二阶线性微分方程及其解法
n 阶微分方程的一般形式为： ()
(,,',",,)0n F x y y y y
=L ，
一般情况下，求n 阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.
一、 二阶线性微分方程解的结构
如果二阶微分方程)',,(''y y x F y =的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为
).()(')(''x f y x q y x p y =++ （）
如果0)(≡x f ，则方程（）成为
.0)(')(''=++y x q y x p y （）
方程（）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（）称为二阶非齐次线性微分方程. 定理 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个解，则
2211y c y c y +=
也是微分方程（）的解，其中21,c c 为任意常数. 证： 将2211y c y c y +=代入方程（）的左端，可得
))(()')((')'(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++ ))(()'')(()''''(221122112211y c y c x q y c y c x p y c y c +++++=
=+++))(')(''(1111y x q y x p y c ))(')(''(2222y x q y x p y c ++ =0，
所以，2211y c y c y +=也是微分方程（）的解.□
定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y ，很容易得到含有任意常数21,c c 的解，2211y c y c y +=. 如果解1y 和2y 有一定关系，那么，解2211y c y c y +=中的任意常数21,c c 可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解1y 和2y 要满足哪些条件才能使解2211y c y c y +=成为二阶齐次线性微分方程的
通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.
定义 设函数1y 和2y 是定义在某个区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数
21,c c ，使
02211=+y c y c
在区间I 上恒成立，则称函数1y 和2y 在区间I 上是线性相关的，否则是线性无关的.
确定两个函数1y 和2y 在区间I 上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比
1
2
y y 是否为常数. 如果
12y y 等于常数，则1y 与2y 线性相关；如果12
y
y 等于函数，则1y 与2y 线性无关. 例如,
123,y y =则1y 与2y 线性相关. 12
y
x y =,则1y 与2y 线性无关. 定理 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果1y 和2y 是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则
2211y c y c y +=
是微分方程（）的通解，其中21,c c 为任意常数.
例如, 1x y e =,22x y e =,3x y e -=42x
y e -=都是二阶齐次线性微分方程10
y ''-=的解, 21,c c 是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程10y ''-=的通解: A. 1122c y c y + B. 1124c y c y + C. 112c y c + D. 1324c y c y + E. 113c y y + F. 114y c y + G. 112234()()c y y c y y +++ 由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G 为该方程的通解. 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程.
定理 非齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果*y 是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y 是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则
*y Y y +=
是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.
证： 将*y Y y +=代入方程（）的左端，可得
*))((*)')(('*)'(y Y x q y Y x p y Y +++++
*))(()*'')(()'*'''(y Y x q y Y x p y Y +++++=
=+++))(')(''(Y x q Y x p Y *))(*')('*'(y x q y x p y ++ =)(x f ，
所以，*y Y y +=是微分方程（）的解，又Y 是二阶齐次线性微分方程（）的通解，它含有两个任意常数，即解中*y Y y +=含有两个任意常数，因此*y Y y +=是二阶非齐次线性微分方程（）的通解.□
上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.
根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：
（1） 求对应的二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解1y 和2y ，构成对应的
二阶齐次线性微分方程的余函数2211y c y c Y +=；
（2） 求二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解*y ；则，二阶非齐次线性微分方程（）
的通解为*y Y y +=.
上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解. 二、 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
.0'''=++qy py y （）
其中p ，q 为常数. 根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解1y 和2y 即可. 注意到方程（）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数y ，其导数''y ，'y 和y 之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（）的特解. 而基本初等函数中的指数函数x
e y λ=恰好具有这个性质. 因此，设方程（）
的解为x
e y λ=，其中λ为待定常数，将x
e y λ=、x e y λλ='和x
e y λλ2"=代入微分方程（），
则有
0)(2
=++x
e
q p λλλ，即
02=++q p λλ （）
我们称方程（）为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征方程，而称q p F ++=λλλ2
)(为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征多项式，特征方程的根
2
422
,1q
p p -±-=
λ 称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的特征根.
因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（）的通解.
（1） 当042
>-q p 时，特征方程有两个相异的实根1λ和2λ，因此，微分方程有两个特解x x
e y e
y 2121,λλ==由于
x e y y )(2
1
21λλ-=，所以21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为
x x e c e c y 2121λλ+= （21,c c 为任意常数） （）
（2） 当042
=-q p 时，特征方程有重根21λλλ==，因此，微分方程只有一个特解
x e y λ=1.设x e x h y x h y λ)()(12==是微分方程（）另一个特解，求导
得:x x
e x h e
x h y λλλ)()(''2+=， x x x e x h e x h e x h y λλλλλ)()('2)(""22++=. 将
222",',y y y 代入微分方程（），注意到方程02
=++q p λλ和2
p
-
=λ，化简后得：0)("=x h .满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个x x h =)(，则微分方程（）另一
个特解为x
xe y λ=2，且21,y y 线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为
x e x c c y λ)(21+= （21,c c 为任意常数） （）
（3） 当042
<-q p 时，特征方程有一对共轭复根βαλi +=1，βαλi -=2
其中2
p
-=α，2
42p q -=
β. 因此，微分方程有两个特解x i x
i e y e
y )(2)(1,βαβα-+==.因为
x i e y y β22
1
=，所以21,y y 线性无关. 为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解.
由欧拉公式x i x e ix
sin cos +=可得
),sin (cos 1x i x e y x ββα+=),sin (cos 2x i x e y x ββα-=
根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有
,cos )(2121x e y y x βα=+.sin )(21
21x e y y i
x βα=-
x e x
βαcos 和x e x
βαsin 均为微分方程（）的解. 而x x
e x
e x x βββααcot sin cos =. 故二阶常系数齐
次线性微分方程（）的通解为
x e x c x c y αββ)sin cos (21+= （21,c c 为任意常数） . （）
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为： （1） 写出的特征方程； （2） 求出特征根；
（3） 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（）、（）或（）写出微分方程（）的通解. 特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解. 例1 求方程04'3"=--y y y 的通解. 解： 特征方程为
,0432=--λλ
特征根41=λ，,12-=λ所求通解为
x x e c e c y -+=241 （21,c c 为任意常数）.
例2 求方程0'2"=++y y y 的通解. 解： 特征方程为
,0122=++λλ
特征根,121-==λλ 所求通解为
x e x c c y -+=)(21 （21,c c 为任意常数）.
例3 求方程0'"=++y y y 的通解. 解： 特征方程为
,012=++λλ
特征根,2
3212,1i ±-
=λ 所求通解为 ,)2
3sin 23cos (21
21x e x c x c y -+= （21,c c 为任意常数）.
例4 求方程04'4"=+-y y y 的满足定解条件1)0(=y ，4)0('=y 的特解.
解： 特征方程为
,0442=+-λλ
特征根,221==λλ 所求通解为
x e x c c y 221)(+=
对上式求导，得
,)(2'22122x x e x c c e c y ++=
由定解条件1)0(=y ，4)0('=y 代入：11=c ，,22=c 因此，所求特解为
x e x y 2)21(+=.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
).('''x f qy py y =++ （p ，q 为常数） （）
由定理可知，如果*y 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的通解为*y Y y += 其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得.当)(x f 为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解*y ，代入公式（）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解. 现就)(x f 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解
*y 的方法.
1、 当()()x
m f x x e μ?=，其中μ为常数，()m x ?为m 次多项式：
1011()m m m m m x b x b x b x b ?--=++???++，0≥m .
因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（）的一个特解为
x e x z y μ)(*=，)()(x x x z m k ψ=
其中)(x m ψ为m 次待定多项式.
例如, 0()3,x ?=则设00()x B ψ=;1(),x x ?=101()x B x B ψ=+;2
2()1,x x ?=+则设
22012().x B x B x B ψ=++以2*"["()2'()()]x y z x z x z x e μμμ=++，代入微分方程（），整
理后可得待定系数平衡公式
2()()(2)'()''()()m p q z x p z x z x x μμμ?+++++=
或
()()'()'()''()()m F z x F z x z x x μμ?++=. （）
由此，通过比较两端x 的同次幂的系数确定待定多项式()()k
m z x x x ψ=中的待定系数. 因
为特征方程的根不同，)(x z 的次数也不同，分别讨论之.
（1） 当0)(2
≠++=q p F μμμ，即μ不是特征方程的根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(x z 与()m x ?应为同次多项式，即
m m m m m B x B x B x B x x x z ++???++==--11100)()(ψ
代入平衡公式（），比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数m B B B ,,,10???的
1+m 个联立方程：
,)(002b B q p =++μμ
,)(2)(1012b mB p B q p =++++μμμ
……
确定),,2,1,0(m i B i ???=，就可以确定待定多项式)(x z ，得到微分方程（）的一个特解
x e x z y μ)(*=.
(2) 当0)(2
=++=q p F μμμ，即μ是特征方程的单根时，0)('≠μF . 要使平衡公式（）的两端恒等， )('x z 与()m x ?为同次多项式，设
)()()(1110m m m m m B x B x B x B x x x x z ++???++==--ψ.
用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x
e
x z y μ)(*=.
(3) 当0)(2
=++=q p F μμμ，02)('=+=p F μμ，即μ是特征方程的重根时，要使平衡公式（）的两端恒等，)(''x z 与()m x ?为同次多项式，设
)()()(111022m m m m m B x B x B x B x x x x z ++???++==--ψ.
用与（1）同样的方法，就可以确定)(x z ，得到微分方程（）的一个特解x
e
x z y μ)(*=.
上述讨论可归纳如下：
当()()x
m f x x e μ?=，其中常数μ，m 次多项式)(x m ?已知，微分方程的特解形式为
x m k x e x x e x z y μμψ)()(*==，即()()k m z x x x ψ=，
其中：)(x m ψ与()m x ?为同次多项式；2,1,0=k ，分别根据μ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定.
2、 当)sin cos ()(x b x a e x f x
ββα+=，其中βα,,,b a 为常数时，可得复数βαi ±.设微分方程的特解形式为
x k e x A x A x y αββ)sin cos (*21+=，
其中：21,A A 为待定常数；1,0=k ，分别根据βαi ±不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定.以*",*'*,y y y 代入原方程，比较同类项的系数，解得21,A A . 例5 求方程2"'(72)x
y y y x e ++=-的通解.
分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，2,μ=，1()72x x ?=-可用待定系数平衡公式确定. 解：特征方程为
,012=++λλ
其特征根为2
312,1i
±-=
λ，余函数为 x e x c x c Y 21
21)2
3
sin 23cos (-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
1)(2++=λλλF ，且()21F λλ'=+,
2=μ不是特征方程的根.
设201*(),().x
y z x e z x B x B ==+根据待定系数平衡公式,
010
001(2)()(2)()()7()57(57)7 2.
F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++=- 比较系数, 077,B = 01572B B +=-, 得2011,1,(1).x
B B y x e *==-=-即
所求通解为
1221233
(cos sin )+1)22
x x y c x c x e x e -=+-（ （21,c c 为任意常数）.
例6 求方程2
'2"x y y y =+-的通解. 分析: 2
20x
x x e
?=.
解：特征方程为
,0122=+-λλ
其特征根为12,1=λ，余函数为
x e x c c Y )(21+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
12)(2+-=λλλF ，且)1(2)('-=λλF
0=μ不是特征方程的根，22()x x ?=为二次多项式，故设2012*()y z x B x B x B ==++，
根据待定系数平衡公式得
)
22()4(2)2)(0('))(0(210102
02102120B B B x B B x B B B x B F B x B x B F +-++-+=+++++
,2x =
比较等式两端x 同次幂的系数，可得
,10=B ,0410=+-B B ,022210=+-B B B
解得,6,4,0210===B B B 即2
*4 6.y x x =++ 所求通解为
64)(221++++=x x e x c c y x （21,c c 为任意常数）.
例7 求方程"2'316x
y y y xe +-=通解. 解：特征方程为
,0322=-+λλ
其特征根为2,121-==λλ，余函数为
x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
32)(2-+=λλλF ，且)1(2)('+=λλF
1=μ是特征方程的单根，1()16x x ?=为一次多项式，故设01*()x y x B x B e =+，即
01()()z x x B x B =+，根据待定系数平衡公式得
010
001(1)()(1)()()4(2)28(24)16,
F z x F z x z x B x B B B x B B x ''''++=++=++= 比较系数, 001816,240B B B =+=,得012,1,(21).x
B B y x x e *==-=-
所求通解为
312(21)x x x y c e c e x x e -=++-, (21,c c 为任意常数).
例8 求方程x
e y y y 24'4"-=++的通解.
解：特征方程为
,0442=++λλ
其特征根为221-==λλ，余函数为
x e x c c Y 221)(-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
44)(2++=λλλF ，且42)('+=λλF
2-=μ是特征方程的重根，0()1x ?=为零次多项式，故设x e x B y 220*-=，即2
0)(x B x z =.
根据待定系数平衡公式得
001
(2)()(2)()()21,,2
F z x F z x z x B B ''''-+-+===
x e x y 222
1
*-=.
所求通解为
22121()2
x
y c c x x e -=++
(21,c c 为任意常数). 例9 求方程x y y 2cos 24"=+的通解.
分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为*y Y y += 其中Y 为余函数，可用节二中的方法求得：*y 为一个特解，可用待定系数法确定. 解：特征方程为
,042=+λ
其特征根为i 22,1±=λ，余函数为
,2sin 2cos 21x c x c Y += 21,c c 为任意常数.
因为x x f 2cos 2)(=，2,0==βα，i 2±是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解为
12*(cos 2sin 2)y x A x A x =+， 12,A A 为待定常数. 1221*'cos 2sin 22(cos 2sin 2)y A x A x x A x A x =++-， 1212*"4sin 24cos 24(cos 2sin 2),y A x A x x A x A x =-+-+
代入方程x y y 2cos 24"=+，可得
214cos 24sin 22cos 2A x A x x -=，
比较等式两端x x 2cos ,2sin 项的系数，得
1210,2
A A ==
， 特解为
.2sin 2
1
*x x y =
所求通解为
x x x c x c y 2sin 2
1
2sin 2cos 21+
+= (21,c c 为任意常数). 例10 求方程x
e y y y 22'"-=-+满足定解条件3
8)0(',0)0(==y y 的特解.
解：特征方程为
,022=-+λλ
其特征根为2,121-==λλ，余函数为
x x e c e c Y 221-+= 21,c c 为任意常数.
特征多项式为
2)(2-+=λλλF ，且12)('+=λλF
2-=μ是特征方程的单根，0()1x ?=为零次多项式，故设微分方程的特解为
x xe B y 20*-=，即x B x z 0)(=.根据待定系数平衡公式得
0(2)()(2)()()31,F z x F z x z x B ''''-+-+=-= 01
,3
B =-
所以，特解为
x xe y 23
1
*--=，
所求通解为
x x x xe e c e c y 222131
---+= (21,c c 为任意常数).
x x x x xe xe e c e c y 2222132
312'---+--=，
由定解条件3
8
)0(',0)0(==y y 代入可得：
021=+c c ，,3221=-c c
联立求解得
1,121-==c c ，
所以，方程满足定解条件的特解为
.3
1
22x x x xe e e y ----=
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
偏微分方程数值解法
一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：
微分方程几种求解方法
第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。
将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。 令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度） 上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)
偏微分方程数值解例题答案
二、改进的Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正 : )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,), (,), 1(). 2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+?? ?=+??? 例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题 d (1),01, d (0) 1. y y xy x x y ?=-+≤≤???=? 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x y x e x =--. 根据题设知 ).1(),(xy y y x f +-= (1) Euler 方法的计算式为 )],1([1.01n n n n n y x y y y +?-=+ 由1)0(0==y y , 得 ,9.0)]101(1[1.011=?+??-=y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=?+??-=y 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler 方法的计算式为 110.1[(1)],0.1[(1)], 1(), 2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++?=-?+?=-?+??? ?=+??? 由1)0(0==y y ，得
有限差分法求解偏微分方程MATLAB
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
偏微分方程式之求解
第六章偏微分方程式之求解 在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finite difference)何有限元素法(finite element)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。 值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。 本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。 6.1 偏微分方程式之分类 偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。 6.1.1依阶数的分类 偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如： 一阶偏微分方程式： xy 二阶偏微分方程式： 三阶偏微分方程式： 6.1.2 依非线性程度分类
偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性 (linear)，似线性 (quasilinear)，以及非线性三类。 例如，以下之二阶偏微分方程式 (Constantinides and Mostoufi,1999) 可依系数 ( )之情况，进行如下表之归类 类别 情况 线性 似线性 系数 ( )为定值，或仅为 (x,y)函数 系数 ( )为依变数 (dependent variable)u 或其比方程式中之偏微 分低阶之偏微分项的函数，如 ( ) (x,y,u, u x, u y) 非线性 系数 ( )中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如 () (x,y,u, 2u x 2 , 2 u y 2, 2u x y) 另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型 (elliptic) ，拋 物线型 (parabolic)，以及双曲线型 (hyperbolic) 。具体上来说，此类偏微分方程 式二阶线性之 一般式为 系数a,b,c,d,e 和 f 是定值或为 u 的函数。若 g=0，则上式为其次是偏微分方程 式。式子 ( )之分类及代表性例子，请见下表 (c ~ u) a ~ u f 2 热传导或扩散方程式 u 2 u xt a() 2 u y 2 22 uu b( ) c( ) 2 x y x 2 d() 0 22 uu b c 2 x y y 2 d u e u fu g 0 xy 方程式类别 判断式 椭圆型 b 2 4ac 0 拋物线型 b 2 4ac 0 代表性范例 Laplace 方程式， Poisson 方程式， 22 uu 22 xy 22 uu 22 xy f (x,y) x 2 t (c ~ u) a ~ u f
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
偏微分方程数值解法答案
1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -
一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点
北京航空航天大学 偏微分方程概述及运用matlab求解微分方 程求解常见问题 姓名徐敏 学号57000211 班级380911班 2011年6月
偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分 方程常见问题 徐敏 摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程 关键词MATLAB 偏微分方程程序 如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 一，偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物
理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距 二，偏微分方程的内容
几种常见的偏微分方程数值求解问题
一．椭圆型问题 1.1单位圆盘的泊松方程 泊松方程是最简单的椭圆型PDE问题。 该问题的公式为，边界上U=0。 该问题的精确解为 1使用命令行函数 首先必须创建MATLAB函数，使二维几何模型参数化。 M文件circle.m返回单位圆边界点的坐标。该文件内容为：nbs=4; if nargin==0, x=nbs; %边界线段个数 return end d=[ 00 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 00 0 0 ]; bs1=bs(:)’; if find(bs1<1 | bs1>nbs), error(‘Non existent boundary sement number’) end x=zeros(size(s)); y=zeros(size(s)); [m,n]=size(bs); if m==1 & n==1, bs=bs*ones(size(s)); %扩展bs elseif m~=size(s,1) | n~=size(s,1), error(‘bs must be scalar or of same size as s’); end if ~isempty(s), %边界线段1 ii=find(bs==1); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-pi);
y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-pi); %边界线段2 ii=find(bs==2); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(pi/2)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (pi/2)); %边界线段3 ii=find(bs==3); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)); %边界线段4 ii=find(bs==4); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(3*pi/2); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (3*pi/2); end 然后用另一函数circleb1.m描述边界条件。 function[q,g,h,r]=circleb1(p,e,u,time) b1=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 48 48 48 48 ]; if any(size(u)) [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,u,time,b1); else [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,time,b1); end 现在可以用命令行进行工作： [p,e,t]=initmesh(‘circleg’,’Hmax’,1); error=[];err=1; while err>0.001, *p,e,t+=refinemesh(‘circleg’,p,e,t); u=assempde(‘circleb1’,p,e,t,1,0,1);
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
二阶线性微分方程解的结构
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。