《应用微积分》2.7极限与连续
应用高等数学(经管类) 第2章 极限与连续
2.4 函数的连续性
第2章 极限与连续
2.4.1 自变量的增量
定义2-7 【自变量的增量】 设自变量x 从初值x0 变化到终值x0+Δx, 终值与初值的差是Δx,记为自变量x 的增量.
注意：增量Δx 可以是正的,也可以是负的.当增量Δx 为正时,自变量x 从x0 变化到x0+Δx 是增大的;当Δx 为负时,x 从x0 变化到x0+Δx 是减小的.
极限思想的完善
达朗贝尔等人； 捷克数学家波尔查诺, 法国数学家柯西，维 尔斯特拉斯。
第2章 极限与连续
2.1.1 极限思想概述
2.建立概念的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析 中的几乎所有的概念都离不开极限。
3.解决问题的极限思想 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.3.2 计算极限的基本方法
第2章 极限与连续
2.1.2 数列的极限
定义2-1 【数列{an}的极限】 对于数列{an},当n无限增大(即n→∞) 时,通项an无限趋近于某一个确定的常数A,则称A 为n→∞时数列{an}的 极限,或称数列{an}收敛于A.记作
第2章 极限与连续
2.1.2 数列的极限
第2章 极限与连续
2.1.2 数列的极限
2.5.1 计息方式
函数的极限与连续性的应用
函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性是微积分中的重要概念，其应用范围十分广泛。
在数学、物理学、经济学等领域中，函数的极限与连续性都扮演着重要的角色。
本文将探讨函数的极限与连续性在实际问题中的应用，并通过具体案例进行说明。
一、函数的极限的应用1.1 最速上升问题在物理学中，最速上升问题是研究一物体沿着某一曲线上升到最高点的时间问题。
假设物体在直角坐标系中的路径由函数y=f(x)表示，其中x表示时间，y表示高度。
那么，我们可以通过求解该函数在最高点的极限值来得到物体上升到最高点所需的最短时间。
举个例子，假设物体在x轴上，沿直线路径上升到某一高度h，函数表达式为y=mx。
我们可以通过求解函数f(x)=mx的极限值，来计算物体上升到高度h所需的最短时间。
1.2 泰勒级数展开泰勒级数展开是一种通过无限次求导来表示函数的方法。
通过函数的极限，我们可以对函数进行泰勒级数展开，从而近似得到函数的值。
这在数值计算和近似计算中十分常见。
举个例子，我们可以通过对指数函数f(x)=e^x进行泰勒级数展开，得到e的近似值。
通过不断增加级数的项数，我们可以得到更精确的近似值。
二、函数的连续性的应用2.1 中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一，它应用广泛。
中值定理通过函数在一个区间内连续和可导的条件，得出函数在该区间内必然存在一点，使得函数在该点的导数等于函数在整个区间的平均变化率。
中值定理在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
比如，利用中值定理我们可以证明某些问题的存在性，例如某一时刻电梯一定存在停在水平位置的状态。
还可以通过中值定理来推导出实用的数学不等式，如柯西-施瓦茨不等式和拉格朗日中值定理等。
2.2 非线性函数的逼近对于非线性函数，我们通常很难直接求解其解析解。
而通过函数的连续性和逼近原理，我们可以使用线性或多项式函数来逼近非线性函数，从而在计算和模拟中得到近似解。
一个经典的例子是利用泰勒级数对非线性方程进行逼近。
微积分教学课件第2章极限与连续第5节极限存在性定理与两个重要极限
2. lim(1 1 )n e
n
n
16
lim(1 1 )n e
n
n
记
un
(1
1 )n n
，先证明 {un }
单调增加:
u1 2 ,
u2
( 3)2 2
9 4
2
u1
,
当n 2时,
un
(1
1 )n n
1
C
1 n
1 n
C
2 n
1 n2
Cn3
1 n3
C
n n
1 nn
2
1 2!
n(n n2
1)
n2 n
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x) f ( x) h( x)
且有 lim g( x) lim h( x) A ，
x x0
x x0
则极限 lim f ( x) 存在，且也等于 A. x x0
证略.
3
如果数列 un满足条件 x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
解 当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 ,
2
原式
lim
x0
x2 2x2
1. 2
x sin x ~ x2.
例6 求极限 lim tan 2 2x . x0 1 cos x
解 当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan2x ~ 2x. 2
原式
(2x)2
lim
x0
1
/
1 3!
n(n
1)( n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn
函数极限与连续性
函数极限与连续性函数极限和连续性是微积分中的重要概念，它们对于理解函数的性质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。
本文将从理论和实际的角度来讨论函数极限和连续性的概念及其应用。
1. 函数极限函数极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也趋近于某一确定值的现象。
这一概念主要用于研究函数在某一点的局部性质。
数学上通常用极限符号来表示函数的极限，例如:lim (x->a) f(x) = L其中，lim表示当x趋近于a时的极限，f(x)表示函数f在x点的取值，L表示函数极限的确定值。
在计算函数的极限时，可以利用一系列的极限性质和运算法则来简化问题。
例如，当函数分母为无穷大或分子分母次数相等时，可以利用洛必达法则来求解函数的极限。
2. 函数连续性函数连续性是指函数在其定义域内的任意一点处都存在极限，且极限值等于函数在该点的取值。
换句话说，函数连续性要求函数图像在整个定义域内没有任何的突变或间断。
函数连续性是微积分中最基础的性质之一，它为导数和积分提供了基础。
根据函数在某点的连续性，可以将函数的定义域划分为若干个区间，使得在每个区间内函数满足一致性的性质。
3. 函数极限与连续性的应用函数极限和连续性在实际问题的建模和求解中具有重要的作用。
以下是一些应用的例子：3.1. 求解导数根据函数的连续性和极限的定义，可以利用导数的定义求解函数在某一点的斜率。
导数是函数极限的一种表示方式，通过求解函数的导数，可以研究函数的变化趋势和最值问题。
3.2. 优化问题在经济学、物理学和工程学等领域，经常会遇到最优化问题。
通过研究函数的极限和连续性，可以建立数学模型，求解最优化问题。
3.3. 系统稳定性分析在控制理论中，系统的稳定性是一个重要的概念。
通过研究函数的极限和连续性，可以判断系统的稳定性，并进行合理的控制设计。
4. 结论函数极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解函数的性质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。
函数的极限与连续性的综合应用
函数的极限与连续性的综合应用函数的极限与连续性是微积分学中的重要概念，它们在解决各类实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个方面介绍函数的极限与连续性的综合应用，涵盖数理经济学、物理学和工程学等领域。
1. 函数的极限与最优化问题在数理经济学中，函数的极限与连续性经常用于解决最优化问题。
例如，假设有一个生产函数表示某种商品的生产成本和产量之间的关系。
通过求解生产函数的极限，可以确定生产成本在何时达到最小值，从而实现成本最小化的目标。
2. 函数的极限与物理学问题在物理学中，函数的极限与连续性也有广泛的应用。
例如，考虑一个速度随时间变化的物体。
通过求解速度函数的极限，可以确定物体在何时达到最大速度或最大加速度，从而帮助研究物体的运动状态。
3. 函数的连续性与工程问题在工程学中，函数的连续性是设计和优化工程系统的重要条件。
例如，在建筑结构设计中，通过考虑结构受力点的连续性，可以确保结构的稳定性和安全性。
在电路设计中，连续性条件可以保证电流的平稳传输，避免出现电路中断或电压过高的问题。
4. 函数的极限与连续性与数据分析在数据分析领域，函数的极限与连续性可以帮助研究样本数据的趋势和规律。
例如，通过对某种物质在不同温度下的溶解度进行实验，并建立溶解度随温度变化的函数模型，可以通过对函数的极限和连续性的分析，预测该物质在其他温度下的溶解度。
综上所述，函数的极限与连续性在实际问题的求解中起到了重要的作用。
无论是在数理经济学、物理学、工程学还是数据分析等领域，运用函数的极限与连续性的原理和方法，可以更好地理解和解决各类问题。
因此，深入学习和理解函数的极限与连续性是提高解决实际问题能力的关键一步。
微积分中的极限定理及其应用
微积分中的极限定理及其应用微积分是数学的基础课程，它学习的内容主要涉及函数、极限、导数、积分等方面。
在微积分中，极限是重要的基本概念之一。
极限的定义是：当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个数，这个数就是函数在该点的极限。
在微积分中，极限定理有很多应用，接下来我们将用一些例子详细解释。
一、连续性与极限连续性是微积分中的一个重要概念。
一个函数在某点连续，就是说在这个点不会有断点、跳跃点和奇点等不良表现。
而一个函数在某个点不连续，就是指函数在这个点处的极限不存在或者不等于函数在该点的取值。
对于连续函数，可以用极限定理求出该函数在某点的极限。
例如，函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x = 1$的极限为1。
我们可以使用极限的代数运算法则，得到以下结果：$$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \sqrt{x} = \lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{1}{\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x}}} = \frac{1}{1} = 1 $$在本例中，我们使用了极限的代数运算法则，其中第二步是因为$1/\sqrt{x}$在$x=1$处的极限等于1，所以可以这样改写。
最后一个等式是因为$1/1=1$。
因此，$f(x) = \sqrt{x}$在$x = 1$处的极限是1。
二、利用极限定理求导数微积分中另一个重要的任务就是求函数的斜率，也就是导数。
利用极限定理，我们可以求出函数在某一点的导数。
例如，考虑一条曲线$y = x^2$。
我们可以通过极限定理求出这个函数在$x = a$处的导数。
以下是步骤：$$ \begin{aligned} f'(a) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{2ah +h^2}{h} \\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0} (2a + h) \\ &= 2a\end{aligned} $$这里我们代入函数$y=x^2$，以及导数的定义式，把极限转换为实数。
函数的极限与连续性的证明与应用
函数的极限与连续性的证明与应用函数的极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的证明及其在实际应用中的作用。
一、函数的极限证明1.1 函数极限的定义在进行函数的极限证明之前，我们首先需要了解函数极限的定义。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义。
如果对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，恒有|f(x) - L| < ε成立，其中L是常数，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的证明方法函数极限的证明有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
（1）ε-δ证明法这是一种常用的函数极限证明方法。
根据定义中的ε和δ，我们可以通过构造合适的δ值，来证明函数的极限。
（2）夹逼定理当无法直接使用ε-δ证明法时，可以尝试使用夹逼定理进行函数的极限证明。
夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数的大小关系来确定函数的极限。
二、函数的连续性证明2.1 函数连续性的定义函数连续性是指函数在区间上不存在跳跃、断裂或间断的情况。
具体来说，如果函数f(x)在某个点a的左极限等于右极限，且等于函数在点a处的函数值，即lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗，则称函数f(x)在点a 处连续。
2.2 函数连续性的证明方法函数连续性的证明可以借助于函数极限的证明方法，以下是一些常见的函数连续性证明方法。
（1）利用函数的有界性如果一个函数在[a, b]区间上有界且存在两个点c、d属于[a, b]，满足f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)，则可以证明函数在[a, b]上连续。
（2）用函数极限的性质证明函数的连续性如果函数f(x)在点a处的函数极限存在，那么可以将函数f(x)的连续性证明归结为证明lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗。
三、函数极限与连续性的应用3.1 在导数计算中的应用函数的极限和连续性是导数计算的基础。
微积分第二章极限与连续
无限趋近于常数A, 则称常数A为当 的极限. 记作: lim f ( x ) A, 或 x 注意
x 时，函数 f ( x)
f ( x) A (x ).
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A,
x x x
从函数极限与左、右极 限的定义，能够得出以 下结论：
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0
calculus
例4：
x2 2x 3 设f ( x) x 2x 2
x 1
x 1 1 x 2 x2
1
·
0
· 1
x
n 数列{2n}、数列 n sin 即1, 0, 3, 0,5, 0, 7， 2 当n无限增大时，不能接近某个常数。
calculus
为此,引出数列极限的描述定义.
定义1：设有数列x1 , x2 , x3 , , xn , 如果 当n无限增大时，xn无限接近于一个常数A， 则称常数A为n趋于无穷时数列{xn }的极限， 也称数列{xn }收敛于A， 记作： lim xn A
y
解： lim f ( x ) lim （ x 1 ） 1
x 0 x 0 x 0
lim f ( x) lim （ x 1 ） 1
x 0
1
o
1
x
calculus
作业
先看书 再做练习
P22：T3； P52：T9(2);T11(1),(2).
calculus
calculus
若对于一切 xn，存在常数M （或 M 2），使得xn M 1 1 （或xn M 2）成立，则称M 1为数列{xn }的下界, M 2为数列 {xn }的上界.
微积分第二章 极限与连续
一.无穷小
定义2.3.1 如果在自变量 则称函数 f(x)为 的某个变化过程中 , 在该变化过程中的无穷小量, 简称无穷小.
简单地说, 以零为极限的变量称为无穷小量. 例如
2018/11/12
9
微积分I 第二章 极限与连续
定义2 .2 意给定的
设 { yn} 为一数列, 如果存在常数
对于任
, 总存在正整数N, 当n>N时, 不等式
恒成立, 则称常数 是数列 {yn} 当n趋于无穷大时的极限,
或称{yn}收敛于 记为
如果不存在这样的常数 , 则称数列{yngt; N时, 恒有
根据数列极限的定义：
2018/11/12 13
练习：P90， （ 2 3） .
微积分I 第二章 极限与连续
1 证明： lim 0. n n
证明：对 0,
1 1 | 0 | , 成立. n n 1 1 只需 n 2 . 因此，取 N [ 2 ], 当n N时，有 1 | 0 | 成立 n 1 lim 0. n n
研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积
分的社会背景。
2018/11/12 2 微积分I 第二章 极限与连续
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来
因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人 们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里 埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，
定理2.2.3 (局部有界性) 若 常数M>0和δ>0，使得当 时,
存在, 那么存在
证 当
取ε =1, 因为 时,
微积分中的极限和连续性研究
微积分中的极限和连续性研究微积分是数学的重要分支之一，涉及到函数、极限、导数、积分等概念，具有广泛的应用。
其中，极限和连续性是微积分中的基本概念，对于深入理解微积分有着至关重要的作用。
一、极限极限是微积分中的一个重要概念，指函数在某一点附近的取值趋向于一个确定值的过程。
可以用符号“lim”表示，表示当自变量无限接近某一值时，函数的取值趋近于某一确定值。
例如，当x 趋近于0时，sinx/x的极限为1。
极限的研究涉及到函数的变化趋势、趋向于某一值的速度以及极限存在的条件等。
通过对极限的探究，可以更深入地理解函数的性质和变化规律，为后续的微积分知识打下坚实的基础。
二、连续性连续性是微积分中的另一个基本概念，指函数在某一点处无间断、无跳跃、无断点的性质。
连续性是函数在数学中的重要性质，具有很强的实用性和应用性。
连续性的研究涉及到函数的定义域、值域、导数、极限等概念，需要深入研究函数的性质和变化规律，并通过严谨的数学证明方法来验证连续性的存在与否。
三、极限和连续性的关系极限和连续性是微积分中的两个基本概念，它们在理论研究和实际应用中有着密不可分的关系。
在实际问题中，通过对函数的极限和连续性的研究，可以得到其更深入的性质和变化规律，进而为实际问题的解决提供有力的数学工具。
在微积分中，函数的连续性是极限存在的重要条件之一。
只有在函数在某一点处连续，才能谈论该点的极限存在性。
因此，连续性为函数的极限提供了重要的保障和补充。
同时，通过对函数的极限研究，可以进一步探究函数的连续性。
例如，在求解导数和积分等问题时，往往需要通过对函数的极限进行研究来确定其连续性和导数的存在性。
四、微积分中的应用极限和连续性是微积分的两个基本概念，其在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，都离不开微积分的应用。
在物理学中，微积分常常用于描述物体的运动状态和变化规律。
例如，通过对物体的运动速度和加速度的探究，可以求出其在某一时刻的位移和位置，从而更加深入地了解物体的运动规律。