第5讲-卷积及性质
rzs (t ) e( )h(t )d
0
rzs (t ) e( )h(t )d
t
t
3) e(t)为有始函数的因果系统： rzs ( t ) 0 e( )h( t )d 卷积的定义
f1 ( t ) f 2 ( t )
f1 ( ) f 2 (t )d f1 (t ) f 2 (t )
积分变量
t 参变量
例2. f1 (t ) (t 1),
f 2 (t ) (t 2) 求
f1 (t ) * f 2 (t )
1 ( 1) (t 2) 0 1 t 2 其它
e( t )
h1(t)
等效
h2(t)r (t ) Nhomakorabeae( t )
h(t)=h1(t)*h2(t) 系统串联等效
r (t )
3）交换率：u(t)v(t)=v(t) u(t)
e( t )
h1(t)
h2(t)
r (t )
系统串连与子系统次序无关
例1、如图，h1(t)=(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)= -(t)
5 求乘积信号所围的面积
§2.6 卷积性质
1、与代数运算相同的性质： 1）分配率：u(t)[v(t)+w(t)]= u(t)v(t)+ u(t)w(t)
e( t )
h1(t) h2(t)
r (t )
系统并联等效
2）结合率：u(t)[v(t) w(t)]= [u(t)v(t)] w(t)
恒等的条件：v ( ) 0
u( ) 0
例：rzs (t ) e(t ) h(t ) e' (t ) u(t )
问：我们通常为什么不用阶跃响应求系统零状态响应？
问：直流信号与其它信号的卷积可以用微积分性质吗?？
例3：利用微积分性质求下面两个函数的卷积
f 1 ( )
f 2 (t )
f 2 (t )
2
1 1
t
2
f (t )
0 1
2
3
t
0 2t g (t ) 2 6 2t
t 0; t 3 0 t 1 1 t 2 2t 3
f 1 ( )
f 2 ( )
2
1 1
1 f 2( )
2
-1
图解卷积： 1 改变图形中的横坐标，自变量由t变为τ。 2 将其中的一个信号反褶。 3 反褶后的信号位移t个单位。(t>0,右移，t<0左移） 4 两信号重叠部分相乘，
1
f 1 ( )
f 2 (t )
2.17; 2.18(a,b,c), 2.20（2）(4), 2.21(a)
f1 ( )
2
1 f 2( )
2
-1
f1 ( )
0 2t g (t ) 2 6 2t
f1 ( )
t 0; t 3 0 t 1 1 t 2 2t 3
t0
2
t0
2
2
f1 ( ) f1 ( )
2
t 1
2
t2
2
2
2
f1 ( )
f 2 (t ) (t ) (t 1)
参变量 积分变量
求
解
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1 (t ) * f 2 (t )
f 1 ( )
f1 ( ) f 2 (t )d
被积函数
f 2 (t )
2
1 1
t
2
1 f 2( )
-1
反褶——>平移——>相乘——>叠加（积分）
2
1 1
t
2
解：
4 t
1
2
1 t
4
2
2
2
例4：T(t)为周期为T的周期性单位冲激函数序列
T (t )
k
(t kT ) (t ) (t T ) (t 2T ) (t kT )
T(t)
2<T
f(t)如图示
三 卷积的定义
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t 参变量(观察响应时刻)
积分变量（激励作用时刻）
零状态响应 对于一般系统： 积分限讨论： 1) e(t)为有始函数 2) 因果系统：
rzs (t ) e( )h(t )d
3) f (t ) n (t ) f n (t )
4) f (t ) ( ) ( )d ( )n f ( )d
n t t
卷积的说明：
1)折线信号和其它信号的卷积，折线信号的微分一般可以化 成冲激信号，利用冲激的卷积求解 2）在图形卷积的时候，特别要注意卷积面积的计算。
h1(t)
e(t)
h2(t)
h1(t)
h3(t)
r(t)
求总系统的冲激响应h(t)；
3、 时限信号的卷积：
若信号： f1 ( t )：t ( t1 , t 2 ) f 2 ( t )：t ( t '1 , t '2 )
则： y(t ) f1 (t ) * f 2 (t ) : t (t1 t '1 , t 2 t '2 )
( 1) (t 2)d
d t 3 1
(t 3) (t 3)
t2
t 2
t 3
( 1)
1
(t 2)
1
1
t 3
(t 2)
1 1
四 卷积的图形表示 例3. f1 (t ) 2[ (t ) (t 2)],
例2：求如图所示y(t)= f1(t) ＊f2(t) ，求在t=0时的y(0)值。
f1(t)
2
f2(t)
(2)
-2
0 -2 2
t
0
1
t
分析：f (t ) * (t ) f (t )
d d d 1)微分： u( t ) * v( t ) u( t ) * v( t ) u( t ) * v( t ) dt dt dt
4、函数延时后的卷积 假设： u(t)v(t)=f(t) 则： u(t-t1)v(t-t2)=f(t-t1-t2)
如： (t 2) (t 3) (t 5)
(t ) (t ) t (t ) (t ) (t 2) (t 2) (t 2)
2)积分： u( ) * v( )d u( )d * v(t ) u(t ) * v( )d
t t t
dv ( t ) t du( t ) t 3)微积分： u( t ) v ( t ) u( )d v ( )d dt dt
A -
f (t)
0
…
-2T -T
…
0 T 2T 3T
t
t
试求f(t) ＊ T(t)
A
-T- -T -
A
f (t) ＊ T(t)
A
0 T +T
A
2T
t
6、与δ(t) 的卷积：
1) f (t ) (t ) f (t ) 2) f (t ) ' (t ) f ' (t )
5连续时间LTI系统零状态响应
t
1t
1 1 d 1
0 1+t
t
2
d) 2 t < 3
x( )h(t )
x() 1 ht)
y (t )
2
1t
1 1 d 3 t
0
1+t 2
t
[例] 计算 y(t) = x(t) * h(t)。 1
解：
0
x(t)
x( )
1
ht) h( )
解:
1
x(t )
h(t )
y (t )
1
t
1
2
t
3t
0
1
0
t
0
1
2
3
t
y(t) = x(t) * h(t) = [ u(t) － u(t－1) ] * [ u(t) － u(t －2) ] =u(t)*u(t) － u(t－1)*u(t) － u(t)*u(t－2) + u(t－1)*u(t－2) = r(t) – r(t －1) － r(t－2) + r(t－3)
3. 卷积积分的性质
[例] 利用等效特性，计算y(t) = x(t) * h(t)。
解:
0
x (t )
1 1
h(t )
h(t ) h(t 1)
1
t
0
1
2
3
2
t
0
1
t
x '(t) = (t) － (t－1)
1
y (t )
y' (t)=x '(t) * h(t)= h(t) －h(t－1)
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
数字信号处理,第五讲DFT性质
x(m)
h(m)
m
m
0123
0123
h((-m))6R6(n)
m
012345
h((1-m))6R6(n)
h((2-m))6R6 (n)
m
012345
x(n) 6 h(n)
h((3-m))6R6 (n)
m
012345
77 6
5
h((4-m))6R6 (n)
m
012345
m
012345
3 2
n
012345
2677521
h(3-m) h(4-m) h(5-m) h(6-m)
-3 –2 -1 0 1 2 3
m
-3 –2 -1 0 1 2 3
m
-3 –2 -1 0 1 2 3 4 m
-3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 m
m
77 6
5
2
2
1
n
01234567
例4. x(n)
n
0123
(1)换元 x(m)
3.3 离散傅里叶变换的性质
通过以上分析，可知： 若有限长序列x(n)和h(n)，长度分别为N和M，
(1)当L=N+M-1时，圆周卷积等于线性卷积; (2)当L<N+M-1时，圆周卷积不能代表线性
卷积，此时产生混叠现象； (3)当L>N+M-1时，圆周卷积能代表线性卷积. 结论：L≥N+M-1时，圆周卷积能代表线性卷积。
0123
(2)周期延拓、反转
h(n) n
0123
h(m)
m
m
0123
计算4点圆周卷积
h((-m))4R4(n)
第五讲-空间域平滑处理
h=fspecial('gaussian',[3 3],1); fn=im2double(fn); mean=imfilter(fn,h)/(3*3); subplot(223); imshow(mean,[]) title('3*3 高斯平滑降噪') h=fspecial('gaussian',[9 9],1); mean=imfilter(fn,h)/(9*9); subplot(224); imshow(mean,[]) title('9*9 高斯平滑降噪')
一维中值滤波的概念很容易推广到二维。一般来说，二 维中值滤波器比一维滤波器更能抑制噪声。
二维中值滤波器的窗口形状可以有多种，如线状、方形、 十字形、圆形、菱形等（见图）。
不同形状的窗口产生不同的滤波效果，使用中必须根据 图像的内容和不同的要求加以选择。从以往的经验看，方形 或圆形窗口适宜于外轮廓线较长的物体图像，而十字形窗口 对有尖顶角状的图像效果好。
亮点干扰图像
中值滤波图像
例：对施加在集成电路板图像上的“椒盐”噪声进行中值 滤波处理。
解：%本程序使用中值滤波方法进行集成电路板图像的降噪处理
f=imread('Fig0318(a).tif'); subplot(131); imshow(f,[]) title('original image'); fn=imnoise(f,'salt & pepper',0.2); subplot(132); imshow(fn,[]) title('image with noise'); g1=medfilt2(fn); subplot(133); imshow(g1,[]) title('中值滤波图');
卷积的物理意义
卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数----这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：“说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。
在t 时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是“卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推导，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on;这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
第5讲(无线信道、问题及解决)
(k
)
SFd
k 1
c1* (t)
1W
1W
SFc
k1
c2 (t)
SFc
k1
c3 (t)
1W
1W
SFd
k 1
c2* (t)
SFd
k 1
c3* (t)
1W
SFc
k1
cL (t)
1W
SFd
k 1
cL* (t)
2020/4/4
d
(d j
)
(m)
33
CDMA系统中Rake接收技术（2）
利用宽带信号的高分辨率分离多径信号
信道造成的问题
卷积/滤波
收发机带限和多径信道造成信号失真（提高Eb/No 达到性能要求无效）
唯一的方法是减少或消除失真
乘性
误比特率性能转到瑞利界限曲线 可采用分集技术和纠错码（+交织）进一步改善衰
落的影响
加性
性能达到“噪声中确知信号”系统 可采用相干/非相干积累技术
2020/4/4
36
CDMA系统中的功率控制技术
开环功率控制技术
利用下行信号功率，预测路径损耗，计算发送功率 FDD方式时，上下行频段不同，误差大
闭环（内环）功率控制
对上行信号的接收信干比进行实时计算，产生功率控制比特发到 移动台控制其发射功率
需要占用信道资源，存在反应时间问题 对不同类型的信道所需信干比不同（导致采用外环功控）
,
, n 1,2,...,M n M 1
,
n
d d
cos 2n , n
N ,n M 1
1,2,...,M
, n
( , ),
d 2fd , N 4M 2
信号与系统 知识整理
第一次课：自我介绍 课程安排1.自己考研的一些经历，时间安排，复习重点复习时间安排：总共复习100天，每天半小时——1个半小时，越到后面花时间越少 每天复习内容：部分公式推导，题3道左右，题仅限历年考题，不再做多余的题，重点在于通过做题还有自己推导公式，使自己对公式理解深刻，运用灵活专业课特点：知识点少，用时少，分数高，是考验取得好成绩的可靠保障考试要点：考前不用大量训练，但需要全面的回顾知识点及题型；考试时，题量小，所以切记急躁，宁可做慢一点，因为大片大片地做错再去改非常影响考试状态；专业课考试没有难题，考的是细心。
2.基础，基本概念，基本函数（离散的部分比较简略）2.1系统：其实就是一个函数)(t h （)(jw H …）。
它与输入信号)(t x 相卷积得到输出信号)(t y ，做题时，知道系统就是)(t h ，就可以了。
重点把握：形如nt s z e 0,0的信号经过系统)(t h 后的表达式为)(),(0000z H z s H ents ，这也是FS 的意义所在；另外要会列电路频域方程，解电路的部分放在讲题的地方统一讲2.2特殊函数：∑+∞-∞=-n njw tjw nT t een u t u n t o )(,,],[),(],[),(0δδδ2.2.1⎰+∞∞-=1)(dt t δ，)0(0)(≠=t t δ，只需记住这个，具体定义不管⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(t t t u ，⎰∞-==td t u t u dtd t ττδδ)()(),()(，这两个式子很少考，作为了解用于移位：⎰-=--=-*)()()()()(000t t x d tt x t t t x ττδτδ，因为式中τ只能为0t 时被积函数才不为0用于积分：⎰⎰∞-+∞∞-=-=*td x d t u x t u t x τττττ)()()()()(，式中t <τ时被积函数不为0离散情况类似，求导对应差分，积分对应求和，不再重复2.2.2 tjw e0，njw e0极其常见，用于各种地方，如基本公式，FS ，移位等。
第五讲卷积神经网络--baseline
第五讲卷积神经⽹络--baseline1import tensorflow as tf2import os3import numpy as np4from matplotlib import pyplot as plt5from yers import Conv2D, BatchNormalization, Activation, MaxPool2D, Dropout, Flatten, Dense6from tensorflow.keras import Model789 np.set_printoptions(threshold=np.inf)1011 cifar10 = tf.keras.datasets.cifar1012 (x_train, y_train), (x_test, y_test) = cifar10.load_data()13 x_train, x_test = x_train/25.0, x_test/255.0141516class BaseLine(Model):17def__init__(self):18 super(BaseLine, self).__init__()19 self.c1 = Conv2D(filters=6, kernel_size=(5, 5), padding='same') #卷积层20 self.b1 = BatchNormalization() #BN层21 self.a1 = Activation('relu') #激活层22 self.p1 = MaxPool2D(pool_size=(2, 2), strides=2, padding='same') #池化层23 self.d1 = Dropout(0.2) #dropou层2425 self.flatten = Flatten()26 self.f1 = Dense(128, activation='relu')27 self.d2 = Dropout(0.2)28 self.f2 = Dense(10, activation='softmax')2930def call(self, x):31 x = self.c1(x)32 x = self.b1(x)33 x = self.a1(x)34 x = self.p1(x)35 x = self.d1(x)3637 x = self.flatten(x)38 x = self.f1(x)39 x = self.d2(x)40 y = self.f2(x)41return y42434445 model = BaseLine()4647 pile(optimizer='adam',48 loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=False),49 metrics = ['sparse_categorical_accuracy'])5051 checkpoint_save_path = "./checkpoint/Baseline.ckpt"52if os.path.exists(checkpoint_save_path + ".index"):53print("--------------------load the model-----------------")54 model.load_weights(checkpoint_save_path)5556 cp_callback = tf.keras.callbacks.ModelCheckpoint(filepath=checkpoint_save_path, save_weights_only=True, save_best_only=True)5758 history = model.fit(x_train, y_train, batch_size=32, epochs=5, validation_data=(x_test, y_test), validation_freq=1, callbacks=[cp_callback]) 5960 model.summary()616263 with open('./weights.txt', 'w') as file:64for v in model.trainable_variables:65 file.write(str() + '\n')66 file.write(str(v.shape) + '\n')67 file.write(str(v.numpy()) + '\n')686970def plot_acc_loss_curve(history):71# 显⽰训练集和验证集的acc和loss曲线72from matplotlib import pyplot as plt73 acc = history.history['sparse_categorical_accuracy']74 val_acc = history.history['val_sparse_categorical_accuracy']75 loss = history.history['loss']76 val_loss = history.history['val_loss']7778 plt.figure(figsize=(15, 5))79 plt.subplot(1, 2, 1)80 plt.plot(acc, label='Training Accuracy')81 plt.plot(val_acc, label='Validation Accuracy')82 plt.title('Training and Validation Accuracy')83 plt.legend()84#plt.grid()8586 plt.subplot(1, 2, 2)87 plt.plot(loss, label='Training Loss')88 plt.plot(val_loss, label='Validation Loss')89 plt.title('Training and Validation Loss')90 plt.legend()91#plt.grid()92 plt.show()9394 plot_acc_loss_curve(history)。
北大随机过程课件：第3章第5讲更新过程
2．更新过程分析
2.1 计算 N(t)的概率分布
对于更新过程，当给定事件间隔 xn (n ≥ 1) 的概率分布函数 F(t)，或概率密度函数
f(t) 时，计算 N(t)的概率分布。
设 Sn 的分布函数是 Fn (t) ， Fn (t) 是 F (t) 的 n 次卷积；
设{N(t), t>0}是一个计数过程， xn (n ≥ 1) 表示第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔，
再设 {x1, x2 ,"} 为非负、独立、同分布的随机变量序列，则称计数过程{N(t), t>0}为更新过
程。 特点：根据事件间隔的特征(独立、同分布)定义； 举例： 假设灯泡的寿命是统计独立、同分布的随机变量，若每次使用一个灯泡，当灯泡损 坏后立刻更换新的，则在时间 t 内损害的灯泡数是一个更新过程{N(t), t>0}，其中 N(t)是在时间 t 内损坏的灯泡数。
0
给定了更新过程强度 λ(t)后，更新过程间隔概率密度函数 f(t)可由上述积分方程求
解。
2.4 更新过程的极限，平均更新时间与更新速率
在有限的时间内更新的次数是有限的、当时间 t 趋于无穷时，更新的次数趋于无穷， 考虑到，
Sn 是第 n 次更新事件发生的时刻，
N(t)是直到时刻 t 发生更新事件的次数，
P{N (t) = n} = Fn (t) − Fn+1 (t) 。
2.2 计算更新过程的期望
∞
m(t) = E{N (t)} = ∑ nP{N (t) = n}
n=1
∞n
∞∞
第四五讲二维-傅里叶变换
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
或:
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( 'x) f *( ')d '
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
F(,)一般是复函数, F(,) =A(,)e jf (,)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
t 2
g(t) cos(2nt)dt
2
1
4 cos(2nt)dt
1 4
sin(2nt) n
1/ 4 1/ 4
sinc
n 2
bn
2
t
t
2 t 2
g (t
)
sin(2nf0t)dt
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
信号与系统信号的时域分解与卷积积分
28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号 直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响 应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。