等腰梯形的性质
合集下载
等腰梯形角的特点_概述及解释说明
等腰梯形角的特点概述及解释说明1. 引言1.1 概述等腰梯形是一种具有特殊性质的四边形，其两个非平行边长度相等。
在几何学中，等腰梯形是一个重要的研究对象，它具有许多特点和应用。
了解等腰梯形角的特点对于我们理解几何学的基本原理以及在实际问题中的应用具有重要意义。
1.2 文章结构本文将从概述、定义和分类、特点的解释说明以及应用场景等方面进行论述。
首先将简要介绍什么是等腰梯形以及它的性质，然后详细讲解等腰梯形角的大小关系、几何解释以及与其他角度的关系。
接着，我们将通过实例分析等腰梯形角在建筑工程、几何推导和图像处理中的应用场景。
最后对文章进行总结并展望未来等腰三角形研究的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍等腰梯形角的特点，并探讨其在实际应用中所起到的重要作用。
通过对等腰梯形角进行深入剖析，读者将更好地理解等腰梯形的性质和几何运算规律，从而为解决实际问题提供有益的参考和思路。
同时，本文还将展望未来等腰三角形研究的发展方向，为相关领域的学术研究提供一些启示和指导。
2. 等腰梯形角的特点2.1 什么是等腰梯形等腰梯形是一种四边形，其两组相邻边平行且非等长，且对角线不相交。
具体而言，顶底两边平行，而侧边则不平行。
此外，它还满足两组对应线段等长的条件。
2.2 等腰梯形的性质等腰梯形具有以下几个性质：- 对角线互相垂直：等腰梯形的对角线彼此垂直。
即通过连接边中点的对角线互相垂直。
- 中位线平行：连接等腰梯形两组相邻边中点的中位线是平行于底边和顶边的。
- 高度相等：通过顶点与底边垂直连接得到的高度长度在同一个等腰梯形中是相等的。
2.3 等腰梯形角的分类及定义根据其位置和性质，等腰梯形可以分为以下几种类型：- 顶角（顶部内角）：位于顶部内侧，由两条非平行边之间所夹成。
- 底角（底部内角）：位于底部内侧，由两条非平行边之间所夹成。
- 外角：位于顶部外侧或底部外侧，由一条内边与其相邻的一条外边之间所夹成。
这些角度拥有各自的定义和特点，并且在等腰梯形的性质理解和解决问题过程中起到重要的作用。
【数学课件】等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
课后习题
延长梯形的两交于一点，得到两个三 角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯 形两底为底的等腰三角形。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
延长梯形的两交于一点，得到两个三 角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯 形两底为底的等腰三角形。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
等腰梯形的对角线性质
等腰梯形的对角线性质
等腰梯形，又称“等斜梯形”，是一种几何形状，由两个平行边和两个斜边相连接而成。
它的定义是：两边相等，两角相等，两边间有一条斜边（连接两角）。
因为其特殊的形状，等腰梯形的对角线性质也非常有趣。
首先，等腰梯形的对角线性质是平分线性质。
两个对角线在等腰梯形中交叉，并将梯形图形分成四个等份。
因此，两条对角线平分了梯形，它们带有平分线性质。
其次，等腰梯形的对角线性质是互相垂直。
自然，两条对角线彼此垂直，它们彼此垂直地将梯形图形分成四个等份。
此外，等腰梯形还具有对称性质。
它的对称性体现在两个对角线上，因为这两条对角线交叉时，分别可以垂直地将梯形分成两个斜角相等的半部分，因此它具有对称性质。
最后，等腰梯形的对角线性质是等边直角三角形性质。
这是因为当把等腰梯形图形分割成两个相等的半部分时，会将梯形图形分成两个等边直角三角形，因此它具有等边直角三角形性质。
综上所述，等腰梯形的对角线性质是平分线性质、互相垂直性质、对称性质和等边直角三角形性质。
这些性质对研究几何形状和设计图形的布局都是有帮助的。
比如，可以利用它们来设计一个等腰梯形，或是在研究几何形状结构时，能够更好地识别其等腰梯形的特点。
从上面可以看出，等腰梯形的对角线性质不仅是几何形状中的重要特征，也是几何研究和设计图形的重要参考。
因此，熟悉等腰梯形
的对角线性质，对于深入了解几何形状，以及设计各种几何形状的图形都是非常有用的。
等腰梯形的性质
A
HD
如图7， 延长等腰梯形的两腰 相交于点E，
由∠B=∠C，AD∥BC，可知
△EBC和△EAD都是等腰三角形。
B
图7 F
C 因此从点E作两底的垂线必平分两 底。根据等腰三角形是轴对称图形，
可得等腰梯形也是轴对称图形。过
这也是研究梯形常用的
两底中点的直线是它的对称轴。
辅助线作法，即延长梯
形的两腰交于一点，得
∴ ∠DEC=∠B
∴ ∠B=∠C
等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
A
D
已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC。
BE
F
图6
求证：∠B=∠C 。
C 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC ， 垂
足分别为E、F ∴AE∥DF，∠AEB= ∠DFC=900 ∵ AD∥BC
梯形的性质
上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?
两组对边分别平行
四边形 只有一组对边平行
平行四边形 梯形
一、梯形 1、梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平 行的四边形叫做梯形。
梯形
平行四边形
底角 上底
认识梯
腰高
腰
形
下底 底角
一组对边平行,另一组对边 不平行的四边形,叫做梯形。
2、梯形的有关概念：
2.等腰梯形有哪些性质？.
１）等腰梯形的一组对边平行，两腰相等。 ２）等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。
３）等腰梯形为轴对称图形，对称轴是连接两底中 心的直线。
3.今天我们在研究梯形问题时，用了哪些方法将梯形问 题转化为其他图形问题？ 常用方法有平移一腰、作两高线、延长两腰。
等腰梯形的性质与判定
直角梯形
A
DBC来自（1）定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。 （2）定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 （3）定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。
A A D B B
图1
D
C
图2
C
一组对边平行而
四边形
等腰梯形
梯形
另一组对边不平行
直角梯形
二、等腰梯形的性质 (1)两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD (2)同底上两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C (3)对角线相等 AC=BD B A D
C
(4)是轴对称图形
证明：等腰梯形同一底上两个角相等
C
等腰梯形的判定方法
1、定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。
2、定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 3、定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
已知：如图， 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 证明：如图，过点D作DE//AB，交BC于点E，则 ∠1=∠B. ∵AD//BC, DE//AB. ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE(平行四边形对边相等). ∵ ∠B =∠C ∴∠1=∠C ∴DE=DC（等角对等边） ∴ AB=DC（等量代换） ∴梯形ABCD是等腰梯形
D
B
E
F
C
辅助线：作高
E
证明3：延长BA，CD相交点E. ∵ ∠B =∠C ∴ BE=CE(等角对等边) ∴ ∠1 =∠B, ∠2 =∠C (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠1 =∠2 （等量代换） ∴ AE=DE(等角对等边) ∴ BE -AE=DE-CE 即AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
八年级数学等腰梯形的性质2
斯就是遥远的北方的一个国家。他在那里执行任务，但是因为你家祖先在那里不适应气候，很快就病倒了。病了还不算可怜，可怜的是他 因为只懂我们现在说的中原话，不会讲也听不懂那边的俄语，就没有办法和当地人进行交流，也没有办法买药治病。于是病就一直没有好 转。傅元甲老前辈也不能一直因为生病而不去完成任务，于是他就带病继续奔波。”说了这么一大段，先喝一口茶水。边喝边瞅了一下那 两妞，发现她们已经开始根据我的牛皮在自己脑中飞速的想象着情节发展，那傻傻的听书人的表情真逗。“咳咳，我继续说。傅老前辈一 路向北的走着，在一间名叫九龙冰室的客栈停了下了，因为他实在太累了，而且还带病在身，即使再能打也只是空有一身武术。他刚走进 客栈，就遇到了有几个本地人在闹事，客栈老板是个女子，名字好像叫伊莎贝拉。当时店里的小二都被闹事的人打伤了，他们还打算欺负 客栈的女主子。傅老前辈当然抱打不平，上前去教训了那些闹事的人渣！”我越讲越激动，连忙又喝了几口水。“闹事的人也不是无名小 辈，他们也有相当的功夫，傅老前辈虽然身怀中原绝世武术，但是面对俄罗斯的奇特功夫，再加上他有恙在身，勉强只能招架着。这时候， 门外突然杀进来一男子，三下五除二就把贼人给打倒了。但是由于傅老前辈带病出战，动了真气，加之被贼人武功所伤，也最后支撑不住 倒了下去。”缓一会儿吧，说的好累。“然后呢？然后呢？”大和小琴迫不及待地向我问来。“然后啊，就是”没等我继续接着吹牛皮吹 下去，门外突然闯进一个人来。我乍眼一看，居然是翠大娘。翠大娘来得匆匆，也不看我在那里坐着喝茶，就往大那走去，关心地问道， “您没事吧？刚听到您大声叫唤，是怎么了吗？”什么？！刚听到？我讲书都讲了一大段了，你这才来，还装着时事发之后第一时间冲过 来的？你也太会演戏了吧，翠大娘！我心中有无限的鄙视了这个丫环主管。大貌似听我讲故事听得很来趣，一时被翠大娘打断了，明显有 点不高兴。但是翠大娘毕竟是自己的长辈，也不好不回她。“翠大娘，让你担心了。我只是不小心磕了一下，现在已经好了。”咦！想不 到大帮我瞒着事情的真相，看来大已经在偏袒我了。可能是想把故事给听完吧。听完大的说词之后，翠大娘把目光投向我这，蓦地发现我 坐着并且在悠闲地喝着茶，顿时气不打一处来，对我吼道，“是谁叫你坐下来的？谁叫你用这里的杯子喝茶的？”我一听，知道出事了， 连忙站起来，弓着身子退到门角处等着被骂。翠大娘刚想破口大骂，谁知道外头传来呼唤声，翠大娘应了一声之后，回头对我说，“把你 留在这里肯定会跟我们添麻烦，你跟我出来。”说罢，转身就走出去了。我也伸了伸身子，准备跟着
等腰梯形的性质
∴AE=DF 在Rt△ABE和Rt△DCF中 ì AE = DF ï ï í ï ï î AB = DC ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF ∴ ∠B=∠C
等腰梯形的性质:
边：等腰梯形两底平行，两条腰相等。 角：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
A D
符号语言：
∵ ABCD中,AD∥BC, AB=DC, ∵在梯形 在等腰梯形 ABCD中,AD∥BC,
C
A O B
D
等腰梯形的性质证明
等腰梯形的性质:
边：等腰梯形两底平行，两腰相等。 角：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。 对角线：等腰梯形的两条对角线相等。
∵在梯形ABCD中,AD∥BC, AB=DC ∴AC=DB.
A
D
B
C
1、等腰梯形ABCD中， AD∥BC，O为对角线的 交点，且AC ⊥BD，则∠OBC=______ 45°
等腰梯形的性质证明： A D
已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC。 求证：∠B=∠C 。
B
E
图6
F
C
证明：作AE⊥BC，DF⊥BC ， 垂足分别为E、F ∴∠AEB= ∠DFC=900 又∵ AD∥BC
这也是研究梯形 时常用的辅助线作法， 即从同一底的两端作 另一底的垂线段，它 可把梯形分成一个矩 形和两个直角三角形 （如果是等腰梯形， 所得到的两个直角三 角形全等）。
B
C
一、等腰梯形的性质 边 角 等腰梯形两底平行，两腰相等。 等腰梯形同一底边上的两个内角相等。
对角线
对称性
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形是轴对称图形。
二、梯形问题中经常用到的辅助线:
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC=BC+AD，求∠ACB的度数。
等腰梯形的性质课件 新人教版八年级下
在梯形ABCD中，AD//BC，
∵ AB=DC
∴ ∠ ABC= ∠ DCB
（等腰梯形在同一底上的两角相
A
D
等）
AC=DB（等腰梯形的对角线
相等)
B
C
小 结:
一、等腰梯形的性质: 等腰梯形 等腰梯形 等腰梯形 等腰梯形是
相等 相等 相等 图形
二、解决梯形问题的基本思路和方法：
通过添加适当的辅助线，把梯形问题转
化为
与
问题来解决。
三、等腰梯形常用辅助线的作法:
A
D
A
D
1
B
E
C BE
FC
执 教： 金南中学 蔡书祥
制 作： 金南中学数学组 荣
孙孝
金南中学欢迎你
课堂练习
练习三:
求证:等腰梯形的两条对角线相等.
已知：梯形ABCD中，AD//BC，
AB=DC
A
D
求证：AC=BD
证明：
∵ AB=DC（已知）
B
C
∴ ∠ ABC= ∠ DCB
（等腰梯形在同一底上的两个底角相 等）
∵ 1:等腰梯形在同一底上的两角相等 性质2:等腰梯形的对角线相等
等腰梯形及其性质
A
D
B
C
例1：如图:延长等腰梯形ABCD的两腰BA和CD， 相交于点E.求证:△EBC和△EAD都是等腰三角形. E 证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠B＝∠C(等腰梯形同一底边上的两角相等) ∴△EBC是等腰三角形. ∵AD∥BC， 1 ∴∠1=∠B A ∠2=∠C ∴∠1＝∠2. ∴△EAD是等腰三角形.
C
如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形 镶嵌而成的地砖，则这块地砖中的等腰梯形的底 60 度 角（指锐角）是
拓展与探究
D C
证明：∵CE∥BD, DC∥BE O ∴四边形DBEC为平行四边形. ∴ CE＝BD E A ∵ 在梯形ABCD中 B AB∥CD，AD=BC 请判断△ACE的形状，并说明你的理由。 ∴ AC=BD ∴ AC=CE ∴ △ACE是等腰三角形
求CH的长.
拓展与探究
D O C
5
H B
A
7
3
E
（1）请判断△ACE的形状，并说明你的理由. （2）若AC⊥BD，则△ACE是 等腰直角 三角形. （3）过点C作CH⊥AB于H，若DC=3cm，AB=7cm,
求CH的长.
（4）在（3）的条件下，求梯形ABCD的面积.
E
A B
D O A
D
C B
C
A
A D
B
C
一等腰梯形的腰长为13cm，两底差为10cm，则其 高为（ B ） （A）69cm （B）12cm （C）144cm （D）25cm
A D A D
13cm
B
5cm
E
F
5cm
C
B
E
F
C
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=AB=DC,对角线 BD⊥DC,则∠A= 120 度.
1.4等腰梯形的性质和判定
B
C
B
E
C B E
F C
性质定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 证明定理2： 已知：梯形ABCD中，AD∥BC. 求证：AC=BD.
A D
思路1：转化方向——全等三角形．
B
思路2：转化方向——平行四边形．
C
A
DБайду номын сангаас
A
D
B
C
B
C
例题1：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长 线上一点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形 中 （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角 形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
学有所获
转化
新问题
老问题
等腰梯形
转化
三角形或特 殊四边形
1.4 等腰梯形的性质和判定
1．等腰梯形概念： 有两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2．等腰梯形的判定： (1)定义(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰 梯形。 3．等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底上的两个角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。
证明：在同一底上的两个角相等的梯形是等 腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片 中， ， ， ，将纸片沿过点D的直线折 叠，使点A落在CD边上的E点处，折痕为DF．连接EF并展开纸 片． （1）求证：四边形ADEF是正方形； （2）取线段AF的中点G，连接EG，如果 ，试说明 四边形GBCE是等腰梯形．