（3）若，则点M在线段BC上运动的过程中，当∠EAC＝30°时，请直接写出线段CM的长．【解答】解：（1）过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，如图：∴∠FMC＝90°，∴∠FMA+∠AMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，∴∠AME＝90°，AM＝ME，∴∠CME+∠AMC＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝MC，在△FMA和△CME中，，∴△FAM≌△CEM（SAS），∴∠MCE＝∠F＝45°；∴∠ACE＝∠MCE+∠ACB＝45°+45°＝90°；故答案为：90°；（2）线段AC，CE，CM之间的数量关系是AC﹣CE＝CM，证明如下：过点M作BC边的垂线交CA于点F，如图：∴∠FMC＝90°，∴∠FME+∠EMC＝90°，∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，点A的对应点为E，∴MA＝ME，∠AME＝90°，∴∠FME+∠AMF＝90°，∴∠FMA＝∠CME，在Rt△FMC中，∠ACB＝45°，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴FM＝MC，△FCM是等腰直角三角形，∴△FAM≌△CEM（SAS），∴AF＝CE，∵△FCM是等腰直角三角形，∴CF＝CM，∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣CE，∴AC﹣CE＝CM；（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，∴AC＝＝2；①点M在线段BD上时，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，如图：由（1）知，∠ACE＝90°，∵∠EAC＝30°，∴CE＝＝2，由（1）知△FAM≌△CEM（SAS），∴AF＝CE＝2，∴CF＝AF+AC＝2+2，∵FM＝MC，∠FMC＝90°，∴△FCM的等腰直角三角形，∴CM＝＝2+2；②点M在线段CD上时，过点M作BC边的垂线交CA于点F，如图：由（2）可得△FAM≌△CEM（SAS），△FCM是等腰直角三角形，∴∠AFM＝∠MCE＝180°﹣∠MFC＝135°，∴∠ACE＝∠MCE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∵∠CAE＝30°，∴CE＝AF＝＝＝2，∴CF＝AC﹣AF＝2﹣2，∴CM＝＝2﹣2；综上所述，CM的长为2+2或2﹣2．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知，则代数式（x+1）2﹣6（x+1）+9的值为 3 ．【解答】解：（x+1）2﹣6（x+1）+9＝x2+2x+1﹣6x﹣6+9＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，把x＝+2代入代数式，原式＝（+2﹣2）2＝3．故答案为：3．20．（4分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx≤mx+n的解集是 x≥﹣1 ．【解答】解：由所给函数图象可知，当x＞﹣1时，一次函数y＝kx的图象在y＝mx+n图象的下方，即kx＜mx+n．当x＝﹣1时，一次函数y＝kx与y＝mx+n的函数值相等，即kx＝mx+n，所以不等式kx≤mx+n的解集是x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．21．（4分）关于x的不等式组无解，且一次函数y＝（a﹣6）+a﹣2的图象不经过第三象限，则符合题意的整数a的值为 2或3 ．【解答】解：由题知，解不等式得，x＜．因为不等式组无解，所以，解得a≤．因为一次函数y＝（a﹣6）+a﹣2的图象不经过第三象限，所以，解得2≤a＜6．综上所述，2≤a≤，所以整数a的值为：2或3．故答案为：2或3．22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为 1或或 ．【解答】解：由翻折变换的性质得：AE＝EF，DF＝AD，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴．设AE＝EF＝x，则BF＝5﹣2x．分三种情况讨论：①当BF＝BC时，5﹣2x＝3，解得：x＝1，∴AE＝1；②当BF＝CF时，F在BC的垂直平分线上，∴F为AB的中点，∴AF＝BF，∴x+x＝5﹣2x，解得：，∴；③当CF＝BC时，作CG⊥AB于G，如图：则，根据射影定理得：BC2＝BG•AB，∴，∴，解得：，∴，综上所述，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为1或或，故答案为：1或或．23．（4分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，则∠BNC＝ 75° ，＝ 2 ．【解答】解：如图1，过点C作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴AB＝BC，∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵CH＝BC，∴AB＝CH，在△ABM和△CHN中，，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵BC＝HC，∠BCH＝90°，∴∠H＝∠CBH＝45°，∴∠BNC＝∠H+∠HCN＝75°∴当BM+BN的值最小时，∠BNC＝75°；如图3，过点N作NK⊥BC于K，NG⊥AB于G，设AM＝CN＝x，等边△ABC的边长为a，则AN＝a﹣x，BD＝a，∴AD＝＝＝a，∴DM＝AD﹣AM＝a﹣x，在Rt△CNK中，∵∠CNK＝90°﹣60°＝30°，∴CK＝CN＝x，∴BK＝a﹣x，NK＝＝＝x，∵△BNK是等腰直角三角形，∴BK＝NK，即a﹣x＝x，解得：x＝（﹣1）a，∴AN＝a﹣x＝（2﹣）a，DM＝a﹣x＝a，在Rt△ANG中，∠ANG＝90°﹣60°＝30°，∴AG＝AN＝a，∴NG＝＝a＝a，∴＝＝2；故答案为：75°，2．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．（8分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．【解答】解：（1）设毽子的单价是x元，则跳绳的单价是（x+4）元，根据题意得：＝，解得：x＝16，经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，∴x+4＝16+4＝20（元）．答：跳绳的单价是20元，毽子的单价是16元；（2）设学校购买m根跳绳，则购买（400﹣m）个毽子，根据题意得：，解得：300≤m≤310．设学校购买跳绳和毽子共花费w元，则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m），即w＝4m+4800，∵4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝300时，w取得最小值，此时400﹣m＝400﹣300＝100（个）．答：当购买300根跳绳，100个毽子时，学校花钱最少．25．（10分）当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点为“完美点”．（1）若点E为“完美点”，且横坐标为2，则点E的纵坐标为 1 ；若点F为“完美点”，且横坐标为3，则点F的纵坐标为 2 ；（2）“完美点”P在直线 y＝x﹣1 （填直线解析式）上；（3）如图，已知AD分别与y轴和x轴交于点A（0，5）、D（5，0），点B，C是“完美点”，且点B在直线AD上．若△BDC的面积等于10，求“完美点”C的坐标．【解答】解：（1）当m＝2时，2+n＝2n，解得n＝2，∴＝＝1，∴E的纵坐标为1；当m＝3时，同理可得点F的纵坐标为2；故答案为：1，2；（2）设x＝m，y＝，∵m+n＝mn，∴x+n＝nx，解得n＝，∴y＝＝＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1；（3）设直线y＝x﹣1交x轴于K，可知K（1，0），当C在x轴上方时，如图：由A（0，5）、D（5，0）可得直线AD解析式为y＝﹣x+5，联立，解得，∴B（3，2）；∵D（5，0），∴DK＝5﹣1＝4，∴×4×y C﹣×4×2＝10，解得y C＝7，在y＝x﹣1中，令y＝7得x＝8，∴C的坐标为（8，7）；当C在x轴下方时，同理可得×4×（﹣y C）+×4×2＝10，解得y C＝﹣3，∴C（﹣2，﹣3）；综上所述，C的坐标为（8，7）或（﹣2，﹣3）．26．（12分）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE，将线段AC，AB，BD之间的数量关系转化为CE与BD的数量关系；点点同学从∠ABC＝2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，将∠ABC＝2∠C转化为∠C与∠E之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．如图2，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°，求证：；（3）【学以致用】如图3，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，DC＝2，∠CAD＝2∠ABC，CE平分∠ACB交AB于点E．求BE的长．【解答】（1）证明：方法一：如图1（1）：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝ED，∠AED＝∠ABC＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AE+EC＝AB+BD；方法二，如图1（2）：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∵∠ABC是△BED的外角，∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E，∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠E，在△EAD和△CAD中，，∴△EAD≌△CAD（AAS），∴AE＝AC，∴AE＝AB+BE∴AC＝AB+BD；（2）证明：如图2，作CL⊥DB交DB的延长线于点L，则∠L＝∠A＝90°，∵∠D＝45°，∴∠LCD＝∠D＝45°，∴CL＝DL，∵∠ABD+∠ABC+∠LBC＝180°，∠ABD+2∠ABC＝180°，∴∠ABD+∠ABC+∠LBC＝∠ABD+2∠ABC，∴∠LBC＝∠ABC，在△LBC和△ABC中，，∴△LBC≌△ABC（AAS），∴LB＝AB，∵CD＝＝DL＝BD+LB，∴BD+AB＝CD；（3）解：如图3，延长CA至F，使AF＝AD，连接BF，过C作CH⊥BA于点H，则∠H＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝2α，∠BAD＝90°﹣α，∠ACB＝90°﹣2α，∴∠BAF＝∠ABC+∠ACB＝α+90°﹣2α＝90°﹣α，∴∠BAF＝∠BAD，在△BAF和△BAD中，，∴△BAF≌△BAD（SAS），∴∠F＝∠ADB＝90°，BF＝BD＝3，在Rt△BCF中，BC＝BD+CD＝3+2＝5，∴CF＝＝＝4，设AD＝AF＝x，则AC＝CF﹣AF＝4﹣x，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝AD＝，∴AB＝＝＝，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝（90°﹣2α）＝45°﹣α，∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝α+45°﹣α＝45°，∴△CHE是等腰直角三角形，∴EH＝CH，∵S△ABC＝AB•CH＝BC•AD，即××CH＝×5×，解得：CH＝，∴EH＝，∴BH＝＝＝2，∴BE＝BH﹣EH＝2﹣＝，即BE的长为．。
2020年四川省成都市郫都区中考数学二诊试卷 (Word 解析版)
2020年中考数学二诊试卷一、选择题1．下面如图摆放的正方体、圆锥、圆柱、球，其三视图都是正方形的是（）A．B．C．D．2．李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（）A．256B．﹣957C．﹣256D．4453．在代数式中，m的取值范围是（）A．m≤3B．m≠0C．m≥3D．m≤3且m≠0 4．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°5．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5 6．中国高速路里程已突破13万公里，居世界第一位，将13万用科学记数法表示为（）A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×1047．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如表统计表：步数（万步） 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4天数353127在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.3，1.1B．1.3，1.3C．1.4，1.4D．1.3，1.48．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（）A．三边中线B．三边垂直平分线C．三边高线D．三内角的平分线10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．A．4B．3C．2D．1二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．有理数﹣的倒数为．12．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为．13．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为．14．如图所示，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠A的度数为．三、解答题（共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：tan60°﹣﹣4sin45°+（π﹣2020）0；（2）解不等式组：．16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．17．如图，在甲楼上挂着“众志成城，控制疫情”的宣传条幅AE，小明从乙楼D处，看条幅顶端A测得仰角为45°，看条幅底端E测得俯角为31°，已知甲、乙两楼相距40米，求条幅AE的长．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）．18．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？19．如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝交于A（﹣2，4），B 两点．（1）求直线AB的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，求m的值．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，连接FO并延长交⊙O于点G，已知DE＝3，tan∠CDA＝2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：OA2＝OB•OE；（3）求线段EG的长．二、填空题（共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．比较大小：﹣30．（填“＞”、“＝”或“＜”号）22．如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有点A、点B两个格点，在网格的格点上任意放置点C（点A、B除外），恰能使△ABC的面积为1的概率是．23．设α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根，则α2+β2的值为．24．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝9x﹣1的图象上，则点P的坐标为．25．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为．二、解答题（共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？27．如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值；（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．参考答案一．选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上1．下面如图摆放的正方体、圆锥、圆柱、球，其三视图都是正方形的是（）A．B．C．D．【分析】利用三视图的画法对各选项进行判断．解：正方体的三视图都是正方形；球的三视图都是圆，而圆锥、圆柱的三视图不相同．故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图：记住常见的几何体的三视图（若正方体、圆柱、圆锥、球等）；画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．2．李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（）A．256B．﹣957C．﹣256D．445【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：公元701年用+701年表示，则公年前用负数表示；则公年前256年表示为﹣256年．故选：C．【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．3．在代数式中，m的取值范围是（）A．m≤3B．m≠0C．m≥3D．m≤3且m≠0【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：解得：m≤3且m≠0故选：D．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．4．如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．解：如图所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，故选：B．【点评】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．5．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、a3÷a2＝a，正确；D、（a2）3＝a6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．中国高速路里程已突破13万公里，居世界第一位，将13万用科学记数法表示为（）A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将13万用科学记数法表示为：1.3×105．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如表统计表：步数（万步） 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4天数353127在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.3，1.1B．1.3，1.3C．1.4，1.4D．1.3，1.4【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.3，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．解：在这组数据中出现次数最多的是1.3，即众数是1.3．要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.3，所以中位数是1.3．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可得．解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C．此图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；D．此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念．9．三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（）A．三边中线B．三边垂直平分线C．三边高线D．三内角的平分线【分析】根据外心的定义直接进行判断即可．解：根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．A．4B．3C．2D．1【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．有理数﹣的倒数为﹣．【分析】根据倒数的定义求解可得．解：有理数﹣的倒数为﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．12．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为（2，3）．【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得．解：点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'的坐标为（﹣2+4，3），即（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．13．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为100cm．【分析】确定出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，∴OD是△ABC的中位线，∴AC＝2OD＝2×50＝100cm．故答案为100cm．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，是基础题，熟记定理是解题的关键．14．如图所示，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠A的度数为75°．【分析】根据旋转变换的性质得出OA＝OD，∠AOD＝30°，再利用等腰三角形两底角相等可得答案．解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴OA＝OD，∠AOD＝30°，∴∠A＝＝75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转变换的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．三、解答题（共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：tan60°﹣﹣4sin45°+（π﹣2020）0；（2）解不等式组：．【分析】（1）将特殊锐角的三角函数值代入、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．解：（1）原式＝×﹣3﹣4×+1＝3﹣3﹣2+1＝4﹣5；（2）解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17．如图，在甲楼上挂着“众志成城，控制疫情”的宣传条幅AE，小明从乙楼D处，看条幅顶端A测得仰角为45°，看条幅底端E测得俯角为31°，已知甲、乙两楼相距40米，求条幅AE的长．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得，四边形DCBF是矩形，根据三角函数即可求出AF和EF的长，进而可得条幅AE的长．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可知：四边形DCBF是矩形，∴∠DFA＝∠DFE＝90°，DF＝BC＝40（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝40（米），在Rt△DFE中，∠EDF＝31°，∴EF＝DF×tan∠EDF≈40×0.60≈24（米），∴AE＝AF+EF＝64（米）．答：条幅AE的长为64米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．18．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少？（3）若该校九年级有600名学生，请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人？【分析】（1）根据A等人数为10人，占扇形图的20%，求出总人数，可以得出D的人数，即可画出条形统计图；（2）根据D的人数即可得出所占百分比，进而得出所在的扇形的圆心角度数；（3）利用总体人数与A组所占比例即可得出A级学生人数．解：（1）总人数是：10÷20%＝50，则D级的人数是：50﹣10﹣23﹣12＝5．条形统计图补充如下：；（2）D级的学生人数占全班学生人数的百分比是：1﹣46%﹣20%﹣24%＝10%；D级所在的扇形的圆心角度数是360×10%＝36°；（3）∵A级所占的百分比为20%，∴A级的人数为：600×20%＝120（人）．【点评】此题主要考查了条形图的应用以及用样本估计总体和扇形图统计图的应用，利用图形获取正确信息以及扇形图与条形图相结合是解决问题的关键．19．如图，直线y＝k1x+5（k为常数，并且k≠0）与双曲线y＝交于A（﹣2，4），B 两点．（1）求直线AB的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若直线y＝k1x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，求m的值．【分析】（1）根据直线y＝k1x+5过点A（﹣2，4）得方程，解方程即可得到结论；（2）由于点A（﹣2，4）在双曲线y＝上，得到k2＝﹣2×4＝﹣8，求得双曲线的解析式为y＝﹣，解方程组即可得到结论；（3）将y＝x+m代入y＝得到x2+2mx+16＝0，根据题意即可得到结论．解：（1）∵直线y＝k1x+5过点A（﹣2，4），∴﹣2k1+5＝4，∴k1＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）∵点A（﹣2，4）在双曲线y＝上，∴k2＝﹣2×4＝﹣8，∴双曲线的解析式为y＝﹣，解方程组得，，，∴点B的坐标为（﹣8，1）；（3）将y＝x+m代入y＝得，x2+2mx+16＝0，∵直线y＝x+m与双曲线y＝有且只有一个公共点，∴△＝（2m）2﹣4×1×16＝0，∴m＝±4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，连接FO并延长交⊙O于点G，已知DE＝3，tan∠CDA＝2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：OA2＝OB•OE；（3）求线段EG的长．【分析】（1）如图，连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；（2）根据射影定理即可得到结论；（3）如图，连接DG，根据全等三角形的性质得到∠CDA＝∠EDA，于是得到tan∠EDA ＝tan∠CDA＝2，求得AE＝6，设OD＝x，则OE＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵⊙O经过D，∴OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ODB＝90°，DE⊥AB，∴由射影定理得，OD2＝OB•OE，∵OA＝OD，∴OA2＝OB•OE；（3）解：如图，连接DG，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴tan∠EDA＝tan∠CDA＝2，∵DE＝3，∴AE＝6，设OD＝x，则OE＝6﹣x，∵OD2＝OE2+DE2，∴x2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝，∵DE⊥AB且AB过圆心O，∵DF＝2DE＝6，∴DG＝＝，∵EG2＝DE2+DG2＝32+（）2＝，∴EG＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题（共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．比较大小：﹣3＜0．（填“＞”、“＝”或“＜”号）【分析】首先分别求出、3的平方各是多少，然后根据实数大小比较的方法，判断出、3的平方的大小关系，即可判断出、3的大小关系，据此推得﹣3、0的大小关系即可．解：＝5，32＝9，∵5＜9，∴＜3，∴﹣3＜0．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、3的平方的大小关系．22．如图所示，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中有点A、点B两个格点，在网格的格点上任意放置点C（点A、B除外），恰能使△ABC的面积为1的概率是．【分析】按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出概率即可．解：如图，可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点，∴概率为：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．23．设α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根，则α2+β2的值为4041．【分析】先根据根与系数的关系得出α+β＝1，αβ＝﹣2020，再代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ计算可得．解：∵α、β是方程x2﹣x﹣2020＝0的两根，∴α+β＝1，αβ＝﹣2020，则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝12﹣2×（﹣2020）＝1+4040＝4041，故答案为：4041．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．24．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝9x﹣1的图象上，则点P的坐标为（3，3）．【分析】先判断出四边形MONP是矩形，再利用角平分线定理判断出PM＝PN，进而得出矩形MONP是正方形，设出点P的坐标，代入反比例函数解析式中即可得出结论．解：如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于AB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON，∴四边形MONP是矩形，∵PM⊥OA，PH⊥AB，∵AP是∠BAM的平分线，∴PM＝PH，同理：PN＝PH，∴PM＝PN，∴矩形MONP是正方形，设点P（m，m），∵P在反比例函数y＝9x﹣1的图象上，∴m＝9m﹣1，∴m＝﹣3（舍）或m＝3，∴P（3，3），故答案为：（3，3）．【点评】此题主要考查了角平分线的性质定理，矩形的判定，正方形的判定，判断出点P到两坐标轴的距离相等是解本题的关键．25．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为．【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH＝AC＝，接着证明△BPD∽△BCP得到PD＝PC，所以PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+PC的最小值，乘以可得结论．解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝，∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号），而AD＝＝，∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为，则PA+PC的最小值．故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD＝PC．也考查了等腰直角三角形的性质．二、解答题（共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）每件涨0.5元，其销量就减少10件．那么涨价1元，销量就减少20件．设涨价x元，每件的利润＝10+涨价的价格﹣8，销售量为：（200﹣20x）件，利润＝每件的利润×相应的数量，把相关数值代入计算即可；（2）根据（1）得到的利润配方整理为a（x﹣h）2+k可得应涨价的价格和最大利润．解：（1）设涨价x元，（10+x﹣8）×（200﹣20x）＝700，解得x1＝3，x2＝5，∴此时的售价为10+3＝13或10+5＝15，答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）利润为：（10+x﹣8）×（200﹣20x）＝﹣20x2+160x+400＝﹣20（x﹣4）2+720，当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到涨价后的销售量及把所给利润的关系式进行配方是解决本题的难点．27．如图，点P是线段BD上一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．（1）当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度；（2）若∠APC＝90°时，点P有两个符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值；（3）若∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值．【分析】（1）证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，根据相似三角形的性质得到x2﹣ax+24＝0，设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1+x2＝a，x1•x2＝24，根据题意即可得到＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，即可得到a2﹣4×24＝4，解得即可；（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，解直角三角形求得BE＝2，DF＝，AE＝4，CF＝，根据相似三角形的性质得到x2﹣（a﹣）x+32＝0，根据题意△＝（a ﹣）2﹣4×1×32＝0，即可即可．解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°，∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴＝，即＝，解得BP＝2或12；（2）设BP＝x，则PD＝a﹣x，由（1）可知△ABP∽△PDC，∴＝，即＝，∴x2﹣ax+24＝0，设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1+x2＝a，x1•x2＝24，∵P1P2＝2，∴|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴a2﹣4×24＝4，解得a＝±10（负数舍去），∴a＝10；（3）作∠AEP＝∠CFP＝120°，∴∠AEB＝∠CFD＝60°，∵AB＝6，CD＝4，∴BE＝AB＝2，DF＝CD＝，∴AE＝2BE＝4，CF＝2DF＝∵∠AEP＝∠CFP＝∠APC＝120°，∴∠EAP＝∠CPF，∴△EPA∽△FCP，∴＝，设EP＝x，则PF＝a﹣﹣x，∴＝，∴x2﹣（a﹣）x+32＝0，∵△＝0，∴（a﹣）2﹣4×1×32＝0，∵a＞0，∴a＝+8．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，证得三角形相似是解题的关键．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，证明四边形BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m的值；（3）过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，得MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求出a满足的条件．解：（1）由题意得：，解得，∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝×40＝10，∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴＝，即MO•MD＝BO•CD．∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥．所以a≥时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解决本题的关键是综合运用二次函数、平行四边形、菱形的相关知识．。
2024年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷及答案解析
2024年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）如图，比点A表示的数大2的数是（）A．﹣2B．0C．1D．22．（4分）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（）A．120.3×104B．1.203×105C．1.203×106D．1.203×1074．（4分）下列运算正确的是（）A．2x3÷x2＝2x B．（x3）2＝x5C．x3+x2＝x5D．x3•x2＝x65．（4分）已知∠A是锐角，，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，连接DE，若DE是△ABC的中位线，则S△ADE：S四边形DBCE的值为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．2：37．（4分）分式方程的解为（）A．y＝1B．y＝2C．y＝3D．y＝48．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线CD∥x轴，则下列说法正确的是（）A．a＞0B．线段CD的长为4C．4a+2b+c＜0D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）因式分解：7x2﹣63＝．10．（4分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y 轴上任意一点，连接PA，PB，则△ABP的面积为．11．（4分）某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%．小颖的上述三项成绩依次是：92分，80分，84分，则小颖最终的体育成绩是分．12．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝50°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形AB1C1D1（旋转角小于180°），连接AC，若∠CAD1＝100°，则菱形ABCD旋转的角度是______度．13．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，则扇形AOB的面积为（结果保留π）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：（2024﹣π）0+﹣|﹣3|+2sin45°；（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．15．（8分）“综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：项目选择人数频率A．制作视力表4aB．猜想、证明与拓广b cC．池塘里有多少条鱼200.5请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．16．（8分）东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱亮、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁AB的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面218m的P点，测得东安阁顶端A的俯角为22°；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行200m到达点Q，测得东安阁底端B的俯角为45°，求东安阁AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过C作CD⊥AB于点D，在上取一点E，连接BE，且满足BC平分∠ABE，连接AE，分别交CD，BC于点F，G．（1）求证：AF＝CF；（2）若，，求⊙O的半径及线段DF的长．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图象如图所示，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接OC，AC，其中AC交线段OB于点D，若△COD∽△ABD，且相似比为2，求该反比例函数的表达式；（3）在△ABO的内部取一点P，以P为位似中心画△PMN，使它与△PAB位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）若的小数部分为a，则代数式的值为．20．（4分）请写出一个正整数k的值，使得关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根，那么k的值可以是.（写出一个即可）21．（4分）某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知⊙O的半径为10cm，点光源P到圆心O的距离为20cm．现假设可以随意在⊙O上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为．22．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E是CD边上一点，CE＝4，分别在AD，BC边上取点M，N，将矩形ABCD沿直线MN翻折，使得点B的对应点B′恰好落在射线BE上，点A的对应点是A′，那么折痕MN的长为；连接CA′，线段CA′的最小值为．23．（4分）利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系xOy中，定义一种坐标加密方式：将点P（a，b）变换得到点Q（a﹣3b，b+3a），则称点Q是点P的“加密点”．例如，点M（1，0）的“加密点”是点N（1，3）．已知点A在x轴的上方，且OA＝1，若点A的“加密点”B在直线y＝x+m上，则m的取值范围是．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：车型30座45座租金（元/辆）300400（1）求该校参加研学活动的人数；（2）该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（2，0），B（﹣2，0）两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接BC，CM和AM，当四边形ABCM的面积为9时，求点M的坐标；（3）请完成以下探究．【动手操作】作直线OM，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线AM，直线BN于点D，E．【猜想证明】随着点M的运动，线段DE的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．26．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点（点D不与B，C重合），且满足BD ＝nCD（n＞1）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）过A作AG⊥DE，交射线DE于点G．（i）试探究GE与DE之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）；（ⅱ）连接CG，当CG2＝CD•CB时，求n的值．2024年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．【解答】解：由数轴可知点A表示的数是﹣1，所以比﹣1大2的数是﹣1+2＝1，故选：C．【点评】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．2．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．选项D符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．3．【分析】根据科学记数法表示较大的数书写成a×10n的形式，其中1＜a＜10，n是小数点向左移动的位数．【解答】解：120.3万＝1203000＝1.203×106，故选：C．【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的书写规则是关键．4．【分析】根据整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方进行计算．【解答】解：A、2x3÷x2＝2x，选项计算正确，符合题意；B、（x3）2＝x6，选项计算错误，不符合题意；C、x3与x2，不能计算，选项错误，不符合题意；D、x3•x3＝x6，选项计算错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键．5．【分析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tan A＝来得到所求的结论．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，且sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝，∴tan A＝＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查的是同角的三角函数关系，要熟记sin2A+cos2A＝1，tan A＝这两个关系式．6．【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，＝，∴△ADE∽△ABC，：S△ABC＝1：4，∴S△ADE：S四边形DBCE＝1：3，∴S△ADE故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．【分析】两边都乘以y﹣3化为整式方程求解，然后检验．【解答】解：两边都乘以y﹣3去分母，得y﹣2＝2（y﹣3）+3，解得y＝1，检验：当y＝1时，y﹣3≠0，∴y＝1是原方程的解．故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．8．【分析】先根据图象可以判断A；根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长可以判断B；根据抛物线对称轴和开口方向，由二次函数的性质可以判断C，D．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，∴点D的横坐标为：4，∴CD＝4，故选B正确，符合题意；∵抛物线的顶点在x轴上方，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故选项C错误，不符合题意；∵抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，∴当x＜2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：7x2﹣63＝7（x2﹣9）＝7（x+3）（x﹣3），故答案为：7（x+3）（x﹣3）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法法综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．10．【分析】连接AO，根据反比例函数k值的几何意义解答即可．【解答】解：如图，连接AO，∵AB∥y轴，＝S△AOB＝＝3．∴S△ABP故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．11．【分析】根据加权平均数的定义求解即可．【解答】解：小颖最终的体育成绩是92×20%+80×30%+84×50%＝84.4（分），故答案为：84.4．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．12．【分析】连接AC1，根据菱形的性质∠CAC1的度数即可．【解答】解：如图所示，连接AC1，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝50°，∴∠CAD＝25°，又旋转的性质，可得∠C1AD1＝∠CAD＝25°，∴∠CAC1＝∠CAD1﹣∠C1AD1＝100°﹣25°＝75°，即菱形ABCD旋转的角度是75°．故答案为：75．【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．13．【分析】根据所给作图方式，可得出OP平分∠AOB，再根据扇形的面积公式即可解决问题．【解答】解：根据题中所给作图方式可知，OP平分∠AOB，∵∠AOP＝35°，∴∠AOB＝2∠AOP＝70°，∴．故答案为：．【点评】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形的面积计算公式是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案；（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：（1）原式＝1+2﹣3+2×＝1+2﹣3+＝；（2）解①得：x；解②得：x≥﹣3，故不等式组的解集为：﹣3≤x，∴它的所有整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0．【点评】此题主要考查了实数的运算以及一元一次不等式的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．15．【分析】（1）用表格中C项目的人数除以频率可得调查的学生人数，用A项目的人数除以调查的学生人数可得a的值，用调查的学生人数分别减去A，C项目的人数，可得b的值，用b的值除以调查的学生人数可得c的值．（2）根据用样本估计总体，用500乘以c的值，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名女生和一名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）调查的学生人数为20÷0.5＝40（人），∴a＝4÷40＝0.1，b＝40﹣4﹣20＝16，c＝16÷40＝0.4．故答案为：0.1；16；0.4．（2）500×0.4＝200（人）．∴估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数约200人．（3）列表如下：女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．16．【分析】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PC，BC＝218m，PQ＝200m，然后在Rt△CQB 中，利用锐角三角函数的定义求出CQ的长，从而求出PC的长，再在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：延长BA交PQ于点C，由题意得：BC⊥PC，BC＝218m，PQ＝200m，在Rt△CQB中，∠CQB＝45°，∴CQ＝＝218（m），∴PC＝PQ+CQ＝418（m），在Rt△APC中，∠APC＝22°，∴AC＝PC•tan22°≈418×0.4＝167.2（m），∴AB＝BC﹣AC＝218﹣167.2≈51（m），∴东安阁AB的高度约为51m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．【分析】（1）延长CD交⊙O于点M，由垂径定理得，根据BC平分∠ABE得，进而得，由此可得∠CAF＝∠ACF，据此即可得出结论；（2）先求出BC＝，证△ACG∽△BCA得AC：BC＝CG：AC，由此得AC＝，在Rt△ABC 中由勾股定理求出AB即可得⊙O的半径；利用三角形面积公式求出CD＝4，进而得AD＝2，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝4﹣x，由（1）可知AF＝CF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中由勾股定理求出x即可得出DF的长．【解答】（1）证明：延长CD交⊙O于点M，如下图所示：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠EBC，∴，∴，∴∠CAE＝∠ACM，即∠CAF＝∠ACF，∴AF＝CF；（2）∵CG＝，BG＝，∴BC＝CG+BG＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵，∴∠CAG＝∠CBA，又∵∠ACG＝∠BCA，∴△ACG∽△BCA，∴AC：BC＝CG：AC，即，∴AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝10，∴⊙O的半径为5；＝AB•CD＝AC•BC，∵S△ABC即AB•CD＝AC•BC，∴10•CD＝，∴CD＝4，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝2，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝4﹣x，由（1）可知：AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2，即（4﹣x）2＝22+x2，解得：x＝1.5，∴DF＝x＝1.5．【点评】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．18．【分析】（1）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣1，当x＝0时，y＝1，即可求解；（2）△COD∽△ABD，则CO∥AB，则直线OC的表达式为：y＝x，设点C（x，x），进而求解；（3）当直线MN在点P的左侧时，由BM：PB＝4：1，得到x M：x P＝﹣4，则点M（﹣4m，﹣），同理可得：点N（，4m），由题意得，MN＝5AB＝5，即可求解；当直线MN在点P的左侧时，同理可解．【解答】解：（1）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），当x＝0时，y＝1，∴B（0，1）；（2）∵△COD∽△ABD，则CO∥AB，则直线OC的表达式为：y＝x，设点C（x，x），由点A、B的坐标得，AB＝，∵△COD∽△ABD，且相似比为2，则CO＝2＝，解得：x＝2，即点C（2，2），将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×2＝4，则反比例函数的表达式为：y＝；（3）当直线MN在点P的左侧时，由AB的表达式知，直线AB和x轴的夹角为45°，∵△PMN和△PAB位似，点M、N以及点关于点P对称，则AB∥MN，点P在二、四象限角平分线上，则设点P（m，﹣m），∵△PMN与△PAB位似，且相似比为5，即相似比也为5，故BM：PB＝4：1，则x M：x P＝﹣4，则x M＝﹣4m，则点M（﹣4m，﹣），同理可得：点N（，4m），由题意得，MN＝5AB＝5，由点M、N的坐标得，MN2＝（﹣4m﹣）2+（﹣4m﹣）2＝（5）2，解得：m＝﹣1（舍去）或﹣，则点P（﹣，）；当直线MN在点P的左侧时，同理可得，点M、N的坐标分别为：（﹣，﹣5m）、（5m，），则MN＝5AB＝5，同理可得：m＝﹣，即点P（﹣，），综上，点P的坐标为：（﹣，）或（﹣，）．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似等，分类求解是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】先化简，再求出a的值，最后代入即可．【解答】解：＝（a﹣1）×＝a+1，∵的小数部分为a，且，∴a＝﹣2，∴a+1＝﹣2+1＝﹣1．【点评】本题主要考查估计无理数的大小，解题的关键是熟练掌握估计无理数的大小的方法．20．【分析】根据关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后根据k是正整数，求出答案即可．【解答】解：∵若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0，（﹣5）2﹣4×1×2k≥0，25﹣8k≥0，﹣8k≥﹣25，，∵k为正整数，∴k＝3或2或1，故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．21．【分析】连接OA、OB，由题意得OA＝OB＝10cm，OP＝20cm，PA、PB是⊙O的切线，得OA⊥AP，OB⊥BP，再由锐角三角函数定义得∠APO＝∠BPO＝30°，进而求出∠AOB＝120°，然后求出优弧AB的长和⊙O的周长，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA、OB，由题意得：OA＝OB＝10cm，OP＝20cm，PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴sin∠APO＝＝＝，sin∠BPO＝＝＝，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠AOP＝∠BOP＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOB＝60°+60°＝120°，∴优弧AB的长为＝（cm），⊙O的周长为2π×10＝20π（cm），∴随意在⊙O上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为：＝，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式、切线的性质、锐角三角函数定义、弧长公式等知识，熟练掌握概率公式，求出优弧AB的长是解题的关键．22．【分析】过M作MF⊥BC于F，利用相似三角形的性质，即可得到MN的长；连接AA'并延长，交CD 的延长线于H，过C作CG⊥AH于G，利用相似三角形的性质，即可得到CG的长，依据CA'≥CG，即可得出线段CA′的最小值【解答】解：如图所示，过M作MF⊥BC于F，则∠MFN＝90°＝∠C，MF＝AB＝9，Rt△BCE中，BE＝＝4，由折叠可得，MN⊥BB'，∴∠MNF+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠MNF＝∠BEC，∴△MNF∽△BEC，∴＝，即＝，∴MN＝；如图所示，连接AA'并延长，交CD的延长线于H，过C作CG⊥AH于G，由折叠可得，AA'∥BB'，又∵AB∥HE，∴四边形ABEH是平行四边形，∴AH＝BE＝，EH＝AB＝9，∴CH＝CE+EH＝4+9＝13，∵∠H＝∠BEC，∠CGH＝∠BCE＝90°，∴△CGH∽△BCE，∴＝，即＝，∴CG＝，又∵CA'≥CG，∴线段CA′的最小值为，故答案为：；．【点评】本题主要考查了折叠变换以及相似三角形的性质的应用，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．【分析】设A（a，b），则B（a﹣3b，b+3a），可得b＝﹣a+，进而得直线b＝﹣a+与半圆a2+b2＝1（0＜b≤1）相切时，m＝2，直线b＝﹣a+过点（﹣1，0）时，m＝﹣2，进而得到答案．【解答】解：设A（a，b），则B（a﹣3b，b+3a），∵B在直线y＝x+m上，∴b+3a＝a﹣3b+m，即b＝﹣a+，∵点A在x轴的上方，如图，作AM⊥x轴于点M，∵OA＝1，∴A点的轨迹满足OM2+AM2＝OA2，代入得：即：a2+b2＝1（0＜b≤1），∴A（a，b）是直线b＝﹣a+与半圆a2+b2＝1（0＜b≤1）的交点，当直线b＝﹣a+与半圆a2+b2＝1（0＜b≤1）相切时，∴+a2＝1中，Δ＝0，即m＝2，当直线b＝﹣a+过点（﹣1，0）时，m＝﹣2，∴﹣2＜m≤2，故答案为：﹣2＜m≤2．【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是理解并运用新的定义“加密点”．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．【分析】（1）设需租用x辆30座客车，则租用（x﹣4）辆45座客车，根据“若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入30x中，即可求出该校参加研学活动的人数；（2）设租用m辆30座客车，则租用（10﹣m）辆45座客车，根据租用的10辆客车可乘坐的人数不少于420人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该校租用两种车型的客车所需租金为w元，利用总租金＝每辆30座客车的租金×租用30座客车的数量+每辆45座客车的租金×租用45座客车的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设需租用x辆30座客车，则租用（x﹣4）辆45座客车，根据题意得：30x＝45（x﹣4）﹣30，解得：x＝14，∴30x＝30×14＝420（人）．答：该校参加研学活动的人数是420；（2）设租用m辆30座客车，则租用（10﹣m）辆45座客车，根据题意得：30m+45（10﹣m）≥420，解得：m≤2．设该校租用两种车型的客车所需租金为w元，则w＝300m+400（10﹣m），即w＝﹣100m+4000，∵﹣100＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝2时，w取得最小值，此时10﹣m＝10﹣2＝8（辆）．答：当租用2辆30座客车，8辆45座客车时，总费用最少．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．25．【分析】（1）由题意得：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，即可求解；+S△ACM＝AB×CO+AO×MH＝9，即可求解；（2）由四边形ABCM的面积＝S△ABC（3）依据题意作图如图2，求出x D＝﹣，x E＝﹣2﹣，即可求解．【解答】（1）解：由题意得：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，即抛物线的表达式为：y＝x2﹣4；（2）解：如图1，连接AC，过点M作MH∥y轴交AC于点H，由点C（0，﹣4）、A的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x﹣4，设点M（m，m2﹣4），则点H（m，2m﹣4），+S△ACM＝AB×CO+AO×MH＝4×4+×2×（2m﹣4﹣则四边形ABCM的面积＝S△ABCm2+4）＝9，解得：m＝1，即点M（1，﹣3）；（3）证明：依据题意作图如图2，设点M、N的坐标分别为：（m，m2﹣4），（n，n2﹣4），由点M、N的坐标得，直线MN的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣4，将（0，0）代入上式得：0＝（m+n）（0﹣m）+m2﹣4，整理得：mn＝﹣4；同理可得，直线AM的表达式为：y＝（m+2）（x﹣2），当y＝﹣4时，就﹣4＝（m+2）（x﹣2），解得：x D＝﹣，同理可得：x E＝﹣2﹣，∵mn＝﹣4，则DE＝x D﹣x E＝﹣﹣（﹣2﹣）＝4﹣4（）＝4﹣4×＝2．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26．【分析】（1）分别证明∠B＝∠C，∠BAD＝∠CDE，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明△ABD∽△DCE；（2）（i）设CD＝x，则BD＝nx（n＞1），BC＝BD+CD＝（n+1）x，作AH⊥BC于点H，则可得AH＝BH＝CH＝BC＝x，AB＝x，DH＝x，根据勾股定理得AD＝x，在Rt△ADG中，可得DG＝x，由△ABD∽△DCE可得＝，由此可求得DE＝x，则EG＝x，进而可得DE＝EG；（ⅱ）由CG2＝CD•CB可得CG＝x，由∠AHD＝∠AGD＝90°得A、H、D、G四点共圆，进而可得∠AHG＝∠CHG，HG垂直平分AC，则AG＝CG，由此可求得n的值．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE；（2）解：（i）DE＝EG；理由如下：设CD＝x，则BD＝nx（n＞1），BC＝BD+CD＝（n+1）x，作AH⊥BC于点H，如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，AH＝BH＝CH＝BC＝x，∴AB＝BC＝x，∴DH＝CH﹣CD＝x﹣x＝x，∴AD＝＝＝x，∵AG⊥DE，∴∠AGD＝90°，又∵∠ADG＝45°，∴∠DAG＝45°＝∠ADG，∴AG＝DG＝AD＝•x＝x，∵△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，解得DE＝x，∴EG＝DG﹣DE＝x＝x，∴＝x＝，∴DE＝EG；②如图2，∵CG2＝CD•CB，∴CG2＝x•（n+1）x＝，∴CG＝，∵∠AHD＝∠AGD＝90°，∴A、H、D、G四点共圆，∵＝，∴∠AHG＝∠ADG＝45°，∵＝，∴∠GHD＝∠GAD＝45°，∴∠AHG＝∠CHG，又∵AH＝CH，∴HG垂直平分AC，∴AG＝CG，∴x＝x，整理得n2﹣2n﹣1＝0，解得n1＝1﹣＜0（舍去），n2＝1+，∴n＝1+．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理、线段垂直平分线的判定和性质，综合性强，难度较大，能够综合运用以上知识并且准确计算是解题的关键。
2020届四川省成都市二诊数学(理科)试卷及答案
, aˆ y bˆx ．
(xi x )2
i 1
20．（12
分）已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左，右焦点分别为 F1(1, 0) ， F2 (1, 0) ，点
P 在椭圆 E 上， PF2 F1F2 ，且 | PF1 | 3 | PF2 | ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；
（Ⅰ）求证：平面 PAC 平面 PBD ；
（Ⅱ）若 PE 3 ，求二面角 D PE B 的余弦值．
19．（12 分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫
题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为
公司赢得丰厚的利润．该公司 2013 年至 2019 年的年利润 y 关于年份代号 x 的统计数据如表
f
(x)
sin( x
)(0
),
f
(
)
0 ，则函数
f
(x)
的图象的对称轴方
2
4
程为 ( )
A． x k , k Z 4
B． x k , k Z 4
C． x 1 k , k Z 2
D． x 1 k , k Z 24
9．（5
分）如图，双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
l(a
值时，称该年为 A 级利润年，否则称为 B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司 2020 年的年
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利润视作该年利润的实际值，现从 2013 年至 2020 年这 8 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为
A 级利润年的概率．
n
(xi x )( yi y)
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
2022年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列各式计算正确的是（）A．x5+x5＝x10B．a10÷a9＝aC．（ab4）4＝ab16D．a6•a4＝a243．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．134．（4分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差 3.6 3.67.48.1 A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）关于x的方程的解为x＝1，则a＝（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（4分）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（）A．10（1+x）2＝33.1B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1C．10+10（1+x）2＝33.1D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.17．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（）A．AC＝OD B．BC＝BD C．∠AOD＝∠CBD D．∠ABC＝∠ODB8．（4分）如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞nC．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为．10．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是．11．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．12．（4分）化简：÷（﹣）＝．13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝12，则线段CD的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|（2）解不等式组：15．（8分）根据“五项管理”文件精神，成都某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人；（2）求扇形统计图中“D”层级的扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；（3）全校约有学生1200人，估计“A”层级的学生约有多少人？（4）学校从“A”层级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．16．（8分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为3m，BC边上露出部分BD的长为1.8m，求铁板BC边被掩埋部分CD的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）17．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值．18．（10分）如图1，一次函数y＝﹣3x+12的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点（A 在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．（1）当k＝9时，求A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△P AB是以点B为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AO并延长交反比例函数y＝（k＞0）图象的另一支于点C，连接BC交y轴于点G．若＝2，求反比例函数的表达式．一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是．20．（4分）已知点A（m，y1），B（m+2，y2）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是．21．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F 是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．若OG＝2，OE＝4，则BD的长．22．（4分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝15cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为cm．23．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝BA，∠CAB＝90°，点M是AB上一点，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM＝1，BM＝3，△CPD的面积的最小值为．二、解答题（共30分）24．（8分）2022年6月26日至7月7日，第31届世界大学生夏季运动会在成都举行．某公司要印制大运会宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1600元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费．（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图象；（3）根据图象回答下列问题：①印制600份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？②该公司拟拿出5000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第二象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AC于点Q．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥AC，垂足为N，请用含t的代数式表示线段PN的长，并求出当t为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连接OP，PC，P A，将线段OP绕点O顺势针旋转90°，P的对应点为P′，连接CP'和BP′，若△CP′B面积与△P AC面积比为3：2，求点P′坐标．26．（12分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，M是BC边上一点，连接AM．（1）如图1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN；（2）如图2，过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q，求证：CP•BQ＝BM•PQ；（3）如图3，将（1）中的△BCN以点B为中心逆时针旋转得△BC′N′，C，N对应点分别是C'，N'，E为C'N′上任意一点，D为BM的中点，连接DE，若∠BCN＝30°，BC＝4，DE最大值为m，最小值为n，求的值．。