高考数学等差数列一轮复习
y=px+q的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均
匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的 图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.
【拓展提升】
1.等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0.
2.(2016· 临川一中期中)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则 S5等于( A (A)5 (B)7 ) (C)9 (D)11
解析:因为 a1+a3+a5=3a3=3,所以 a3=1,所以 S5= 故选 A.
5 (a1 a5 ) 5 2 a3 = =5, 2 2
把散落的知识连起来
”的什么条件?
提示:充分必要条件.
2.如何推导等差数列的通项公式?
提示:可用累加法. 3.如何推导等差数列的前n项和公式?
提示:利用倒序相加法推导.
知识梳理
1.等差数列的相关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差 都等于
同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为 an-an-1=d
3.首项为 24 的等差数列,从第 10 项开始为负数,则公差 d 的取值范围是 (
D )
8 (B)(-∞,- ) 3 8 (D)[-3,- ) 3
(A)(-3,+∞)
8 (C)(-3,- ) 3
解析:由题意知 a9≥0,a10<0, 所以 a9=a1+8d=24+8d≥0,d≥-3.
8 a10=a1+9d=24+9d<0,d<- . 3 8 综上知-3≤d<- .故选 D. 3
p q
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,„成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,„
(k,m∈N*)成等差数列.
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).
对点自测
1.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( A
(A)14 (B)18 (C)21 (D)27
)
a1 d 3, 解析:依题意得 2a1 5d 9,
由此解得 d=1,a1=2, a6=a1+5d=7,a1a6=14.故选 A.
(A)100
(C)98
(B)99
(D)97
98 9 a d 27, 1 解析:(1) 2 a1 9d 8,
a 1, 解得 1 d 1,
a100=a1+(100-1)d=-1+99=98.故选 C. 答案:(1)C
2 (2)(2016·抚顺一中月考)设{an}是公差不为 0 的等差数列,满足 a 4 + a 52
第2节 等差数列
最新考纲 1.理解等差数列的概念.
3.能在具体的问题情境中识别数列
的等差关系,并能用等差数列的有关
2.掌握等差数列的通项公式与前 知识解决相应的问题.
n项和公式.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
【教材导读】
ab 1.“a,A,b是等差数列”是“A= 2
解析:由 Sk+1=Sk+ak+1=-12+
3 21 =, 2 2
3 (k 1)(3 ) (k 1)(a1 ak 1 ) 2 =- 21 ,解得 k=13. 又 Sk+1= = 2 2 2
答案:13
考点专项突破
考点一 等差数列的基本量运算 则a100等于( )
在讲练中理解知识
【例1】 (1)(2016· 全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
= a 62 + a 72 ,则该数列的前 10 项和等于( (A)-10 (B)-5 (C)0 (D)5
)
2 解析:(2)设公差为 d(d 不等于 0),由 a 4 + a 52 = a 62 + a 72 可得 a1=-
9 d,a1+a10 2
=0,所以 S10=
答案:(2)C
(a1 a10 ) 10 =0.故选 C. 2
公差d>0时为递 增 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最 小 值;d<0时为递
减 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最 大 值.
6.等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q= a1-d, 那 么 an=pn+q, 其 中 p,q 是 常 数 . 当 p≠0 时 ,(n,an) 在 一 次 函 数
(n≥2,n∈N*,d为常数).
ab (2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A= 2
.
2.等差数列的通项公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d . (2)通项的推广:an=am+( n-m )d.
3.等差数列的前n项和公式
n(a1 an ) (1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn= 2 n(n 1) na1 d (2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d,则其前n项和公式Sn= 2
.
.
4.等差数列{an}的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则 a +a = 2am (p,q,m∈N*).
(3)(2016· 衡水中学调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5, 给出下列五个命题:
4.已等差中项为 3 2 3 2
.
解析:由等差中项的定义知
ab = 2
1 1 3 2 3 2 = 3 2 3 2 = 3 . 2 2
答案: 3
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-3,ak+1= k= .
3 ,Sk=-12,则正整数 2
高考数学一轮复习等差数列-教学课件
S偶 an1 (2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}: S2n+1=(2n+1)an+1. S奇 = n 1 .(其中 S 奇、S 偶分别表示数列{an}中所有奇数 S偶 n 项、偶数项的和)
解析:(1)等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=3a7, ∴a7=4,∴S13=13a7=52.
S偶 S奇 354，
(2)由题意,可知
S偶
S奇
32 ， 27
∴
S偶
S奇
192， 162.
又项数为 12 的等差数列中 S 偶-S 奇=6d,
∴d=5.
答案:(1)52 (2)5
反思归纳 在等差数列前 n 项和中还常用到以下性质
∴
8a1
87 2
d
4 a1
2d
,
a1 6d 2.
∴
ad1
10, 2.
∴a9=a1+8d=10+8×(-2)=-6.
法二 ∵S8=4a3,∴ 8a1 a8 =4a3.
2
∴a1+a8=a3,∴a3+a6=a3,∴a6=0. ∴d=a7-a6=-2, ∴a9=a7+2d=-6. 故选 A.
即时突破 2 (2013 山东省滨州市质检)已知数
列{an}满足 a1=3,an·an-1=2an-1-1(n≥2).
(1)求 a2,a3,a4;
(2)求证:数列
1 an
1
是等差数列,并求出{an}
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。
2024届新高考一轮复习北师大版 27 等差数列 作业
课时规范练27 等差数列基础巩固组1.(2023·山东威海高三月考)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于()A.-12B.-10C.10D.12答案:B解析:设{a n}的公差为d,因为3S3=S2+S4,所以3(3a1+3d)=(2a1+d)+(4a1+6d),而a1=2,解得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.故选B.2.(2023·河南郑州高三月考)已知{a n2}为等差数列,且a1=1,a3=2,则a12+a22+…+a82=()A.81B.72C.64D.50答案:D解析:设数列{a n2}的公差为d,则由题意可得a32−a12=2d=3,即d=32,所以a12+a22+…+a82=8+8×72×32=50.故选D.3.(2023·湖北荆门高三月考)在公差不为零的等差数列{a n}中,若3a m=a3+a4+a8,则m=()A.4B.5C.6D.7答案:B解析:3a m=a3+a4+a8=a3+a5+a7=(a3+a7)+a5=2a5+a5=3a5,则m=5.故选B.4.(2023·山东青岛高三期中)设等差数列{a n}与等差数列{b n}的前n项和分别为S n,T n.若对于任意的正整数n都有S nT n =2n+13n-1,则a8b9=()A.3552B.3150C.3148D.3546答案:B解析:设S n=(2n+1)nt,T n=(3n-1)nt(t≠0),则a8=S8-S7=136t-105t=31t,b9=T9-T8=234t-184t=50t,所以a8 b9=3150.故选B.5.(2023·河南郑州高三月考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=30,则a1+a20+a30-a40=()A.4B.5C.6D.12答案:C解析:因为数列{a n}为等差数列,S10=30,所以10(a1+a10)2=30,即a1+a10=6,所以a1+a20+a30-a40=a1+a10+a40-a40=a1+a10=6.故选C.6.(2023·浙江温州高三月考)已知数列{a n}的各项为互异正数,且其倒数构成公差为3的等差数列,则a1-a na1a2+a2a3+…+a n-1a n=()A.16 B.13C.3D.6答案:C解析:因为数列{a n }的各项为互异正数,且其倒数构成公差为3的等差数列,所以1a n−1a n -1=3(n ≥2,n∈N *)⇒a n-1-a n =3a n-1a n ⇒a n-1a n =a n -1-a n3, 所以a 1-a na 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n=a 1-a n a 1-a 23+a 2-a 33+…+a n -1-a n3=3·a 1-a na 1-a n=3. 故选C .7.(多选)(2023·湖南常德高三期中)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+2=(-1)n+1(a n -n )+n ,记{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.a 48+a 50=100 B.a 50-a 46=4 C.S 48=600 D.S 49=601答案:BCD解析:因为a 1=1,a n+2=(-1)n+1(a n -n )+n ,所以当n 为奇数时,a n+2=a n =a 1=1;当n 为偶数时,a n +a n+2=2n.所以a 48+a 50=96,故A 错误.又因为a 46+a 48=92,所以a 50-a 46=4,故B 正确.S 48=a 1+a 3+a 5+…+a 47+[(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+…+(a 46+a 48)]=24×1+2×(2+6+…+46)=24+2×(2+46)×122=600,故C 正确.S 49=S 48+a 49=600+1=601,故D 正确.故选BCD .8.(2023·北京海淀高三月考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若2S 3=3S 2+6,则公差d= . 答案:2解析:由2S 3=3S 2+6可得2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6,化简得2a 3=a 1+a 2+6,即2(a 1+2d )=2a 1+d+6,解得d=2.9.(2023·福建福州高三月考)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >1,S n -12a n 2是公差为12的等差数列.(1)证明:{a n }是等差数列;(2)若a 1,a 2,a 6可构成三角形的三边,求S13a 14的取值范围.(1)证明:因为S n -12a n 2是公差为12的等差数列,所以当n ≥2时,S n -12a n 2-S n-1-12a n -12=12,即a n -12a n 2+12a n -12=12,所以(a n -1)2=a n -12.又因为a n >1,所以a n -a n-1=1,故{a n }是等差数列. (2)解:因为a 1,a 2,a 6可构成三角形的三边, 所以2a 1+1>a 1+5,即a 1>4. 又S13a 14=13a 7a 14=13a 1+78a 1+13=13-91a 1+13,且a 1>4,所以S13a 14∈13017,13.故S13a 14的取值范围为13017,13.综合提升组10.(2022·安徽蚌埠高三一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ≠0,若存在常数λ使得S 4n =λS 2n (n ∈N *)恒成立,则常数λ的值为 . 答案:2或4 解析:由题意4a 1n+4n (4n -1)2d=λ2a 1n+2n (2n -1)2d ,化简得(4d-λd )n+2a 1-d-λa 1+12λd=0,故{4d -λd =0,2a 1-d -λa 1+12λd =0,由4d-λd=0,得d=0或λ=4,当d=0时,显然λ=2;当λ=4时,d=2a 1,满足条件.所以λ=2或4.创新应用组11.(2023·吉林长春高三月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 7>0,S 8<0,则a6a 5的取值范围是 . 答案:(2,3)解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由S 7=7a 1+7×6d2>0,可得a 1+3d>0,S 8=8a 1+8×7d2<0,可得a 1+72d<0,所以d<0,-72<a 1d <-3,所以12<a 1d +4<1,所以,a 6a 5=a 1+5da 1+4d =1+d a1+4d=1+1a 1d+4∈(2,3).。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。
高考数学一轮复习第7章数列第2讲等差数列及其前n项和课件(1)
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7
第七页，编辑于星期六：四点 九分。
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…也是等差数列．
(5)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也为等差数列．
第八页，编辑于星期六：四点 九分。
【特别提醒】 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个 关 键 词 ： “ 从 第 2 项 起 ”“ 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 ”“ 同 一 个 常 数”．
＝
()
A．－ 3
B． 3
C．± 3
D．－
3 3
【答案】A
第三十五页，编辑于星期六：四点 九分。
【解析】因为数列{an}为等差数列，a1＋a7＋a13＝2π，所以 3a7＝2π， 即 a7＝23π.则 tan a7＝tan23π＝－tanπ3＝－ 3.
第三十六页，编辑于星期六：四点 九分。
考向 2 等差数列和的性质
个数列是等差数列．
()
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an
＋an＋2.
()
第十九页，编辑于星期六：四点 九分。
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．
()
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．
()
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
第十七页，编辑于星期六：四点 九分。
(4)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，则 ①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； ②SS奇 偶＝n＋n 1； ③S 奇－S 偶＝an＋1．
高考一轮复习 等差数列 知识点+例题+练习
自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1． 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点 等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.