大学物理复习纲要〔振动和波〕

振 动 学 基 础内容提要一、振动的基本概念1、振动 某物理量随时间变化，如果其数值总在一有限范围内变动，就说该物理量在振动；2、周期振动 如果物理量在振动时，每隔一定的时间间隔其数值就重复一次，称为周期振动；3、机械振动 物体在一定的位置附近作往复运动称为机械振动；4、简谐振动 如果物体振动的位移随时间按余(正)弦函数规律变化，即：()0cos ϕω+=t A x这样振动称为简谐振动；5、周期T 物体进行一次完全振动所需的时间称为周期，单位：秒。

一次完全振动指物体由某一位置出发连续两次经过平衡位置又回到原来的状态。

6、振动频率ν 单位时间内振动的次数，单位：次/秒，称为赫兹〔Ｈz 〕；7、振动圆频率ω 振动频率的π2倍，单位是弧度/秒〔rad /s 〕，即Tππνω22== 8、振幅A 物体离开平衡位置〔0=x 〕的最大位移的绝对值； 9、相位ϕ0ϕωϕ+=t 称为相位或相，单位：弧()rad 。

它是时间的单值增函数，每经历一个周期T ，相位增加π2，完成一次振动； 10、初相位0ϕ 开始计时时刻的相位；11、振动速度v 表示振动物体位移快慢的物理量，即：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-==2cos sin 00πϕωωϕωωt A t A dt dx v 说明速度的相位比位移的相位超前2π； 12、振动加速度a 表示振动物体速度变化快慢的物理量，即：()()πϕωωϕωω++=+-===020222cos cos t A t A dtx d dt dv a加速度的相位比速度的相位超前2π，比位移的相位超前π； 13、初始条件 在0=t 时刻的运动状态〔位移和速度〕称为初始条件，它决定振动的振幅和初位相，即：⎪⎩⎪⎨⎧-======000000sin cos ϕωϕA v v A x x t t 则可求得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=00022020x v tg v x A ωϕω二、旋转矢量法简谐振动可以用一旋转矢量在x 轴上的投影来表示。

在平面上画一矢量A，其长度等于振动的振幅A ，初始位置与x 轴的正向的夹角等于初相位0ϕ，其尾端固定在坐标原点o 上，并以圆频率ω为角速度绕o 点作逆时针匀速旋转，则矢量A在x 轴上的投影为：()0cos ϕω+=t A x于是描述简谐振动的三个重要的物理量，在这里便非常直观地被表示了出来：矢量的模A 即振动的振幅；矢量旋转的角速度ω便是振动的圆频率；矢量与x 轴的夹角()0ϕωϕ+=t 则为振动的相位；而0=t 时，矢量与x 轴正方向的夹角0ϕ即为振动的初相位。

三、简谐振动的实例1、弹簧振子一个质量可以忽略的弹簧，一端固定，另一端固接一个可以视为质点的自由运动的物体所组成的系统，便是一个弹簧振子。

〔1〕系统受力 22dt x d m ma kx f ==-=〔2〕振动方程 0222=+x dtxd ω 〔3〕振动函数 ()0cos ϕω-=t A x 其中，圆频率m k =ω，周期km T πωπ22== 2、单摆 一个可以看作质点的小球，系于不可伸长的质量可以忽略不计的细绳下端，绳的上端固定，这样的系统称为单摆〔1〕系统受力矩 222dt d ml I mgl M θβθ==-=〔2〕振动方程 022=+θθlgdt d 〔3〕振动函数 ()00cos ϕωθθ+=t其中，圆频率l g =ω，周期glT πωπ22==。

3、复摆 一个可绕固定水平轴自由摆动的刚体称为复摆，也称为物理摆。

〔1〕系统受力矩 22dt d I I mglM θβθ==-= 〔2〕振动方程 022=+θθImgldt d 〔3〕振动函数 ()00cos ϕωθθ+=t其中，圆频率I mgl =ω，周期mglI T πωπ22==。

四、简谐振动的能量振动物体的动能 ()()02202222sin 21sin 2121ϕωϕωω+=+==t kA t A m mv E k 弹性势能 ()0222cos 2121ϕω+==t kA kx E p总的机械能为 2222121A m kA E E E p k ω==+=一个周期内的平均振动动能和振动势能为 24121kA E E E k p === 振子在振动过程中仅受保守力的作用，所以机械能守恒。

五、简谐振动的合成1、同方向同频率的两个简谐振动的合成，仍为简谐振动()()()ϕωϕωϕω+=+=+=+=t A x x x t A x t A x cos cos cos 21222111上式中()2211221112212221cos cos sin sin cos 2ϕϕϕϕϕϕϕA A A A tg A A A A A ++=-++=〔1〕当() ,2,1,0212=±=-k k πϕϕ时21A A A +=〔2〕当()() ,2,1,01212=+±=-k k πϕϕ时21A A A -=2、同方向、频率相近的两个简谐振动合成后振幅随时间缓慢的周期性变化称之为“拍”。

拍的频率为12ννν-=拍。

3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成一般为椭圆运动，设()()2211cos cos ϕωϕω+=+=t A y t A x则： ()()1221221222212sin cos 2ϕϕϕϕ-=--+A A xy A y A x这是一个椭圆方程，椭圆的方位决定于两分振动的相位差()12ϕϕ-。

〔1〕()πϕϕ或012=-时，为斜向的直线运动，且仍为简谐运动； 〔2〕()23,212ππϕϕ=-时，轨迹呈正椭圆形；〔3〕分振动的相位差为其它的值时〔不包括πππ,23,2,0〕，轨迹为椭圆。

4、相互垂直、频率成整数比的两个简谐振动的合成，它们的合振动为有一定规律的稳定的闭合曲线，这种图形称为李萨如图形。

六、阻尼振动振动系统因受阻尼力作用振幅不断减小的振动称为阻尼振动。

1、系统受力 弹性力： kx f -= 阻尼力： dtdxv f γγ-=-=＇2、阻尼振动方程 dt dxkx dt x d m γ--=22022022=++x dtdx dt x d ωβ 其中，mk=200ω，mγβ=2，0ω为振动系统固有频率，β称为阻尼系数。

3、阻尼振动函数 对于一个振动系统由于阻尼系数β的大小不同，可以分为三种不同的振动状态的解。

〔1〕欠阻尼振动： 当阻尼较小时，即当0ωβ〈，方程的解为()()ϕωβ+=-t e A t x t cos 0式中，220βωω-=为阻尼振动系统的圆频率，0ω为系统的固有圆频率，是由初始条件确定的常数。

β越大，阻尼振动的振幅teA β-0随时间衰减得越快。

〔2〕过阻尼振动： 当阻尼较大，即当0ωβ〉时，方程的解为()t t ec ec t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=20220221ωββωββ〔3〕临界阻尼运动； 当0ωβ=时，方程的解为()()t e t c c t x β-+=21在〔2〕、〔3〕的情况中，21,c c 是由初始条件决定的常数。

这两种阻尼运动不再是周期性的振动。

七、受迫振动与共振1、受迫振动 在外来力的策动下的振动。

〔1〕、系统受力 弹性力：kx -，阻尼力：dtdxγ-，周期性策动力：t F ωcos 0〔2〕、振动方程 t F dt dxkx dt x d m ωγcos 022+--= t h x dtdx dt x d ωωβcos 22022=++ 其中mk=0ω ，m 2γβ=， m F h 0= ；〔3〕、稳态解 ()ϕω+=t A x cos ；〔4〕、特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。

〔a 〕频率 等于策动力的频率ω ； 〔b 〕振幅 ()[]21222224ωβωω+-=hA ；〔c 〕初相2202ωωβωϕ--=arctg2、共振在一定条件下振幅出现极大值的现象。

〔1〕共振频率 2202βωωτ-= 〔2〕共振振幅 222βωβτ-=h A假设0ωβ〈〈，则0ωωτ≈，02βωτh A ≈称尖锐共振。

基本要求1、掌握谐振动的基本特征，学会用牛顿定律建立振动系统的运动微分方程，并判断其是否为谐振动；2、设谐振动的运动方程为()ϕω+=t A x cos ，掌握用已知的初始条件计算振幅A 和初位相ϕ，根据系统的固有性质计算ω，明确振动位移、振幅、初位相、位相、圆频率、频率、周期的物理意义；3、掌握旋转矢量法。

能够借助参考圆确定谐振动方程的初位相、绘制谐振动曲线；能够由已知谐振动的曲线，写出振动方程〔最重要的要能从振动曲线上确定初位相〕；4、了解阻尼振动、受迫振动和共振的特点；5、掌握两个同方向、同频率谐振动的合成规律，以及合振动的振幅极大、极小的条件；6、了解拍现象的物理意义与拍频；7、了解两个互相垂直、同频率和不同频率的谐振动的合成规律。

波 动 学 基 础内容提要一、波动的基本概念1、机械波 机械振动在弹性媒质中的传播。

条件：有波源〔振动物体〕和弹性媒质。

2、横波和纵波 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫横波；两者平行的波叫纵波。

横波与纵波是波动的两个基本类型，各种复杂的波都可以分解为横波与纵波之和。

3、波线与波面 为形象描述起见，自波源沿波的传播方向画一些带箭头的线，叫作波线。

媒质中振动位相相同的点组成的面为同相面或波面。

在某一时刻，最前方的那个波面称为波前或波阵面。

波线与波面相互垂直。

4、平面波和球面波 波面为平面或球面的波。

5、波速〔相速〕u 振动状态〔即相位〕在空间的传播速度称为波速或相速。

它与波动的特性无关，仅决定于传播媒质的性质。

6、波长λ 同一波线上相位相差π2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度它反映了波在空间上的周期性。

7、波的周期T 一个完整波形通过波线上的某一点所需要的时间，它反映波在时间上的周期性。

波的周期性与传播媒质各质元的振动周期相同。

8、波的频率ν 单位时间内通过波线上某点的完整波形的数目，它与媒质质元的振动频率相同。

9、波数k 它的数值等于在π2的长度内所包含的完整波形的个数。

10、波速u 、波长λ、周期T 、频率ν、波数k 之间的关系 ：uuk Tu νπωλπλνλ22,=====11、简谐波 波源和波面上的各质元都做简谐振动的波称为简谐波。

各种复杂的波形都可以看成是由许多不同频率的简谐波的叠加。

12、平面简谐波的波函数 在无吸收的均匀媒质中沿轴传播的平面简谐波的波函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕλπωϕλπϕωx t A x T t A u x t A y 2cos 2cos cos其中，“－”表示波沿x 轴正向传播，“＋”表示沿x 轴负向传播，该式习惯上也称为平面简谐波的波动方程。