材料力学11_压杆稳定

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11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
x Pcr
y
本节以两端球形铰支(简称两端铰支)
的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对 于理想中心压杆来说临界力就是杆能保
y
m x (a) O
m y y
持微弯状态时的轴向压力这一概念，来 y 导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。
l
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11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
π 2 EI
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束 情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端 铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端 约束情况下的相当长度 l。
12
(2)抛物线型经验公式 ①sp<s<su 时：
s cr a1b12
2 在钢结构中： s cr s u 1 c c是细长压杆与非细长压杆柔度的分界值。
3 c 0.57s u
②su<s 时：
s cr s u
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c 的杆为细长压杆，其临界应力用欧拉公式求。
c 的杆为非细长压杆，以抛物线经验公式计算临界应力。
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
③临界应力总图
scr
s cr a1b1
su
2
sp
E s cr 2
2
p

O
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11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 1.压杆的稳定校核
x
设压杆微弯挠曲线的表达式为： y
v x
挠曲线近似微分方程： EIv M ( x) Pcr v Pcr Pcr 2 x 令 k ，则 v k 2 v 0 EI Pcr v A sin kx B cos kx 其通解为： M (x) =Pcrv m m 式中A，B为待定常数。 y y x v x 0 0 杆的边界条件： x y O O v x l 0 y Fcr 代入通解得： (a) (b) B 0 Pcr A sin kl B cos kl 0 sin kl 0 kl L n (n 0， 1，2) EI 临界力为最小压力：
73.7
所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由lz决定。
l
11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
(2)确定许用压力
硅钢：ss= 353 MPa，计算有关的p和s为：
2E 2 2.1 105 93 p sp 240 a s s 578 353 60 s b 3.744


通常把≥p的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr 的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把<p的压杆，亦 即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。
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11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 超过比例极限时压杆临界应力的经验公式
（1）直线型经验公式： s cr a b
临界应力
越好， 承载能力越强；
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(3)与外部轴向压力的大小无关。
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取 kl＝，压杆的挠曲线表达式可写成
π v A sin x l 注意到当x= l /2 时 v=d，故有 A=d。从而知，对应于kl＝，
y y
l
n 2 2 EI Pcr l2
(n 0， 1，2)
Pcr
2 EI
l
2
— 欧拉公式
8
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
Pcr
2 EI
l2
在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr： (1)仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A) 有关， 材料的E越大， 截面越粗， 杆件越 短， 临界力Pcr越高； (2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映 承载能力的强弱， 临界力Pcr越高， 稳定性
按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Pcr作用时可
在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可 按scr＝Pcr /A来计算，亦即
Pcr π 2 EI π2 E π2 E s cr 2 2 2 A l A l / i
(a)
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11.4 临界应力
欧拉公式的应用范围
Pcr B
Pcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
Pcr
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
2 EI 2 EI 2 EI 临界力Pcr 2 EI Pcr P P 2 Pcr 2 2 cr 欧拉公式 cr (2l ) 2 (0.5l ) (0.7l ) l
若在x-y面内失稳，=1，柔度为： L L 0.5 580 y 39.9 4
i Iy / A 3.8 10 / 720
580 700
580
P z P
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若在x-z平面内失稳,=0.5,柔度为：
z L
i
y
y z
L
Iz / A

1 700 6.5 10 4 / 720
的杆为小柔度杆，以极限应力su作为临界应力。18
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
③临界应力总图
s cr
su
sP
s cr s u
s cr ab
2E s cr 2
L
i
0

a s u
P

b
2E sP
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11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
（1）安全因数法
Pcr N s cr s [s ]st 或 P Pst A nst nst
三类问题：确定许用载荷、稳定性校核、截面尺寸 设计
确定 nst ，除考虑确定安全系数的一般原则外，还 应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故 nst >n。
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11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
式中：a 和b 是与材料有关的常数，单位与应力相同。 ①sp<s<su 时：
s cr ab
s cr a b s u
②su<s 时：
s cr s u
a su 0 b
p
0
的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。
0 p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
亦即
π2E

2
sp

π2E
sp
或写作
p
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11.4 临界应力
欧拉公式的应用范围
可见 p
sp 对于Q235钢，按照 E＝206 GPa，sp ＝200 MPa，有
π 2 E 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。
p
π2E
sp

π 2 206பைடு நூலகம்09 P a 100 6 20010 P a
2 I min E Pcr ( 2l ) 2
14
(4545 6) 等边角钢 图(b)
11.4 临界应力
欧拉公式的应用范围
在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公
式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp
的情况。
长度系数μ
2 EI
l2
11
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长 中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆 的临界力也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
Pcr
l 2
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11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
例1
求下列细长压杆的临界力
P
P
解：图(a)
I min
l
50 103 10 12 4.17 10 9 m 4 12
2 I min E Pcr ( 1l ) 2
图(b)
l
z
10 30 图(a)
y
I min I z 3.89 10 8 m 4
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
运用欧拉公式计算临界力时需要注意：
(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，
欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。 (2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用 的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。
连杆为中柔度杆。a=578 MPa，b=3.744 MPa，其临界载荷为：
Pcr A(a b ) 218 kN
由此得连杆的许用压力为：
[ P]st Pcr 218 87.3 kN nst 2.5
(3)讨论：在此连杆中：z=73.7，y=39.9，两者相差较大。 最理想的设计是y= z，以达到材尽其用的目的。
(2) 折减因数法
s
式中：
s cr
[nst ]
[s ]st [s ] 即 s [s ]
[sst]—稳定许用应力； [s]—许用压应力；
<1— 折减 系数 ， 与柔度
和材料有关， 可查规范。
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11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
例 1 确定图示连杆的许用压力 [P]st。已知连杆横截面面积 A=720 mm2 ， 惯 性 矩 Iz = 6.5×104 mm4 ， Iy=3.8×104 mm4 ， sp=240 MPa，E =2.1×105 MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系 数nst=2.5。 x P x P 解：(1)失稳形式判断