定积分的性质[1]
定积分的性质
第五章第三讲、定积分的性质我们列举一些定积分的性质如下：性质 3.1. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积（记着 f (x)∈R[a,b]），k 为常数。
则有∫∫b bk f (x)d x =k f (x)d xa a证明：略性质3.2. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积，则 f (x)±g(x) 也在区间[a,b] 上可积并且有∫∫∫b b b[ f (x) ±g(x)]d x = f (x) d x ±g(x) d x aa a证明：由定理2.2 可知 f (x)±g(x) 在区间[a,b]上可积，于是按照定积分的定义，我们有左端n=∑±lim [ ( ) ( )]f ξg ξ∆xi i iT →0i=1n n∑∑=+lim ( ) ( )f ξ∆xg ξ∆xi i i iT →0i=1 i=1n n=∑±∑lim ( ) lim ( )f ξ∆xg ξ∆xi i i iT →0 T →0i=1 i=1=右端证毕。
性质3.3. 设函数 f (x) ，区间[α,β]上可积，a,b,c∈[α,β]。
则有∫∫∫b c bf (x) d x = f (x) d x + f (x) d x aa c证明：不妨假设，a,b,c 两两不等（它们中至少有两个相等时，结果显然成立）。
若a <c<b，因 f (x) 在区间[a,b]上可积，所以在分割区间时, 可以永远取c 为分点，于是证毕。
性质3.4. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积.若 f (x)≥ 0 ，则∫baf (x) d x ≥0.证明：对于任意分割，所选择的积分和均非负，即n∑i=1f (ξ)∆x≥ 0i i于是nb=∑∆≥∫。
证毕。
f (x)d x lim f (ξ) x 0i ia T →0i=1推论 3.1. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积。
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的基本性质
������
������(������)在闭区间[������, ������]上的平均值为
������ ������ ������
������
������ ������ ������
������ ������
������
−
������
න
������
������(������)������������
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 反常积分 §7.6 定积分的应用
7.2 定积分的基本性质
一 知识讲解
性质1：定积分的值与积分变量用什么符号表示无关
b
b
b
a f ( x)dx = a f (t)dt = a f (u)du
t sin
3
f
(t)dt .
x→+ x
t
解 由积分中值定理知 [ x, x + 2]
使
x+2 t sin 3
x
t
f (t)dt
b
b
a 1dx = a dx = b − a
������ ������
性质7：如果在区间 [a, b]上, f ( x) g( x) ，则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
������ ������
二 例题演练
例一
比较大小:
(1). 2 x2dx, 1 2
(2).1 ln xdx,
s1
������ ������
第1,2节定积分的概念与性质
3. 由定义:
1 a bf(x )d x b af(x )d x有 向 性
a a
f (x)dx 0
2a b1d xba(积 分 值 = 区 间 长 ） .
10
例1 利用定义计算定积分 1 x 2 dx . 0
解每 取 右 个 将 端 小 [ 点 区 0 ,1 间 ] in 的 等 n 长 i分 ， 度 ， (均 i分 为 点 1n 1 ,为 2,， x i, nn )i， 1(iy 1 ,y2 , x 2,n )
思路： 被积函数求最值.
证
设
f(x)
x， x2 1
则
f
(x)
1x2 (x2 1)2
0,
1x2
即 f (x) 单调下降，
所以
2
fmi
n
f(2) , 5
1 fmax f (1) 2 ,
即 2 f(x) 1 ,
5
2
于 是2 2 x dx1。 5 1x21 2
22
例3 估 计 积 分 4 2sxin xdx的 值 .
a
a
c
abc 由 定 义
c
b
c
f(x)d x f(x)d x f(x)d x
a
a
b
b
c
c
af(x )d xaf(x )d x bf(x )d x
有 向 性 c
b
====a f(x)dxc f(x)dx.
c a b 时 同 理 可 证 . 证毕.
a
a
a
即 ： bf(x)dxM(ba)，同 理 可 证 ： m (ba)bf(x)dx.
a
a
定积分概念与性质
一.定积分的换元积分法
f [ 设 定理： （1） 函 数 ( x )在 区 间a , b]上 连 续 ；
（2）函数 (t )在区间 , ]上是单值的 x [
且有连续的导数 ;
（3）当t在区间 , （或 , ]）上变化时， [ ] [
x (t )的值在a, b]变化， [
2 2 2 故 最大值 M f ( ) , 最小值 m f ( ) 4 2
即
1 2
2 sin x dx x 4
2 2
定积分与原函数的关系
一.变上限的定积分及其导数
设函数 ( x )在区间a, b]上连续， f [
取x [a, b], 现在考察变上限的定积 分，
1 2
( 2)
( 3) 计算正弦曲线 sin x在[0, ]上与x轴 y
所围成的平面图形的面 积
y sin x
2
dx ln x x
l n2
解:
s si n xdx cos x
0
0
0
[(cos ) cos0] 2
第四节
定积分的换元积分法与分布积分法
0
3 求和
0
i 21 Ai ( ) n n i 1 i 1
n
2
n
1 n
3
(1 2 3 n )
2 2
1 n( n 1)(2n 1) 3 6 nn l 4 0 取 极 限 i m f ( i )x i 0
i 1
1 n(n 1)(2n 1) 1 lim 3 n n 6 3 1 1 2 即 x dx 0 3
定积分的性质中值定理
VS
详细描述
设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指，对于任意两个子区间[a, c]和[c, b]，其上的积分值等于整个区间[a, b]上的积分值。
详细描述
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则对于任意c∈[a,b]，有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx。
重要性及应用领域
在微积分学中，定积分的性质中值定理是理解积分概念和性质的关键，它为解决定积分问题提供了一 种有效的方法。
在应用领域，定积分的性质中值定理广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如在计算面积、 解决物理问题、预测经济趋势等方面都有重要的应用。
02 定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指，对于两个函数 的积分和或差，其积分值等于各自积分 值的和或差。
可以用来研究函数的单调性、极值等问题， 并且在解决一些复杂的数学问题时也很有用。
04 定积分与中值定理的关系
定积分与连续函数的关系
01
定积分是研究连续函数的一种工具，它能够计算连 续函数在一定区间上的积分值。
02
连续函数在一定区间上的定积分等于该函数在区间 端点上取值的差与该区间长度乘积的一半。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它说 明了一个函数在开区间上可导时，其导函数在区间内 至少存在一个中值点。
详细描述
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日提出的，定 理表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在 开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一 点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理说明了函数 在某区间的变化率与该区间两端函数值之差成正比，这 在研究函数的单调性、极值等问题时非常有用。
定积分性质与运算法则
定积分性质与运算法则引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
定积分可以用来计算曲线所包围的面积、求某一区间上函数的平均值等。
为了更好地理解和应用定积分，我们需要了解定积分的性质和运算法则。
定积分性质定积分的存在性定积分的存在性是指，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在[a, b]上连续或者仅有有限个间断点，那么这个函数在[a, b]上就是可积的。
也就是说，函数f(x)在[a, b]上的定积分是存在的。
定积分的线性性质定积分具有线性性质，即对于两个可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数c，有如下等式成立：∫(c1f(x) + c2g(x)) dx = c1∫f(x) dx + c2∫g(x) dx其中，c1和c2是任意实数。
定积分的加法法则对于一个可积函数f(x)，以及给定的区间[a, b]和[c, d]，有如下等式成立：∫(a到b) f(x) dx + ∫(b到c) f(x) dx = ∫(a到c) f(x) dx这说明，对于一个函数在不同的区间上的定积分，我们可以通过将这些区间连在一起进行求解，得到整个区间上的定积分。
定积分的比较性质对于两个可积函数f(x)和g(x)，如果在[a, b]上满足f(x) ≤ g(x)，那么有如下不等式成立：∫(a到b) f(x) dx ≤ ∫(a到b) g(x) dx也就是说，如果在某个区间上一个函数始终小于等于另一个函数，那么这两个函数在该区间上的定积分的大小关系也是相同的。
定积分的运算法则分部积分法分部积分法是一种计算定积分的方法，它可以将一个乘积形式的积分转化为一个易于处理的形式。
分部积分法的公式如下：∫u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u’(x) dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
代换法代换法是另一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量来简化积分的计算。
代换法的公式如下：∫f(u(x)) u’(x) dx = ∫f(u) du其中，u是一个可导函数。
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
6-1定积分的概念与性质
y
在区间[a, b]上至少存在
一个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
定积分中值定理的证明
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a)
m
1 b
a
b
a
f
( x)dx
使
x2
x t sin
3 t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
x2
lim t sin
x x
3 t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割
化整为零
近似
以直代曲
求和
积零为整
取极限
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
定积分性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 b a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
积分中值公式的几何解释：
(a b)
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
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☆定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1 abdxba1
性质2 babadxxfkdxxkf)()( （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3 1212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx （定积分的线性性质）
性质4 ()()()(bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
1212[()()()]()()()bbbbmm
aaaa
fxfxfxdxfxdxfxdxfx
②推广:
12
1()()()()k
bccb
aacc
fxdxfxdxfxdxfxdx
③性质解释：
P
C
N
M
B
A
abOyx
y=1
y
xOba
计算下列定积分。
（1）34|2|xdx （2）1211edxx
定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积
的差得到。
性质1
性质4
AMNBAMPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.
例2．计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S.
．
巩固练习 求直线32xy与抛物线2xy所围成的图形面积。
2
xy
yx
A
B
C
D
O
x B ( 4,4 ) (1,2)A0
y
C
(2,0 )
例3.求曲线],[sin320xxy 与直线,,320xxx轴所围成的图形面积。
例4.求由抛物线342xxy及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
例5.求由24yx与直线24yx所围成图形的面积
x
y
o
y=－x2+4x-3
导数提高训练
例1. 设函数3()3(0)fxxaxba.
（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，求,ab的值；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间与极值点.
例2.已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数fx的单调区间；
（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。
例3．已知函数,2)(23xaxxxf Ra
(1)若)(xf在1,0上是减函数，求a的最大值；
(2)若)(xf的单调递减区间是1,31，求函数y=)(xf图像在点1,1的切线与两坐标轴围
成图形的面积。