2019年全国高考数学·分类汇编 专题19 数列综合(解析版)

专题19数列综合
【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，
1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，11
22
n n b n =-+.
【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．
【命题意图】
考查等差、等比数列的基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列的求和问题. 【命题规律】
数列一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和及裂项相消法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】
1.等差数列的判定与证明的方法：
（1）定义法：1()n n a a d n +-=∈*
N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*
N {}n a 是等差数列；
（2）定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*
N ；
（3）等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*
N 为等差数列；
（4）通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列； （5）前n 项和公式法：2
(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．
注意：
（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 2.等比数列的判定与证明常用的方法：
（1）定义法：1
n n
a q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：2
12(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*
N ⇔数列{}n a 是等比数列．
（3）通项公式法：(0,)
n
n a tq tq n =≠∈*
N ⇔数列{}n a 是等比数列．
（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和n
n S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠. 3.数列求和的常用方法
（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和；
（2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的；
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的；
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；
（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 4.数列与函数综合
（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． （2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．
5.数列与不等式综合
与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．
6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.
1．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()
1
1211n n n n a b a a +++=
--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）1
2n n a -=（2）11121
n n T +=-
-
2．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)数学试题）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是前n 项和且
2651630a a S +==，.
（1）求数列{}n a 通项公式； （2）若数列{}n b 满足1
4
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）1
n n
T n =+.
3．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和．
【答案】（1）21,3n
n n a n b =+=；（2）(
)331(2)2
n n n -++.
4．【重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次)4月二诊数学试题卷】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前3项和39S =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =-；（2）(23)23n
n T n =-⋅+.
5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知数列{}n a 是公比为q 的正项等比数列，
{}n b 是公差d 为负数的等差数列，满足
231
11d
a a a -=，12321
b b b ++=，123315b b b =. （1）求数列{}n a 的公比q 与数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前10项和10S . 【答案】（1）1
1122
n q b n ==-，；（2）1050S =.
6．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)数学试题】数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141
n n b a =
-，求数列{}n b 的前n 项和.
【答案】（1）2
n a n =；（2）21
n n
T n =
+. 7．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ． 【答案】（1）2n
n a =或()2n
n a =--；（2）12.
8．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】已知等差数列{}n a 中，
374616,0a a a a =-+=， （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S .
【答案】（1）210n a n =-或210n a n =-+；（2）(9)n S n n =-或(9)n S n n =--.
9．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】已知等差数列{}n a 是递增数列，且140a a +=，
231a a =-．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4
3
n a n b +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得1n n T b λ+-为定值？若存在，求出λ的值；
若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25n a n =-；（2）8.
10．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测数学试题】记公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
12a =，4a 是2a 与8a 的等比中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n a n =；（2）1
n n T n =+.。